2026中考数学《数列》解题技巧总结

秒杀数列：中考数学解题技巧

一、观察与归纳技巧（第1T5点）

1.看趋势定方向

看增减：观察数列递增、递减或摆动，初步判断等差、等比或其

它。

看速度：增长均匀可能等差，增长快可能等比或平方。

看比值：相邻两项比值接近常数时优先考虑等比。

看差值：相邻两项差值接近常数时优先考虑等差。

看符号：遇正负交替，马上考虑（一1尸或（一I）"］。

2.作差探规律

一次差：相邻两项相减，若相等则为等差数列。

二次差：一次差再相减，若相等则为二阶等差，通项是二次函数。

三次差：继续作差直到常数，阶数即为多项式次数。

差数列：若一次差本身有规律，可单独研究差数列。

差验证：求出假设通项后，用差法反向验证。

3.作商判等比

定比法：相邻两项相除，若商恒定则为等比数列。

零检查：出现0时不可作商，改用其他方法。

分数比：分数数列作商时先约分再观察。

负比法：公比为负时比值绝对值恒定，符号交替。

比值列：将比值单独列出看是否为常数数列。

4.拆分双视角

分子看：分数数列单看分子找规律。

分母看：分数数列单看分母找规律。

分合验：分别找出分子分母规律后合并还原。

整数部：带分数拆成整数部分加真分数。

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符号部：符号与绝对值分开处理。

5.奇偶拆两列

奇位列：提取第1,3,5,…项组成新数列。

偶位列：提取第2,4,6,…项组成新数列。

分别求：两个子列各自找规律，再合并。

统一式：用匕宗”和上空”写统一通项。

乙乙

三列拆：周期为3时拆成三个子列。

6.分组找关系

固定长：每2项或3项一组，找组内关系。

变组长：组内项数逐渐增加，先确定每组起始位置。

组间看：组与组之间可能成等差或等比。

组内和：计算每组和，找和的规律。

组内积：计算每组积，找积的规律。

7.对照平方表

近平方：数值接近1,4916,25…，试试n2±Co

近立方案：数值接近1,8,27,64…,试试n3±Co

近倍数：数值是某个平方数的倍数，如2n2。

22

平方差：an=(n+I)-n=2n+lo

完全平：检查是否可写成(an+b)2形式。

8.对照三角数

三角数：13610,15…对应当❷

双三角：两倍三角数为n(n+l)o

邻项差：三角数相邻差递增1。

n（n+l）

推广形:-^―士+C。

反三角：解方程求no

9.遇根号有理

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有理化：分母含孤+VE时，乘孤-VF。

化差形:-~~i===Vn+1-V^0

Vn+Vn+lv

找对消：求和时中间项全部抵消。

推广式：悬定=*后^—口）。

分子有根：分子有理化同样适用。

10.周期先找T

写几项：写出前6-8项，观察重复模式。

定周期：找到最小正周期To

余数法：n除以T的余数决定第n项的值。

周期和：先求一个周期内所有项的和。

大数项：用余数定位快速求第1000项。

11.递推算前项

顺推法：由a1和递推式依次算出a2,a3,a4o

找周期：顺推过程中数值可能周期循环。

验假设：发现周期后回代验证。

逆推法：已知后项反推前项，用于验证。

多初始：有时需要两个初始值才能推出全部。

12.常见数记忆

质数串：2,3,5,7,11,13,17,19o

合数串：4,6,8,9,10,12,14,15o

斐波那契:1,1,2,3,5,8,13,21o

卢卡斯数：2,1,3,4,7,ll,18o

卡特兰数：1,1,2,5,14,42（初中少见但可拓展）。

13.指数试探法

底数变：124816可能为2f

23

指数变：L4916为n；1827为no

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混合型：如2n+n,分别看指数部分和线性部分。

两指数：2n+3n分别处理。

指数减：2口-1是常见形式。

14.斜率类比法

函数看：把数列看作f(n)在正整数上的取值。

一次函：等差对应一次函数，斜率即公差。

二次函：一阶等差对应一次函数。

指数的：等比对应指数函数aiqxT。

连续化：将离散点连线看趋势。

15.待定系数猜

设形式：先猜测通项为an2+bn+Co

代三点：代入n=1,2,3列方程组解a,b,c。

再验证：用n=4检验是否成立。

更高次：设an3+bn2+cn+d用四项解。

分式型：设缥形式。

cn+d

二、等差数列解题技巧(第16-35点)

1.公差灵活求

差定义:d—^n+l-an°

Hm—Hk

两点式:已知aa,则d=

mikm-k

网)

