湖北省黄梅县某中学2025-2026学年高二年级下册4月月考数学试卷（试卷+解析）

黄梅二中高二数学4月月考试卷

一、单选题

1.下列求导运算正确的是()

A.[111(2x7)]'=JB.(x+Q=1--V

2xTVX)x~

C.&)'=2宿1D.j史]=G+pe'

[x}x-

2.已知函数y=/(x)的图象在点M(l,f(l))处的切线方程是y=；x+2,则/(1)+/'(1)的值等于

5

A.0B.IC.-D.3

2

3.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的

不同选法共有()种

A.120B.60C.30D.20

2

4.函数/(x)=与的大致图像为()

5.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为()

A.81B.64C.27D.24

6.已知函数/(x)=lnx-gar?—2x在存在单调递减区间，则实数《的取值范围是()

A.[0,+co)B.(0,4-a?)C.[-l,+oo)D.(-1,-Ko)

7.已知函数及其导函数r(“的定义域均为R，若/(-2)=3,且及(x)+4'(x)＞。,则不等式

(312-5x)/(3x2—5x)<—6的解集为()

(1

C.(-8,o)u—,+8D.(-oo,-l)u(l,+oo)

8.已知等差数列｛q｝的前〃项和为s“，且S”>SX>512.当S“取得最大值时〃的值为k,使得S“>0成

立的最大正整数〃的值为/〃.则A+m的值为()

A.28B.29C.30D.31

二、多选题

9.用数字0,1,2,3,5组成数字，下列说法正确的有()

A.可以组成60个没有重复数字的三位数

B.可以组成54个没有重夏数字的四位奇数

C.可以组成15个小于500且没有重复数字的三位偶数

D.可以组成14个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数

10,数列｛4｝是等比数列，公比qr±l,其前〃项和为S“，则()

A.当4>1时，｛4｝为递增数列

B.若&=3,$0=9,贝ij5)5=21

C.若S5,兀，Ho成等差数列，则牝，%,成等差数列

D.若明生用，成等差数列，则3，§3”，52“成等差数列

11.如果一个函数/(X)在其定义区间内对任意X,1都满足f(乎］«/(“：/()‘),则称这个函数为

下凸函数，下列函数为下凸函数的是()

A.f(x)=2'B./(x)=3sin^2x+yj

C./(x)=log2x(x>0)D.=

三、填空题

12.若直线y=3x+2。与曲线y=ln_E+2x相切，则实数。的值为.

13.已知在等比数列｛q｝中，首项％=2,公比“>1,a2,%是函数/(x)=；V—6/+32X的两个极值

点，则数列｛〃”｝的前9项和是.

14.设“力与g"）是定义在同一区间句上的两个函数,若函数〃（x）=〃x）-g（x）在句上有两

个不同的零点，则称/（X）与g（x）在句上是“关联函数”.若与g（H=1f+2%在

32

［0,3］上是“关联函数”，则实数用的取值范围是.

四、解答题

15.已知函数/（x）=f+加-2x在1=1处取得极值.

（1）求函数/（x）的解析式及单调区间；

（2）求函数/（力在区间［—1,2］的最大值与最小值.

16.记S”为等比数列｛q｝的前〃顷和，已知3s“+《用=1.

（1）求｛《,｝的通项公式;

（2）设2=（-1广隗,求数列｛右｝的前〃项和..

17.已知函数〃x）=e'（x2_

（1）若〃=一1,求函数/（x）的极值：

（2）若函数g（x）=〃x）-x有两个零点，求《的取值范围.

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=3,｛S“｝是公比为3的等比数列.

（1）求S〃与/；

（2）设，=a£,求数列出｝的前1项和7；仅之2）；

（3）判断是否存在正整数s,，，r（S</<一），使得生，%,耳成等差数列？若存在，写出s,f,r的一

组值；若不存在，请说明理由.

19.已知函数/（x）=£+a］nx,a^R.

（1）若曲线/（x）在x=l处的切线与直线2x+3），+l=0垂直，求。的值；

（2）讨论了（"的单调性；

(3)当xu，,e时，/(x)>(dl2)x,求。的取值范围.

c

黄梅二中高二数学4月月考试卷

一、单选题

1.下列求导运算正确的是()

A.[111(2x7)]'=JB.(x+Q=1--V

2xTVX)x~

C.&)'=2宿1D.j史]=G+pe'

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断.

