自动控制原理 第5章习题参考答案

第5章习题参考答案

5.1根据给出的单位负反馈系统的开环传递函数G(s),求在给定信号为

Xj(f)=sinQ+45。)时，系统的稳态输出。

57

(1)G(s)=(2)G(s)=/、

s+l\)s(s+2)

5

解：(1)对于开环传递函数G(s)=,其单位负反馈系统的传递函数①(s)为:

5+1

5

G(s)

①⑸=_L2-5+1_5

1+G(s)心55+6

5-1

5

—

jo>+6

对于给定信号X.(r)=sin"+45。)

5305.

当0=1时，①(7)=j+6"?7-37J

-5

幅值4(。)=41)=呜+=0.822

137；<37

相位。=。⑴=arctan(总)=一9.46。

2(。=A(⑹sin(1+45°+0(⑹)=0.822sin(/+35.54°)

(2)对于开环传递函数G(s)=qAj,其单位反馈系统的传递函数①(s)为:

<G(s)_s(s+2)_2

1+G(s)[2/+2S+2

7(772)

①(j0)=------T-------------

(j<y)"4-2j^+2

对于给定信号可⑺=sin(r+45°)

2

当3=1时，O(j1)=^^-------=0.4-0.8j

(j)~+2j+2

幅值A3)=A⑴=>/0.42+0.82=0.894

相位⑴=arctan=-63.4°

系统的稳态输出为:

X。(/)=/A(<y)sin(r+45。+°(。))=0.894sin(/-18.4°)

5.2根据开环传递函数G(s),绘制开环奈奎斯特曲线、确定与坐标轴的交点并

判断闭环系统稳定性。

(1)G(s)=*

')5+16⑵G⑸二行

,、2

(3)G(s)=---------⑷⑹

')?(5+4)G二湍嵩

解：(1)开环传递函数的标准形式:

G⑸F

16

开环频率特性函数为:

—jo+l

16

实部和虚部表达式为：

..z、疗+64/、12口

U(co)=------------»V17(a))=------------

')疗+256')#+256

由实部的表达式可知，系统的奈奎斯特曲线不穿过虚轴，即与虚轴没有交点。

幅值和相位的表达式为：

co=0+O'j,4(回=0.25,^(69)=0°；<y=+oo时,A3)=1,。(0=0。。

该系统的奈奎斯特曲线如图5-1所示，奈奎斯特曲线与实轴的交点为(0.25,j0)

和(l.jO)。奈奎斯特曲线不包围(-l.jO)点，绕(TjO)点逆时针旋转圈数Q=0,由

于开环传递函数的不稳定极点数4=(),得出闭环不稳定极点数6=兄-。=0,根

据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。

2

题解5.2图（1）的开环奈奎斯特曲线

（2）开环传递函数的标准形式:

3

系统的开环频率特性函数为：

1

G（js）=g

网料+1）2

实部和虚部表达式为：

U（小谖*,V⑼二就』

渐近线：

-62

劭=Iim—、---r=-----

°-。（苏+打27

幅值和相位的表达式为：

-2arctan—

3

CO-0+U;f,A（69）=8,=-90°；o=+oo时，A®）=0,0（切=-270。。

实部恒为负，故不与虚轴相交。

令虚部丫（。）=0,得出与实轴交点处的频率0=3,此时实部为=,

3

奈奎斯特曲线与实轴交点为——J0

I54I

该系统的奈奎斯特曲线如图5-2所示，奈奎斯特曲线与实轴的交点为

’-右,jo）。奈奎斯特曲线不包围（-LjO）点，则。=0,由于开环传递函数的不稳定

极点数兄=0,得出闭环不稳定极点数凡=1-。=0,根据奈奎斯特稳定性判据可

题解5.2图（2）的开环奈奎斯特曲线

（3）开环传递函数的标准形式：

]_

G⑸二^^

r（-5+l）

系统的开环频率特性函数为：

1

G（M=----j------

实部和虚部表达式为:

U（69）=--彳-,V（69）=------—

'3（16+刃~）

由实部的表达式可知,奈奎斯特曲线与虚轴无交点。

幅值和相位的表达式为:

4

=-----/2,=-^--arctan—

I）苏序新'）4

0=。+时，A（69）=+CO,0（69）=-18O°；<y=+oo时，A（69）=0,^（69）=-270°O

由实部和虚部可知，只有。为无穷大时，奈奎斯特曲线才与实轴和虚轴有交点。

奈奎斯特曲线如图5-3所示，曲线绕（7,j0）点顺时针旋转两圈，则。=-2,

由于开环传递函数的不稳定极点数％=0，得出闭环不稳定极点数Pb=Pk-Q=2,

根据奈奎斯特稳定性判据可知系统不稳定。

题解5.2图（3）的开环奈奎斯特曲线

（4）开环传递函数的标准形式:

系统的开环频率特性函数为:

24f1.।

亍y+1

G（j3）=

（j①+1）（纲+1

实部和虚部表达式为:

8（5疗+21）-8啰（17+疗）

U（69）=丫（。）二

。4+504+49〃+50苏+49

由实部的表达式可知，奈奎斯特曲线与虚轴无交点。

幅值和相位的表达式为：

5

/\\（o2+9,/co（0

Ax（勿=8o•一/,。（0x）=arctan---arctanco-arctan—

'7J（疗+1）（/+49）八）37

0=。+时，4（0*3.429,0（M=0。；g=+oo时，A®）=0,0（3）=-90。。

令V（0）=0,得出G=0,U（G卜3.429,与实轴的交点为（3.429,j0）,奈奎斯

特曲线如图5-4所示，曲线不包围（T,j0）点，绕（-l,j0）点逆时针旋转圈数Q=0,

由于开环传递函数的不稳定极点数R=0,得出闭环不稳定极点数%二兄-Q=0,

根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。

题解5.2图（4）的开环奈奎斯特曲线

5.3根据下述奈奎斯特曲线，写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否

稳定，图中6为开环传递函数在右半s平面的开环不稳定极点数。

6

图5-57题5.3图

解：(1)根据图5-5(1)可知，开环不稳定极点数4=0,绕(-LjO)点逆时针旋转

圈数Q=0,闭环不稳定极点数几=兄-。=0,根据奈奎斯特稳定性判据可知

闭环系统稳定。

由于该系统为0型系统，通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，相位逐渐减

小。曲线最终又以-180。趋于原点，说明有两个产生负角度(arctan7；^,

-arctanT2co)的叫;节。

综上可得该系统的相位(/)(co)=-arctanTxco-aictanT2CD,进而得出

G(M=”二一，所以系统的开环传递函数G(s)=：°

(J1①+1)(J(0+1)(工s+1乂(s+1)

(2)根据图5-5(2)可知，开环不稳定极点数A=0,绕(-1J0)点逆时针旋

转圈数Q=-2,闭环不稳定极点数兄=4-Q=2,根据奈奎斯特稳定性判据

可知闭环系统不稳定。

由于该系统为H型系统，所以相位破(0)的表达式中第一项为-180。，通

过分析奈奎斯特曲线的走向可知，随着切的逐渐增大，相位0(0一直减小，

曲线最终以-270。趋向于原点。

综上可得该系统的相位^(<y)=-180°-arctanr<y，进而得出

6刎=、可所以系统的开环传递函数G(上^

(3)根据图5-5(3)可知，开环不稳定极点数兄=1,绕(-1/0)点逆时针旋

转圈数Q=l,闭环不稳定极点数兄=4-。=0,根据奈奎斯特稳定性判据可

知闭环系统稳定。

通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，当①=0时，奈奎斯特曲线并不是趋

近于无穷远的，所以没有积分环节。随着切的逐渐增大，相位0(团逐渐增大，

最终以-90。趋向于原点。

综上可得该系统的相位。(3)=-18()。+arctanr口,进而得出

7

KK

G(M=,所以系统的开环传递函数G（s）=

}T(o-\T^\

（4）根据图5-5（4）可知，开环不稳定极点数冗=0,绕（-l,j0）点逆时针旋

转圈数。=0,闭环不稳定极点数6=凡-。=0,根据奈奎斯特稳定性判据可

知闭环系统稳定。

通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，当。=0时，奈奎斯特曲线是趋近于

无穷远的，所以存在积分环节。随着。的逐渐增大，相位。（⑺一直减小，最

终以-270。趋于原点，所以不存在微分环节。

综上可得该系统的相位。（0）=-90。-30对1a9-arctan7^0,法而得出

G（j。）一…七丁八，所以系统的开环传递函数

G（.v）=———=------o

''s（〃s+l）（7；s+l）

5.4请根据给出的传递函数，画出相应的对数频率特性曲线。

10

10(2)G(s)=zx

(1)G(s)=

i7s(s+100)

O.OOk+1

5+0.4

(3)G(s)=(4)G(s)=«^

s(s+0.04)'7f+4s+4

解：(1)G(j<y)=---

')jO.OO1^+1

幅值和相位的表达式为：

A（=/,（/）（co\=-arctan0.00\co

1°-2--

J（o.ooi^）+1

为了便于绘制伯德图”①）可以写成如下的形式：

201g10,(^1000)

L(①)=,201g」一，®>1000)

00.00。'7

当L（（y）=0时,开环幅值穿越频率％*10000。当（〃从0逐渐增大时，相位蚁6）

从。逐渐减小，当由1000时，°（助二-45。，当切趋于无穷大时，相位创M趋于

-90°,相应的对数频率特性曲线如图5-6所示。

8

题解5.4图（1）的对数频率特性曲线

（2）标准形式:

1

G(s)=

频率特性函数为:

1

而

G6G)=

1•.

\(0+\

100

幅值和相位的表达式为：

10

A（＜y）=--------------,(ty)=-90°-arctan

①个①?+I002

为了便于绘制伯德图”功可以写成如下的形式:

201g』-,(0400)

1()0/I)

L(①)二«

201g2,(苏＞100)

①一

当）=0时，开环幅值穿越频率4^0.1,当折100时，L（＜y）«-60o当0

从0逐渐增大时，相位。®）从-90。逐渐减小，当3=100时，卜-135。，当力

趋于无穷大时，。（回趋于-180。，相应的对数频率特性曲线如下所示。

9

题解5.4图(2)的对数频率特性曲线

幅值和相位的表达式为：

A(co)=—#+二,(6y)=arctan--arctan-90'

V)—苏+O.W八70.40.04

为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：

0.4

201g二201gl0-201g3,（庐0.04）

0.04。

（）44

L（<y）=<201g^=201g401g协（0.04〈啰W0.4）

co-co10

201g-^-=-201g^（<w>0.4）

coco

当“3)二0时，开环幅值穿越频率%=1,当但0.04时，卜48,当3=10

时，卜-20。当0从0逐渐增大时，相位例0)从-90。先逐渐减小，当折0.04

时，03)—35。,当折0.4时，0(3h-135。，当。趋于无穷大时,相位。(3)趋

于-90。，相应的对数频率特性曲线如图5-8所示。

10

题解5.4图(3)的对数频率特性曲线

(4)czx100(0.1^1)_1OO(O.1S4-1)

'I)52+45+4(s+2)2

标准形式:

100(0.ls+l)25(0.15+1)

G(s)=

(s+2)(s+2)(l$+i)(ls+i)

22

25(0.1j6?+l)

G(j。)

幅值和相位的表达式坐_______

/、25—0.10)2+1/、

A(0)=(050)—arctan0#169-2arctan0.5<w

为了便于绘制伯德图L(Q)可以写成如下的形式：

201g25,3W2)

25

L(s)=.201g=40-401g<y,(2<^<10)

(0.5O)2

250.16)_(0>10)

20=20207

(OS]&、

ii

当〃功=()时，开环幅值穿越频率牡=10,当折1时，L®)=28,当M1O时,

“①)=0。当/从0逐渐增大时，相位0(助从0。先逐渐减小，再增加。当加2时,

。⑼、-79°，当3=10时，q-112。，当o趋于无穷大时,相位。(⑼趋于一90。,

相应的对数频率特性曲线如图5-9所示。

题解5.4图(4)的对数频率特性曲线

5.5请根据给出的最小相位系统的开环对数幅频特性曲线，写出传递函数并绘

出近似的对数相频特性曲线。

(2)

12

(3)(4)

图5-58题5.5图

解：（1）根据图（1）可知G（s）=

(拿+1)(总+1)

式中，7；=1；7；=—

,~1000

由3=1000时，L（M=201gKk-201g3=0得出凡=1000,系统的传递函数为:

〜\1000

G（S）=­r~\—

5（5+1）——5+1

、,（1000）

（b（co\=-90°-arctanco-arctan-—co

v71000

当①从0逐渐增大时，相位°3）从-90。逐渐减小，当①趋于无穷大的，。（切

趋于-270。，相应的对数相频特性曲线如图5-11所示。

题解5.5图（1）的对数相频特性曲线

8(率+1)

(2)根据图5-1()(2)可知G(s)=

一(为+1)

式中，7；=—=10；7；=1

0.1

13

根据图5-10(2)可知，利=1,此时L(g)=201gl°K*=0,得出A；=0.1,

稣

系统的传递函数为:

0.1(105+1)

G(s)=

?(5+1)

°（3）=—180°+circtan1Oco-arctanco

当。从0逐渐增大时，相位。（⑹从-180。先逐渐增大，当3=0.1时，

卜-135。，当（y=l时,°（69卜-141。，当①趋于无穷大时，趋于一180。,

相应的对数相频特性曲线如图5-12所示。

题解5.5图（2）的对数相频特性曲线

⑶根据图5」。⑶可知G（s）=%1整

式中，片丁亮

由"3=201g人=20得出鼠=10，系统的传递函数为:

10(1.2345x10452+0.00445+1)

G(s)=

0.04/+oas+i

0.04。0.0044口

^(6y)=-arclan---------7+arctan：-r

"0.04/1—1.2345x10"

当①从0逐渐增大时，相位。（团从0。先逐渐减小，当3=5时，0®卜-89。，

当出=90时，。（切90。，当0趋于无穷大时，。（功趋于0。，相应的对数相频特

性曲线如图5-13所示。

-180

14

题解5.5图(3)的对数相频特性曲线

(4)根据图5-10(4)可知G(s)=

(串+1乂勾+1)(7>+1)

式中，7；=1；T)=—；T=----

'-103400

由〃刃)=201g8=60得出勺=1000,所以系统的传递函数为:

1000

G(s)=

——5+1

400)

\=-arctanco-arctan—1(o-arctan--1---co

''10400

当“从()逐渐增大时，相位。(切从0。逐渐减小，当3=1时，。(⑹k-51。，当

访10时,0(3卜-130.7。，当口趋于无穷大时，。(切趋于-270。,相应的对数相

频特性曲线如图5-14所示。

5.6请根据系统的开环传递函数G(s),绘制系统的开环伯德图，并求解系统的

相位裕量及增益裕量，判断系统的稳定性。

(1)G(s\=________16________片)=50((Ms+l)

I75(0.25.?+1)(0.095+1)，尸/(0.025s+1)(0.004s+1)

解：(1)G(jco)=--7—------?~:--------x

叫产IJUF+IJ

幅值和相位的表达式为：

15

L(69)=20IgA(69)

201g16-201gd＞-201g

为了便于绘制伯德图，可以写成如下的形式:

201g—,（^4）

（0

16

L(69)=-201g

叱0.25。

16

201g

69-0.2569-0.0969

当刃=1时，“0卜24.1,交接频率外=4,g=11.1。

当①从（）逐渐增大时，相位0（切从-90°逐渐减小，当0=4时，0®）、-135°,

当0=11.1时，b-206。，当切趋于无穷大时，0（。）趋于-270。，该系统的伯

题解5.6图（1）的伯德图

根据图5-15可知，回＜/＜在，令岛=1，得开环幅值穿越频率

4=5/64=8o

相位裕量y(4)=180。+)=90。—63.4°-35.8°=-9.2°

、=-5.4416(0.0225^-1)

22

‘叼一(1+0.25%2)(1+0.09%21'叼一”1+0.25%2)(i+o.O96y|

16

令V®)=0,得出=44.4,即开环相位穿越频率稣=6.663

0.0225

U(°p)=-1.06

幅值裕量£=201g—!—=—0.51dB

1.06

由上述计算结果可知，相位裕量以)=-9.2。<(),幅值裕量£=-0.51<0,系

统不稳定。

(2)G(加卜一J%彳——-

(i0)2j_L^lj—CO+\I

I40+A250J

幅值和相位的表达式为:

CDCOco

液®)=-180°+arctan-----arctan—arctan-----

1040250

£(口)=2()lgA®)

。城岗

=201g50+201g+l-401g<y-201gJ^+T+1

为了便于绘制伯德图〃砌可以写成如下的形式:

201g当，®W10)

co-

201g(10<^40)

L(①)=.

2020。(40〈-250)

00250、7

500.10

201g，(夜>250)

疗0.025。0.004。

当&二1时，“s)=33.98,交接频率例=10,牡=40,q=250。

当。从0逐渐增大时，相位°(°)从-180。先逐渐增大，当°=10时，

0®卜一135。,当加40时，0(。卜一158。，当折250时，0①人一218。，当①趋于

无穷大时，趋于-270。，该系统的伯德图如图5-16所示。

17

题解5.6图(2)的伯德图

根据图5-16可知，/〈外，令4(4)B|,得开环幅值穿越频率@=回

得出相位裕量如下。

7(4)=180。+°(4)

arctan^-arctan^

=180°-180°+arctan—

1040250

X23.6°

、-50(0.0028〃+1)山、50(0.0000l6y2-0.071)

叼一切20+00252疗)(1+0.004%2)'(切一”1+0.0252〃)(1+0.00424)

令丫5)=0,得出屋=E2ZL=71OO,即开环相位穿越频率6。84

U(%)=-0.024

幅值裕量e=201g—!—=32.4dB

0.024

由上述计算结果可知，相位裕量/(4)=23.6。＞0,幅值裕量”32.4dBX),

系统稳定。

25

5.7已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=,计算该闭环系统

s(s+2)

的谐振频率及谐振峰值。

18

7S

解：对于G(S)=/K

''5(54-2)

闭环传递函数：(P(s)=-^-=——=--/——-

2

1+G(s)s?+2s+255+2^cons+(t>~

式中，2gn=2,①;=25,即J=0.2,4=5。

得出谐振频率例=4J1-2三=57092工4.8,谐振峰值Mf=―«2.55。

10

5.8根据给出的系统开环传递函数G(s)用MATLAB绘

$(5+6乂$2+4$+3)

制其奈奎斯特图和伯德图，并求解其幅值裕量£和相位裕量八&)。

解：对于G(s)=二一-------其奈奎斯特曲线如图5-17所示，伯德图如图

s(s+6/s~+4s+3)

5-18所示。

MATLAB程序:

»num=10;

»den=conv([l,0],conv([l,6],conv([l,1],[1,3])));

»sys=tf(num,den);

»nyquist(sys);

»margin(sys);

图5-17题5.8的奈奎斯特曲线

19

频用

越并。

穿，标

值数指

函

幅,性

递特)

B传6

d率+

其s

1.频5

3出8+

1的.8

写要0~$

“请1乂

量，主3

其+

裕示s

10析(

1值所

9分）

幅,5s

图s-面图（

德/。5方9G

d°.

伯0图两5为0

a5题2

图r如数数

49

3=，

.1.84）

13.函5函

:)1-。

s-53图

/:)5

d8"4递递

ard（示

s((解框

yye7图

scd8y传传

:nu4/所

meti0题统

etun:环环

sqg)0率量

yera«/3系图

SFMd1-

>r:)裕闭开

s(g频下;

yyo的)

scd]

:n(位和的

me>越统如6

etu

sqM*,

yerh相数统

SFP穿系，5

函系,

位,馈析图1

s/递[;

相d反分出德,])

a传得3ne

的r个域伯,d

9环9;1[,

统4一频5-环:8(;

.开序.8vm)s

0系0知环5开0nuy

=从程1on(s

E该已开图的f(

epn-6ew(Bep)®seudBB=ctni

49A）据统==g

.L1Amr

率5（根系Lunesa

TTndysm

A；A

M解M»»»»

20

o

System:sys

o

Frequency(rad/s):4.58

Magnitude(dB):-2.81

o

o

-28

-4

-6

-Y85

B

a0

p

r-93

s5

e

j80

d

225

题解5.9图的开环伯德图

根据图5-20可知，相位穿越频率4.58rad/s,幅值裕量£=2.79dB,幅值

穿越频率4=3.95rad/s,相位裕量7(4)=11.33。，系统稳定。

(2)闭环频域分析

G(s)_108.8

系统的闭环传递函数中(s)系统的闭环伯德图,

l4