2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷01【测试范围：苏教版必修第二册第9~12章】（全解全析）

高一数学下学期期中模拟卷01（江苏专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知i是虚数单位，若复数z满足（l-i”=2+i,则』在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先利用复数的除法，求出复数z,再求共扼复数，然后判定所在象限.

【详解】由题意知，N==!=2-li,则三=!-土,

1-12222

（\3、

故复数［在复平面内对应的点为，在笫四象限.

I/乙）

2.己知△48。中，〃=b=aB=60\那么角［等于（）

A.45°或135，B.30°或15()C.45D.30°

【答案】C

【分析】利用正弦定理求解.

【详解】在^ABC中，a=6,b=&B=60,

a_b

由正弦定理得:

sinAsinB

..asinB&xsin6041

r则lllsmA=------=-------7=-----=—,

b452

因为。<方，所以4<8,贝iJ/=45°,

故选：C

3.已知平面向量£=（-1"）花=（3,2左一2）,若叫2Z+B）,则六=（）

1/15

【答案】B

【详解】由于21+5=(1,44—2),由苏/(25+B)得一1・(4女一2)-1,％=0,解得左二|.

4.已知cos(a-£)=1,贝lJsin(2a+1)=()

646

A.1B.--C.1D.」

8888

【答案】D

【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到sin(2a+,=cos(2a-9=cos[2(a-1)],结合余弦的倍角公

式，即可求解.

.辰”、I./cn.7C.兀1__n..兀、1_2/兀、.r/、2,7

【详解】由sin(2a+-)=cos[(2a+—)——]=cos(2a——)=cos[2(cr——)]=2cos'(a——)-1=2x(-)--1=一一.

66236648

5.如图，在aOCB中，/是边8c的中点，。是边08上靠近点。的三等分点，设方则反=

5-5-

A.2a--bB.2a+-b

33

4-4-

C.2a—bD.-21+一。

33

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到.

【详解】＜1是边8c的中点，=前，

，无二8+万=方+加=方+烟-西=2方-丽，

——1—

•••。是边OE1二靠近点。的三等分点,

:.7^=15d+OC^-^OB+(2OA-OB]=2OA-^OB,

又况二万,9=5，.,・友=22一;九

故选：C

6.在8c中，内角人丛^的对边分别为名儿仁公由0十人=？^^^©^^^^^,则△力8c一定为()

2/15

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式,

所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角

之间的关系,进而判断二角形的形状.

A

［详解］在LABC中,asinC+b=26cos：—+4cos8,

2

I+cos』

则izsinC+b=2bx----------+acosB,即。sinC=bcosA+acosB,

2

则sinJsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）,即得sinJsinC=sinC,

由于Ce（0,7c）,sinCw0,故sin/=l,结合力e（（U）,可得力=|,

即公出?。一定为直角三角形，

7.已知正方形44。。的边长为4,七为边CO的中点，点尸为线段4E上一点，过点。作8。的垂线，交BC

边于M,则耐.而的最小值为（）

A.-6B.-----C.-D.6

44

【答案】C

【分析】应用向量数量积的运算把得到嬴.而=应己而+乐而+4，若而=2亚且,数形结

合求得（而•匠+近・匠）即可得.

【详解】由配•丽=（荻+诟）•（而+丽）=优•而+而・丽+直屁+而•丽=砒・丽+诟屁+4,

若方=4下且0W2W1,则旗=/1沅，且|月口二|而|=4,I施1=2石,

__________21

又BC,AE=NDAE,CD,AE=n-ZDEA,且cosZDAE=-y^,cosZDEA=,

所以沅.而+近星=万比.施+-丽.荏=8A/J/12COSZEUE-4VOCOSZD"

2

=1622-42=16(2-1)2-^,

当见=:时，（南•匠+演.丽）

84

-----------115

所以用£0。=一一+4=—.

