2026高考数学二轮复习专练：翻折、探究性问题

专题突破练12翻折、探究性问题

1.(15分)(2025湖北九师联盟二模)如图,在平面四边形中/O〃BC,8C=44D=4,

。。=夜,N8C0=45°,点£为8。的中点，将沿,4E翻折至△4£的位置，使得四棱

锥尸-4ECO的体积为1.

(1)证明:平面尸EC_L平面AECD;

(2)求二面角A-PD-C的正弦值.

2.(15分)(2025河北沧州模拟)如图,六面体力的侧面力引石为矩形

BC,FB=AD=3y4B=BC=2,FD=B.

(1)求证:平面48斤EJL平面ABCD.

(2)线段力£上是否存在点P,使得CP〃平面QEF?若存在，求山AP的长;若不存在,请说明

理由.

(3)求平面£7力与平面RQC夹角的余弦值.

3.(15分)(2025沏北黄冈二模)如图，在三棱锥尸-48C的平面展开图中/C="8=/Q=8,

ABLAC,AB.LAD,ZCAE=30o.

(1)求NRLB的余弦值.

1

(2)在三棱锥的棱/。上是否存在点2使得平面48P和平面8C。所成角的余弦值为丫?

若存在，求出点。的位置;若不存在，说明理由.

4.(17分)(2025湖北武汉一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为平行四边

形,S/=/8=S8,S8_L/C,N/3C=60°,BC=2,AB=1.

(1)求三棱锥S-4"。外接球的表面积.

(2)设7为线段SO上的点.

(i)若求直线4C与平面所成角的正弦直

(ii)平面a过点B,T,且平面a,探究:是否存在点7,使得平面SAD与平面a之间所成角

的正切值为屈?若存在，求出昙的值;若不存在,请说明理由.

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答案：

1.⑴证明连接。尺在△。。£1中,。。=/,。£'=2,/8。。=45°,由余弦定理得

P^=22+(V2)2-2x2xV2cos45°=2,所以。石=鱼,所以Ca+ZM^EC2,所以DEA.CD.

因为力。〃8C,N8CO=45°,所以/4OC=135°,则N4OE=45°.

在A4DE中1由余弦定理，得4"=12+(加户2xlxV2cos450=1,所以AE=1,

故AL^+AE^DE2,^以ADVAEXAD〃BC,所以4E_LBC,则AELEC/E工PE,又

PECEC=E,PE,ECu平面尸EC,所以力£_L平面尸石C,因为力Eu平面力EC。,故平面PECA.

平面AECD.

(2)解设四棱锥。/ECQ的高为力,由乙皿P-AECD^x|x(1+2)x1•〃=1,得h=2.

由(1)可知，平面P£CJ_平面4ECD,PE=2,所以尸E即为四棱锥P-AECD的高，所以PE1

平面4EC。,所以力瓦EC,EP两两互相垂直，以£为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,1,0),C(2Q0)Q(1,1,0),P(0,0,2),所以而=(1,0,0),而=(-11,2)而=(-1,1,0).

m=0,即俨1=0,

设平面力的一个法向量为则DP-m=0,l~xi~yi+2zi=°，

取zi=l,得制=0凶=2,所以〃1=(0,2,1).设平面尸CZ)的一个法向量为〃=(工2)2/2),则

n=0,

S•n=0,

即呼取刈=1,得竺=6=1,所以〃二(1,1,1),

十/<2—U,

0x1+2x14-1x1

所以COS</H,W>=

|m||n|V02+22+12XV12+12+12尾乂炳

设二面角力-PQ-C的大小为0,则sin0=小-(?)2=?,

故二面角4-0》C的正弦值为粤.

2.(1)证明如图，连接力方,则力尸=后，因为心=反4)=3,所以4。2+4产=心2,所乂4。

A.AF.

3

因为4BLBC,BC〃AD,所以ABVAD,

又4B(V1F=4/B/Fu平面44RE,所以4。J_平面4BFE,因为4Ou平面4BCQ,所以平面

力BFE工平面ABCD.

(2)解线段力E上存在点P,使得CP〃平面DEF.

如图，过C作CMJ_N。，交AD于M,则4M=2,过"作MP〃ED灰力E于点P,则空=空，

得AP=2.

下面证明当月P=2时,CP〃平面DEF,因为CM〃AB,AB〃EF,所以CA/〃E凡因为EFu平

面QERCMC平面DEF,所以CM〃平面DEF,因为MP〃ED,EDu平面DERMPU平面

DEF,所以"尸〃平面DEF,又CWnA/P=MCMMPu平面CA/0,所以平面CM尸〃平面

DEF,又CPu平面CA用所以CP〃平面DEF.

