2026年高考数学一轮培优练习（新高考）复数（学生版+解析）

第五章平面向量与复数

§5.5复数

【考情分析•探规律】

考点3年考情(2021-2024)命题趋势

2023•全国甲卷、2022•浙江卷

考点1复数相等2022•全国乙卷、2022•全国乙卷

通过方程的解，认识复数；

2021•全国乙卷

理解复数的代数表示及其几何

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷

意义，理解两个复数相等的含

2023•北京卷、2023•全国乙卷、2023,全

义：掌握复数的四则运算，了

考点2共辄系数国新I卷、2022•全国甲卷2022•全国

解复数加1、减运算的几何意义；

甲卷、2022•全国新I卷

本节内容是新高考卷的必考内

2021•全国乙卷、2021•新I卷全国

容，一般考查复数的四则运算、

2024•全国新H卷、2023•全国乙卷

考点3复数的模共疾复数、模长运算、几何意

2022•全国甲卷、2022.北京卷

义，题型较为简单。

考点4复数的几何2023•全国新H卷、2023•北京卷

意义2021•全国新H卷

【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a十〃i(“，。仁R)的数叫做复数，共中_是复数的实部，_是

复数的虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+/水a,Z?eR)

实数(b二0),

复数

虚数(b三0)(当a=0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+〃i=c+di=(a,b,c,d@R).

(4)共扼复数：

历与c+di互为共轨复数=(a,",c,”WR).

(5)复数的模：

向量)的模叫做复数z=o+bi的模或绝对值，记作_或,即|z|=|a+Z?i|=

22

Ja+b(atZ?eR).

2.复数的几何意义

一一对应一

(1)复数z=〃+Aim，Z?GR)-*复平面内的点Z(mb).

一一对应

⑵复数z=a+Ai(m0£R)"平面向量限.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,R),贝lj

①加法：z\+z2=(〃+/?i)+(c+di)=;

②减法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=;

③乘法：zi・Z2=(〃+Z?i)・(c+di)=;

④除法：红=笔=；［曾+若哪(c+公。).

2222

z2c+山(c+di)(c-di)c+dc+d

⑵几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即场

=0Z1H-OZ2»7>\7.2~~07,2—0Z1.

点拨】

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4w+1=i,i4,,+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4”+l+i4〃+2+i4“+3=o,〃£N*.

01+i1-i

2.(㈤2=±力，K，而

3.复数的模与共扼复数的关系Z・Z=|Z|2=|ZF.

【随堂训【练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)复数z=〃+/?im，中，虚部为万.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应

的向量的模.()

2.(2024.新课标全国〃)已知z=-l-i,则|z|等于()

A.OB.lC.V2D.2

3.已知复数z=i'(l+i),则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.复数作的共挽复数是__________.

1—2

「1云福商莪'i

11.熟记与复数有关的常用结论

i

I(l)(l±i)2=±2i；^=i；盘=一1

I1-11+1

\(2)i4n=1,i4,,+'=i,i4M+2=-l,i4”+3=-i(〃wN").

j(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2,|zrz2|=|z#|z2|,=*0=|Z|".

\(4MW|z|W「2表示以原点。为圆心，以门和r2为半径的两圆所夹的圆环；

：|z—(4+例)|=«>0)表示以3,〃)为圆心，，•为半径的圆.

\2.谨防两个易误点

!(1)利用复数相等a+〃i=c+di列方程时，注意a,b,c,d£R的前提条件.

；(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.

【必练核心题型】

题型一复数的概念

【典例】1.(2024・白山模拟)复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【典例】2.已知复数z=，〃2—1+Q〃+i2>i〃％eR）表示纯虚数，则〃7等于（）

A.lB.-lC.1或一1D.2

【典例】3.（2025・晋中模拟）已知复数z=l-2i是方程％2+公+方=0（a,b£R）的根,

则以十㈤等于（）

A.V5B.4C.VHD.V29

【变式训练】

变式1.下列关于复数的说法，正确的是（）

A.复数i是最小的纯虚数

D.在更数范围内，模为1的夏数共有1,—1,i和一i四个

C.i与一i是一对共猊复数

D.虚轴上的点都表示纯虚数

变式2.（2025・南通模拟）已知复数z满足z?=-3+4i,则|z|等于（）

A.1B.5C.V5D.2

变式3.已知复数z满足4z（l+z）=l5+8i,则z的实部为.

