第十章 概率（高效培优讲义）-人教A版高一数学必修第二册（解析版）

第十章概率

知识点01随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母后表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个：

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

样本空间

我们把随机试验后的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验七的样本空间，一般地,

用.表示样本空间，用”表示样本点，如果一个随机试验有〃个可能结果秋，例，…，七，则称样

本空间Q={%%…皿}为有限样本空间.

随机事件、确定事件

(1)一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，

我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并杷只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅

当/中某个样本点出现时，称为事件力发生.

（2）C作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以C总会发生，

我们称。为必然事件.

（3）空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为°为不可能事件.

（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.

事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件N和事件4,如果事件％发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事

件4（或者称事件月包含于事件8）,记作8=彳或者”[8.与两个集合的包含关系类比，可用下图表示:

不可能事件记作0,任何事件都包含不可能事件.

②相等关系：一般地，若4且”二8,称事件<与事件4相等.与两个集合的并集类比，可用下图表

示:

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件力发生或事件〃发生，则称此事件为事件力与事件"的

并事件（或和事件），记作“U8（或/+4）.与两个集合的并集类比，可用下图表示：

④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件力发生且事件4发生，则称此事件为事件A与事件B的

交事件（或积事件），记作（或18）.与两个集合的交集类比，可用下图表示:

【即学即练】

1.下列说法错误的是（）

A.如果一事件发生的概率为0,说明此事件不可能发生

B.如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件

C.概率的大小与不确定事件有关

D.如果一事件发生的概率为99.999%,说明此事件必然发生

【答案】ABD

2

【详解】对于A当样本空间是区间［0』时，质点落在x=U处的概率为0,但不怠味着这个事件是不可能发

生的，因为随机变量取值是连续的，所以几乎任何地方都有极小的可能发生，故A错误；对于B,C,如

果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以B错误，C正确；对于D,如果一事

件发生的概率为99.999%,不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件，所以D错误.

2.下列各项中，属于随机事件的是（）

A.若正方形边长为。，则正方形的面积为/

B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存

C.在一个标准大气压下，温度达到80℃时水会沸腾

D.抛掷一枚硬币，反面向上

【答案】D

【分析1根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断.

【详解】对于A,若正方形边长为明由面枳公式可知其面枳为这是必然事件，故A不合题意；

对于B,真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题

意；

对FC,在一个标准大气压下，只有温度达到100°C，水才会沸腾，当温度是80℃时.，水不会沸腾，这是

不可能事件，故C不合题意；

对于D,推掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件，故D符合题意.

故选：D.

知识点02互斥事件与对立事件

（I）互斥事件：在一次试验中，事件彳和事件8不能同时发生，即彳n“=0,则称事件力与事件8互后,

可用下图表示：

如果4,4,…，4中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4,.42.....4彼此互斥.

（2）对立事件：若事件力和事件8在任何一次实验中有且只有一个发生，即4U"=C不发生，Af}B=0

则称事件A和事件B互为对立事衅，事件A的对立事件记为力.

（3）互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一

3

必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是困立2的必要不充分条件，

而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

【即学即练】

1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件4B,C,。发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法

错误的是()

A.力+4与C是互斥事件，也是对立事件B.8+C与。是互斥事件，也是对立事件

C.4+C与8+0是互斥事件，但不是对立事件D./与8+C+。是互斥事件，也是对立事件

【答案】ABC

【详解】因为事件力，B,C,。彼此互斥，所以4+8与。也互斥，但是

P(A+B)+P(C)P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.2+0.3=0.7^1,所以不是对立事件，故A错误；因为事件从

彼此互斥，所以A+C与Z)也力斥，但是P(8+C)+P(Q)=尸(8)+P(C)+P(Q)=0.2+0.3+0.3=0.8wl,

所以不是对立事件，故B错误；因为事件4,B,C,。彼此互斥，所以/+C与4+。也互斥，又因为

P(A+C)+P(B+D)=P(A)+P(C)+P(B)+P[D)=0.2+().3+0.2+0.3=1,所以是对立事件，故C错误；因

为事件4B,C,。彼此互斥，所以力与8+C+D也互斥，又因为

P(A)+P(B+C+D)=P(A)+P(B}+P(C)+P(D)=0.2+0.2+0.3r0.3=1,所以也是对立事件，故D正确.

2.给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件4"二次都出现正面〃，事件氏”二次都出现

反而〃，则事件4与事件8是对立事件；(2)在命题(1)中，事件4与事件8是互斥事件；(3)在10件

产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件.4：“所取3件中最多有2件是次品〃，事件⑶“所取3件中

至少有2件是次品〃，则事件力与事件4是互斥事件，其中真命题的个数是.

【答案】1

【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可.

【详解】对于(1)(2),因为抛掷两次便币，除事件/,8外，

还有“第一次出现正面，第二次出现反面〃和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，

所以事件力和事件8不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；

对于(3),若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件彳和事件8同时发生，

所以事件A和事件B不是互斥事件.

故命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题.

故答案为：1

知识点03概率与频率

4

(I)频率：在〃次重复试验中，事件/!发生的次数攵称为事件力发生的频数，频数在与总次数〃的比值二，

n

叫做事件4发生的频率.

(2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件4发生的频率“总是接近于某个常数，并且在它附近摆动,

n

这时，就把这个常数叫做事件力的概率，记作P(⑷.

(3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件力，由于事件/发生的频率工随着试验次数的增加稳定于

n

概率尸(力)，因此可以用频至2来估计概率外力).

n

【即学即练】

1.小明将一枚质地均匀的正方体被子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2,则下列说法正确的是()

A.朝上的点数是2的概率和频率均为1

B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1

C.抛掷第6次，朝上的点数一定不是2

D.抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次

【答案】D

【分析】根据频率与概率的概念判断A,由频率与概率的关系判断BD,由概率的概念判断C.

【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1,概率为，，故A错误；

B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在，附近摆动，故B错误；

C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2,也可能不是2,故C错误；

D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000,理论

和实际会有一定的出入，故D正确.

故选：D.

2.根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次.

(1)求这名运动员的投篮命中率；

(2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？(结果精确到100)

⑶根据提供的信息，判断"该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确.

【答案】⑴0.4696

(2)21300

⑶不正确

【分析】(1)根据命中率计算方法即可得到答案；

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（2）根据命中率反推出投篮次数即可;

（3）根据概率的含义即可判断.

【详解】（1）根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次，

则这名运动员的投篮命中率尸=鬻=04696；

（2）若这名运动员要想投篮命中10000次，则有10000+黑=21300；

（3）虽然这名运动员的投篮命中率夕=就＞；,但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命

中1次”说法不正确.

知识点04古典概型

（I）定义

一般地，若试验£具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

（2）古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件力包含其中的A•个样本点，则定义事件

力的概率P（力）="=嘤.

【即学即练】

1.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一

次"奥运会〃知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有〃人，按年龄分成5

组，其中第一组［20,25）,第二组［25.30）,第三组［30,35）,第四组［35,40）,第五组［40,45］,得到如图所

示的频率分布直方图.

⑴求”的值，并根据频率分布直方图，估计这〃人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表）:

（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会〃宣传使者.若有甲（年龄36）,乙（年

龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙

6

两人至少有一人被选上的概率.

【答案】（1）a=0.0。,平均年龄为31.75；中位数为31

<2>|

【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解；

（2）列举出所有的情况，再根捱占典概型公式可得.

【详解】（1）由题意有：0.02x5+^x5+0.05x5+0.04x5+0.02x5=1,解得。=0.07,

设这“人的平均年龄为三，

则1=22.5x0.02x5+27.5x0.07x5+32.5x0.05x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=31.75，

由于前2组的频率为0.02x5+0.07x5=0.45,

前3组的频率为0.02x5+057x5+0.05x5=0.7,

则中位数在［30,35）,设中位数为x,

WJ0.45+（x-30）x0.05=0.5,解得x=31,则中位数为31.

（2）由题意得,按照分层抽样第四组应抽取0.04x5x20=4人,记为4（甲）,B,C,D,

第五组抽取002x5x20=2人,记为E（乙），F,

对应的样本空间的样本点为：

。=｛（48）,（4。）,（4。）,（40,（4尸卜（民。）,（8,。）,（8,£）,（81）,

（C,Z））,（C,£）,（C,F）,（D,£）,（Z）,F）,（E,F）｝,共包含15个等可能的样本点，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上"，

则M=｛（48）,（4C）,（4。）,（4E）,（4尸）,（££）,（C,©,（£>/）,（£/）｝,共包含9个等可能的样本点，

所以尸（"焉=TT片

3

即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为

2.湖北恩施被誉为“世界硒都〃，又被称为祖国的后花园.恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个54级景

区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则

抽双的这两人来自不同景区的概率为.

【答案】1/0.6

【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.

【详解】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为勺，％，内，腾龙洞景区2人分

别为4，区,则在具中任取2人的基本名件总数N=1U,

分别为：。瓦％%a2bva2b2；4生死与；。。，〃冈，•

则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：4瓦哂；冽当仇；她，。也；

故抽取的这两人来自不同景区的概率为白=|.

故答案为：］

知识点05概率的基本性质

(I)对于任意事件4都有：04P(4)41.

(2)必然事件的概率为1,即不可能事概率为0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件上与事件8互斥,则P(4U8)=尸(4)+尸(8).

推4：一般地，若事件4，4，…，4,彼此互斥，则事件发生(即4，4....4中有一个发生)的概

率等于这〃个事件分别发生的概望之和，即：P(4+4+...+4)=P(4)+P(4)+...+P(4).

(4)对立事件的概率：若事件4与事件8互为对立事件，则p(4)=1-P(8),P(8)=l-尸(⑷，且

P1U8)=P(4)+P(8)=L.

(5)概率的单调性:若AqB,则尸(⑷4尸(8).

(6)若力，8是一次随机实验中的两个事件，则尸(4118)=%力)+。(4)一夕(40〃).

方法技巧与总结：

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件片中所包含的基本事件数.

因比要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个；

(3)事件/是什么.

2、解题实现步骤：

(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件力；

(3)分别求出基本事件的个数〃与所求事件片中所包含的基本事件个数机：

,八引用八卜a八力包含的基本事件的个数七山市人,岫由去

(4)利用公式尸⑼=基本事件的总数求出事件，的概率.

3、解题方法技巧：

(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.

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【即学即练】

1.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件4投中三分球为事件反没投中为事件C,用频率估

计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是()

A.P(/l)=0.55B.P(5)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(2?+C)=0.55

【答案】ABC

【分析】求出事件48的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.

CC1Q

【详解】依题意，尸。)=急=。.55,P(Z^)=—=0.18,

显然事件4B互斥,P(C)=1-P(J+B)=1-P(J)-P(B)=0.27,

事件8,。互斥，则P(8+C)=P(8)+P(C)=0.45,

于是得选项A,B,C都正确，选项D不正确.

故选：ABC.

2.某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班

随机抽取一名学生，求以下事件的概率：

⑴只喜欢打羽毛球；

⑵至少喜欢以上一种运动；

⑶只喜欢以上一种运动；

⑷以上两种运动都不喜欢.

【答案】(1)0.15

(2)0.95

(3)0.65

(4)0.05

【分析】(1)首先表示出/="喜欢打羽毛球〃，4="喜欢打乒乓球”，然后根据题意求得

P(A)=0.45P(B)=0.8尸(月田=0.3,从而即可求解.

(2)根据和事件的计算公式即可求解.

9

(3)根据上一问求得。的，再利用事件的关系即可求解.

(4)利用对立事件的公式即可求解.

【详解】(1)设：力="喜欢打羽毛球"，8="喜欢打乒乓球〃

P(/l)=0.45P⑻=0.8P(AB)=0.3

只喜欢打羽毛球：

P(A)-P(AB)=0.45-0.3=0.15

(2)至少喜欢以上一种运动：

P(A+8)=。(月)+P⑻-P(AB)=0.45+0.8-0.3=0.95

(3)只喜欢以上一种运动：

P(A+B)-P(AB)=0.45+0.8-03-0.3=0.65

(4)以上两种运动都不喜欢：

P(A+B)=1-P(4+8)=1—(0.45+0.8-0.3)=0.05

知识点06事件的相互独立性

相互独立事件的概念

对任意两个事件力与8,如果%/团=尸(/)P(团成立，则称事件/与事件B相互独立,简称为独立.

相互独立事件的性质

(I)事件力与8是相互独立的，那么彳与后，1与8,1与方也是否相互独立.

(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

【即学即练】

1.已知事件48,且尸(力)=0.4/(8)=0.2,则下列结论正确的是()

A.如果那么尸(力uB)=0.4/(48)=0.2

B.如果4与8互斥，那么尸(NuB)=0.6/(/8)=0

C.如果力与6相互独立，那么〃(布)-0.92

D.如果/与8相互独立，那么尸(力为=0.08,尸(力^用=0.52

【答案】ABD

【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根

据相互独立事件的定义及公式可得.

【详解】对A选项：由81力，所以＜U8=/1,AB=A,

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因比尸(4U6)=f(力)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2f故A正确;

对B选项：若力与4互斥，因此.48是不可能事件，所以P(48)=0,

再由概率的加法公式P(4U5)=P(4)+P(B)=0.6,故B正确:

对C选项:若力与B相互独立，则7与方也相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.2=0.08.

因％瓦表示〃不发生且8不发生“，即7c豆，且，与否也相互独立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.4)(1-0.2)=0.6x0.8=0.48,故C错误；

对D选项：因4与6相互独立，所以「(力4)=尸(4)0(4)=。.4、0.2=0.08,

再由概率的力口法公式尸(Nu8)=尸(N)+P(B)―/(/8)=0.4+0.2-0.08=0.52,故D正确.

故选:ABD.

2.如图，某电子元件由力，B,。三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试,

A.H,C三种部件不能正常工作的概率分别为:，：，g,各个部件是否正常工作相互独立，则该电子

元件能正常工作的概率是()

i-TT]~~r^~i—

【答案】B

【详解】设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,该电子元件能正常工作为事件力,

根据相互独立事件的概率公式求出P(M)、P(N),即可求出户[必)、P科)，再根据对立事件及独立事件

的概率公式计算可得.

【分析】设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,该电子元件能正常_I?’乍为事件彳,

P（M）=l-P（.W）=l--=-,

22

尸⑹卡另卜(昌吟所以P（N）=1-P（N）=1-q=

所以尸(4)=I-P(WP(町=1-白白二||,

即该电子元件能正常工作的概率定三13.

故选：B

愿型精讲

11

题型01随机事件的关系与运算

【典例1】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,

0.19,0.16,013.计算这名射击运动员在一次射击中:

（1）射中10环或9环的概率.

⑵至少射中7环的概率.

【答案】（1）0.52

（2）3.87

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；

（2）利用对立事件的概率求解.

【详解】（1）设“射中10环""射中9环""射中8环”"射中7环”“射中7环以下”的事件分别为4B,C,D,

E,

可知它们彼此之间互斥，且尸（4）=0.24,尸（3）=028,尸（C）=0.19,P（D）=0.16,P（£）=0.13,

所以P（射中10或9环）=尸（/u5）=尸（4）+产（8）=0.24+0.28=0.52,

所以所以射中10环或9环的概率为0.52.

（2）事件“至少射中7环〃与事件射中7环以下〃是对立事件，

则尸（至少射中7环）=1-P（E）=1-0.13=0.87,

所以至少射中7环的概率为0.87.

【典例2】一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以

下四个事件：事件4恰有1件次品；事件&至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件。：至

多有1件次品，以下结论正确的是（）

A.AUB=CB.ODB是必然事件

C.Ai）B=BD.AuD=C

【答案】AB

【分析】根据已知条件以及利用利事件、积事件的定义进行判断.

【详解】4U8表示的事件：至少有1件次品，即事件C,所以A正确，C不正确：

表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确；

表示的事件：至多有1件次品，即事件。，所以D不正确.

故选:AB.

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方法技巧

①包含关系：一般地，对于事件4和事件〃，如果事件力发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事

件/（或者称事件彳包含于事件8）,记作月或者4=8.

②相等关系：一般地，若4。4且4二4,称事件力与事件8相等.

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件4发生或事件8发生，则称此事件为事件力与事件8的

并事件（或和事件），记作月U笈（或4+6）.

④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件/发生且事件4发生，则称此事件为事件A与事件B的

交事件（或积事件），记作力A8（或

【变式1】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设力=｛两次都击中飞机｝,B=｛两次都

没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,。=｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AuC=DD.AUB=B\JD

【答案】D

【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.

【详解】用（为,工2）表示试验的射击情况，其中a表示第1次射击的情况，超表示第2次射击的情况，以1

表示击中，。表示没中，

则样本空间。=｛（0⑼,（0,1）,（1,0）,（11）｝.

由题意得，力=｛（1』）｝,8=｛（0,0）｝,C=｛（0,l）,（l,0）｝,D=｛（0.1）,（l,0）,（l,l）｝

则/土。，4uC=Q,且8n0=0.即ABC都正确；

又BuD=Q,JkJB=｛（O,O）,（l,l）｝^Q.

.•..4118。811。.故口不正确.

故选：D.

【变式2】一枚均匀骰子，将这枚骰子向上抛掷1次，设事件/I表示“向上的一面掷出奇数点"，事件8表

示“向上的一面掷出的点数不超过3〃，事件C表示“向上的一面掷出的点数不小于4〃，则（）

A.4与8是互斥而非对立事件

B.4与8是对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件

D."与C'是对立事件

13

【答案】D

【分析】先写出样本空间及每个事件，利用互斥事件与对立事件的概念进行判断即可.

【详解】由题意样本空间。={123,4,5,6},

事件/={1,3,5},B={1,2,3},C={4,5,6}

由力故4与4是既不对立也不互斥，

故A,B错误；

由8nCwO,3UC=。，所以8与C是对立事件：

故选：D.

【变式3】若48为互斥事件，则下列结论不正确的是（）

A.P（4）+P（8）＜1B.P（/1）+P（8）＞1

C.P（/i）+P（8）=lD.P（/H~8）=P（d）+P（8）

【答案】ABC

【分析】根据互斥事件的定义及性质即可判定选项.

【详解】4，8为对立事件时P（Z）+P（6）=1,故选项A错误；

互斥事件的概率之和不可能超过1，故选项B错误；

事件/,8互斥而不对立时，P（N）+P（4）＜1,故选项C错误；

48为互斥事件时P（4+8）=尸（4）+尸伊），故选项D正确.

故选:ABC.

题型02频率与概率

【典例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当

天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润V（单位：元）关于当天需求量”（单位:枝，〃邑AQ的函数解

析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量〃14151617181920

频数10201616151310

若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润

14

不少于75元的概率.

85,n>\l.、

【答案】⑴吟(〃eN).

（2）0.7

【分析】（1）根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围;

（2）利用对立事件的概率公式计算可得.

【详解】（1）当〃N17时,y=17x5=85,

当〃<17时，y=5〃+（17-〃）x（-5）=10〃-85

85,n>17

则y='(〃eN).

10»-85,w<17

（2）由10〃-85<75,解得〃<16,即当日需求量为14枝或159时利润小于75元,

设当天利润不少于75元为事件A,则尸（力）=1-焉-器=0.7.

【典例2】某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析这次数学测验的

成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解

决下列问题：

成绩分组频数频率平均分

[0,20)30.01516

[20,40)ab32.1

[40,60)250.12555

[60,80)C0.574

[80,100)620.3188

⑴求a,b,c的值；

（2）如果从这1200名学生中随机抽取•人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：50分及60

分以上为及格）.

【答案】⑴。=10,力=0.（）5,c=l（）0

(2)3.81

15

【分析】（1）根据统计图中数据分析得到。，b,C的值；

（2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概

率.

【详解】（1）肃=0*解得c=100,

故。=200-3-25-100-62=10,八也=0.05,

200

（2）抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为0.5+0.31=0.81,

故估计这名学生该次数学测验及格的概率尸=0.81.

方法技巧

概率与频率的关系：对于给定的随机事件力，由于事件力发生的频率A随着试验次数的增加稳定于概率

n

,因此可以用频率与来估计概率am.

n

【变式1】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的

一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠〃的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人

持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠〃持反对态度的有

人.

【答案】5472

【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠〃持反对态度的人

数.

【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，

故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有7600X||二5472.

故答案为：5472.

【变式2】一个游戏包含两个随机事件力和反规定事件/发生则甲获胜，事件3发生则乙获胜.判断游

戏是否公平的标准是事件4和8发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700

次,据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？

【答案】答案见解析

【分析】根据频率与概率的关系，即可说明.

【详解】当游戏玩了10次时，牛、乙获胜的频率都为0.5：

当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为S3,乙获胜的频率为0.7.

16

根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.

相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，

因比我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.

而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，

所乂有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.

【变式3】在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机

摸出一个球，记下颜色后再放F1袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中

红球约有个.

【答案】8

【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.

【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，

估计袋中红球个数是x,丁0.8=x=8.

x+2

故答案为：8.

题型03互斥事件与对立事件

【典例1】袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）

A.“至少有一个黑球”和“没有黑球"B."至少有一个白球"和"至少有一个红球〃

C."至少有一个白球〃和“红球黑球各有一个"D."恰有一个白球"和"恰有一个黑球”

【答案】C

【解析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.

【详解】对于A,“至少有一个黑球〃和“没有黑球〃不能同时发生，且必有一个发生，因而为对立事件；

对于B,“至少有一个白球”和“至少有一个红球〃可以同时发生,所以不是互斥事件；

对于。“至少有一个白球〃和“红球黑球各有一个〃两个事件不能同时发生，且除这两个事件还有其他事件（如

两个黑球）发生，所以两个事件为互斥事件，但为不对立事件

对于D,“恰有一个白球"和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互踪事件.

综上可知,C为正确选项

故选:C

【典例2］从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是

A.”至少一个红球"与“至少一个黄球"B."至多一个红球"与"都是红球"

C.”都是红球〃与“都是黄球"D."至少一个红球〃与“至多一个黄球”

【答案】B

17

【解析】A选项“至少一个红球〃与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；

C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球"与“至多一个黄球"可以同时发生.

【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，

各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，

“至少一个红球”即一红一黄或两红，"至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件;

“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与"都是红球”互为对立事件；

“都是红球"与"都是黄球”仅仅是互斥事件：

“至少一个红球“即一红一黄或两红，”至多一个黄球,，即一红一黄或两红，不是对立事件.

故选：B

方法技巧

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一

必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，

而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

【变式1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件力="取出的两球同

色"，4=”取出的2球中至少有一个黄球"，C="取出的2球至少有一个白球"，。=”取出的两球不同色”,

E="取出的2球中至多有一个白球〃.下列判断中正确的序号为.

①力与。为对立事件；②4与C是互斥事件；③C与七是对立事件：④P(CUE)=1；⑤P(8)=尸(C).

【答案】①④

【分析】在①中，由对立事件定义得力与。为对立事件；有②中，8与。有可能同时发生；在③中，C

与E有可能同时发生；在④中，PCU£)=P(C)+P(E)”(CE)=1；在⑤中从而P(B)(C).

【详解】•.,口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，

事件力=”取出的两球同色"，B="取出的2球中至少有一个黄球”，

C=”取出的2球至少有•个白球"，D="取出的两球不同色"，E=”取出的2球中至多有•个

白球”，

①、由对立.事件定义得力与。为对立事件，故①正确：

②,8与。有可能同时发生，故8与。不是互斥事件，故②错误；

③、。与£有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；

④，P(C)((E)，，P(CE).：,

1551515

18

从而「(CU0-P(C)十〃(E)-P(CE)-\,故④正确；

⑤，CfB,从而P(B)手P(C),故⑤错误.

故答案为：①④.

【变式2】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件、合格品有70件，其

余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件/为"是一等品"，8为"是合格品〃，C为"是不合

格品〃，则下列结果正确的是().

79

A.P(B)=—B.P(Ju5)=—C.P(/c4)=()D.P(AuB)=P(C)

【答案】ABC

【分析】根据事件的关系及运算求解.

【详解】解：由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,

7?I0

所以尸(4)=正，P(J)=—,P(C)=正则0(4u4)二记，故A、B,C正确：故D错误.

故选ABC.

【变式3】2021年某省新高考将实行"3+1+2〃模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、

地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件力："他选择政治和地理"，事

件8：”他选择化学和地理"，则事件力与事件8()

A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件

【答案】A

【分析】事件彳与事件"不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答

案.

【详解】事件力与事件8不能同时发生，是互斥事件

他还可以选择化学和政治，不是对立事件

故答案选A

题型04简单的古典概型问题

【典例1］同时转动如图的两个转盘，记转盘(1)得到的数为主,转盘(2)得到的数为y,结果为(x,y).

⑴写出这个试验的样本空间;

19

⑵求这个试验的样本点个数；

⑶"X+j=5〃这一事件包含哪几个样本点?"X<3且y>1”呢?

⑷用集合力表示事件：号=4；用集合8表示事件：x=N.

【答案】⑴{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1)<2,2)(2,3(2,4(3,)(工］(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)(4,⑷}

(2)16

⑶答案见解析

(4)^={(1,4),(2,2),(4,1)},5={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

【分析】(1)利用列举法可得样本空间；

(2)根据样本空间即可得样本点个数；

(3)根据样本空间可得答案；

(4)根据样本空间可得答案.

【详解】(1)这个试验的样本空间为

。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),2,1"2,}(2,J(2,4(3,)(3,?(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3"4,叫

(2)由(1)可知，这个试验的样本点的个数为16；

(3)“x+y=5〃包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

“xv3且户1"包含的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)；

(4)由(1)可知力={(1,4),(2,2),(4,1)},8={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

【典例2】下列关于古典概率模型的说法中正确的是()

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等：③每个样本点出现的可能

性相等；④样本点的总数为〃，随机事件/若包含％个样本点，则尸(4)=4.

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解•.

【详解】在①中，由占典概型的概念可.知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；

在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误：

在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；

在④中，样本点的总数为〃，随机事件4若包含"个样本点，则由古典概型及其概率计算公式知P(4)=：，

故④止确.

20

故选；D.

方法技巧

解题实现步骤：

(1用细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2例断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件

(3份别求出基本事件的个数〃与所求事件力中所包含的基本事件个数，〃；

小到m八斗人人力包含的基本事件的个数+山，佑板由

(4例用公式口⑷=基本事件的总数求出事件月的概率.

【变