二元一次方程组含参数问题-2026-2027学年北师大版八年级上册

二元一次方程组含参数问题专题

I.在解二元一次方程组时，将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另

一个方程，实现消元，进而求解.由3x-2y=6,可以得到用.x表示y的式子是（）

33

A.y=3.r—3B.y=3—3xC.y=-x—3D.y=3——x

2.已知关于％,y的二元一次方程组J：*2—"（〃为实数）.

<I）x+y=.（用含〃的式子表示）；

（2）若方程组的解也是方程"+3），=1（“为整数，且q不等于0或-6）的解，〃也是整数，则夕的最大值

为—.

3.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口.为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补

贴，规定每种植-亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查，种植亩数），（亩）与补贴数额x（元）之间

大致满足如图1所示的一次函数关系.随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收

益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系.

（I）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数），和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式;

（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益卬的最

（I）写出一个不含〃?的关于x,），的二元一次方程；

（2）解这个方程组（用含，〃式子表示）；

（3）若方程组的解《），）在第四象限，求整数，〃的值.

5.已知关于1,），的二元一次方程组其中“、力为实数.

x+2y=a+2b+\

（I）求方程组的解（用含〃、〃的代数式表示）;

（2）在直角坐标系中，O为原点，点A。,），）的横坐标和纵坐标是方程组的解.若点4（4+1,历，平移线段

AB,使点A对应点尸（。,8-4）,点8对应点Q（3c、c+2）,求点尸的坐标.

6.已知关于x,），的二元一次方程组|3"+）'=5。-4,其中。为实数.

x-y=-a

（I）当。=2时，求方程组的解；

（2）求x+y的值（用含〃的代数式表示）；

（3）若无论〃取何数时，代数式丘-3），伏是常数）的值始终不变，求人的值.

7.已知关于工、），的二元一次方程组+7的解是正数.

x-y=l-3m

（I）用含，〃的代数式表示方程组的解：

（2）求机的取值范围；

（3）关于z的一元一次方程〃zz-2=z的解是整数，求整数〃?的值.

8.已知关于x,y的二元一次方程组「一'二：'；

x+y=-7-a

（I）求工（用含。的代数式表示）；

（2）判断代数式：①x+2），；②2x+y；哪个代数式为定值？并说明理由.

9.已知关于x,），的二元一次方程组卜+2>=3〃：1,且它的解x为负数，为正数.

X->'=/72-2,"

（I）试用含/〃的式子表示方程组的解；

（2）求有理数机的取值范围；

（3）化简|〃?+2|+|加一1|；

（4）当A=3x-6y,求4的取值范围.

10,在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关

于x,），的二元一次方程组+''=3+噜乙若x..2y,求机的取值范围.小云认为：“可以先解方程组,

2x-y=5m②

用含加的式子分别表示x和），，再代入不等式求〃?的取值范围

小辉认为：“直接②-①，可以更简便地求出〃?的取值范围

（I）请同学们按照小云的方法求，%=—,），=一（含〃，的式子表示）；

（2）李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据

小辉的思路求出机的取值范围.

11.本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国

古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值

5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各

买了多少只？

小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题.

（I）小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？

（2）小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了.1•只，

X+y+z=100@

y只，z只，依题意得到方程组'1人，把②x3-①，消去z,得到一个二元一次方程

5x+3.v+-z=100@

b3

7/+4y=IOO.小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母，的

y=200

；1:器:为整数），根据题意，由x,y的取值范围可以求出/的值，由此可求出满

式子表示，即为

足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况.

现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整.

12.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计采购方案？

素材1某学校举办“迎新年”知识竞赛活

动.为了鼓励学生参与特设奖励，明

信片和吉祥物钥匙扣.已知一个吉祥

物钥匙扣的售价比一套明信片的售价

高20元.

素材2小明在本店购买了1套明信片与4个

吉祥物钥匙扣与共花费130元.

素材3己知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个.为了

促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售.临近期末考试，某老师打算

提前给学生准备奖品，在本店同时购买同款吉祥物钥匙扣和明信片两种

商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额.

问题解决

任务1假设明信片的售价为x元，套，钥匙扣

的售价为），元/个，请用含x的代数式

表示y.

任务2基于任务1的假设和素材2的条件，

请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的

售价.（请用二元一次方程组解答）

任务3【拟定设计方案】

请结合素材3中的信息，帮助该老师

完成此次促销活动中可行的购买方

案.在这些购买方案中，哪种方案商

家获利最高.

二元一次方程组含参数问题专题

参考答案与试题解析

1.在解二元一次方程组时，将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另

一个方程，实现消元，进而求解.由3x-2y=6,可以得到用人表示），的式子是（）

aa

A.y=3x-3B.y=3-3xC.y=^x-3D.y=3-^x

【解答】解：移项，可得：2v=3x-6,

系数化为I,可得：y=|A-3.

故选：C.

2.已知关于x,），的二元一次方程组[：+2）'=?为实数）.

[2x+y=4p+3

（I）x+y=_3p+l_.（用含〃的式子表示）；

（2）若方程组的解也是方程在+3），=1（4为整数，且g不等于0或-6）的解，〃也是整数，则q的最大值

为—.

【解答】解：（1）两式相加得:3x+3），=5p+4p+3=9p+3,

x+y=3〃+1,

故答案为：3p+1：

x+2y=5P①

2x+>,=4/;+3②

①一2x②得：-3x=-3p-6,解得：x=〃+2,

将工=〃+2代入②得：2（〃+2）+y=4〃+3,解得：），=2〃-1,

由题意可得：以〃+2）+3（2〃-1）=1,

g/（/）=Y+-^-，

/?+2p+2p+2

,.p为整数，且^不等于。或-6,

16i16,

----工0或-----工6,

〃+2p+2

•.•〃是整数，

...p+2=l时，旦有最大整数值，则夕有最大整数值，

〃+2

q=-6+-j-=10,

故答案为：10.

3.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口.为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补

贴，规定每种植-亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查，种植奇数），（亩）与补贴数额x（元）之间

大致满足如图1所示的一次函数关系.随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收

益N（元）会相应降低，且Z与X之间也大致满足如图2所示的一次函数关系.

（I）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数），和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式;

（3）要使全市这种蔬菜的总收益坟（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益卬的最

【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000x800=2400000（元）

（2）设种植方数），和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额工之间的函数关系式分别为:

），=履+800,2=^x4-3000,

分别把点（50,1200）,（100,2700）弋入得，

5供+800=1200,1（X）4+3（XX）=27（X）,

解得：4=8,k]=—3»

种植亩数与政府补贴的函数关系为：），=8犬+800

每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=-3x+3000U>0）

(3)由题意：

卬=yz=(8,V+800)(-34+3000)

=-24x2+21600x+2400000

=-24(x-450)2+7260000,

.•.当X=450,即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元.

4.已知关于X,y的二元一次方程组5=.

x-y=m+\

（I）写出一个不含，〃的关于x,y的二元一次方程；

（2）解这个方程组（用含，〃式子表示）；

（3）若方程组的解*,），）在第四象限，求整数/〃的值.

【解答】解：⑴1+>=5加：羿

X-y=m+1②

5x②-①，得：2x-3y=5,

不含m的关于x,y的二元一次方程为2x-3y=5；

ek+y=5〃?-5①

x-y=m+1②

①+②，得：lx—6m—4»

解得：x=3m—2»

①-②，得2），=4"-6,

解得：y=2m—3>

x=3m-2

方程组的解为

y=2m-3

3m-2>0

（3）由题意得

2w-3<0

解得2<相<3,

32

.,・整数7/7=1.

2x+y=2a+b-4_,

5.已知关于工，_v的二元一次方程组x+2；…+2"l'其中〃、人为实数.

（I）求方程组的解（用含〃、8的代数式表示）；

（2）在直角坐标系中，O为原点，点4（x,y）的横坐标和纵坐标是方程组的解.若点83+1,3,平移线段

AB,使点A对应点尸（。力-4）,点4对应点Q（3c、c+2）,求点P的坐标.

2x+y=2a+b-4①

【解答】解:⑴

x+2)=。+25+Kg)

①x2-②得：3大=初-9,

解得x=a-3,

将x=a-3代入①得：2（。-3）+），=2。+6-4,

解得：y=b+2,

尸”3

[y=b+2

（2）•.•点A（x,y）的横坐标和纵坐标是方程组的解，

A（a—3,人+2）,

•.•由平移的性质可知两点平移后点的横、纵坐标变化相同，且点B（a+1力），

点A对应点尸点8对应点Q（3c、c+2）,

Hllc一（a-3）=3。-（。+1）

即<.,>

b-4-（h+2）=c+2-b

4=2c

整理得

―8=c-/7，

c=2

解得

力=10,

.•.p-4=10-4=6,

P（2,6）.

6.已知关于x,），的二元一次方程组F"+）'=5a-4,其中。为实数.

x-y=-a

（I）当。=2时，求方程组的解；

（2）求x+），的值（用含〃的代数式表示）；

（3）若无论。取何数时，代数式"-3），伏是常数）的值始终不变，求Z的值.

3x+y=5a-4®

【解答】解：（1）当。=2时，方程组为

x-y=-2(2)

①+②得，4x=4,

.•.x=l»

把x=l代入②得，1-)，=-2,

.，.y=3,

.••方程组的解为）

3x+)，=5。-4@

(2),

x-y=-a®

①-②得，2x+2y=-4,

2(x+y)=6a—4,

/.x+y=3a—2；

，3x+y=5"4①

(3)—,

x_)，=_〃②

①+②得，4x=4a-4,

,x=a-1，

把x=a-l代入②得，a-\-y=-a,

y=2a—\，

kx-3y=k(a-1)-3(2a-1)=(/:-6)a+3—k,

•.•无论。取何数时，代数式质-3y的值始终不变，

.」一6=0,

；.k=6.

7.已知关于x、,，的二元一次方程组["+2,[3,：+7的解是正数.

x-y=\-3m

(I)用含小的代数式表示方程组的解；

(2)求/〃的取值范围；

(3)关于z的一元一次方程〃zz-2=z的解是整数，求整数小的值.

【解答】解：⑴1+2k3：+7?

[x-.v=l-3w②

两个方程相减得3)，=6〃?+6,

y=2m+2,

将y=2rn+2代入②得x-(2m+2)=1—3m,

/.x=—tn4-3>

x=-m+3

y=2〃?+2'

（2）由条件可得

2m+2>0

解得一1<〃7<3；

2

（3）由〃忆一2=z得z=----

m-\

由条件可知1=±1，±2»

即，〃=0,2,—1,3,

又因为-1<m<3t

.•.加=0或2.

8已知关于X'''的二元一次方程组「+；，=-7

(I)求尤(用含。的代数式表示)；

(2)判断代数式：①x+2)，；②2x+y；哪个代数式为定值？并说明理由.

【解答】解：⑴卜一户"3吗，

[x+y=-7-a2)

①+②，得2工=加一6,

化喻得：x=a—3；

(2)2x+y为定值，理由如下：

②x3,得3x+3y=-21-%③，

①+③，W3x4-x+3y-y=-20,

/.4x+2y=-20,

/.2x+y=-10,

弋数式②2x+y为定值-10.

9.已知关于x,v的二元一次方程组1”+2)'=3加：1,且它的解x为负数，v为正数.

x-y=m-2,

(I)试用含机的式子表示方程组的解:

(2)求有理数机的取值范围；

(3)化简|〃?+2|+|〃L1|；

(4)当A=3x-6y,求A的取值范围.

【解答】解:⑴仁\7®

①一②得：3y=2m+3,

2m+3

解得.y=

3

将），二手代入②得一二手

5m-3

x=

所以方程组的解为•3

2m+3

y=

3

（2）•.「为负数，y为正数,

5〃？一3八

---------<0

・3

,1网30，

3

解得一」<〃?<3；

25

(3)\m+2\+\m-\\

=3；

(4)A=3x-6y

,5m-3,2m+3

=3x------------ox----------

33

=5m-3—2(2/7/+3)

二5〃?一3一4"?一6

33

——<m<—

2

21,、4221,42

・-----<m-9<-------,即Hn----<A<-------

2525

10,在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关

于X,），的二元一次方程组［：+'=3+吸，若X..2），，求小的取值范围.小云认为：“可以先解方程组,

2x-y=5m②

用含机的式子分别表示x和），，再代入不等式求〃?的取值范围

小辉认为：“直接②-①，可以更简便地求出〃?的取值范围

（I）请同学们按照小云的方法求，x=_2〃?+l_,），=（含/〃的式子表示）；

（2）李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据

小辉的思路求出机的取值范围.

z,、1x+y=3+m①

【解答】解:\I)/

2x-y=5m®

①+②得：3x=+3,

化笥得：x=2m+1>

将x=2m+1代入①得：2m+I+y=3+/〃，

化笥得：y=2-〃?，

.,.原方程组的解为x=2/〃+l,y=2-〃?，

故答案为：2，〃+1,2-

（2）将②-①得：x-2y=4m-3,

•/x..2y,

/.x-2y..0，

4m—3..0♦

解得.

4

11.本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国

古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值

5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用10（）个钱，买了1（X）只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各

买了多少只？

小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题.

（I）小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？

（2）小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了》•只，

x+y+z=\00®

y只，z只，依题意得到方程组1把②x3-①，消去z,得到一个二元一次方程

5x+3），+-z=100②

、3

fx=-100

7x+4y=IOO.小河说：“由于《”八是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母，的

y=200

式子表示，即为为整数），根据题意，由X，y的取值范围可以求出/的值，由此可求出满

y=200-It

足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况.

现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整.

【解答】解：（1）设母鸡买了机只，小鸡买了“只，

8+〃?+〃=100

根据题意得：

5x8+3m+—n=1(X)

m=11

解得：

n=81

答：母鸡买了II只,小鸡买了81只:

（2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只,

x+y+z=100®

根据题意得:5x+3y+；z=100②

(②x3-①)+2得：7x+4y=100,

"=是这个二元一次方程的一组解,

;该方程的解可以含字母，的式子表示，即为

•/x,y非负，

-100+4r>0

2(X)-7r>0'

解得：25黜竽

又・.”为整数，

可以为25,26,27,28,

当r=25时，x=-100+4r=-100+4x25=0,y=200-7/=2(X)-7x25=25

z=l(X)-x-y=100-0-25=75；

当r=26时，x=-100+4r=-100+4x26=4，y=200-7r=200-7x26=18

z=100-x-y=100-4-18=78；

当/=27时，x=-100+4z=-100+4x27=8,y=200-7r=200-7x27=11

z=100-x-y=100-8-11=81；

当r=28时，x=-100+4r=-100+4x28=12，y=200-7r=200-7x28=4

z=](X)-x-y=l(X)-12-4=84.

答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4

只，84只.

12.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计采购方案？

素材1某学校举办“迎新年”知识竞赛活

动.为了鼓励学生参与特设奖励，明

信片和吉祥物钥匙扣.己知一个吉祥

物钥匙扣的售价比一套明信片的售价

高20元.

素材2小明在本店购买了1套明信片与4个

吉祥物钥匙扣与共花费13。元.

素材3已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个.为了

促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售.临近期末考试，某老师打算

提前给学生准备奖品，在本店同时购买同款吉祥物钥匙扣和明信片两种

商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额.

问题解决

任务1假设明信片的售价为x元，套，钥匙扣

的售价为)，元/个，请用含x的代数式