高一预习（人教A版）高中数学必修一《诱导公式》知识点总结及练习（解析版）

第21讲诱导公式

【人教A版2019】

■内首航

夯基•基础知识梳理模块一：诱导公式

「题型1诱导公式二、三、四的应用

一题型2诱导公式五、六的应用

■题型3三角函数的化简、求值——诱导公式

提升•必考题型归纳

一题型4三角函数恒等式的证明——诱导公式

一题型5诱导公式在三角形中的应用

I题型6诱导公式与其他知识综合

课后作业（19题）

思维导图

公式一二三四口诀：函数名不变，符号看象限;

公式五六七八口诀：函数名改变，符号看象限

诱导公式_公式一、公式二、公式三、公式四、公式五、公

----J式六

诱

(l)sin(njr+«)=(-I)"sina(n^Z).

导(2)cos(wr+a)=(-I)cos«(«SZ).

公诱导公式-(3)sin(//^-«)=(-1)'sin«

_____________

(4)ccs(〃万-«)=(-1)cosa(n£Z).

式J一组重要公式

____

⑴求值:负化正，大化小，化到锐角为终了

帝蠢式的两"G2）化简:统一角，统一名，同角名少为终了

模块一诱导公式

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知识梳理

1.诱导公式

(1)诱导公式

公式—•二三四五六七八

亢33

角2k7t+a(左£Z)兀+T-a7v—a7+a57r+a尸一a

正弦sina-sina-sinasinacosacosa-cosa-cosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sinasina-sina

正切tanatana-tana-tanacota-cota-cotacota

余切cotacota-cota-cotatana-tana-tanatana

口诀函数名丕变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作用

诱导公式作用

公式一将任意角转化为0〜2%的角求值

公式二将。〜2兀的角转化为0~兀的角求值

公式三将负角转化为正角求值

公式四将三〜江的角转化为。〜］的角求值

公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

2.一组重要公式

(l)sin(〃兀+a)=(-1)nsina(nCZ).

①当〃=2A(A£Z)时，由诱导公式有sin(2A7r+a)=sina=(-l)2*sina(2£Z).

②当n=2k+1a£Z)时，由诱导公式有sin[(24+1)〃+a]=sin(2a+兀+a)=sin(乃+a)=-sina

=(-l)2A+,-sin«(^GZ).

(2)cos(nn+«)=(-1)z,cosa(n€Z).

①当〃=22伙£Z)时，由诱导公式有cos(2Avr+a)=cosa=(-1)2,cosa(Zc^Z).

②当〃=22+l(大£Z)时，由诱导公式有cos[(2Zr+1)^+a]=cos(Ikn+^+a)=cos(^+a)=-cosa

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=(-l)2"+l-cosa(&£Z).

类似地，有:

(3)sin(〃乃—a)=(-1)M-lsina(w€Z).

(4)cos(〃兀一a)=(-l)”cosa(〃£Z).

3.诱导公式的两个应用

⑴求值:负化正，大化小，化到锐角为终了.

⑵化简:统一角，统一名，同角名少为终了.

啕题型归纳

【题型1诱导公式二、三、四的应用】

LJ［例।(24-25高一上•广东江门•阶段练习)已知cos(53°-a)=/则cos(127。+a)=()

AfB.当C.1D--I

【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式化简即得.

【解答过程】［tlcos(53°—a)=|,得cos(127°+a)=cos［180°-(53°—a)J=—cos(53°—a)=—

故选：D.

【变式1.1］(24-25高一上•浙江湖州•期末)tan(-2040°)=()

A.—B.--C.-V3D.V3

33

【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角困数值求解即.

【解答过程】tan(-2040°)=tan(-12x180°+120°)=tan(180°-60°)=-tan60°=一百.

故选：C.

【变式1.2］(24-25高三上•湖南常德•阶段练习)求值：$泊300。+匕11600。=()

A.当B.-与C.当D.-苧

【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.

［解答过程］sin300°4-tan600°=sin(-60°+360°)+tan(60°+180°x3)

=sin(-60°)+tan60°=-sin60°+tan60°=-^+V3=y,

故选：A.

【变式1.3](2025高二上・北京•学业考试)在下列各数中，与coslO。相等的是()

A.sin80°B.cos80°C.sinl70°D.cosl70°

【解题思路】由半角和全角诱导公式逐项化筒即可；

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【解答过程】对于A,sin80°=sin(90°—10°)=cosl0°,故AiE确：

对于B,cos800=cos(90°—10°)=sinl00,故B错误;

对于C,sinl70°=sin(180°-10°)=sinlO%故C错误；

对于D,cosl70°=cos(180°-10)=-coslO°,故D错误;

故选：A.