(3)解依题意，以4B,力。，力E所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则4(0。0)。(2,2,0),£)(0,3,0),E(0,0,3)以2,0,3),丽=(-2,3,・3),卮=(0,2,-3),丽=(-2,0,0).

设平面EFD的一个法向量为〃=(可/),则［竺"=0=°，不妨令尸1,则

yFD-u=-2x+3y-3z=0,

x=0,z=l,则«=(0,1,1).

设平面EDC的一个法向量为羽=(见〃,5),则［吧"-2n-3s—0,不妨令〃=3,

(FDv=-2m+3n-3s=0,

则s=2,〃?=1，则V=(1,3,2).

设平面EFD与平面FDC的夹角为仇则cos9=|cosv〃，心|=熠=—=%,

I"呵V2xJY61

所以平面EFQ与平面ROC的夹角的余弦值为评.

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3.解⑴在△48。中，因为43_L4rM3=40=75,所以3D=遥，所以FB=BD=®

在△力CE中，因为4E=/Q=C=l,NC4E=30°，所以

CE=J(V3)2+12-2xV3x1xcos30°=1,所以CF=CE=\.

又因为BC=y/AC2+AB2=l2+(V3)2=2,

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在4FCB中，由余弦定理得cosN尸。9=写篦产l+2-(V6)=1

2CFBC2x1x2一一4

(2)因为即尸=4/C,/Pu平面力CR所以N8_L平面ACP.

以点力为原点，而，说为x轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(百,0,0)乃(0,0,百),。/。0),设QQO,O)(OWaW例故的=(a,0,■①)现=(苧；，・何

(m-BQ=ax-\[3z=0,

设平面3c0的法向量析=(x』,z),则_1取Z=Q,贝ij〃I=(J5,2，5Q-

mBC=—x+-y-V3z=0,

22J，

3/),易得平面48户的一个法向量为(0,1,0),则平面力8尸和平面6。。所成角的余弦值cos

0=.2vla'3'=空解得。=8或。■故当/。=旧或彳0=今时，平面初产和平面

j3+(2V3a-3)2+a2

4c。所成角的余弦值为拶.

222

4.解(1)如图所示，因为//BC=60°,BC=2/B=1,故AC=AB-hBC-2ABBCcosZABC=39

即AC=®

则8。2=482+4。2,故418。为直角三角形,即ABtAC,又S8_L/C,S8n48='且SB工Bu

平面S/8,则4C_L平面S4B,又因为4Cu平面48C。,所以平面S48J_平面ABCD,设AB

的中点为。，则AS/IB的外凄圆圆心0\满足0。=白。二x=4B=",这4SAB的外接圆圆

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心。】作直线/】垂直于平面S48,过线段BC的中点。2作直线/2垂直于平面4BC7),其中

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/£/2=Q,则。3即为三棱锥S-N8C的外接球球心，且四边形OQQO3为矩形，即

22

02。3=0。4,故R=BO^B02+0203=点,故三棱锥S-ABC外接球的表面积

S=4兀R2=4兀乂上=生.

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(2)(i)以43的中点0为原点,08为x轴,平行于ZC的方向为y轴,0S为z轴,建立如图

所示的空间直角坐标系，

则4号0,0),瞄0,0),。(1,V3,O),S(O,O净V3,0),

而ST郑D放琨，今条国=(-1,6,0)初=(0,-竽净.

(-X+V3y=0,(/n

设〃=(WN)为平面MC的法向量，则|2百V3则产o"令J，=1,则”=(75,1,2)

y+vz=(z=，y,

为平面8TC的一个法向量.

而尼=(0,遮,0),故直线力。与平面B7C所成角的正弦值sin9=|cosv前,〃>|=黑=

_J3_=V2

V3x2V2―T'

(ii)由(i)可知巾=(-如-=)而=(-|,但-斗,设平面S/。的一个法向量为〃尸(RJVD,则

(sArn=-jxryzi=0,

[/m=-1%1+75yl-rzi=0,

令zi=l,贝ij/M=(-V3,-1,I).

如图,记直线S力Pl平面a=E,直线SCO平面6=尸，连接EF.

因为4c〃平面a,平面BETFC平面SAC=EF,所以AC/7EF.

不妨设豆=加，则#=4元,0W2W1,则豆=2(，。¥),故£(-1,0,y一争),

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同理可得F(-^,V31,^——1,0,-y—占A),BF=(W—I，V3A,^—yA).

LLLILLLLLLL

设平面8E777的一个法向量为〃=(X2必㈤),则

/丸1、，「百百】、

(-2'5)X2+(---^)z2=A0，

+w入y?+(y-yA)z=0,

(2

件泊

解得)，2=0,设Z2=1,则故Z"T1UA"r11),所以|C3</7I,〃)|fH||<4|=