44

故选：C

3/15

AB

则下列结论不可能成立的是()

=tanp,ai4=tan(6a-2/7),

cosa

A.a=30°B.a=70°C.6=50°D.6=80。

【答案】C

【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得好+f+中格Z,…容一,进而结合选项分

析求解即可.

a.、aa.aa.aa.a

…~cos2'——sin"—cos-----sin—cos—+sin—cos—+sin—

cosa2222222

【详解】由tan/3=~^2

I—sinct.~・aaa.aa.a

sinal_2sin—COS—cos——sin—cos-----sin—

2222)22

,ana

1+tan-xtan—+tan—

=----------=---------------=tan+a

,ana4

1-tan-1-tan-tan—

242

则"泻+小屹

cosacosa(l+sina)_cosa(l+sina)_1+sina

由

l-sina(1-sina)(l+sina)l-sin?acosa

kjr

则ton(6a-24)=tan,即£=6a—24+4?北饱wZ,则夕=2a+-1-,k2eZ,

综上所述，夕=£+■wZ,且/?=2a+W，k2^Z.

结合选项，当a=30。，〃=60。时，满足上述两个式子;

当a:70。，〃=80°时，满足上述两个式子;

当产=50。时，由/=色+1+勺兀可知a=10。，此时不满足/=2a+丝，k2eZ.

423

故选:C

4/15

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求•全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知马=2+i，4=l-2i,则()

A.㈤=卜|B.\z.+z2\=y/w

c.|z仔zhklRD.平2=平2

【答案】ABC

【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共扼复数的意义逐项计算判断.

2222

【详解】对于A,|z,|=V2+1=V5,|Z2|=71+(-2)=45,区|="|,A正确：

对干B,z,+z2=3-i,则匕+z21=53?+(-I)?=M,B正确；

对「C,z)z2=(2+i)(l-2i)=4-3i,则|4马|一J4?+(-3铲一5人||句|，C正确:

-—~

对于D,z,z2=(2+i)(l+2i)=5i,z,z,=(2-i)(l-2i)=-5i,zxz2^zxz2tD错误.

故选：ABC

10.已知向量2=(3,2)3=(-1,2)，则下列结论正确的是()

A.|昨逐

B.与5同向的单位向量为一

\JJ/

C.5在G上的投影向量为(一"|)

D.若。与5+的夹角为锐角，则实数义的取值范围是(-13,内)

【答案】AB

【分析】对于A,利用向量的模的坐标公式计算即得：对于B,利用单位向量的定义计算可判断：对于C,

利用向量投影向量的坐标公式求解判断：对于D,利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断•

【详解】对于A,|B|=J(-l)2+2?=后,故A正确；

对于B,与B共线的单位向量？=嘀=±-与注~.同向为卜手，乎，故B正确；

5/15

—•—•J1/。勺、

对于C3在G上的投影向量为W|cos，lg亩付y=w(3,2)=[GRj,故C错误;

对FD,因G+4=(3,2)+〃T,2)=(3_/l,2/l+2),则由(3+/^)=3(3-/1)+2(2/1+2)=2+13,

_2+13>0

由晨与G+助的夹角为锐角，可得：2八，解得2>-13且义。0,故D错误.

3(24+2)H2(3—X)

故选：AB.

11.已知ZU8C的面积为，角/、B、C的对边分别是。、b、c,tan5=-^——,c2-b2=ab,则()

21+sinC

A.4-8=三B.C=2B

2

C.c=2D.8c边的中线长为应还

2

【答案】ABD

【分析】利用条件也.=77菽化简判断A,根据正弦定理及三角恒等变换判断B,根据正弦定理求。判

断3根据余弦定理求出中线长判断D.