【题型2诱导公式五、六的应用】

【例2】(24-25高一上•云南保山•阶段练习)若cos(a+9=£则sing-a)=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【解题思路】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.

【解答过程】因为(a+9+a)=]，所以=sing-(a+勺]=cos(a+J=|,

故选：D.

【变式2.1](24-25高一上•山东泰安•阶段练习)已知所借一号二一手，则cos(詈+])=()

【解题思路】利用三角函数的诱导公式即可求解.

【解答过程】cos(瑞4-0=-COS焦+同=-sin仁+/)]

./5na\\fs

=-sin(^---J=T，

故选：D.

【变式2.2](24-25高一上•江苏盐城•阶段练习)已知sin则cos6-a)的值等于()

A.-B.1C.-呼D.竽

3333

【解题思路】根据诱导公式化简求值.

【解答过程】因为a—?+2a=T，

442

所以cos(;-a)=COS[一1(a-^)]=cos*+(°-乎)]="sin(a-T)=-r

故选:A.

【变式2.3](24-25高一上•浙江宁波・期末)已知角6的终边过点(5,-12),则85《+。)=()

A.-B.--C.-D.--

13131313

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【解题思路】根据三角函数定义得到sin。二-1|,由诱导公式得到答案.

【解答过程】由三角函数定义知，sin6=赤者正=-£,

cos（；+6）=-sinO=^|.

故选：C.

【题型3三角函数的化简、求值——诱导公式】

==【例3】（24-25高一上•江苏常州•阶段练习）计算：sin（-3TT+J-cos管+§+tan管一=（）

A.UB.1c.红D.谓+1

【解题思路】利用诱导公式化简即可求值.

［解答过程］sin(-3n+,-cos管+；)+tan(y一

/3TTTT

=sin(-4n+n+口)一cos(2n+H)+tan(2TT4-————

(7T\/TT1T\/31TTT\

=sin^+_J_cos^_+_J+tan^___J

/3nTT\

J.ITs,n

=-sin-+sin-H-------«--------

638sd,

.n..n.-cos?1,x/3.—1+V3

=-sin-+sin-4---4=--+—+——.

63-Sin-222

故选:A.

【变式3.1]（24-25高一上・江苏囱京•阶段练习）计算sin（3”一；）一cos（T+9+tan（三一9二（）

A.V2+1B.1C.V2-1D.-V2+1

【解题思路】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.

【解答过程】原式=sin(五一一cos(；+；)+tan-=sin^+sin：+tan：=x/2+1.

故选：A.

【变式3.2］(24-25高一上•全国•课后作业)化简cos?(180。+a)tan(—a+180°)—2sin(—180°+a)cos(—a).

【解题思路】根据诱导公式化简即可求解.

【解答过程】原式=cos2a(-tana)-2(-sina)cosa

/sina\

=cos7za--------+2sinacosa

\cosa/

=sinacosa.

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sin(3n-a)cos(y+a)tan(57T-a)cos(y-a)

【变式3.3](24-25高一上•河南洛阳•阶段练习)⑴化简:

sin(詈+a*os(2n-a)cos(6n-a)

(2)已知sin(75。+a)=[,求cos(a-15。)+sin(105。-a)的值.

【解题思路】(1)利用诱导公式运算求解即可；

(2)以75。+a为整体，结合诱导公式运算求解即可.

【解答过程】(1)原式=电3+型3=哗一空=o；

-cosacosccosacos^acos'a

(2)因为(75。+a)-(a-15°)=90。，(75°+a)+(105°-a)=180°,

所以cos(a-15°)+sin(1050-a)=cos[(75°+a)-90°]+sin[180°-(75°+a)]

=2sin(75°+a)=

【题型4三角函数恒等式的证明一诱导公式】

a【例4】(24-25高一上•上海•课后作业)已知sin(a+£)=1,求证：tan(2a+/?)+tan/?=0.

【解题思路】由已知可得a=2kn+]-6(kwZ),代入等式左边，再利用诱导公式推理即得.

[解答过程】由sin(a+/?)=1,得a+P=2/CTT+](k£Z),则a=2/CTT+1—0(keZ),

因此tan(2a+S)+tan/?=tan[2(2/cn+]一夕)+夕]+tan/?

