2025-2026学年高中数学人教版必修第二册教案：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

问题1我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和,

长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？

提示长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.

【知识梳理】

棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体表面积

多面体的表面积就是

棱柱板板柱何欣

围成多面体各个面的S+2S

棱锥面积的和S杨隹衣=S-世a+S帙

棱台S度台农二£愎先的垃।氐+S卜政

例1(1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15,高是5,

求该直四棱柱的侧面积和表面积.

解如图，设底面对角线AC=a,BD=b,交点为0,对角线4c=15,历庆9,

：.a2+52=\52,/?2+52=92,

，4=200，/=56.

即AC=10V2,BD=2y[14.

•・•该直四棱柱的底面是菱形，

・〃C、2/BD\2a2+b2200+56,...

・・A8“=e)+(芸=~4~=-4-二64一・A8n=8o.

，该直四棱柱的侧面积S侧=4x8x5=160.

该直四棱柱的底面积S底=/c8Z>2()夕.

该直四棱柱的表面积

S表=160+2x2077=160+40位.

(2)已知四楼台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四

棱台的表面积.

解如图，在四棱台ABCD-AiBiG。中，过囱作BF1.BC,垂足为F,

在RtA2J)ra中,Z?F=1x(8-4)=2,BiB=8,

故B\F=\lQ2-22=2V15,

所以)*RRr=7X(8+4)X2/15=I2>/15,

WJTzooiC乙

故四棱台的侧面积S侧=4x12代=48m，

所以四棱台的表面积S表=48代+4x4+8x8=80+48房.

反思感悟(1)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意由它们

组成的直角三角形的应用.

(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应

用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成

的直角梯形.

跟踪训练1已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-A8C。，如图所示，求它的侧面积、表面

积.

AB

解•:四棱锥S-A3C。的各棱长均为5,

・••各侧面都是全等的正三角形.

,S侧=4S&sA8=4xgsAS8sin60°

=4xi＞：52x^=25V3,

22

S表=S侧+S底=25百+25=25(6+1).

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

【知识梳理】

几何体体积说明

棱柱V核柱=5〃S为棱柱的底面积,力为棱柱的高

棱锥V^ShS为棱锥的底面积,〃为棱锥的面

S,5分别为棱台的上、下底面面积,h

棱台v极台力(s'+V?^+s)

为棱台的通

问题2观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？

提示

例2(1)已知高为3的三棱柱的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥

3-ABC的体积为()

1

A.B

“42

C.V3D.立

64

答案D

解析设三棱锥B『ABC的高为。，则、“4S△谢・力今一x3二半.

二棱锥81-M8C3344

(2)正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm,侧面面积为780cm2.求其体积.

解正四棱台的大致图形如图所示，其中4由i=10cm,AH=20cm,取的中点E,AA的中点E,则

Ei£为斜局.

设。।,。分别是上、下底面的中心，则四边形EOOiE为直角梯形.

'/S侧=4x^x(10+20)xEEi=780(cm2),

EZT|=13cm.

在直角梯形EOO1E1中，

OiEi=1/liBi=5(cm),OE=^AB=\0(cm),

J0]P=V132-(10-5)2=12(cm).

故该正四棱台的体积为

归x12x(102+202+10x20)=2800(cm3).

反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长).

常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥

的有关知识及相似性来解决问题.

跟踪训练2如图，已知是棱氏为a的正方体，£为44的中点，/为CG上一点,

则三棱锥尸的体积为

答案

解析V=v

三棱椎A1®EF三棱锥F-4M1E'

』］。遇护闭八审，

又三棱锥F-4AE的高为CD=a,

V_二二/

二度锥F-&D1E3412

•三壤锥&-D1EF一石"-

三、简单组合体的表面积和体积

例3一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多

少立方米混凝土（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）？

解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.

S16=0.6x1.13x（0.5+03）x0.3

=0.54〔平方米），

占S底S=0.54x24.8H3.39（立方米）.

故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.

反思感悟（1）求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎

样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体

的体积，然后再相加或相减.

（2）常见的几何体体积求法.

跟踪训练3如图，在棱长为〃的正方体A3CD-A山中，截去三棱锥A-A3。，求剩余的几何

体AxBsC\D\-DBC的表面积和体积.

解由图可知4A山。是边长为鱼。的等边三角形，其面积为弓/,

故所求几何体的表面积S=SA4BD+3s》用厂35丁士.e_c=^a2+3^x2+3a2=^-a2.

1止万51tK54iBiCiDi22aL

几何体ASGD28C的体积上4方体…三和

■课堂小结匚

1.知识清单：

(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.

(3)组合体的表面积与体积.

⑷棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.

2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.

3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.

随堂演练

1.已知各面均为等边三角形的四面体的楼长为2,则它的表面积是()

A.2V3B.4V3C.4D.6

答案B

解析S表=4x坐X22=4VT

4

2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为VL体对角线长为遥，则这个棱柱的侧面积是

()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1,长方体的高为否=2二2,故这个棱柱的侧

面积为Ix2x4=8.

3.如图，ABC-ABC是体积为1的三棱柱，则四棱锥的体积是（）

答案C

解析***V三棱锥三棱柱八8C-A"'cW,

•JJ

V四棱锥C-AA'BB=1

4.棱台的上、下底面面积分别是2和4,高为3,则棱台的体积为.

答案6+2\/2

解析V棱fe=1x（2+4+V23c4）x3

=jx3x（6+2^）=6+2x/2.

课时对点练［分值：100分］

单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分

1.已知一个正六棱铺的底面边长为1,侧棱长为遥，那么它的体积为（）

A.6>/3B.V3C.2V3D.2

答案B

解析由题可得高狂Jo回二12=2,

又因为底面积S=6x；x1xI二平，

222

所以心知?=勿乎X2=V5.

332

2.将一个棱长为。的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）

A.6〃B.12/C.I8«2D.24〃

答案B

解析棱长为。的正方体的表面积为S=642,由棱长为。的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和

为S2=27X6X（|）=18/,因此表面积增加了12注

3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2：3,则棱柱与棱锥体积的比值为（）

A.-B.2C.-D.3

23

答案B

解析设棱柱的高为h,底面积为S,则棱锥的高为h,底面积为白，故二者体积的比值为排=逐一=2.

2"2gX-S/l

4.（多选）正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2百，则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥的高为3

B.正三棱锥的斜高为苧

C.正三棱锥的体积为空

D.正三棱锥的侧面积为岸

答案ABD

解析设E为等边三角形4OC的中心，产为CO的中点，连接叩，EF,PE,

则PE为正三棱锥的高，夕〃为斜高，

又弯，

EF二忠正,

232

故PE=1^-7=3，故A,B正确.

744

而正三棱锥的体积为：x3xfx9=¥，侧面积为3、*3、"=岸，故C错误，D正确.

344224

5.在正方体中，三棱锥ABiC的表面积与正方体的表面积的比为（）

A.1：1B.l：V2C.l：V3D.1：2

答案C

解析如图，三棱锥Q-A8C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a,则

面对角线长为鱼。,S«=4x^x(V2d)2=2V3«2,S正方体，故5傻：S正方体=1:V5.

4

6.一个封闭的正三棱柱容器，高为3,内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，

个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E,F,F”后分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为

)

甲乙

7

AB.-C.2D.-

i44

答案D

解析因为£,尸，Q,昂分别为所在棱的中点，

&EFC8-JF1gB尸梯形皿'3个23孝女,设甲中水面的高度为h,则S—Xh邛"耽、：♦吟

7.(5分)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的儿何体，若该几何体的体

积为60,则该几何体的表面积为.

答案110

解析设正四棱柱的底面边长为小，则4(42-AH2)=60,解得，则该几何体的表面积为42*4+(42-

12)X2+4X1X4=110.

8.(5分汝n图，已知正四棱锥的底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30。，则正四棱锥的侧面积为

cm2.

p

答案32

解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成一RtZ^POE.因为0£>2cm,ZOPE=30°,所以斜高

CL0E2...

PE=-——-=-r=4(cm),

sin3001v'

所以正四棱锥的侧面积S=4x|x/?CxPE=4xix4x4=32(cnr).

9.（10分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥24aG。1，下部分的形

状是正四棱柱ABC。-4181G。（如图所示），并要求正四棱柱的高OiO是正四棱锥的高POi的4倍，若

AB=6m,PO\=2m,则仓库的容积是多少?

解由POi=2m,知OiO=4PO[=8m.

因为A\B\=AB=6m,

所以正四棱锥P-4囱GOi的体积V^=--A,PO,=-x62x2=24(m3),正四棱柱ABCDA/C。的体积V柱

33

M^2OiO=62x8=288(m3),所以仓庄的容积占丫锥+V柱=24+288=312(m3),

故仓库的容积是312m3.