_、“.e、iccosCsinB

【评解】因为12g=4^=1

所以cosAcosC=sin4sinC+sinB，即cos(5+C)=sinB,

所以cos(兀-A)=-cos4=sin8,由sin4>0可知cos/l<0,即4为钝角,

乂-cos%=sin(4-5,所以sin(4-5=sin5,

又4-^津为锐角，所以力-?=8,故A正确；

因为c?-b2=ab，由正弦定理可得sin?C-sin2B=sinAsinB，

所以(sinC+sin5)(sinC-sin5)=sinJsinB,

由和差化积公式可得4sin-----cos-----cos-----sin-----=sinAsinB,

2222

即sin(C+8)sin(C_8)=sin/lsinB,HPsinJsin(C-5)=sinAsinB,

由sin/l>0可得sin(C-8)=sin8,所以C-B=8或C—4+8=万(舍去)，

即。=24,故B正确；

由AB可知，A+B+C=B+三+B+2B=n,所以8=色，故。=马,4=把,

2848

6/15

因为S=』HsinC='，所以"=」一=JI,

22sinC

由正弦定理，（2R『sin4sin8=&,B|J（2/?）2sin+j^sinB=2R2sin2B=^2R2=V?,

解价=1,所以c=2RsinC=2xJ^=&',故C错误;

2

由。2-从="可知y=2-正，

设8c边的中线长为小，则”/=从+/@丫一2上・儿05。=2-啦+马亚一0乂巫=”迹，

⑴2424

所以〃?=正还，故D正确.

2

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量满足同=43=(2,2),若向量。在向量5方向上的投影向量的坐标为(1,1),则|I+B|二

【答案】472

由题意可得计石=(W，进而求得限8=4,利叫G-E|=J(G+盯可求解.

【分析】

db

由题意可得讦/=(1川，乂B=(2,2),麻=2?+22=8,

【详解】

所以呼.（2,2）=（1,1）,

O

所以2.4=],所以"石=4,又同=4,

O

所以忖+6=#+肛=J/+2万万+户=J16+2x4+8=4虚.

故答案为：45/2.

13.若复数z满足|z-l-2i|=l(i为虚数单位)，则|z|的最大值为

【答案】75+1/1+V5

【分析】设z=x+MCr,yeR),即可得到点"/)在以(1,2)为圆心，|为半径的圆上，求出坐标原点到圆心

7/15

的距离，即可求出|z|的最大值.

【详解】设N=x+yia，ywR）,因为|"l-2i|=l,W5/（x-1）2+（^-2）2=1,

所以（4-1『+（歹-2）2=1,

所以点（国力在以。,2）为圆心，I为半径的圆上，而目=々77表示点（xj）到原点（。，0）的距离，

又、/（0一1）2+（0一2）2=6,所以忖的最大值为逐+1.

故答案为：A/5+1

14.已知〃?,〃wR，若（6+〃）852%+（〃7-3〃911¥2机-1对任意实数3恒成立，则加+〃的最小值是.

【答案】-8

【分析】利用余弦的二倍角公式得（〃?+〃）（1-2副2"+（〃?-3〃屈仙2〃?-1对任意实数工恒成立，再令

/=sinx,/e[-l,l],将问题转化为（加+冷（2/T）K〃（1-4，）+1在小卜1,1]上恒成立，最后根据f求得

m+W>-8,并说明〃】+〃=-8,〃=0时，可以取到即可.

【详解】因为cos2x=l-Zsin?彳，

所以（冽+〃）（1-2sii?x）+（刑-3〃）sinxim-l对任意实数x恒成立,

所以，（加+〃）（252%-5m.丫）《〃（1-4$2）+1对任意实数丫恒成立，

令1=sinx,/w[-1,1],

所以（m+M（2*-f）«〃（"4f）+l在叱卜山上恒成立,

取1=■!■时，一（〃?+〃）?41,即

48

当阳+〃=—8,〃=0时，（枕+〃）（2/一）工〃（1-4，）+1等价于—8（2/一）41,即40恒成立，

所以m+〃的最小值为-8.

故答案为：-8

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知向量值=（2cosa,l）,6=（2tana,V2）.

8/15

⑴若试求锐角。的值;

（2）若21行，且a《goj,求cosa-：71的值.