】，12

【详解】对于A,rln(2x-l)=；；—x(2x-l)r=-----，故A错误；

L」2x-l2x-l

对干B,(不十_!_)=1+卜-)=1—X2=1--y»故B正确；

对干c,(e2'J=e2v(24=2e2^故C错误；

对干D,上)…'")故D错误.

29

yXJXr

故选：B.

2.已知函数y=/(x)的图象在点M(l,f(l))处的切线方程是y=gx+2,则/、(l)+r(l)的值等于

A.0B.1cID.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数定义，求得/'(1)的值；根据点在切线方程上，求得/(1)的值，进而求得f(l)+/'(l)

的值.

【详解】点M(l,f(l))在切线上，所以/(l)=gxl+2=g

根据导数几何意义，所以/'(1)=；

所以/(1)+/'。)="|+3=3

所以选D

【点睛】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题.

3.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的

不同选法共有（）种

A.120B.60C.30D.20

【答案】C

【解析】

【分析】从除了甲乙外的5人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选

的不同选法的种数.

【详解】由题意，

甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有C：种，再和甲乙一起全排列有A；,

・•.甲乙两人都入选的不同选法有C；A；=5x3x2x1=30（种）.

故选：C.

2

4.函数的大致图像为（）

【解析】

【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误，根据极值点确定

C错误，即得答案.

【详解】函数“幻=0中，e'>0,当xwO吐看住像知B选项错误；

e

2

A

函数中，e>0.当x=0时,/（外=0,看图像知D选项错误；

2xex-exx22x-x2x（2-x）

f'M==0

㈤eev

解得玉=0,々=2,故玉=0,/=2为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.

故选:A.

5.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为()

A.81B.61C.27D.24

【答案】A

【解析】

【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。

【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有34=81种方法.

故选：A.

6.已知函数/(x)=lnx-；or2-2工在存在单调递减区间，则实数。的取值范围是()

A.[0,+oo)B.(O,4-«?)C.[-l,+<x))D.(-1,400)

【答案】D

【解析】

【分析】先得到了")的定义域，由题意得到r(x)<o在pi上有解，参变分离得到实数。的取值范

围.

【详解】由题意得/'(大)='-以-2<()在上有解，

X一乙

12「1

即W---在—,1上有解，

xx2

其中，'=5一：=已一)一％卜1，°卜

所以。>—1

故实数。的取值范围是(-1,+8).

故选:D

7.己知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R,若〃-2）=3,且〃力+短（x）>0,则不等式

（31~—5x）/（3厂一5x）<—6的解集为（)

A.B.C.（一双0）42,+力D.(-co,-l)U(l,-Ko)

°5刖13

【答案】B

【解析】

【分析】利用构造法求导可知g（x）=M\x）是在R上单调递增.然后再利用单调性即可解不等式.

【详解】令g（x）=?（x）,因为/（力+0*'（%）>0,所以g'（x）=/（x）+矿（力>0,

所以g（x）在R上单调递增.

又/1（一2）=3,所以g（-2）=-6,

因此不等式（3上2-5x）/（3f-5x）<-6可化为g（3x?-5x）<g（-2）,

2

所以3/—5%<一2,解得

即不等式（3x“一5/）/（3工2—5工）<一6的解集为（§』）.

故选:B.

8.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且S“>S8>5|2・当S”取得最大值时〃的值为匕使得3>0成

立的最大正整数"的值为m.则4+，〃的值为（）

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【解析】

【分析】由S”>S8>S]2可知。|0〉0>41,结合等差数列的选项公式及前〃项和公式确定太〃2,即可得.

S]2-S&=《2+。10+〃9<°

【详解】因为Su>Ss>，2,所以SI2-Sn=《2<()

.A]-Sg=q]+go+%>0

42+34)<04q+38d<0

令数列公差为d,所以《al2<0=>4+lld<0,

3〃io>0q+94>0

所以加〃｝是单调递减数列，且4>0>”,则，

4+9”>0

19

所以4o>(),6[=q+l()d<q+彳〃<0,则S”取得最大值时对应〃=10,即左=10,

因为S19=19“+19；8d=19(%+9J)>0,520=20%20^,+yjl<0,

且d〈0,(几SJ在开口向下的抛物线上，

所以S”>o成立的最大〃=19,即6=19,故攵+6=29.

