2027年广东省高考数学押题试卷-附答案解析

2027年广东省高考数学押题试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=32*>2},8=3b=/}，则/G4=()

A.(1,2]B.(0,2]C.[0,+oo)D.(1,+8)

2.已知单位向量Z,b满足QJL(a+2小，则cos(Z,b)=()

11V3

A.-*B.0C.-D.

Izg

3.若兔数z满足^丁=1+i,则z=()

z

A.1-iB.1+/C.-1-zD.-1+z

4.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2、+4”,则/(7og23)=()

28282828

A.B.-C.—D.-

7°Tav

5.已知数列｛a〃｝为等差数列，设甲：附=画，乙：。5=0,则()

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

6.已知函数/'(x)="sin2x+cos2丫，若/(1一%)=f(5+X)，则f(普)=()

A.-V3B.V3C.-1D.1

7.已知6W(0,j),若£即(8—*)sE2。-cos29=1,则tan26=()

、后V3

A.-1B.-2C.—D.—

22

8.已知双曲线C：喘一\=l(a>0,2?>0)的右焦点为人设O为坐标原点，以O尸为直径的圆与双曲

线。的一条渐近线交于点力(异于原点O),点P在双曲线。上，若筋=而，则双曲线C的离心率为

()

A.V6B.V5C.2D.V2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，

按区间[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35)，[35,40]分组，制成了如下图所示的频率

第1页(共18页)

分布直方图，则（)

A.样本数据的众数估计为22.5岁

B.样本中年龄在［30,35）的人数为175

310

C.估计志愿者年龄的中位数为■岁

JLJ

D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于［25,30）的概率为（）.2

10.在棱长为2的正方体/I8CD81Goi中，〃是线段力。上的动点（包含两个端点），则下列结论正确

的是（）

A.41P与小。是异面直线

B.过点夕与垂直的平面a截正方体所得截面的面积为日

C.cos/。181P的最大值为7

D.8iP+小产的最小值为/为+44

II已知函数/（x）=（.x-a）（X-h）（x-h-\其中〃>0>江且当xNO时，f（.x）>0,贝U（）

A.-\<b<Q

B.a=b+\

2

C.f（x）的极大值为方

D.若f>0且/（x）</（田7）恒成立，则£2孥

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若抛物线炉=以上一点P到其焦点F的距离为5,O为坐标原点，则|OP|=.

13,已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7,则该密码共有种可能.

14.已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体枳最大时，其母线与底面所成角的余弦值

为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.（13分）4月6FI,河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立

执行高难度动作时，力机器人成功的概率为0.6,失败的概率为0.4；4机器人成功的概率为0.8,失败

的概率为（）.2.

（1）若从力，夕两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的

概率；

（2）若48两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X,求X的

分布列和数学期望.

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16.(15分)记△48C的内角4B,C的对边分别为a,b,c，已知csinB+KbcosC=0.

(1)求C；

(2)设6(a+b)=2c,且48边上的高为1,求△X8。的周长.

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17.（15分）如图，在四棱锥尸-48c。中，△玄。为正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=VlO.

（1）证明：平面R1O_L平面N8CZ）；

2V7

（2）若乙48C=120°,且锐二面角8-/尸-。的正弦值为7-,求相.

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9yJy2

18.（17分）已知函数/（x）=令+/x—写

（1）若f（x）为增函数，求实数4的取值范围;

（2）证明：函数/（X）有且仅有一个零点.

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19.（17分）已知椭圆C：苴+哙=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Q、Fi,|Q尸2尸2,点M在椭圆C

上，且的面积的最大值为VI

（1）求椭圆。的方程；

（2）设G为△MBF2的重心，/为△叱正2的内心，/、G两点不重合.

①证明：Gl//F\Fix

②点P,0在椭圆。匕且而=的，求△/P。的面积的取值范围.

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2027年广东省高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=32、＞2},B={y\y=^},则4n8=()

A.(1,2]B.(0,2]C.[0,十8)1,十8)

解：因为y=2”是增函数,所以力="|2、＞2}="以＞1},

又因为8=3力，20}，所以/「8=(1,+8).故选：D.

2.已知单位向量Q,b满足al(a+2b),则cos(a,b)=(

A.一

解：己知单位向量a,匕满足a_L(a+2匕)，则a♦(a+2b)=0,HPa2+2a-b=0^

TTTTTT1

又|Q|=|〃=1,所以1+2x1x1xCOS(Q,b)=0,故cos(a,b)=—故选：A.

Izl2

3.若复数z满足=1+i,贝ijz=()

z

A.1-iB.1+/C.-1-zD.-1+/

解：由已知两边取模可得|骞|=嘲=|2|=|1+"=/，

Z\z\

29

所以==1+i,所以5=yr=l—i,故z=l+i.故选：B.

4.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，/(x)=2'+4汽则/(・log23)=()

28282828

八A―.―9R——3JC——3D——9

解:由题可得：/(-10g23)=-f(log23)=-(2，。&3+47。923)=-(34-1)=一等.

故选：A.

5.已知数列{斯}为等差数列,设甲：|«3|=|同,乙：。5=0,则()

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

解：知数列{"〃}为等差数列，4〃=。5+(〃・5)4,则43=45・2d,47=45+23,

当d=0,45"0时，|。3|=|。7|成立，但45=0不成立，充分性不成立：

当45=0时，m=-2d,47=24,所以同=|。7|，必要性成立.故选：B.

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6.已知函数/（x）=asin2r+cos2x,若/（1-%）=/（1+,），则/（詈）=（）

A.-V3B.V3C.-ID.I

解：由函数/（x）=asin2x+ccs数,/（j-x）=/（j+x）,所以函数/（数关于x=，对称,

可得％=掾是/（X）的一个驻点，W/tf）=O,且/（x）=2acosZv-2sin2x,

所以/'<&）=2ax（-；）一2乂空一。，解得a一—百，

可得/'（%）=-V^sin2x+cos2x=2cos（2x+与），所以/'（普）=2cos粤=一1.故选：C.

7.已知6W（0,当），若tm（6一1）s讥2。—cos28=1,则tan26=（）

A.-1B.-2C.-苧D.y

解：因为£an（8—*）s》2e-cos2e=l,所以tan（8—、）==/嚷s6=焉，

所以£an（6-*）£an6=1,即cos（6一,）cos6—sin（0-，）sind=0,所以cos（26-，）=0,

因为8W（0,1）,所以26—.£（—*,,26—.=所以为=tan26="I.故选：A.

8.已知双曲线C：条一屋=l（a>0,b>0）的右焦点为R设。为坐标原点，以。尸为直径的圆与双曲

线C的一条渐近线交于点力（异于原点。），点尸在双曲线。上，若筋=而，则双曲线C的离心率为

（）

A.V6B.V5C.2D.V2

解：联立以OE为直径的圆与双曲线的渐近线方程，求点力的坐标.

以。产为直径的圆的方程为（工一彳）2+y2=（斤，即v2“肝炉口；

双曲线的渐近线方程为y=，X，联立两式，代人得%2-"+夕2=0,

解得x=O（含去）或.对应y=孚.故4（《，孚）.

LVUV.

由6=而，可知尸为线段力尸的中点，F（c,0）,

故P的坐标为（肆，掣）=（联，郸.

/y2

将夕点坐标代入双曲线方程滔-正=1»

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（02+。2）202

化简得：七号一溟二L

两边同乘442（，2,整理得（（r+c2）2-a4=4a2c2,展开并化简得。,-2“2c2=（）,

由cWO,得02=2/，故离心率e=,=V^.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，

按区间［10,15）,［15,20）,［20,25）,［25,30）,［30,35）.［35,40］分组，制成了如下图所示的频率

分布直方图，则（）

频率

f瀛

0.065......J—I

0.040……H…卜

o.olo|r^.44--FH

°10152025303540年龄

A.样本数据的众数估计为22.5岁

B.样本中年龄在［30,35）的人数为175

310

c.估计志愿者年龄的中位数为彳1岁

D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于［25,30）的概率为0.2

解：因为某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，制成频率分布直

方图，

所以针对各个选项分析如下：

对■于儿观察图可知，样本数据的频率最大的一组为［20,25）,

所以样本数据的众数估计为22.5,因此4选项正确；

对于8,样本中年龄在［30,35）的频率为1-0.01X5-0.04X5-0.065X5-0.04X5-0.01X5=0.175,

所以样本中年龄在［30,35）的人数为0.175X1000=175,8选项正确；

对于C,前三组的频率为0.01X5+0.04X5+0.065><5=0.575>0.5,所以中位数在第三组中，

因此志愿者年龄的中位数为如=20+噌”2=20+能=誓，C选项正确：

对于。，设任意一个人的年龄为X，则尸（25WXV30）=0.040X5=0.2,

所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于［25,30）的概率为0.2X0.2=0.04,故。选项错误.

第10页（共18页）

故选：ABC.