4

2cosa

【详解】（1）因为G〃万，所以）tana=&，所以®cos?a=sina，

即&sii?a+sina-五二0,解得sina=也或sina=-0（舍去），

2

又。足锐角，故"?（6分）

(2)因为不工石，所以"4=0,U4cosatana+x/2=0，4sina=-41»-'1^sina=

4

V14

因为awpOj,所以cosa=---

4

=cosacoS^+sinasin^=^x^/_、份y/l—1

从而cosa-f，=丁⑴分）

I4J4442

16.（15分）

已知z为兔数，z+2i和三均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求z；

（2）若复数z是方程x2+mx+n=0（〃?,weR）的一个解，求〃l〃的值.

⑶若4=z-+-|---7二i在第四象限，求加的取值范围.

m+2

【答案】⑴z=4-2i

（2）.7/-/?=-28

（3）|-2,-u1,-

\r）\4）

【分析】（1）设2=。+及（41©1＜）,依据题设，建立方程求出。力，即可求得Z；

（2）代入z可得（4-2i『+（4-2i）〃?+〃=0,求得加，〃，进而得到答案；

[9口＞0

（3）先求出与=%?+空Ji,再根据题意建立不等式组小一:求解即可.

w-1w+22m-3八

-----＜0

m+2

【详解】(1)设N=a+6i(a,6eR),则z+2i=a+(2+b)i为实数，所以6=-2.

z_(6/-2i)(2+i)_(2a+2)+(a—4)i

2^1-(2-i)(2+i)-丁为实数,所以。=4,

9/15

所以z=4—2i.（4分）

(2)因为复数z是方程F+ntx+n=。(〃?,〃wR)的一个解,

代人可得（4一2if+（4—2i）m+〃=0,

12+4m+n=0

整理可得〈-6-2〃,=。'解得…8,〃=20,

所以m-n=-28.（9分）

1乙=4+J2-74m-32m-3.

（3）z=z+----1=------+

]rn—\m+2—1+2Jm-1-m+2

—>0

m-\（4加一

由4在笫四象限，得

2<0（2/7/-3）（/??+2）＜0

m+2

33

解得一2Vme,或

42

故阳的取值范围为12,1卜［1,

U-(15分)

17.（15分）

如图，在直角梯形048。中，04'CB,0At0C,0A=2BC=20C,M为AB上靠近A的三等分点,0M交AC

于为线段8c上的一个动点.

⑴用6i和反表示丽:

⑵求深

(3)设丽=九3+4历，求，"的取值范围.

【详解】⑴依题意无二为，击=7次，

23

.•.说F=；(丽一叫=；(反+函—那=；反+：况_：况=；反_；巩

.•.m7=O4+Zi7=a4+|-dc--o?|=-51+-oc；(4分)

136J63

(2)因QW交4C「N,由(I)知丽=/丽=/-0A+-0c\=-0A+-0C,

、63/63

10/15

由其起点的三向量终点共线的充要条件知，言+:=1,则f=。，

637

\ON\ON

所以丽=6两，所以昌=6,即M=6；(9分)

MNMN

(3)由已知历=1+而=反+,方，

2

因。是线段8C上动点，贝I］令丽=

砺=宓+〃历=2@_网+〃户+画=(%+〃x)a+(〃T再,

//-2=12=//-1

又无，而不共线，则有，1,得43,（12分）

Z+z/x=-u=------

2/2+2x

133

H^O<x<—=>l<x+l<—=>1<//<—,

所以4・〃=〃（〃_1）=（〃_31_：在〃£1,|上递增，

333

所以〃二l,(，〃)mm=0,〃=5，(，")max=I，故九〃的取值范围是。口..(15分)

18.（17分）

某养殖公司有一处矩形养殖池力4C。，如图所示，力4=40米，BC=20百米，为了便于冬天给养殖池内的

水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带EF,OF,考虑到整体规划，要求。是边力片的中点,

点E在边3C上，点尸在边力。上，MZ.EOF-,设乙BOE=a.