和公式:d_20-

n(n—1)°

差倒数:d=W。

n—1

a

中项求:2an=an_!+an+1推d=an+1-n°

2.通项巧设置

=an—

标准式：ani+(l)d。

另起式：an=am+(n-m)d。

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中项式：设三项为x—d,x,x+d简化运算。

首末式：已知ai’an时d=m。

n-l

对称式：当m+n=p+q时用对称性。

3.中项三用法

判等差：若2b=a+c,则a,b,c等差©

求未知：已知两侧求中间用b=9。

巧设元：三个数等差设a-d,a,a+do

四个数：设a—3d,a-d,a+d1a+3d。

五个数：设a—2d,a-d,a,a+d,a+2d。

4.对称性质妙用

和相等：若m+n=p+q,贝Uam4-an=ap+aq0

=a

下标和：ai+an2+^n-l=…。

求和快：Sn=+an）由此推导。

中项特例：若m+n=2k,贝Uam+an=2ako

奇数项和：S2k-i=（2k-l）ako

5.前n项和公式选

首末式：已知anan用Sn=W肛。

首公式：已知a1；d用Sn=呵+n（n；l）d。

二次式：S=yn2+（ai-y）n用于最值。

n乙乙

末公式：已知ad用S=na-n（n~1）d

n/nn乙o

中项和：已知中间项a和项数用S=n-an+i（n奇）。

mn~2~

6.和最值三找法

正负界：找ak之0且ak+140（d<0时）。

对称轴：二次函数Sn顶点处n=—?。

2a

邻近验：顶点附近两个整数代入比较。

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公差正：d>0时Sn无最大值，有最小值在n=1或变号点。

公差负：dVO时Sn无最小值，有最大值在变号点。

7.项数公式速算

基本式：项数n=电善+1。

a

2

末项式：已知Sn,a1；an,则n=3

ai+an

插项数：在a,b间插入k个等差项，公差d=汇。

k+l

和公式反解：由Sn=nai+^Fd解二次方程求no

取整法：解出的n必须是正整数，不符合则无解。

8.等差判定三法

差定义：验证an+1-an为常数。

中项法：验证2an+1=an+an+2对一切n成立。

通项式：验证an是否为pn+q形式。

2

和形式：验证Sn是否为An+Bn形式（无常数项）。

递推法：验证是否满足an+2=-ano

9.片段和性质

等段差:Sk，S2k—Sk，$3k—S2k成等差,公差k2do

速算用：已知Sk与S2k,可求S3k=3(S2k-Sk)+Sko

推广式：Smk-S(m_1)k是等差。

2

首段比:S2k=2Sk+kdo

段差求:由S2k—2S]<—k2d可反解de

10.奇数偶数项和

奇项和：若项数2n-1,则5奇=皿11。

偶项和：若项数2n-1,则S偶=（n-l）an。

比关系：品=」7。

S偶"-I

差关系：S奇一$偶=2口（中间项）。

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偶数项：项数2n时，S奇-5偶=11九

11.三数等差设

对称设：a—d,a,a+d,和为3a。

积方程：已知积时与和联立。

四数设：a—3d,a—d,a+d,a+3d和简化。

五数设：a—2d,a—d,a,a+d,a+2do

已知比例：设a,a+d,a+2d按比例列方程。

12.插入等差中项

单中项：a,b的中项为蜉。

多中项：插入m项，先求d=上一

m+l

验证等：插入后数列为等差。

对称插：在a,b中间对称插入。

中项和：插入的所有中项之和为职⑼。

乙

13.Sn与an互求

已知Sn:an=Sn—Sn-i(n>2)o

验首项：单独计算a1=Si是否匹配。

公差求：d——2口―1—Sn—2Sn_1+Sn_2o

已知an:Sn=*^。

递推和：由Sn与S「i关系递推。

14.已知Sn为二次式

2

无常数：Sn=An+Bn则｛aQ等差。

求首项：=A+Bo

求公差：d=2A,通项an=2An+(B-A)。

2

有常数：若Sn=An+Bn+C且CW0,则从第二项起等差。

验n=l:ai=A+B+C需单独处理。

15.最值位置快速定

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看公差：d>0有最小值，d<0有最大值。

找零点：解an=ai+(n—l)d=0得n0o

取整法：最值在n=Ln。」或「n01处。

正负段：d<0时，前若干项正，后负，和的最大值在最后正项

处。

二次顶：Sn顶点n=；—?(注意舍入)。

16.下标变形技巧

整体移：an+1=a1+ndo

倍下标：a2n=a1+(2n-l)do

和下标：已知amian,求am+n用am+an-alo

差下标：am-an=(m-n)do

倍项公式：Hn+k=+kdo

17.巧用平均值

平均项：数列的平均值等于千。

总和平均：Sn=n•中。

乙

中项平均：奇数项时中项等于平均值。

子列平均：子列的平均值也是等差数列。

加权平均：前k项平均与后n-k项平均的关系。

18.连续整数和技巧

n(n+l)

1到n和：然=1k=

2

m到n和：(m+吗-m+l)。

2

奇数求和：1+3+5+…+(2n—1)=no

偶数求和：2+4+6+—F2n=n(n+1)。

间隔和：每间隔m个数的和也可用等差。

19.插入多个数技巧

成等差：插入后使整体成等差，先求总项数。

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已知首末：公差d=一

m+1

求插入和：插入的m项之和为咤，

对称插：使插入后对称，可简化计算。

比例插：按一定比例插入数值。

20.零公差特殊处理

常数列：d=0时所有项相等。

前n项和：Sn=nalo

通项：o

最值：任何项都是最值。

中项：中项就是它本身。

三、等比数列解题技巧（第36-55点）

1.公比灵活求

比定义：q=­o

an

两点式：已知am,ak,则qmi=£。

开方型：q=m*（注意正负）。

和公式：已知Sn，ai，解Sn求q。

2

乘积式：已知前n项积Pn,则口=（之＞而。

ai

2.通项巧设置

标准式:an=aiqnT。

n-m

另起式：an=amqo

中项式：设三项为-,a,aq简化积运算。

q

对称式：当m+n=p+q时，aman=apaqO

指对互换：取对数后化为等差。

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3.等比中项陷阱

定义法：若a,b,c等比，则b2=a-Co

符号坑：b=±，藐，两个符号都可能成立。

零情况：等比数列中不能有0（除非全是0）。

三项同号：若a,c>0贝I」b可正可负。

奇数项同号：等比数列奇数项符号相同，偶数项符号相同。

4.前n项和公式选

公比1:q=l时Sn=nai单独讨论。

标准式：qHl时Sn=ai'q11）。

111-q

另一式：Sn=4型已知an时用。

111-q11

末项式：已知aniq时Sn=%；。

1q-1

错位基础：错位相减法的直接应用。

5,无穷等比慎用

收敛条：|q|<1时无穷和S=4。

1-q

初中限：初中通常只求有限项。

判发散：|q|>1时和无限大，不要求。

循环小数：化分数时用无穷等比和。

极限思想：nT8时qn一o若<1。

6.片段和性质

k

等段比：Sk,S2k-Sk；S3k-s2k成等比,公比qo

k2k

速算用：已知Sk，S2k可求S3k=Sk+qSk+qSk

1k

推广式：Smk_S（m-l）k=。

段比求：守i=qk。

Sk

公比求：由两段和可反解qko

7.三数等比设

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3

对称设：；1a,aq,积为a0

积已知：直接开立方得ao

四数设：W，'aq,aq3积为a4

qqo

和已知：与积联立解a,qo

比已知：直接设比例系数。

8.等比判定三法

比定义：验证亘旦为常数。

an

中项法：验证aj+1=an-an+2对一切n成立。

n

通项式：验证an是否为c-r形式。

Bn

指数型：an=Ae是等比。

对数型：Inan等差则｛aj等比。

9.指数型求和

识别型：an=2-1直接代公式。

n-1

错位配：an=n-2用错位相减。

n

分组和：an=2+3n拆成等比+等差。

乘幕型：an=MqnT可用两次错位相减。

分式指：an=力无简单公式，需特殊处理。

n

10.公比符号判断

同号性：所有项同号时q>Oo

摆动型：正负交替时q<Oo

奇偶号：q为负时，奇数项与偶数项符号相反。

绝对值比：|ql决定大小变化趋势。

符号数：公比负时，项的正负由(一I)-1决定。

11.已知Sn形式判等比

n

标准形：sn=A-q+B且A+B=Oo

公比求：公比为q,ai=A(q-l)。

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反例坑：若A+BWO,则不是等比（从第二项起是）。

常数列：S”=nai是q=1的特殊情况。

验证法：求出前几项再判断。

12.等比数列求积

对称积：若m+n=p+q,贝-an=ap-aqO

n（n-l）

前n项积：Pn=a?♦q2。

中项积：奇数项积等于中间项的n次方。

n（n1：）

积的对数：InPn=nln+-1nqo

快速求：已知anq,n直接代入。

13.零项特殊处理

遇零停：等比中不能有0（除全0）。

全零列：所有项为0,公比任意（一般不讨论）。

混零错：检查题目是否隐含非零条件。

分式比：分母不能为零。

实际应用：增长率问题中不会出现0。

14.插入等比中项

单中项：a,b的等比中项为土而。

多中项：插入m项，先求q=m+

符号定：正数数列取正根。

符号不同：a,b异号时无实等比中项（实数范围）。

和定积：插入后所有项积为a-b•（Vab）mo

15.等比与等差互化

取对数：正项等比取对数得等差。

取指数：等差取指数得等比。

常用技：将等比问题转化为等差问题处理。

b

通项换：an=en其中bn等差。

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和换：等比和公式可由指数函数积分导出。