10.在棱长为2的正方体力归中，P是线段4C上的动点(包含两个端点)，则下列结论正确

的是()

A.81P与小。是异面直线

反

B.过点P与8U垂直的平面a截正方体所得截面的面积为k

乙

/g

C.cos/G8]P的最大值为

D.DPM"的最小值为J为+4巡

解：根据题意作出示意图如下：

因为力Cl〃4C,所以A\C\与AC确定平面ACCiA\,

又尸6平面ZCG4,8摩平面NCG小,小Ciu平面4CC小，PgJiCi,

所以根据异面直线的判定定理可得B】P与JiCi是异面直线，所以.4选项正确：

根据三垂线定理易得BD\VB\C,又力Cn8C=C,

所以4Q1_L平面力C8i，

所以截面面积为△48|C的面积，其面积为3x2，？xx亍=2，5,所以4选项错误；

因为81P=GP,显然，当尸是线段力。的中点时，NOiPAi取得最大值，

此时N。141P取得最小值，cos/。141P取得最大值为w，所以C选项正确；

将△45i。沿力C翻折至△力。C,使得。、力、C、由四点共面，

所以根据余弦定理可得B、P+A\P的最小值为：

。小=14+8-2x2x2企><亨=J12+4瓜,所以。选项正确.

故选：ACD.

11.已知函数/(x)=(x-a)Cx-b)(x-/>-1),其中a>0>b,且当x20时，/(x)20,则()

A.-

第11页(共18页)

B.a=b+\

2

C.f(x)的极大值为历

D.若/>()且/(x)W/(x+f)恒成立，则tN挛

解：对于力，若bW-l,则6+1W0,丁〃〉。，・•・当0<xV“时，/(4)<0,不符合题意，・•・-1<6<0,

故4正确；

对于8,若a>b+l,则当6+1VXVQ时，/(x)<0,不符合题意；

若aVHl,则当aVxV6+l时，f(x)<0,不符题意：

若。=6+1,则/'(x)=(x-/>)Cx-b-1)2,符合题意，故B正确；

对于C,f(x)=(x-b-1)2+2(x-b-1)(x・b)=(.x-b-1)(3x-3/>-1),

：.x=独牡为f(x)的极大值点，•••/1(驾i)=£x(-£)2=^,故C错误；

对于。，f(x+z)-/(x)=43/+(3/4-2)〃+尸+小其中〃=x・/)-1,

，3〃2+(3/+2)v+a+f2。恒成立，J△=(3/+2)2-12(户+Z)WO,解得t2坐，故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若抛物线炉=4x上一点P到其焦点厂的距离为5,。为坐标原点，则|。尸|=_4、泛_.

解：抛物线丁=公上一点P到其焦点厂的距离为5,。为坐标原点，

设夕(加，〃)，

因为|Pf]=/w+l=5,所以加=4,

则〃2=4〃?=16,所以|川=4,

所以|0P|=4A/2.

故答案为：4戊.

13,已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7,则该密码共有20种可能.

解：设四个数字分别为XI，X2,X3>X4»

满足XI+X2+“3+X4=7,且内21(i=l,2,3,4).

根据隔板法，解的个数为C丈；=以=器甥=20,共有20种可能.

JX4X1

故答案为：20.

14.已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成隹的余弦值为

V2-1

第12页(共18页)

解：设侧面积为S,圆锥的底面半径为八母线长为/,

则由等面积法，该圆锥的内切球半径为/?=斗手，

易知S=Jx27rrx],即日=工，

27T

汨工-77为相徜R2_r2a2T2)r2(/_r)_r(p-2)

忙7r_p为定值，R-__^一飞石一

=3累2)=3p-(p+r2+<3p-2](p+评)x落？=3p-2何，

即R2<(V2-l)2p,

当且仅当p+/=券，即p+户=&p时等号成立，即「2=(鱼一1)刀，此时：=6一1,

所以圆锥的内切球体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为e-L

故答案为：V2-1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.(13分)4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立

执行高难度动作时，力机器人成功的概率为0.6,失败的概率为0.4；8机器人成功的概率为0.8,失败

的概率为0.2.

(1)若从4，3两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的

概率；

(2)若力，8两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X,求X的

分布列和数学期望.

解：(1)设事件力为选用机器人4事件8为选用机器人&用事件。表示机器人失败，

则尸(A)=0.5,P(8)=0.5,P(C\A)=0.4,P(C|8)=0.2,

得P(C)=P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B)=0.5X0.4+Ci.5X0.2=0.3.

(2)X的取值可能为()，I,2.

P(%=0)=0.6X0.8=0.48,

P(%=1)=0.6X0.2+0.4X0.8=0.44,

P(X=2)=0.2X0.4=0.08,

X的分布列为:

X012

P0.480.440.08

E(A9—0X0.48+1X0.44+2X0.08-0.6.

第13页(共18页)

16.(15分)记△48C的内角4B,C的对边分别为。，b,c,已知cs讥B+gbcosC=0.

(1)求C；

(2)设V5(a+b)=2c,且48边上的高为1,求△/18C的周氏.

解：(1)由正弦定理，sinCsinB+yf3sinBcosC=0,

VBE(0,n),/.sini?>0,.*.sinC4-y/3cosC=0,tanC=->/3,

VCE(0,IT),：,C=~

(2)由(1)和余弦定理，cosC=a^~c2=-L

LabL

又6(a+b)=2c,则c2=,

：.cr-2ab+b2=0,HPa=b,

Ac=y/3a=

•J/lb边上的面为1,AS—^absin^?-=ic=-^a»则a=b=2,

:AABC的周长为4+2V3.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-N4CO中，△以。为正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=

(1)证明：平面％。_1_平面NBC。；

2V7

(2)若N4?C=120°,且锐二面角4-4尸-。的正弦值为7-,求力从

解：（1）证明：因为在四棱锥尸-N4CQ中，丛PAD为正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=x^lO.

取棱力。的中点£贝iJOE=LCE=y/CD2+DE2-2CD-DE-cosl200=V7,

又△以。为等边三角形，所以PE=g,又PC=VTU,

所以尸E2+C£2=PC2,所以P£_LCE,

又PE上AD,ADCiCE=E,

所以PE_L平面力灰力，又PEu平面以。，

所以平面以OL平面ABCD,

（2）以力为坐标原点，办的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-牛，

第14页（共18页）

由题设得力(2,0,0),P(l,0,V3),

又由N/出。=120°,可得点4在以。为圆心，2为半径，过点力的圆上，有40=2,

设8(2cos6,2sin0,0),则赢=(1,0,-V3),AB=(2cos6-2,2sin0,0),

易知平面玄。的一个法向量为茄=(0,L0),

设平面口8的一个法向量为1=(X,y,z),

-n=0nn(x-V3z=0

，

Ufi.；=012(COS0-l)x+(2si〃6)y=0,

取九=(bsE6,V3(l-cosO'),sinO'),

记锐二面角8-的大小为a,a6(0,分

则c"a=4M=/再(1-36)=(第2=孝，

kn||n|J(cos0+7)(l-cos0)、/‘

化简得cos?。-cos8=0,且cosOWl,所以cosB=0,sin6=l,

所以几=(一2,2,0),所以AB=2a.

932

18.(17分)已知函数f(x)=等r+/nx-零nY.

O乙

(1)若/(X)为增函数，求实数。的取值范围；

(2)证明：函数/(工)有且仅有一个零点.

解：(1)函数/(%)=竽+inx—嘤.函数的定义域为：｛x\x>0],可得/"G)=2d+q—ax=

2x3-ax2+l,c、

——-——(Q0)，

若/(x)为增函数，则垢£(0,+8),/a)20,

即2x3-ax^+\20对任意x>0恒成立，即a<2x+多恒成立.

17?3_o

令g(%)=2x++，96)=2-/=丁r一，

第15页(共18页)

令g'(x)=0,得x=l,

当xW(0,1)时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减；

当xW(1,+8)时，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上单调递增，

，g(x)而〃=g⑴=3,即a的取值范围是(・8,3］；

(2)证明：令/'(x)=0,可得a=g%+^令h(x)=a,

，九3=)+1([•，_2xlnx)=|+^(1-2lnx)=备(苧+1-2伍盼,

设m(%)=岑+1-2lnx且K>0,则m(x)=2x2-

当OVxVl时〃/(x)<0,当x>l时机'(x)>0,

・•・〃？(x)在区间(0,1)单请递减，在区间(1,+8)单调递增，

/.m(x)>m(l)=

:.h'(x)>0,h(x)在(0,+8)上单调递增，

取，7>1,且几>半，则八(九)二［九+^^^一一a>［x*a—a=0,

取巾VI,且mVeh,则h(m)=+avg+2/nnt-aV*-Q+=0,

:.h(x)在区间(m»n)存在唯一零点，

・・・/a)有且仅有一个零点.

19.(17分)已知椭圆C：今十番=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸|、尸2，尸I尸2|=2,点历在椭圆C

上，且乃的面积的最大值为VI(1)求椭圆。的方程；

(2)设G为△财月入的重心，/为△,的］凡的内心，/、G两点不重合.

①证明：GI//F\F2X②点夕，。在椭圆C上，且P"=G。,求△/P。的面积的取值范围.

解：(1)因为回广2|=2C=2,所以e=l,因为SaMf/z=/IF/zllyol，心=人，