(1)试将AOE/的周长/表示成。的函数关系式，并求出此函数的定义域；

(2)当lana=g时，求加温带的长；

(3)为增加夜间水卜照明亮度，决定在两条加温带OE和。尸上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米

增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最

低费用.

11/15

【详解】（1）在口以8。石，RtA4。产中，由NBOE=NAFO=a,

得0E=-^_OF=-^-

cosasina

又RSEO/中，由勾股定理得E.=JOE2+O尸2=+(3_20

,(cosaj\sinasinacosa

因』O£+O必+£/=至+至+^—=20（1炉出0?0^）,

cosasinasinacosasinacosa

当点尸在点D时,此时。的值最小，。=?，当点£在点C时，此时。的值最大，。=£，

63

所以函数关系式为/=2°。+曰na-cosa）,定义域为R,：］.（5分）

sinacosa!_63

（2）由（1）知七尸二匚~———，tana=,

sinacosa2

EU.sinacosatana2

因此sina•cosa=——；-------=——；----=-,

sin'a+cos*atan~a+15

于是石尸=5（）.（9分）

（3）依题意，要使费用最低，只需OE+Ob最小即可,

由（1）得，。£+0尸=2。（一。+一0。』笈

sinacosaL63

,2-]

设$ina+cosa=/,则sinacosa=-------

2

八.“20/40/

OE+OF=———=——

/2-1t2-

2

rz.（n.「兀兀］小5兀,兀，7儿

‘二宿””力由叫，＞得/a+m（12分）

.5兀.7C71

sin—=sin—+—

12(64；

.771.itn花nn.itV6+V2

sin—=sin=sin—cos—4-cos—sin—

12U43434~4~

于是垦近,

2

令/［）="；，函数/〃）="；在（0,+。）上为增函数,

则当，坨时,。。+。尸最小,且最小值为4。&,此时t，

所以当8£=力尸=20米时，照明装置费用最低，最低费用C=50（）（。£+0尸）=2（）（）（）0底元（17分）

19.(17分)

12/15

若△力8。内一点尸满足/尸48=NP8C=N尸。=夕，则称点尸为△48C的布洛卡点，。为的布洛卡

角.如图，己知。中，BC=a,AC=b,/〃=c,点P为的布洛卡点，。为△力BC的布洛卡角.

(1)若人=。，且满足a=6,求/力8c的大小.

PA

⑵若△48。为锐角三角形.

<i)证明：—!—=——■——十——!——+——!——

tan0tanZ.BACtanZ.ABCtanZ.ACB

3)若P8平分Z"C,证明：b2=ac.

【答案】⑴?

6

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(I)先判断△PC8与△P84相似，进而得到。=百,、，应用余弦定理求出cos/48c的值即可;

(2)(i)在△力8c内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得:

22:

一1+」a+b+c

，针对。分别在A"8、△P8C和力内，三次应用余弦

tanZBACian46Clan4c64s八的

定理以及三角形的面积公式，且晨^=5/卷+5“用+&.,表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，

再化筒恪理小」一：'+"即可得证；(仃)得出/+〃+°2与S/8c的等量关系，再利用余弦定理

tan夕4S“BC

和三角形的面枳公式，PB平分N4BC,将S»Bc=；msin20代入，化简整理即可得证.

【详解】(I)若6=。，即得N4BC=/ACB,

点P满足4PAB=4PBC="CA=0,贝IJ4PCB=4PBA,

在APC8和△尸历1中，NPCB=ZPBA,NPAB=NPBC=B,

PR

所以APCB与相似，H—=6

PA

所以《2=~=百，即a=百c,

ABc

由余弦定理得：cosZABC=a-C-~b-,且“=戊，b=c,

2ac

13/15

得cosNABC=3"+"”=立

且0<4〈兀，

26招2

所以=（4分）

6

(2)(i)在△/i?。内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得: