2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：第5题 依“法”解决数列新定义（学生版+解析）

第5题依“法”解决数列新定义（解透一题）

【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11]

（多选题）设数列｛叫和也｝的项数均为川,称£0-也|为数列｛4｝和也｝的距离.记满

1-1

足q+1=詈的所有数列｛《J构成的集合为c.已知数列｛A｝和｛纥｝为C中的两个元素，

n

项数均为〃?，则下列正确的有（）

A.数歹小3,5.7和数列2,4,6,8的距离为4

B.若m=4p（pwN）,则A4…4=8也…凡

c.若〃7=4〃（八1＜）,则£|4臼〃

/-I

D.若A=2,4=3,数列｛4｝和｛纥｝的距离小于2017,则/"的最大值为3456

本题数列题将“新“溶于命题之中.通过定义•个两数列的距.离这•新概念来创设问题情境考

察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础,

既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于

新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题

中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推

数列的知识上来，从而解决问题.

।本题给定一个新信息，数列｛q｝和｛2｝的距离，要求我们通过认真阅读理解、

思路分析

观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索斐取有用的信息，从而创造性地解决

问题.对丁选项A,直接套用定义约定验证即可;对丁B选项，题目给出一分式递推关系，根

据初始条件和递推公式，计算出前几项，再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题

中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示.从

选项提示来看，需判B选项，要关注｛叫的前n项的积，证明或反驳〃?=4p（〃wN"）时，

%出…品的取值与初始项无关.对于选项C,由于递推关系没有给出初始项，说明初始项可

以任意，故可以思考反例排出：对于选项D结合选项B归纳的结论套用约定解决.

详细解析

对于A,数列A3,5,7和数列2,4,6,8的距离为|1一2|+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4,（提醒:

套用定义约定）A正确;

1+9

对于B,由凡”=丁卫得，42=^乌，"3=[也=—=

1一%1-弓\-a2]1+.4

1一4

I--1+忙

1+«3_a}_«1-1_I_I+a4_q+]

1-%]+14+1%，%1一&

%q+1

因此数列｛4｝中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即｛q｝满足4向=4，包“+2=生，

1I

%“+3一勺----，&n+4~a4~-------,〃WN,

q%

J*—=1，可以判断B正确；

对于c,举反例，取〃=1,则〃?=4,当入=机+1时，，XlAl>|A|>w*七|A|K〃?不成

r=l;=1

立，故c错误：

对于D,由B分析知，若A=2,B[=3,则4向=2,4”+2=一3,儿小二一；，4"+4=；，

1147

%,1=3,/九+2二-2,/九+3=工，B=-,£|4一瓦|=可，

J4n+4幺j=]1

gA/=864xg=等<2017,

34553456八i

£同一周=£同-周=|2-3|=等=2017,

1-11-1J

故满足数列｛4｝和｛凡｝的距离小于2017的次的最大值为3456,D正确.

所以，答案为ABD.

■方法总结

本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特

征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的

关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于

〜=产，我们可以深入研究”对于连续函数/⑺，若/（小）=%，则称/为/（x）

的不动点.分式函数型。加二里三的通项公式的求解，构造函数〃刈="辿,并令

man+1rnx+t

/(x)=x,求出f(x)的不动点.若/(x)有2个不动点，则用«d+1=彩令两端

分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式；若/(%)只

有1个不动点，则用勺川=芯)两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项;

若J'")没有不动点，则在考题中，｛«；｝往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和

递推公式^-=7^77求出前几项找规律即可.本题就对这一性质进行编制考察•

・解透一题•类题讲解一定义”等和(积)数列，周期考察

新定义型试题主要FI的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学

问题能力，给出等和数列的概念，类题如下：

【典型例题】定义“等和数列”：在•个数列中，如果每•项与它的后一项的和都为同•个常

数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.若数列｛%｝是等和数列，且

4=1,公和为3,则这个数列的前〃项和s”的计算公式为

【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分〃为奇数偶数求和即可.

【详细解析】

由％=1,公利为3知。22==2,

当〃为偶数时，Sn+a2+a3+a4++an_i+an=3-^=^-,

当〃23,〃为奇数时，〃-1为偶数，S”=S“T+4="^+1=¥，

网，〃为偶数

7

代入检验知/7二1时也成立，，S“二(

四二，〃为奇数

2

【举一反三】

1.定义”等积数列''：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么

这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列｛%｝是等积数列且4=3,

前61项的和为113,则这个数列的公积为()

A.2B.3C.6D.8

0tli

■解透TH*类题讲解二集线搭桥考分式递推

形如％川=亡7的分式型递推数列求解通项公式问题，是高考数列试题中的难点.故

叫+d

而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列｛〃｝，通过求辅助数列的通项，进而再求

｛a„｝的通项.显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥

【典型例题】设4=2,。川=-bn=,则数歹IJ也｝的通项公式b.=

a.+1a-\

【思路导引】此题给出的递推公式〃用二三属于“，品二丝片”型，试题中给出了“桥”

a“+lc&+d

，通过这座“桥”，可以进一步求出｛a„｝的通项.

【详细解析】

由条件得2%且4=4,所以数列｛3｝是首项为4,

公比为2的等比数列，则2=4.2。7=2用.

【举一反三】

2.已知数列｛q｝中q=2,4*=（右一1）（q+2）,〃=1,2,3,

（I）求｛4｝的通项公式：

（II）若数列⑻中4=2,%=|^甘,八二1,2,3,・・・,证明:

V”W。4用刀=L2,3,'­.

3.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么

这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列｛4｝是公积不为0的等积数

列，且6=3,前7项的和为14.则下列结论正确的是（）

生［

A.B.C.公积为1D.4H”+W”+2=6

4.设正整数〃=旬・2°+什2+,,+%»2i+4-23其中《丘{0,1},记

(w(〃)=%+q+••+«*.贝］()

A.69（2/7）=69（/2）B.6?（2/2-3）=69（/2）+1

C.况8〃+5）=《。（4〃+3）D.°（2"-1）二〃

5.定义“等和数列〉在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为问一个常数，那么

这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛4｝是等和数列，且q=2,

公和为5,那么小的值为，且这个数列的前21项和S21的值为.

6.已知数列｛为｝的首项。向二券斤，〃eN*.

⑴设a=｝-1,求数列例｝的通项公式；

⑵是否存在互不相等的正整数加，s,n,使机，$,〃成等差数列，且%-1,as-\tan-\

成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

7.若数列｛叫和也｝的项数均为加，则将数列也｝和血｝的距离定义为之何一如

1=1

（1）求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离:

⑵记A为满足递推关系。用二岩的所有数列｛《,｝的集合，数列｛"｝和｛&｝为A中的两个

m

元素，且项数均为m.若4=2,q=3,数列也｝和｛c,J的距离-q区2024,求系的最

J=I

大值；

⑶记S是所有7项数列｛q｝（其中q=0或1）的集合，TqS,且7中的任何两

个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

第5题依“法”解决数列新定义（解透一题）

【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11]

m

（多选题）设数列｛q｝和也｝的项数均为〃，，称为数列｛〃0｝和也｝的距离•记满

足。用=詈的所有数列｛q｝构成的集合为c.已知数列｛A｝和｛用｝为C中的两个元素，

项数均为〃?，则下列正确的有（）

A.数列L357和数列2,4,6,8的距离为4

B.若〃?=4p（〃eN）,则-4…4=4。…上

c.若〃?=4〃（〃GN）,则

/=!

D.若A=2,片=3,数列｛4｝和｛纥｝的距离小于2017,则机的最大值为3456

本题数列题将“新“溶于命题之中.通过定义一个两数列的至离这一新概念-来创设问题情境考

察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础,

既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于

新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题

中提供的信息，联系所学过的数学知以和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推

数列的知识上来，从而解决问题.

।本题给定•个新信息，数列｛%｝和｛"｝的距离，要求我们通过认真阅读理解、

思路分析

观察分析，并与己有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决

问题.对于选项A,直接套用定义约定验证即可;对于B选项，题目给出一分式递推关系，根

据初始条件和递推公式，计算出前几项，再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题

中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示.从

选项提示来看，需判B选项，要关注｛为｝的前n项的积，证明或反驳〃?=4p（〃wN"）时，

4%…品的取值与初始项无关.对于选项C,由于递推关系没有给出初始项，说明初始项可

以任意，故可以思考反例排出；对于选项D结合选项B归纳的结论套用约定解决.

详细解析

对于A,数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为—2|+|3—4|+|5—6|+|7-8|=4,（提醒:

套用定义约定）A正确；

1+9

对于B,由得，出=『乌，％=产歪=一三L=-J_,

1-%|_ql-a2]1+4q

1-%

I--1

〃=115.=_=〃J+%=%+1_<

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因此数列｛qj中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即｛%｝满足。4“+L4，%“+2=%，

11

a

%“.3=%=—-，%4=4=---------,〃eN,

%%

。4"+1。4”+2。4”+3“4”+4=।»可以判断B正确；

对于c,举反例，取〃=1,则6=4,当A=〃?+1时，，ZW>|A|>，〃，£%臼〃不成

r-li-l

立，故C错误；

对于D,由B分析知，若4=2,4=3,则4向=2,4”+2=-3,4“+3=-《，八4.+4=:，

114、7

%3=3,%+3=-1%+4=5,ZlA-5|=-»

f^4n+2=-2,，（

ni76048

^|/\.-Bf.|=864x-=——<2017,

1=1J3

ME55lA-fiJ=3Z456|A-^|=|2-3|=^i=2O17,

<=i3

故满足数列｛4｝和｛纥｝的距离小于2017的机的最大值为3456,D正确.

所以，答案为ABD.

•方法总结

本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的木质，借助新定义的数列的特

征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的

关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于

%=L，我们可以深入研究”对于连续函数/（X），若〃小）=/，则称/为/（X）

的不动点.分式函数型〃用二四49的通项公式的求解，构造函数=,并令

〃x）=x,求出/（-r）的不动点.若/（力有2个不动点，则用«„+1=鬻詈两端

分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式；若/（"只

有1个不动点，则用《川=两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项;

若/（X）没有不动点，则在考题中，｛a„｝往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和

递推公式。，用=靠;求出前几项找规律即可.本题就对•这一性质进行编制考察.

定义”等和（积）数列，周期考察

新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学

问题能力，给出等和数列的概念，类题如下:

【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常

数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.若数列｛%｝是等和数列，且

4=1,公和为3,则这个数列的前〃项和S.的计算公式为

【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分〃为奇数偶数求和即可.

【详细解析】

由4=1,公和为3知a2n-\==2，

当〃为偶数时，S0=q+生+/+4++凡-1+4=3・耳=彳，

当〃之3,"为奇数时，〃-1为偶数，S”=S,i+q=30；D+]=1,

学，〃为偶数

代入检验知〃二1时也成立，・・・s.二々~।

也二，〃为奇数

2

【举一反三】

1.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么

这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公枳，已知数列｛q｝是等积数列且卬=3,

前61项的和为113,则这个数列的公积为（）

A.2B.3C.6D.8

【答案】A

【解析】先由题意，记凡%x=A（k为常数）,得出〃“.2=勺，即数列｛&｝是以2为周期的

数列，

再由题中条件求出的=彳2，即可求出公积.

【详解】由题意，记%=%（1为常数）,

则4+4+2=k,所以乎=1,即%=凡，

所以数列｛q｝是以2为周期的数列，

又其前61项的和为113,

所以有+%）+4=113,因为％=3,

9

所以外=1，因此04+i=2.

故选:A.

【点睛】本题主要考兖数列周期性的应用，属于基础题型.

,^11__________________

晕线搭桥考分式递推上

形如。用二二七方的分式型递推数列求解通项公式问题，是高考数列试题中的难点.故

〃十a

而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列作“｝,通过求辅助数列的通项，进而再求

｛an｝的通项.显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥

【典型例题】设4=2,。川=二丁”=纪9,,则数列也｝的通项公式b“=

+1\a-\\

【思路导引】此题给出的递推公式"用二三属于“〃"小丝弓”型，试题中给出了“桥

4+1ca.+d

，通过这座“桥”，可以进一步求出｛%｝的通项.

【详细解析】

-^—+2

。川+24+1=2周=2%且R=4,所以数列｛£｝是首项为4,

由条件得么”=

%+i——--1

。+1

公比为2的等比数列，则以=4.2”T=2m.

【举一反三】

2.已知数列｛〃“｝中％=2,an+x=（a-1）®+2）,w=1,2,3,....

（1）求｛《,｝的通项公式；

（II）若数列也J中也=2，%=尧|,〃=1,2,3,•,证明：

&vbnGa4n.3,n=1,2,3,….

【答案】（I）｛q｝的通项公式为4=&1）"+1,〃=1，2,3,...

（II）证明见解析

【分析】（I）利用构造等比数列的方法求解数列｛可｝的通项公式；（H）利用数学归纳法,

证明〃=1和〃=k+1时不等式均成立.

【详解】（I）由题设：。,川=（啦一1）（q+2）=（/一1）（4-夜）+（夜一1）（2+夜）

=（及一1）30一&）+&,即向一血二（a-1）（%—O）.

所以数列｛。“-及｝是首项为2-a，公比为五-1的等比数列，

，

・•・«w-x/2=（2-V2）（V2-ir,即a,-41=（忘-1/-'=72（72-1）%

72—I

即｛%｝的通项公式为4=拉［（夜—1）“+1,〃=1，2,3，….

（II）用数学归纳法证明：

（i）当〃=1时，因夜<2,4=4=2,所以

x/2<Z?（<«（,结论成立.

（ii）假设当〃=〃时，结论成立，即应攵=123,

也即0<4—近4/一一企.

当〃=左+1时,

（3-2何+（4-2&）

24+3

一（3-2就—6）：0

2々+3^

又一--<—4—=3-2日

2a+32x/?+3

所以所「&=--2£购-&）<加2⑸2（心正”（拉（--扬

+3

=@&-1广=%-、%

也就是说，当〃=左+1时，结论成立.

根据⑴和(ii)知及".《勾”3，，2=1，2,3,,・.

【点睛】1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问

题.证明时步骤⑴和(2)缺一不可，步骤(I)是步骤⑵的基础，步骤(2)是递推的依据.

2.在用数学归纳法证明时，第(1)步验算〃=〃。的〃。不一定为1,而是根据题目要求选择合

适的起始值.第(2)步，证明〃=左+1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否贝！就不

是数学归纳法.

Hi

3.定义“等枳数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么

这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列｛4｝是公积不为0的等积数

列，且4=3,前7项的和为14.则下列结论正确的是()

2

A.4+2=4B.«,=-C.公积为1D.凡。­=6

【答案】AB

【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正

误，分别讨论〃为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】设该等积数列的公积为〃？(〃?为常数，加工0),

根据等积数列的定义可得仆。"产，小。向勺+2=用，

所以即。”+2=4，故A1E确:

%+2

贝ijq=6=见=%=3,

又前7项的和为14,则4x3+3xg=14,解得6=2,即公积为2,

所以g=1，故B正确，C错误，

4

当〃为奇数时。“4+陷”+2=6,当〃为偶数时44川。”+2=.,故D错误

故选：AB

4.设正整数〃=%「2°+6・2+…+4.2J+4-2。其中6€{0,1},记

。(〃)=%+%+•••+&•贝J()

A.02〃)=/(〃)B,/(2〃-3)=。(〃)+1

C.3(8〃+5)=⑷(4〃+3)D."2"-1)=〃

【答案】ACD

【分析】利用/(〃)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

12AX+I

【详解】对于A选项，0(〃)=an+q++q，2n=a0-2+«)-2++at_}-2+at-2,

所以，02〃)=4+4++ak=/(〃),A选项正确；

对于B选项，取〃=2,2«+3=7=1-20+1-2,+1-22,/.^(7)=3,

而2=0・2°+1・2、则3⑵=1,即3⑺工02)+1,B选项错误；

A+3f234+3

对于C选项，8〃+5=恁・23+4・2'+•+^-2+5=l-2+1-2+«0-2+«,-2++^-2*,

所以，少(8〃+5)=2+4)+4++《，

23+2,23

4n4-3=a0-2+a1-2+---+ar2*+3=l-2°+b24-^)-2+a1-2++"",

所以，力(4〃+3)=2+/+4++%，因此，＜y(8〃+5)=0(4〃+3),C选项正确；

对于D选项，2M-l=2°+2,+...+2n-l»故矶2"-1)=〃，D选项正确.

故选：ACD.

5.定义“等和数列“：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛4｝是等和数列，且％=2,

公和为5,那么候的值为,且这个数列的前21项和L的值为.

【答案】352

【分析】由题意得(+凡+=5对任意的〃wN♦恒成立，从而可求数列｛为｝的通项公式，从而

可求“18与$21.

【详解】根据“等和数列''的定义及公和为5,可得%+<%=5对任意的〃wN•恒成立.

2/为奇数

因为q=2,所以《

3"?为偶数.

所以小=3.

所以S?i=10(4+4)+4=52.

故答案为：3;52.

6.已知数列｛q｝的首项q=：,6+i=q

5^an+1

⑴设a=：T,求数列也,｝的通项公式：

n

(2)是否存在互不相等的正整数明，使小，一〃成等差数列，且七7as-\t«n-l

成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

【答案】⑴(W€N*)

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据何力中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列

是等比数列，进而求解.

(2)先假设存在，利用等差中项性质得到〃7+〃=2£,等比中项性质得到¥+4"=24，再

根据基本不等式发现〃?=〃时等式成立，但题中条件是m，，，〃G不相等，从而得到结论.

4〃“4

【详解】(I)因为勺♦产记Uy,%=§工。，

所以，”工。,

,,131

取倒得£=/福'

因为a=’一1=；/0，

44

1/

所以a=丁-1，°（〃*N），

所以｛〃｝是4=；，，/=；的等比数列，

所以以」_1=，但『/，丫（〃拼

（2）假设存在，则〃7+〃=25,（4-力（⑸-1）=（&-1）2,

4"

由（1）得。”=

4"+1

化简得4旭+4=24,

因为4"+4”22.，4次"=2-4，当且仅当机=〃时等号成立，

又〃I,$,〃互不相等，

所以中+4">2・43即不存在符合条件的机，$，〃.

m

7.若数列㈤｝和色｝的项数均为小，则将数列｛吗和也｝的距离定义为Zl4fl.

f=l

⑴求数列I,3,5,6和数列2,3,10,7的距离；

⑵记A为满足递推关系。用=鲁的所有数列乩｝的集合，数列也｝和｛%｝为A中的两个

元素，且项数均为机.若a=2,c,=3,数列也｝和｛q｝的距离2|4一局42024,求加的最

1=1

大值；

⑶记S是所有7项数列｛q｝（其中4=0或1）的集合，TyS,且7中的任何两

个元素的距离大于或等于3.求证：丁中的元素个数小于或等于16.

【答案】⑴7

（2）3469

（3）证明见详解

【分析】(1)由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离;

47

(2)由题意分析可知A中数列项的周期性，可得2的一4二可结合周期性求得加的最大值;

J=lJ

(3)假设r中的元素个数大于等于17个，设出｛&｝,｛4｝,｛，｝,最终求得£|工-£氏2和