题型二复数的四则运算

【典例】1.（2024・新课标全国I）若」;=l+i,则z等于（）

z—1

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.l+i

【典例】2.设复数z=（詈），则z等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

【典例】3.已知复数z满足变=2i,贝

Z-I------------------

【变式训练】

变式1.（2023・新高考全国I）已知2=悬，则2—5等于（）

A.—iB.iC.OD.l

变式2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,—1）,则芸=________.

变式3.已知i为虚数单位，贝Ji+i?+i3+…+[2（侬=.

题型三复数的几何意义

【典例】1.已知复数z=（a-l）-2ai（aWR）,且|z|=5,若z在复平面内对应的点

位于第二象限，则。等于（）

A.-2B.一9C.2D.9

【典例】2.已知i是虚数单位，复数heR）.且|z一i|=|z+2—i|,贝lj|z

—3+V5i|的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【变式训练】

变式1.（2025・南充模拟）当1＜小＜2时，复数〃Ll+（〃z—2）i在复平面内对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

变式2.已知复数z满足|z-2|=1,贝此一”的最小值为（）

A.lB.V5-1C.而+1D.3

【限时训练】（限时：40分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.已知a,b£R,a—3i=S—i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=l,b=~3B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=—3D.〃=l,b=3

2.（2025・曲靖模拟）在复平面内，复数3+2i,—2+3i充应的向量分别是耐，OB,其中O

是坐标原点，则向量四对应的复数为（）

A.l+iB.5-i

C.5—3iD.—5+i

3.已知复数z=，^（i为虚数单位），则（）

A.z的实部为2

B.|z|-V5

C.z=2-i

D.z在复平面内对应的点位于第一象限

4.已知复数z=〃-7/〃+6+（"P-36）i是纯虚数，则实数in的值为（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

5.（2025・固原模拟）已知复数z满足2z+--=z+i,则z等于（）

1+1

A.-2—iB.2—iC.—2+iD.2+i

6.已知复数z满足l<|z—（1一i）|W2,则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为

A.71B.2兀C.3兀D.4兀

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025・徐州模拟）已知复数z在复平面内对应的点为（-］日），则（）

A.|z|=1B.z+z=1

C.z2+z+l=0D.Z2026=Z

8.下列说法正确的是（）

A.若z=-2+i,则z在复平面内对应的点位于第二象限

B.若z满足z・i=-l+2i,则5的虚部为1

C.若z是方程f+3=0的根，则z=±V5i

D.若z满足|z—1+2i|=2，则|z|的最大值为遥+鱼

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025・辽阳模拟）若复数z=等+|3—4i|,则|z|=.

10.写出一个同时满足①②的复数z=.

®?=z；R.

四、解答题（共28分）

11.（13分）己知复数Z―/+”?-2+（/〃-1）i（/〃£R）,其中i为虚数单位.

（1）若z是纯虚数，求实数机的值；（6分）

（2）若〃?=2,设言=〃+/（〃，（£R）,试求的值.（7分）

12.（15分）已知x=-l+i是方程^+办+力=0（。，底R）的一个根.

（1）求实数mb的值；（7分）

（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.（8分）

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

13.已知复数Z|,Z2和Z满足同=同=1,若|ZLZ2|=|Z|T|=|Z2-z|,则|z|的最大值为()

A.2V3B.3C.V3D.1

14.在复平面内，复数z=a+历(a,Z?£R)对应向量被(O为坐标原点)，设|U2|=r,以射

线Qx为始边，向量被所在射线为终边，旋转的角为4则z=r(cosO+isin〃)，法国数

学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：zi=Mcos6]+isin6i)，Z2=/2(cos优+isin02)，则ZiZ2=

功力[cos(6i+%)+isin(4+仇)],由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式:[/(cos0+isin如"

=&cos〃0+isin/M.已知z=(V5+i)t则闭=；若复数g满足①"一1=0(〃

£N"),则称复数①为〃次单位根，若复数①是6次单位根，且切阵R,请写出一个满足

条件的口=

第五章平面向量与复数

§5.5复数

【考情分析•探规律】

考点3年考情（202L2024）命题趋势

2023•全国甲卷、2022•浙江卷

考点1复:数相等2022♦全国乙卷、2022,全国乙卷

通过方程的解，认识复数；

2021•全国乙卷

理解更数的代数表示及其几何

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷

意义，理解两个复数相等的含

2023•北京卷、2023•全国乙卷、2023•全

义；掌握复数的四则运算，了

考点2共规复数国新I卷、2022•全国甲卷2022•全国

解复数加、减运算的几何意义：

甲卷、2022•全国新I卷

本节内容是新高考卷的必考内

2021•全国乙卷、2021•新I卷全国

容，一般考查复数的四则运算、

2024•全国新II卷、2023•全国乙卷

考点3复数的模共扼复数、模长运算、几何意

2022•全国甲卷、2022.北京卷

义，题型较为简单。

考点4复数的几何2023•全国新H卷、2023•北京卷

意义2021•全国新『卷

【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如〃+历(。，人WR)的数叫做复数，其中且是复数的实部，幺是

复数的虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+〃i(a,Z?WR)

(实数S=o),

复数<一

|虚数(b三0)(当a:0时为纯虚数).

(3)复数相等：

药=c+dioa=c且b=d(a,b,c,dR).

(4)共规复数：

a+Z?i与c+di互为共轨复数oq=c,/?=—</(〃,b,c,dWR).

(5)复数的模：

向量被的模叫做复数z=a+物的模或绝对值，记作。或山土3，即|4=|。+加=

卜+炉侬，人WR).

2.复数的几何意义

一一对应一

(1)复数z=〃+Aim，Z?GR)-*复平面内的点Z(mb).

一一对应

⑵复数z=a+Ai(m0£R)"平面向量限.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,R),贝lj

①加法：ziQz2=(a+/i)+(c4~di)=(a+c)+(7?+d)i；

②减法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=(a-c)+(〃-d)i；

③乘法：zi・Z2=(a+Z?i)・(c+di)=(ac—权Z)+(ad+bc)i；

④除法：红=笔=+若哪(公。).

；［曾2222c+

z2c+山(c+di)(c-di)c+dc+d

⑵几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即场

=0Z1H-OZ2»7>\7.2~~07,2—0Z1.

点拨】

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4w+1=i,i4,,+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4”+l+i4〃+2+i4“+3=o,〃£N*.

01+i1-i

2.(㈤2=±力，K，而

3.复数的模与共扼复数的关系Z・Z=|Z|2=|ZF.

【随堂训【练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)复数z=〃+/?im，中，虚部为万.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应

的向量的模.()

【答案】(1)X(2)X⑶J(4)7

【解析】(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.

2.(2024•新课标全国〃)已知z=-l-i,则|z|等于()

A.OB.lC.V2D.2

【答案】C

【解析】若z=-l—i,

则|z|=J(T)2+(-1)2=&.

3.已知复数Z=P(l+i),则Z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】Z-i3(l+i)--i[l+i)-l-i,Z在复平面内对应的点为(1,一1)，位于第四象限.

4.复数上;的共规复数是__________.

1—2

【答案】-2+i

【解析】告=,\]广)2T故其共乐复数是一2+i.

1-2(-2+i)(-2-i)

L熟记与复数有关的常用结论

(l)(l±i)2=±2i；言=1^=-i.

(2)i4,,=L产+i=i,i4w+2=-l,i4"+3=-i(〃£N").

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2,|ZI・Z2|=|Z4|Z2|,|引=鲁，0=|Z|”.

gi(221

(4,W|z|W-2表示以原点。为圆心，以内和r2为半径的两圆所夹的圆环；

j|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.

!2.谨防两个易误点

I

，⑴利用复数相等〃+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,d£R的前提条件.

\(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.

【必练核心题型】

题型一复数的概念

【典例】1.(2024・白山模拟)复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【解析】由z=i+2i2+3P可得z=-2—2i,故z的虚部为一2.

【典例】2.已知复数z=〃?2—1I(〃7Ii2)・i(〃zWR)表示纯虚数，则〃2等于()

A.lB.-lC.1或一1D.2

【答案】B

【解析】因为z=m2—H-(m+i2)-i=m2—l+(m—l)i,

若复数z表示纯虚数，贝07n2-1=0,解得加=一］.

"I—1不0,

【典例】3.(2025・晋中模拟)已知复数z=l-2i是方程f+aLH?=0m，〃WR)的根,

则m+例等于()

A.V5B.4C.VHD.V29

【答案】D

【解析】由题意得，z=l+2i是方程W+at+b=0(。"WR)的一个根，

由根与系数的关系得l+2i+l—2i=-〃，(l+2i)(l-2i)=。,

故a=-2,Z?=l-4i2=1+4=5,

故|a+/?i|=|—2+5i|=^4+25=V29.

:【解题技巧】

丁■・■•■・■・・・■・■・■,・•・•■・・・・・・・■・・•・・■・■・・•■・■・・•■・■・・・■・・・■•・•・•■・■・・・・・■・・・■・■・・,・•«・・・・・■・・・■,・,・・■・■•・•■・■・・・■・■・■,■・・・・・■,■・・・■・・・•

I解决复数概念问题的常用方法

\(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+加m，8£R),则

\该复数的实部为a,虚部为b.

\

j(2)复数是实数的条件：①z=4+〃i£RQ〃=0(a,〃£R)；②z£RQz=2;®zeR<=>r^O.

\(3)复数是纯虚数的条件

i

\①z=〃+Z?i是纯虚数<=>〃=0且bWO(a，8£R)；

[②z是纯虚数=z+5=0(z#0)；③z是纯虚数=z2<0.

i

i(4)复数z=a+/?i(a,Z?£R)的共朝复数为5=。一加，贝ijz・5=|zF=|团？，即团=|团=^/7忍

【变式训练】

变式1.下列关于复数的说法，正确的是()

A.复数i是最小的纯虚数

B.在复数范围内，模为1的复数共有1,-1,i和一i四个

C.i与一i是一对共细复数

D.虚轴上的点都表示纯虚数

【答案】C

【解析】虚数不能比大小，故A错误；对于复数2="+勿(〃"GR),但凡满足/+序

=1,其模均为1,显然不仅四个，比如〃=：,b=苧时，|z|=l,故B错误；由共朝复

数的定义可知C正确；原点(0,0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.

变式2.(2025・南通模拟)已知复数z满足z2=-3+4i,则团等于()

A.1B.5C.V5D.2

【答案】C

【解析】设z=〃+〃im，力£R),

则/=/—〃+2曲，又z?=-3+4i,

Q2—62=_3Q=l一(a=-1,

所以'解得或

、2Q6=4,%=2Vb=-2,

贝ijz=1+2i或z=-1—2i

所以|z|=Jl+4=V^.

变式3.己知复数z满足4z（l+z）=15+8i,则z的实部为

【答案】一之

【解析】设z=a+Z?i（a,〃七R）,则革=〃一bi,

由45(1+z)=15+8i,得4(“一加)+4(o2+/)=15+8i,

由复数相等的充要条件，得

4a+4(。2+}2)=15a=

/Tr

—4b=8,b=-2,

故z的实部为一条

题型二复数的四则运算

【典例】1.（2024・新课标全国I）若六=l+i,则z等于（)

A.-1B.-14-i

C.l-iD.l+i

【答案】C

【解析】因为六二等

=1+六=1+"

所以z=1+^=1—i.

2025

【典例】2.设复数z=（署），则Z等于（）

A.lB.-lC.iD.-i

【答案】C

.14-21_(l+2i)：2~H)_5i

【解析】V

2-i55

•__;2025_;4X506+l

・・Z-1—1—1

【典例】3.已知复数z满足金=2「贝ijz-2=

ZT-------------

【答案】5

【解析】因为言=2i,

所以z—3=2i(z—i)=2+2iz,

所以z=5

l-2i

所以，=1-2i,则z,5=(l+2i)(l-2i)=5.

「1赢莪石i

i复数四则运算问题的解题策略

复数的在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚

加减法部与虚部相加减）计算

复数的复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i

乘法的看作另一类同类项，分别合并

复数的除法的关键是分子分母同乘以分母的共貌复数，解题中要注意把i的幕写成最简形

除法式，这里的父母买数化可类比分母含根式的分母有埋化

【变式训练】

变式1.（2023・新高考全国I）已知z=W；,则z-5等于（）

A.-iB.iC.OD.l

【答案】A

【解析】因为1-i,

2+2i-2(l+i)(l-i)

=子=—,所以2=1i,即z—z=­i.

变式2.在复平面内，复数Z对应的点的坐标为（2,-1）,则三=

Z-1--------

【答案】2i

【解析】由题意得复数z对应的点的坐标为(2,-1),

故z=2—i,z=2+i,

+i_2+i+i_2+2i_2(l+i)2_2(l+i)2一,

-

改口2-i-lil-i)(14-i)2'

变式3.已知i为虚数单位，则i+i2+i3+-+i2025=.

【答案】i

【解析】i+i2+i3+i4=0,

则i+i2+i3+…+i2O25=5O6XO+i=i.

题型三复数的几何意义

【典例】1.已知复数2=3—1)-2ai(〃£R),且|z|=5,若z在复平面内对应的点

位于第二象限，则。等于()

A.-2B.--C.2D.-

55

【答案】A

【解析】由题意|Z|=J(Q-1)2+(-2Q)2=5,

得5/—2〃-24=0,解得a=—2或,

因为Z在复平面内对应的点位于第二象限，

所以「71二°做〃<°，故。=一2.

l-2tz>0,

【典例】2.己知i是虚数单位，复数z=a+Z?i(a,8£R),且|z-i|=|z+2—i|,则|z

—3+V5i|的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】方法一由|z—i|=|z+2—i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0,1)与点(一

2,1)的距寓相等，则点Z在直线X=-1上.

|z—3+V5i|表示点Z与点(3,—V5)的距离，过点(3,—V5)作直线x=-1的垂线，垂足

为P(图略)，当点Z与点尸重合时，Iz—3+g”取得最小值4.

方法二因为z=a+hi(G,力£R),

则z—i=a+(b—\)i,

z+2-i=(a+2)+(b-l)i,

由|z一i|=|z+2—i|,可得Ja2+(b_1)2=］伽+2)2+(匕一i)2,

解得。=-1,WJz=—1+Z?i,

所以z—3+V5i=-4+@+V5)i,

因此|z—3+V5i|=J(-4)2+(b+V5)224,

当且仅当6=一百时，等号成立，

故|z-3+VSi|的最小值为4.

「1丽莪石’i

\复数的几何意义及应用

:——对应.

；(1)复数z、复平面上的点Z及向量次相互联系、---对应，即z=4+bi(a》£R)

一一对应__

jZ(a,b)^OZ.

j(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联

:系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【变式训练】

变式1.(2025・南充模拟)当lv"z<2时，复数〃2—1+(〃7—2)1在复平面内对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】由\<m<2,可得产一忖2

im—z<u,

所以复数〃?一1+(〃7—2»在复平面内对应的点2(〃7—1,"L2)位于第四象限.

变式2.已知复数z满足|Z—2|=1,则|Z—i|的最小值为()

A.lB.V5-1C.V5+1D.3

【答案】B

【解析】设z=x+y\(x,y£R),

因为|2_2|=卜_2+刈=丁(久―2)2+丫2=],

所以(x—2)2+9=1,即二在复平面内对应点的轨迹为圆C:(x-2)2+y2=l,如图

又|z—i|=|x+()，—l)i|=[M+(y-，

所以|z—i|表示圆C上的点到点A(0,1)的距离，所以上一i|min=C4-1=遍一1.

【限时训练】(限时：40分钟)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.已知a,b£R,a—3i=S—i)i(i为虚数单位)，贝立)

A.6?—19h——3B.a=-1,b=3

C.a=-1,Z?=—3D.a=1,b=3

【答案】A

【解析】因为3i=(Z?-i)i=1+历，所以〃=1,b=-3.

2.（2025・曲靖模拟）在复平面内，复数3+2i,—2+3i充应的向量分别是耐，OB,其中O

是坐标原点，则向量而对应的复数为（）

A.l+iB.5—i

C.5-3iD.-5+i

【答案】D

【解析】由题设万5=（3,2）,OB=（-2,3）,

则而=砺一瓦?=（一5,1）,

所以向量荏对应的复数为-5+i.

3.已知复数z=W（i为虚数单位），则（）

A.z的实部为2

B.|z|=V5

C.z=2~i

D.z在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】B

【解析】2=牙=—（2+i）i=l—2i,故实部为1,0=6，5=l+2i,z在复平面内对应

的点为（1,-2），位于第四象限.

4.已知复数z=m2—7/??+6+（m2—36）i是纯虚数，则实数m的值为（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

【答案】D

【解析】由题意得m2—7m+6=0且〃P-36H0,则in=1.

5.（2025・固原模拟）已知复数z满足2z+六=2+「则z等于（）

A.-2-iB.2-iC.-2+iD.2+i

【答案】A

【解析】依题意，设z=a+bi（a,b£R）,贝修=a一历,

因为瞑=4(1)=2-2i,

(l+i)(D

所以由2，+--=z+i,

可得2(a-bi)+2-2i=a+M+i,

,,,,,P12Q+2=Q,

则(2〃+2)—(2/?+2)i=〃+S+l)i,所以

l-(2b+2)=6+l,

(=-2

解得a’所以z=-2—i.

b=-1,

6.已知复数z满足1W|z—(1一i)|W2,则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为

()

A.兀B.2KC.3兀D.4K

【答案】C

【解析】令z=a+万(a-£R)则lW|(a-l)+(b+l)i|W2所以iWg—lF+S+lpWd,

即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1,一1),半径分别为1,2的两个同心圆的面积

差，所以所求区域的面积为4兀一兀=3兀

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2025・徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为(-1号)，贝小)

A.|z|=lB.z+z=1

C.z2+z+l=OD.Z2026=Z

【答案】ACD

【解析】由题可知「二W+净，忆尸JdJ+gjn，故A正确；

z=—1,z+2=—1,故B错误；

/=(一]+争)=i—yi=—1—yi,所以d+z+l=—1+1=0,故C正确；

z3=22-2=(-1-yi)-(-1+yi)=l,

所以22026=22025.2=(Z3)675.2=2，故D正确.

8.下列说法正确的是()

A.若z=-2+i,则Z在复平面内对应的点位于第二象限

B.若z满足zi=-l+2i,则2的虚部为1

C.若z是方程f+3=0的根，则2=±百1

D.若2满足|z—I+2i|=2，则|z|的最大值为6+企

【答案】AC

【解析】对于A,z=-2+i在复平面内对应的点为（一2,1），位于第二象限，故A正

确;

对于B,因为z-i=-l+2i,所以z=*W=S^=2+i,贝坛=2—i,所以2的虚部

1I2

为一1,故B错误；

对于C,方程x24-3=0的根为±V5i,故C正确；

对于D,设z=x+yi（x,yGR）,若z满足忆一1+2i|=2,即|（工一1）+。+2川=2,所以

J（x—l）2+（y+2）2=2,即。-l）2+（y+2）2=4,则点（x,y）在以（1,一2）为圆心，2为

半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为］12+（_2）2=遥,所以团的最大值为遥+2,

故D错误.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2