二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

基础练________________________________________________

巩固新知夯实基础

1.1多选）下面所给关于X的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）

A.3x+4<0Bjr+mx-l>0

C.av+4x-7>0D..r<0

2.已知集合M={x|f—3x—280O},N={HF—X—6>0},则MClN为（）

A.{x|一44v—2或3<吐7}B.{x|—4〈吐一2或3刍〈7）

C.{叱-2或x>3}D.{xlxv-2或启3}

3.一元二次方程加+bx+c=O的根为2,-1,则当。<0时，不等式加+以+企0的解（）

A.{.很<—1或x>2}B.{耳在一1或应2}

C.{x\-\<x<2]D.{A|-1<\<2}

的不等式办一办0的解集是（1,+8）,则关于x的不等式3+份。-3）>0的解集是（

A.{巾<-1或x>3}B.{.r|-l<x<3}

C.{.r|l<.v<3}D.{小<1或x>3}

5.若不等式or2—x—c>0的解集为{x|-2<xvl},则函数>=加一x—（•的图象为（）

，/\,一\-；oL

-2;

-2/1。12\*Z2-1O[\2x<

CD

AB

6.不等式一1<?+2%一修2的解集是________.

7.方程/十（〃]-3求+阳=0的两根都是负数，则机的取值范围为____

8.解关于x的不等式：f+a—〃支一〃<（）.

能力练

综合应用核心素养

9.若0«1,则关于x的不等式(LX)(X—；)>0的解集是()

A.卜B.,〉；或g}

y-4(+6v>()

io.设函数於)=一二一’则不等式小)习(1)的解集是()

x+6,x<0,

A.(-3,1)U(3,+oo)B.(一3,1)U(2,+oo)

C.(-1,1)U(3,H-oo)D.(-00,-3)U(1,3)

11.不等式/一内一4<0的解集是{.r|2〈xv3},则不等式dP-px-AO的解是()

J1-11JI11

A.px<-2^x>—^B.jx—尹<一'

C.x1<r<^1D.{巾<2或i>3}

12.(多选题)已知关于x的方程$+(〃?-3)x+m=0,下列结论正确的是()

A.方程x2+(in—3)A+m=0有实数根的充要条件是{m\m<\或rn>9)

B.方程/+(/〃-3)x+〃?=0有一正一负根的充要条件是根£{〃加〃<0}

C.方程*+(m一3).r+〃?=0有两正实数根的充要条件是〃?£{加0<壮1}

D.方程f+(加-3)x+〃?=0无实数根的必要条件是

13.已知x=1是不等式三v2—6心;+8K)的解，则k的取值范围是.

14.若关于x的不等式ar—6.r+«2>0的解集为,则a=,m=

15.若不等式aF+bx+c2。的解集为卜|一为《21,求关于x的不等式ex2—历:+〃<()的解集.

16.解关于x的不等式ar—2(a+l)x+4>0.

2

【参考答案】

1.BD解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B,D一定是.

2.A解析：••,"={4?一33一2800}={工|一487},7={_4~一不-6>0}={耳1<一2或x>3},

：.MC\N={x\~4<x<-2或3OW7}.

3.D解析：由方程ad+Zzv+cuO的根为2,-1,知函数y=a*+/?x+c的零点为2,-1,又工函

数？=加+云+。的图象是开口向下的抛物线，，不等式"2+Z?X+CK)的解集为{x|-1三匕2}.

4.A解析：由题意，知〃>0,且I是ar—b=0的根,所以。=方>0,所以(ar+〃)(x—3)=a(x+l)(x—3)>0,

所以工〈一1或f>3,因此原不等式的解集为{.5V-1或Q3}.

5.B解析：因为不等式的解集为国一20<1},所以KO,排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为一2,1,

故选B.

x2+2x—3<0,

6.{川一34<一2或0X1}解析：V]一・・・一34<一2或04区1.

jr+2jt>0,

A—(m—3)2—4w>0»

7.{;n|w>9}解析：・・・,XI+X2=3-W<0,/.w>9.

JlX2=〃?>0，

8.解：方程x2+(1—a)x—a=0的解为xi=—1,上=。.函数y=f+(1—。的图象开口向上，所以

(1)当。<—1时，原不等式解集为{x[〃<xv-1};

(2)当”=-1时，原不等式解集为0；

⑶当〃>一1时，原不等式解集为国一1VV7}.

9.D解析：*.*0</<I,.*.y>l,/.(z—.v)(x—y)>0<=^x—/)(x—y)<0<=y<r<y.

10.A解析：/(I)=12—4X]+6=3,当应。时，x2—4x+6>3,解得x>3或08<1；

当工vO时,x+6>3,解得一3<x<0.所以於)41)的解集是(一3,1)U(3,+oo).

2+3=〃，p=5,

11.B解析：易知方程f—p.r—q=O的两个根是2,3.由根与系数的关系得1x3=_q解得.=一6

不等式t/A2—p.r—1>0为一6f一5x—1>0,解得一

12.BCD解析：在A中，由/=5-3)2—4〃?20得,区1或〃G9,故A错误；在B中，当x=0时，函数)，

=f+(〃1一3M+〃?的值为m,由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是〃?£{〃力〃K()},故B正

3—m>0,_

确；在C中，由题意得m>0,解得()<心1,故C正确；在D中，由/=(/九一3)—4〃7<0得1</〃<9,又

{m\\<m<9}c{m\m>1},故D正确,故选BCD.

13.右2或k>4解析：x=1是不等式—r2—6履+820的解，把犬=I弋入不等式得42—6攵+运0,解得"4或k<2.

14.-3-3解析：在A中，由/=(，〃-3)2—4〃它0得〃区1或〃它9,故A错误；在B中，兰x=0时，函

数)，=/十(〃?一3)“十用的值为〃?，由一次函数的图象知，力程有一正一负根的充要条件是〃?匚“川加<0},故

3

3—m>0)-e

B正确；在C中，由题意得m>(),解得0<"区1,故C正确；在D中，由/=。〃-3)2—4〃?<0得

又向1<〃?<9｝Q｛m\m>1｝,故D正确，故选BCD.

可知I,是方程加一6x+a2=()的两个根，且〃<(),

+〃?=自

ia=—3a=2

.解得，nV片2(舍去).

m=-3-

15解由aF+Ar+cNO的解集为卜|一

，知”0,

Jb

一科2=一£

且关于k的方程加的两个根分别为一/52

+/u+c=02,・•・一飞I,c=一/

-TX2=-

3a

所以不等式ex2—法+〃<0可变形为(一多，v2—(一//｝+4<0,即2aF—5or—34>0.

又因为亦0,所以2?—5工一3<0,所以所求不等式的解集为何一］々<3'

16.解(1)当〃=0时，原不等式可化为一2A+4>0,解得X<2,所以原不等式的解集为｛.中<2｝.

2

(2)当。>0时，原不等式可化为(火一2)(1-2)>0,对应方程的两个根为川=7也=2.

①当0<〃<1时，触,所以原不等式的解集为卜A->J或XV2);

2

②当。=1时，，2,所以原不等式的解集为｛•机2｝；

7I?

③当时，;<2,所以原不等式的解集为f卜>2,或ry\

(3)当。<0时，原不等式可化为(一ar+2)(x—2)<0,对应方程的两个根为x产2系幻=2,则2左2,所以原不等

2

式的解集为1~<x<2.

综上，。<0时，原不等式的解集为*~<x<2卜

a=0时，原不等式的解集为3欢2｝；

0<^<1时，原不等式的解集为U4，或A，<2｝；

当心1时，原不等式的解集为卜卜>2,或痣｝.

A级必备知识基础练

1」探究点一(南度2)］不等式炉20的解集为()

1-X

A.{川-6«I}

4

B.{4rel,或x4-6}

C.{x|-6^x<l}

D.{x|x>l,或后-6）

2」探究点一（角度1）偌集合A={x|（2i+l）（x-3）vO},B={x£N*kW5},则4nB等于（）

A.{1,2,3}

C.{4,5}D.{1,2,3A5}

3.［探究点一（角度1）］不等式的解集是（）

A.{小25,或xW-1}

B.{x|x>5,或x<-l}

D.{升l«5}

4」探究点二］若不等式加+法+6>0的解集为{小v-3或入>-2},则（）

A.a=l力=-5B.a=-\,b=5

C.a=-\,b=-5D.a=l力=5

”探究点一（角度2）］不等式，;22的解集是（）

X-1

A.{x|x<l}B.{x|x>2}

C.{x|l<x<2}D.{x|l4W2}

6」探究点二・2024江苏连云港高一期中］（多选题）设a.O,c为实数，不等式加+6+c>0的解集是{小<1或£>3},

则下列说法正确的是（）

A.avO

B.ab<0

C.ac>0

D.a：b：c=l：（-4）：3

7.［探究点二］（多选题）不等式or2+以+c2（）的解集是{升1«},对于系数aQc下列结论正确的是（）

A..a+b=0B.a+Z?+c>0

C.c>0D./?<0

8」探究点二］二次函数产加+/?x+c（x£R）的部分对应值如下表:

X-3-2-101234

V60-4-6-6-406

则关于x的不等式a^+bx+00的解集是.

9」探究点三］某产品的总成本），（单位:万元）与产量M单位:台）之间的函数关系是产3000+201-0.l.r（0<.r<240）,

若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是台.

10.|探究点一（角度I）］求下列不等式的解集：

（1）2^-13x+20>0;

（2）仅+5工+1<0;

5

(3)4f4r+lW0.

B级关键能力提升练

11.在R上定义运算“O”：〃O/4时+2a+4则满足AO（X-2）<0的实数x的取值范围为（）

A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<l}

C.{x|x<-2或x>l}D.{x|-l<x<2}

12」关于x的不等式f-2ar+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（）

A.O<a<lB.Ovag

C.OWaWlD.avO或应

13.已知〃>0力>0,则不等式功vgva等价于（）

AM—或W

BT或吟

C.-a<A<0或0<br<7

D.4<V<0或0<x<-

ba

14J2024河北唐山高一期中］（多选题）已知关于x的不等式aF+版+c>（）的解集为<1},则下列结论正

确的是（）

A.«>0

B.c<0

C.a+b>0

D.关于x的不等式cM+Zu—a>。的解集为3-3<x<-l}

15.己知不等式浸-3x+6>4的解集为{小<1,或其>力）.

（I）求4力的值;

（2）解不等式加-3c+母r+/?c<0.

16.已知集合4={XM-4X+3W0},B=.若是上£夕的必要不充分条件，给出如下三个条件:①

{川如1Wx，）,②3“WxW〃+2},③{xlVHWxW6+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在，求出

。的取值范围.

C级学科素养创新练

17.在R上定义运算：°b=%/-儿.若不等式卜J8221的解集为R,则实数〃的最大值为_________.

cd（a+lx

6

18.己知关于x的不等式(日-&2_4)(”4)>0的解集为A,其中心R.

(1)若5£A,求实数k的取值范围.

⑵求不等式的解集A

(3)是否存在实数公使得上述不等式的解集4中只有有限个整数?若存在，求出使得4中整数个数最少的k的

值;若不存在,请说明理由.

答案：

1.C不等式售20等价于忖①"°,解得-6Wxvl.故解集为国-6&<11.

2.BV(2x+l)(x-3)<0,:.」<xv3.

又工£N”且xW5,则x=l,2.即ACIB={1,2}.

3.B由./办・5>2兑得『4・5>0,因为方程/4・5=0的两根为・1,5,所以不等式/4・5>0的解集为{小或

x>5}.

4.D因为不等式ax2+bx+6>0的解集为口卜<-3或x>-2},所以-3和-2为方程a.r+bx+6=O的两根，即

9。-36+6=0,4*2h+6=0,解得故选D.

5.D不等式二22可化为二-220,即空20,等价于产；?71)-°麻得L,

X-1x-1x-1(X-1丰0,

所以不等式的解集为31<xW2}.故选D.

6.BCDVuhc为实数，不等式以2+"+。>0的解集是［小<1或二>3},.・・〃>04和3是方程加+版+。=0的两

(1+3=

个根,，ab=-4a<0,c=3a>0,ab<0,ac>0,a：Z?：c=l：(-4):3.故选BCD.

1x3=-a,

7.ABC由不等式a^+bx+c^O的解集是“|-1WxW2)可得。<0,且方程ajr+bx+c=0的两个艰为-1,2,所以

--=-1+2=1>0,所以b=-a、b>0,故A正确,D错误;由£=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数yuad+bx+c的图象

aa

开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-12因此当x=l时，产〃+b+c>0,故B正确.故选ABC.

8.{x\x<-2,或x>3}根据表格可以画出二次函数严加+bx+c(x£R)的图象如图.

由图象得关于％的不等式ar+Z?A+c>0的解集是{x|xv-2,或x>3}.

9.150依题意得25x23000+20工。1『,整理得x2+50.v-3000020,解得工2150或xW

-200(舍去).因为0<x<240,所以I50Wx<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.

10.解(1)原不等式对应的方程为2r-l3x+20=0J=(-13)2-4x2x20=9>0,

所以该方程的两根为即=9乜=4.

442

7

画出函数>，=源-13x+20的大致图象，如图，函数图象与x轴的交点为(4,0),(|,0).所以不等式2_己13x+20>0的解

集为卜卜>4或x<卦.

(2)原不等式对应的方程为7/+5人+1—0/—5'-屯<7><1--3<0,所以方程无解.画出函数J-7A9+5A+1的大致图象,

如图，图象与x轴无交点.所以不等式7/+5x+1<0的解集为。.

(3)4f-4rHW0可化为(Zr-lpWO,所以2x-I=0,4

所以x=3.画出函数)=4/-41+1的大致图象,如图，函数图象与x轴只有一个交点百0).

所以不等式4A2-4x+1W0的解集为｛x卜=：｝.

11.B根据给出的定义得(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=f+x-2=(x+2)(x-l).

又XO(X-2)VO,则a+2)a-l)vo,故x的取值范围是3-2VXV1｝.

12.C因为不等式fAor+aX)的解集为R,所以/=(27)2-44=4〃&1)<0,解得0<〃<1.选择的必要不充分条件

的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选C.

也

13.B因为dv[va,所以解》/和，力二等>0,即(1+队)工>0,因为》>0,所以得XV3或工>0;解即

：VQ,

即(1-or)X<0,因为。>0,所以得x<0或x>:.

综上/〈工或r>--

故选B.

14.BC因为不等式加+/u-+c>0的解集为｛4V%<1｝,所以汐1是方程加+6+”0的两个根，由根与系数

b1,.

~+1,

的关系可得《JJ解得a=3c,0=-4c(av0),故A错误,B正确;a+力=-c>0,故C正确;不等式c?+〃x+a>0变

f1，

为cfYcvToOnF/x+BvO,解得｛x[l<r<3｝,故D错误.故选BC.

15.解(I)因为不等式加-3x+6>4的解集为｛川彳<1,或x>。｝,所以M=1与X2=b是方隹ar-3x+2=0的两个实数

8

根■力>1且。>0.

:::争得{同

由根与系数的关系，得

a

(2)由⑴知不等式cuc-[ac+b)x+bc<0可化为P(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x・c)<0.

当02时,不等式(42)(『c)<0的解集为32<x<c};

当c<2时,不等式a-2)(x-c)<0的解集为3c、<x<2);

当c=2时,不等式(.卜2)(x-c)v0的解集为。.

16.解A={x*-4x+3W0}={x|lWx