10.（10分）如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点。，且平行于底面的平面所截，得到正六棱台。。用1较小的

棱锥PO：

（I）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；（4分）

（2）若大棱锥R9的侧楂长为12cm,小棱锥的底面边长为4cm,求截得的棱台的侧面面积和表面积.（6分）

解⑴由题意知S小棱锥恻：S大棱僮例=1：4,

贝iJS尢棱锥恻：S小棱械侧：S棱台例

=4：1：3.

（2）如图所示，•・•小棱锥的底面边长为4cm,

・•・大棱锥的底面边长为8cm,

又PA=\2cm,/.Ai/4=6cm.

又梯形ABBiA的高

h-V62-22=4V2(cm),

S棱台侧=6x±^x4或=144V2(cm2),

S棱台表=S棱台＜M+S上底+S下底

=144V2+4x4x—x6+8x8x—x6

44

=144V2+24V3+96V3

=(144V2+120V3)cm2.

11.（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖嚅”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术・商场》：“斜解

立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖嚅”.一个长方体沿对角面斜切（图1）,得到一模一样

的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜切（图2）,得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三

棱锥称为鳖睛（图4）.

图】图2图3图4

若长方体的体积为匕由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖嚅的体积分别为％，V2,匕，则下列选项

正确的是（）

A.V1+V2+V3=VB.V）=2V2

C.V=2VID.V-V3=-

224

答案AC

解析由题意，堑堵的体积修干，阳马的体积匕三，鳖席的体积%为多,

2336

所以^+V2+V3=V,2VI=3V2,6V3=3V2=V,即V2=2V3,所以V2-V3=V^,

6

所以A,C选项正确，B,D选项错误.

12.（多选）正多面体统称为柏拉图侬若连接某正方体A8CD-A山QG的相邻面的中心，可以得到一个新的体

积为g的柏拉图体。.则（）

A.0是正六面体

B.正方体A8CO-A用IGOI的边长为2

C.0与正方体ABCQ-A/COi的表面积之比是当

D.平面4CG4与。相交所得截面的面积是四

答案BCD

解析对于A,如图，0是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；

ABi

对于B,设正方体ABCO-4囱GO的边长为a,。是正八面体,且四边形NGMH是对角线长为。的正方形，

以四边形NGM〃为底面的两个四棱锥E-NGM〃与尸-NGM〃的高都为］,

则0的体积为为990吟乂2=/=；,

所以“=2,所以B正确；

对于C,正方体A8CQ-A山iGQ的表面积是6x2x2=24,

。的各个面是边长为企的等边三角形，

所以Q的表面积是8x1xV2xV2x^=4V3,

所以萼斗，所以C正确；

246

对于D,如图，平面ACG4与。相交所得截面为四边形EQF尸，P,。分别是,NG的中点，

且EQ,QF,FP,PE相等，EQ//FP,QF//PE,四边形EQ”是菱形，EF=2,PQ=^2,其面积为

|X2XV2=V2,所以D正确.

13.（5分）如图所示，在三棱柱A8C/7TU中，若E,尸分别为AC,A8的中点，平面EC5下将三棱柱分成

体积为V,的棱台AEATCTT和体积为L的几何体8FECCB两部分，那么V,：V2=

C

A

答案7：5

解析设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则因为E,"分别为AC,AS的中点，

所以S/xAE产;S,

4

所以收“s+；S+„S/?,

4=y-V*S/i.所以V1：16=7：5.

14.（5分）在棱长为4的正方体A8CD-4以G。中，E,尸分别为线段8。上的动点，点。为侧面

BCGBi的中心，则/周长的立方的最小值为.

答案16+8立

解析如图①，设侧面A88A的口心为M,根据正方体的结构特征可得,FM=FO,

则△（）£：产周长的最小值即OE+E臼■尸M的最小值.

将侧面8CGS绕着“办旋转至与平面所。/在同一平面上,

将平面4。山绕着5。旋转至与平面小。归在同一平面上，如图②，则

J(2+2V2)2+22=274+2V2

OE+EF+FM>OM=

故△OEF周长的平方的最小值为（2〃+2伪2=16+8V2.

15.宫灯又称宫廷花灯（如图1所示），是中国彩灯中富有特色的手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个

花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上底面、下底面的边长分

另ij为2dm和4dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm,则该花灯的表面积为（）

图2

A.(10S+30V3)dm2B.(72+30V3)dm2

C.(64+24V5)dm2D.(48+24V3)dm2

答案A

解析正六棱柱的六个侧面面积之和为2x6x6=72(dm2),正六棱柱的底面面积为Xx22x6=6VI(dm2),如图