=tan(4/frr+IT-20+/?)+tan/?=tan(4/cn+n-/?)+tan/?

=tan(n-/?)4-tan/?=—tan/?+tan/?=0,

所以原等式成立.

【变式4.1](24-25高一上•全国•课后作业)证明：sin(217°—a)cos(a—127°)4-cos2(127°—a)tan2(53°4-

a)=1.

【解题思路】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立.

【解答过程】sin(217。一。)=5也[180。+(37。一。)]=-sin(370-a)

cos(a-127°)=cos(1270-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a),

2/rooI\_$®2(53。+，)_5也2[90。-(37。-喇_COs2(37—a)

2o

tan+a)=cos2(S3o+a)=cos[90-(37°-a)J=Sin2(37j)'

故等式左边=sin2(37°—a)+cos2(37°—a)=1,等式成立.

【变式4.2](24-25高一・全国•课后作业)已知小B、(:为R4BC的三个内角，求证：sinQ+^)=cos(等一*

【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出呼=?,再结合诱导公式可证得原等式成立.

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【解答过程】证明：在△48C中，A+B+C=n,则等=味.

所以，cos(半_；)=cos(等_y=cosg_T_g=碗一（海）

=新仔+：），

故原等式得证.

lan(kn-a)tan(kTr+a)__sina

【变式4.3】<24-25高一•全:国•课后作业）求证:当k-2或3时.

cos(2kTr-a)sin[(2k+l)n+a]cos3a'

【解题思路】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.

tan(2n-a)tan(2n+a)-tana-tana_tan2a_sina

【解答过程】当k=2时，左边二

cos(4ir-a)sin(5n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a

当A_3时左边_tan(3n-a)tan(3rr+a)_-tana-tana_tan2a_sina

cos(6n-a)sin(7n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a，

综上，k=2或k=3有原等式恒成立.

【题型5诱导公式在二角形中的应用】

||【例5］（24-25高一上•全国•课后作业）已知在△ABC中，sin（Tr+A）=-5则cos（8+C）=（）

A.叵B.一立C.+立D.!

22-22

【解题思路】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果.

【解答过程】由sin(n+4)=—J可得sin/=：,

易知cos(B+(?)=cos(n—力)=-cos71

所以cosA=±V1-sin2/4=土与所以cos(8+C)=±*

故选：C.

【变式5.1](2025高一上•全国・专题练习)在△A8C中，下列等式一定成立的是()

A.sinQ4+B)=—sinCB.cos(/4+B)=cosC

C.cos—B+—C—s.inA-cD.si.n—8+—C—si.n-A

2222

【解题思路】根据三角形中角之间的关系，结合诱导公式化简即可.

【解答过程】在△48C中，有4+B+C=n,

•••sin(y4+8)=sinC,故A错误;

COS(J4+B)=­cosC,故B错误；

cos等=cos(―)=sin+故C正确；

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5也等二sin（1）=cosg,故D错误.

故选：C.

【变式5.2］（25-26高一上•全国•课后作业）己知角力,8,C为△43C的三个内角，若sin竺尸=sin号1则

△ABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出B=C,从而判断三角形的形状.

【解答过程】因为sin”尸=sin上广，4+8+C=TT,

n―2c・n-2B

所以sin------=sin-------

2

川一得cos。=cos/?,

又因为B,CE（0,TT）,

所以B=C,则AC=4B,所以△ABC-•定是等腰三角形.

故选：C.

【变式5.3］（24-25高一下•浙江•期中）已知48,C为△ABC的三个内角，下列各式不成立的是（）

A.sin/1=sin(F+C)B.cosB=-cos(/l+C)

厂.AB+CnB

C.sin-=cos--D.cos-=-si.n——A+C

2222

【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为立，逐个去分析即可选出答案.

【解答过程】由题意知，在△A8c中，A+B+C=n,

对A选项，sin(C+B)=sin(n-A)=sia4,故A选项正确;

对B选项，cos(/4+C)=cos(n-F)=-cosB,故B选项正确;

对C选项，cos与=cosE?=sing,故C选项正确;

对D选项，sin=sin等=cosg,故D选项不正确.

故选：D.

【题型6诱导公式与其他知识综合】

【例6】（24-25高一上•全国・周测）已知角a终边上一点P［l,2）,则/+斤8s（…）=（）

sin^~aj-sin（2n+a）

aA.2B.-2C.0D.：2

【解题思路】由三角函数的定义可得出tana的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.

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【解答过程】由题意，点P(l,2)为角a终边上一点，由三角函数定义可得tana=2,

所以把史止竺竺之=2cosa=2=_2

sin(1-a)-sin(2n+a)cosa-sina1-tana

故选：B.

【变式6.1](2025•辽宁・三模)已知tana=；,则加(：+口-率=()

2cos(-a)-sin(n-a)

A.-1B.1C.-3D.3

【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.

【解答过程]sm(a+%cos管-a)=cosa+sina==其=3,

cos(-a)-sin(n-a)cosa-sina1-tana1--

故选:D.

【变式6.2](24-25高一上•山东淄博・期末)已知角a的始边与％轴的正半轴重合，终边过点P(2,3).

⑴求sina,cosa的值;

cos(岑一a)sin悔+a)-2sin(n+a)cos(-a)

⑵求cosQ+a)sin(-n-a)的值.

【解题思路】(1)由求出点r二|0P|的值，结合三角函数定义可得;

(2)利用诱导公式化简可得.

【解答过程】(1)由题意知，因角a的终边与乃轴的正半轴重合，且终边过点P(2,3),

则点P到原点。的距离r=\0P\=V22+32=V13,

贝ijsina=/=W="77~»cosax22V13

7=^=^T

cos(皆-a)sin(学+a)-2sin(n+a)cos(-a)cos传-a)sinC+a)+2sinacosa

(2)

COSC+a)sin(-n-a)-sinasina

2Vli

-sinacosa+2sinacosa_cosa__2

-sinasinasina3«i3

13

cos(n-a)cos(n+a)

【变式6.3](24-25高一上.云南曲靖•阶段练习)己知a是第三象限角，且sinQ-ajtan(2ir-a)sin(n+a)

(1)求tana的值;

(2)求sin2a+3sinacosa的值.

【解题思路】(1)借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可;

(2)构造齐次式，将弦化切，代入tana=&计算即可.

cos(n-a)cos(n+a)(-cosa>(-cosa)cosa

【解答过程】(1)由题意,sing-a)tan(2n-a)sin(ir+a)-cosa(-tana)(-sina)-tanasinatan2a-2'

解得taMa=2,又a是第三象限角,

•••tana=\[2.

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(2)由(1),tana=V2,a是第三象限角，则cosa。0,

sin2a+3sinacosatan2a+3lana_2+3\'2

sin2a+3sinacosa=

sin2a+cos2atan2a+l3

»课后作业(19题)

一、单选题

I.(24-25高一上・安徽合肥•阶段练习)cos卷竺=()

A.--B.-C.--D.—

2222

【解题思路】根据诱导公式即可求解.

【解答过程】因为cos2°："=cos(674X；+2"=cos(674TT+=cosy=~

故选：A.

2.(24-25高二上.浙江杭州•期末)若sin管一x)=g,且0VX＜；,则sin&+%)=()

A."B.C.；D.-g

3333

【解题思路】根据“范围计算费7范围，再结合sin管-％)的正负性，得出0＜费7＜拳则可计算

cos管一X),最后利用诱导公式化简sinC+“)=sin卷一管一")］即可，

【解答过程】则一名〈答一工〈萼，

2888

又sin偌7)=：＞0,则OV^-xV"

故cos(y-x)=苧，

sin《+x)=sinU)]=cos管-x)=当

故选:A.

3.(24-25高一上•云南德宏・期末)sin2025°的值是()

A.力B.史C.遗

222

【解题思路】根据诱导公式求值.

【解答过程】sin2025°=sin(5x360°+225°)=sin225°

=sin(180°+45°)=-sin45°=

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故选：A.

4.(24-25高一上•广东汕头•期末)COS3300+tan6000=()

C遗D,也

【解题思路】利用诱导公式化简即可求出.

［解答过程］cos330°+tan600°=cos(360°-30°)+tan(360°+180°+60°)

=cos(-30v)4-tan(18Uv+60v)

=cos300+tan60°

存百产

故选:D.

5.(24-25高一上•云南昭通・期末)sin(：+0)=£那么cosa=()

【解题思路】根据三角函数的诱导公式，可得答案.

【解答过程】因为sin(3+戊

故选：D.

6.(24-25高一上•浙江杭州•期末)已知sin—｝且0<xV彳，则sin&+%)=()

B.也D.-也

【解题思路】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.

【解答过程】因为0V”V?所以一

N633

由平方关系可得cosQ-%)=Jl-sin2Q-x)=苧，

故选：B.

7.(24-25高一上•江苏镇江•期末)已知角6的顶点在坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边经过点

P(-3,-4),则sin+9=()

D.j

【解题思路】根据任意角的三角函数的定义求出cos。，再化简sin(e+»可求得结果.

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【解答过程】由题意得cose=0二，〜

V(-3)2+(-4)25

所以sin(6+5=cosO=

故选:B.

8.(24-25高一上•广西百色・期末)已知角a的终边过点(一5,12),则笔竿与生二()

sin(--aj4-cos(-+a)

A.—1B.1C.——D.—

717

【解题思路】由三角函数的定义求得tana,利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.

【解答过程】因为角。的终边过点(一5,12),所以tana=-后，

所以sin(-a)+cos(n-a)_-sina-cosa

sin^^-a)+cos^+a)cosa-sina

=-tana-1=-(T)T=J_

1-tanar—(一317,

故选：D.

二、多选题

9.(24-25高一上•浙江温州•期末)已知sina=—5则()

A.sin(n4-a)=1B.sin(n—a)=1

C.sin(1+a)=]D.cos(a-1)=-

【解题思路】根据诱导公式逐项分析即可得解.

【解答过程】由诱导公式知，sin(7i+a)=-sina=故A正确;

sinfir-a)=sina=一，故B错误；

sinG+a)=cosa=±V1—sin2cr=±y»故C错误；

cos(a—5)—sina——故D正确.

故选：AD.

10.(24-25高一上•安徽亳州•期天)在△48C中，下列关系成立的是()

A.sin(i4+8)=sinCB.cos(4+8)=cosC

-、A+B4c_A+BC

C.tan---=tan-D.sin---=cos-

2222

【解题思路】应用三角形内角关系结合诱导公式计算求解各个选项即可.

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【解答过程】由已知4+B=n-C,所以sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,A正确;

cos(/l+Z?)=COS(TI—C)=—cosC,所以B错误;

c

O4+BnC4A+B4ZnC\cos-

因为^-=5-5，匕n-^-=tan匕_藐一觥，

sin"3=sin(E一£)=cos£,故C错误D正确.

2\22/2

故选:AD.

H.(24-25高一上・安徽合肥・期末)已知角a的始边为工轴的非负半轴，角a的终边与单位圆的交点为

P停一③则()

A.tana=\/2B.sin(-a)=当

C.cos(n-a)=--D.cos(D二一半

【解题思路】根据三角函数的定义可得sina=一半,cosa=泽tana=一伉即可结合诱导公式逐一求解.

【解答过程】由题意可知：sina=-^,cosa=^,tana=-V2,

故sin(-a)=—sina=乎，cos(n-a)=-cosa=-与cos(«-1)=sina=一等故BCD正确，A错误,

故选：BCD.

三、填空题

12.(24-25高一_L•云南玉溪•期末)己知sin(8-B)=；,MOcos(0-1•

【解题思路】由颉色一等;次顺冶)，，利用诱导公式求解.

【解答过程1cos(。一•=cosg§加6一(。一[)]=如(6

故答案为：9

13.(24-25高一上•山西大同•期天)tanlO°+tanl70°+sinl866°-sin(-606°)=0.

【解题思路】根据诱导公式化简计算即可.

【解答过程】原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin(5x360°+66°)-sin[(-2)x360°+114°]

=tan100—tan10°+sin66°—sin(180°—66°)=sin66°—sin66°=0.

故答案为：0.

14.(24-25高一上・江苏・期末)已知sin(x+》=3,则sin(g—x)+siMg—%)=苔.

[解题思路】利用诱导公式及同角公式计算得解.

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【解答过程】由sin(%+；)=：,得sin谭-x)+sin2(^-x)=sin[n一(；+%)]+sin2[^-+x)]

=sing+x)+cos2(j+x)=sin(j4-%)+1—sin2G+x)=1+l—i=^-.

故答案为:Y-

四、解答题

15.(24-25高一上•全国,课后作业)化简sinC—a)cos+a)+sin(n—a)sin+a).

【解题思路】利用诱导公式进行化简求值.

(解答过程】sin(T-。)=cosa,cos管+。)=cos()+a)=—sina,sin(n-a)=sina,sin得+a)=

-sing+0)=-cosa,

故原式=-2sinacosa.

16.(24-25高一上•全国•课后作业)化简下列各式并求值：

(l)2sin=+3cos(-IT)+tan-：

26

(2)cos(-495°)sinlll0°+sin390°cos(-780°).

【解题思路】直接利用诱导公式和特殊角的一.•角函