二、多选题

9.用数字0,1,2,3,5组成数字，下列说法正确的有()

A.可以组成60个没有重复数字的三位数

B.可以组成54个没有重复数字的四位奇数

C.可以组成15个小于500且没有重复数字的三位偶数

D.可以组成14个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数

【答案】BCD

【解析】

【分析】考虑各个位置上的选法数，结合两个计数原理逐项分析即可.

【详解】对于A,百位上的数字有4种选择，十位上的数字有4种选择，个位上的数字有3种选择，

由分步乘法计数原理，可以组成4x4x3=48个没有重复数字的三位数，故A错误；

对于B,因为是奇数，所以个位上的数字有1,3,5,共3种选择，

千位上的数字有3种选择，百位上的数字有3种选择，十位上的数字有2种选择，

由分步乘法计数原理，可以组成3x3x3x2=54个没有重复数字的四位奇数，故B正确；

对干C,因为是偶数，所以个位上的数字有0，2,共2种选择，

若个位上的数字是0,因为组成的数小于500,所以百位上的数字有1,2,3,共3种选择，十位上的数

字有3种选择，

由分步乘法计数原理，可以组成3x3=9个小于50()且没有重复数字的三位偶数，

若个位上的数字是2,因为组成的数小于500,所以百位上的数字有1,3,共2种选择，十位上的数字有

3种选择，

由分步乘法计数原理，可以组成2x3=6个小于500且没有重复数字的三位偶数.

由分类加法计数原理，可以组成9+6=15个小于500且没有重夏数字的三位偶数，故C正确；

因为十位上的数字最大，所以十位上的数字可以是2,3,5,

当H立上的数字是5时，若个位上的数字是0,则百位上的数字有3种选择，

若个位上的数字不是0,则个位上的数字有3种选择，百位上的数字有2种选择，

所以可以组成3+3x2=9个符合要求的三位数；

当十位上的数字是3时，个位和百位都有2种选择，所以可以组成2x2=4个符合要求的三位数，

当十位上的数字是2时，符合要求的三位数只有120,共1个，

综上，可以组成9+4+1=14个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数，故D正确：

故逐BCD.

10.数列｛4｝是等比数列，公比其前〃项和为S“，则（）

A.当时，｛q｝为递增数列

B.若&=3,Si。=9,则S]$=21

C若S15,Ho成等差数列，则处.%,成等差数列

D.若%+1，，生用成等差数列，则S”，邑“，§2”成等差数列

【答案】BCD

【解析】

【详解】对于A,当弓<0时，4>1时，，｛%｝为递减数列，故A错误；

对于B,若§‘一3,So-9,S’，S10-S5,Ss-So成等比数列，

则儿=21,故B正确；

对于C,若S$,5I5,So成等差数列，则2sl5=工+品），即2囚（1_.）j（j）+«（1一4）,

\-q\-q\-q

4

即2"s=q'+q'°,即2%q"=①夕+a4,即2a[5=a5+ai0,

所以。5，a15,%。成等差数列，故C正确；

对于D，，a3n+\»。2〃+1成等差数列，所以2。"+1=%+1+%”+1，

即2%q3〃=+%q2”,所以％3"=/+优，

即2（1-/"）=（1-0+（1-产），即2%（「,16°一°）+”（「门

1-i7\-q\~q

所以2s3“=S〃+S2〃,所以S“，S3nt$2〃成等差数列,故D正确.

11.如果一个函数/(X)在其定义区间内对任意x,1都满足于(受JW/(*)；//)，则称这个函数为

下凸函数，下列函数为下凸函数的是()

A./("=2、B./(x)=3sin(2x+»

x,x<0

C./(x)=logx(x>0)D.

22x,x>0

【答案】AD

【解析】

【分析】

定义域内任取为，刍，先求出/‘三小的解析式以及:［/(芭)+/(9)］的解析式，利用函数的单调

性、基本不等式判断它们的大小关系，再根据“下凸函数''的定义，得出结论.

【详解】A.对于函数/(x)=21定义域内任取.%，

有/（土玉］=21二

4［/（石）+/（9）］=*2）

k27

・・・f(x)=2'下凸函数.

B.对函数/(x)=3sin卜x+g］,在定义域内取内二当二1，

（内+/、.（兀1）.（兀兀兀13

=3osinx-vx+—=3sin—+—+—=—,

12）<l23J\633J2

1[/（^i）+/（^2）]=13sin71+3sin2X2+][

+3

3sinf2x-4--l+3sinf2x-4--ll=^,因为3〉地,

I63jI33〃424

即f(5芦■)>；［/(x)+/(w)］，不满足任意性，所以不是下凸函数.

C.对于函数/(x)=k>g2Mx>°)，定义域内任取王，工2,

有当三,0

=§231/(2)+)]=^(10g2^,+10g2X2)=10g2

故f（x）=logax（工>°）不是下凸函数;

D./（"二［：/<?,由已知）（%）：/（/）,若满足下凸函数，则任取两个数的中点的

2x,x20\272

函数值应该小于等于两个函数值的中点，反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或

重合，由图象可知，此函数满足下凸函数定义

故选：AD

【点睛】本题考查新定义，考查基本不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

三、填空题

12.若直线），=3/+2。与曲线y=lnx+2x相切，则实数。的值为.

【答案】二

2

【解析】

【分析】由切线的斜率为3可知>'=‘+2=3,进而得切点（1,2）,代入直线y=3x+2。中可得.

.X

【详解】由y=lar+2x得:/=,+2,

令y=j■十2=3得％=1,此时了=加1十2=2,故切点为（1,2）,

X

故2=3x1+〃，得。二一,，

2

故答案为：

2

13.已知在等比数列｛〃“｝中，首项q=2,公比“>1,%,%是函数/（x）=g/-6/+32x的两个极值

点，则数列｛〃”｝的前9项和是.

【答案】1022

【解析】

【分析】利用导数求出函数/(x)的两个极值点，进而求出数列公比，再求出前9项和.

【详解】由)(力=；/一6/+32天，求导得/'*)=/一］24+32=*-4)。-8),

当工<4或大>8时，f\x)>0；当4vxv8时，fM<0,

则4,8分别为函数/(x)的极大值点和极小值点，

在等比数列｛〃〃｝中，4=2,公比“>1,则?<小，

又生,〃3是函数的两个极值点，因此。2=4,%=8,4=2,

,(,

所以数列｛4｝的前9项和s9=2(；手=2-2=1022.

故答案为：1022

14.设/(x)与g(x)是定义在同一区间以上的两个函数，若函数〃(%)=〃%)-8(%)在［。肉上有两

个不同的零点，则称/⑺与屋外在句上是“关联函数”.若〃x)=33+机与g")=gx2+2x在

［0,3］上是“关联函数”，则实数加的取值范围是.

Li守坐

［23；

【解析】

【分析】

令/*(x)=g(x)得"7二一十_112+2x,设函数/?(力=一,丁+_1工2+2x,则直线y=〃z与函数

y二〃(X)在区间［0,3］上的图象有两个交点，利用导数分析函数y=〃(x)的单调性与极值，利用数形结合

思想可求得实数机的取值范围.

【详解】令/(x)=g(x)得〃7=-1/+2_工2+2］，设函数/2(X)=-,X3+_LW+2X,

3232

则直线y=m与函数y=/?(x)在区间［0,3］上的图象有两个交点，

//(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+l),令"(力=0,可得x=2w(0,3),列表如下：

X[0,2)2(23

“（X）+0—

极大值当

g)/

3

3

/z(0)=0,/?(3)=-,如下图所示:

3in

由上图可知，当时，直线）'=〃?与函数y=〃（x）在区间［0,3］上的图象有两个交点,

23

因此，实数〃?的取值范围是1,yj.

-310、

故答案为：—.

［23）

【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属

于中等题.

四、解答题

15.已知函数/（x）=d+加-2x在x=1处取得极值.

（1）求函数/（x）的解析式及单调区间；

（2）求函数“X）在区间［-1,2］的最大值与最小值.

【答案】（1）/（X）=X3-1X2-2X,单调递增区间为（-8,一：）,（1,+8）,单调递减区间为，一］』｝

（2）最大值为2'最小值为一*

【解析】

【分析】（1）求导，根据/'（1）=。，求出。=-g,求出解析式，并解不等式，求出单调区间;

（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.

【小问1详解】

/'（x）=312+2or-2,

由题意得了'（1）=。，即3+2々-2=0,解得a=-g,

故解析式为/（力二/一^^"-定义域为R,

2

令r（x）=3f-x-2,令/'（工）＞。得工＞1或1＜一§,

2

令、f'（X）V。得-§＜x＜1,

（2、（2、

故"X）在一8,-4,（1,+8）上单调递增，在一可,1上单调递减，

显然x=l为极小值点，故。二-2，

9

/（X）单调递增区间为（F,—",（1,+8）,单调递减区间为

•5/\JJ

【小问2详解】

由（1）知，〃力在（一1,一|卜L2）上单调递增，在（一|1）上单调递减,

表格如下：

2

(1,2)

X-31

八力+0-0+

极大值极小值

单调递增22单调递减_3单调递增

?7~2

又"T）=T，〃2）=2,

故f（x）的最大值为2,最小值为-

16.记S“为等比数列｛q｝的前〃顶和，已知3S〃+q加

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）设包=（一1广）%,求数列也｝的前〃项和小

【答案】⑴例=（一2户

rt

（2）7；f=（n-l）-24-l

【解析】

【分析】（1）根据题设结合S“与屋”的关系可得勺+]=-2%（〃之2）,进而得到数列｛4｝的公比为—2，即

可得到再由题设得到3q+%=l即可求得4=1，进而求解即可；

（2）由（1）可得”=〃・2小，进而利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

由35“+4川=1,

当〃N2时，3S,I+%=1,

两式相减得，3%+。用一%=0,即4+1=—2%（〃之2）,

因为数列｛%｝为等比数列，所以数列｛4｝的公比为一2,

当〃=|时，34+4=1，而。2=-2q,解得q=l,

所以％=（2广1

【小问2详解】

由（1）知，凡=（一2户，则"=（—1）"Ty=（—

所以7；=l・20+2・2i+3・22+・・・+^2”T,

则27；=1・21+2・22+3"+—+5-1)・21+h2〃，

2°(l-2n)

两式相减得,I2,,,,,

-7；I=2°+2+2+...+2--/?-2=〃・2〃=(1一〃)・2"-1，

1-2

则［=(〃-1>2"+1.

17.已知函数/(x)=e'(£-2x-a).

(1)若〃=—1,求函数/(力的极值;

(2)若函数g(x)=/(x)7有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)-1——，+8

IeJ

【解析】

【分析】(1)根据导函数判断函数的单调性即可;

YY

(2)将问题转化为直线y=〃与曲线)，二/一2工一_有两个交点，利用导函数求出)，二f—一_^的单

ee

调性和取值范围即可.

【小问1详解】

当。=一1时,/(x)=ex(X2-2X+1),则f(%)=已,任一1),

当工变化时，/(无)，/(同的变亿情况如下表所示：

X(fT)-1(-U)1(1,+00)

/W十0—0十

4

单调递增单调递减0单调递增

e

当上=一1时，函数/(“取得极大值，极大值为

e

当x=1时，函数〃力取得极小值，极小值为0.

【小问2详解】

由寇意知方程/(x)=x有两个根，即。=d-2x-二■有两个根,

e

则直线y=a与曲线),二/一2/一二_有两个交点，

e

设力(x)=J_2x—三，则/(x)=2x_2-■!~^=(工_1)2+4

当"1时，h(x)<0,/z(x)在(-oo,1)上单调递减，

当上>1时,/?(x)>0，Mx)在(1,+8)上单调递增，

贝IJa=__,

e

当了f-oo时，+00,当X->+8时，A（x）—

综上，〃的取值范围是（一1一：，+8）.

18.已知数列｛q｝的前〃项和为s“，q=3,｛S〃｝是公比为3的等比数歹人

（1）求S〃与

（2）设2=。£,求数列｛2｝的前1项和£（无之2）；

（3）判断是否存在正整数s,/,r（$</<〃），使得巴，《，。『成等差数列？若存在，写出s,37•的一

组值；若不存在，请说明理由.

小】—，…棋3,〃=、1,”

QW*+l

⑵7；=-+--

人44

（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】⑴应用〃〃=S”-S“T分〃=1,〃之2计算求解；

（2）应用等比数列求和公式计算数列的和；

（3）应用反证法假设生，《，4成等差数列，再计算得出矛盾即可证明.

【小问1详解】

因为｛5｝是公比为3的等比数列，且工=4=3,

所以S“=3x3""二3",

3,/?=1,

当〃N2时，q=S“一S,i=3“一3"T=2x3"T,所以=

2x3H-',n>2.

【小问2详解】

3,〃二1,

因为S“=3x3i=3",a„=.

〃2x3'i,〃之2,

9,n=1,,.

所以2=。£=L-I当,壮2时，也是公比为9的等比数列，

6x9,n>2.

因为攵之2,所以n=9+如二211=2+空.

k1-944

【小问3详解】

假设存在s,「(sue),使得&,4,%成等差数列，