16.公比小于1的求和

递减型：0<|q|<l时，项逐渐减小。

近似和：无穷和可作为有限和近似。

求项数：已知和反求n时用对数。

精度控：要多少精度取多少项。

极限和：5=4。

i-q

17.公比大于1的求和

递增型：q>1时，项快速增长。

末项大：an很大时注意数值范围。

和估算：SnXa1当n大时。

q-i

求指数：已知和反求n用对数。

溢出处：初中题目通常n不大。

18.负公比求和

摆动和：正负交替，和值振荡。

分段求：可先求绝对值等比和再配符号。

奇偶和：分别计算奇数项和与偶数项和。

并项法：两项并一组，组内成等比。

公式适用：标准公式仍然成立。

19.错位相减特例

等差X等比：最经典错位相减。

常数X等比：即普通等比数列。

多项式X等比：需多次错位。

分数X等比：同样适用。

混合型：等差等比混合项。

20.乘积形式转化

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取对数：将乘积和转化为和。

累乘型：an=aj[Jklj心)。

裂项乘：an+1-an=f(n)an转化为累乘。

c

指数积：an=bn其中cn等差。

连分数积：特殊形式需单独处理。

!1!U递推数列解题技巧(第56-75点)

1.形如an+1=an+f(n)(累加法)

写差式：a2-ai=f(l),a3-a2=f(2),…,an-a「i=f(n-1)°

左相加：左边全部抵消只剩an-alo

右求和：右边为2二;f(k)，用已知公式。

首项加：an=ai+f(k)o

验证法：代入n=1检查是否成立。

2.形如an+1=an-f(n)(累乘法)

写比式：丝=f(i)3=g…,工=f(n—1)

aia?an-10

左相乘：左边全部抵消只剩电。

ai

右求积：右边为f(k),注意f(k)常可裂项。

首项乘：an=ai口二；f(k)o

零检查：若某项f(k)=O则后续全零。

3.形如an+1=pan+q(待定系数法)

设常数：设an+1+t=p(an+t)o

解t:展开得an+1=pan+(p-l)t,令(p-l)t=q得t=

币Pf

构等比：｛an+t｝是公比为p的等比数列。

n-1

求通项:an=⑶+t)p-to

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p=1时：退化为等差an+1=an+qo

n

4.形如an+1=pan+q（同除法）

an+lpan1

同除q"I：得qii+l------n+~°

qqq

换元：令3=青，则bn+i=：bn+5

化为线性：再用待定系数法解bno

n

回代：an=bnqu

p=q时：；=1则%等差。

5.形如an+1=pan+kn+m(构造等差)

设一次式：设an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B)。

比较系数：展开后与pan4-kn+m对比求A,Bo

构等比:{an+An+B）是等比数列。

解方程：（p—1）A=k,（p-1）B—A=mo

2

p=1时:退化为二次，需另设an+An+Bno

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通项式：an=]：-----（q丰1）

an

p-r—«iq

1

q=1时：bn等差，an=o

1L"加+（"一i）p

8.形如a麓+i-an=kan+1an（倒减型）

两边除^n+lan:得---；...—ko

anan+l

定等差：｛工｝是公差为-k的等差数列。

an

写通项：————(n—l)ko

anai、z

1

解出a:a=i。

nn一(nT)k

注意定义域：分母不能为零，即nH：+lo

a^k

9.形如an+1=d・c（对数法）

取对数：Inan+1=pinan+InCo

令bn=Inan:得bn+1=pbn+Inc。

bn

解后还原：求出bn后得an=eo

底数换：可用log代替lno

正项条：要求an>0对所有n成立。

10.形如册+1=要(不动点法，拓展)

2an

不动点：解X=与丑得X?=1,X=±lo

2x

构造比：包±1二=(上)2。

Hn+1+1an+l

构等比：令上=曳三■,则bn+1=b^o

an十1

再取对数：Inbn+1=21nbn是等比。

初中拓：此方法属于竞赛范围，了解即可。

11.已知Sn求an

作差法：an=Sn-Sn_t（n>2）o

第16页，共40页

单独求首项：ai=Si。

验证合一：检查n=l时是否满足通项，否则写分段。

和形式：若Sn=f(n),则an=f(n)-f(n-1)o

递推和：由Sn递推式也可求ano

12.已知Sn=2an-l型

写前一项：Sn_i=2an_i-l(n>2)o

两式相减：得an=2an—2an-i，即an=2an_lo

n-1

求首项：=Si=2al—1==1,得a。=2o

推广型：Sn=pan+q类似处理。

验证：代入n=1,2检查。

13.已知Sn=pan+q型

写Sn—1：Sn-1=P^n-1+q。

相减：an=pan-pan_v整理得-^=冬(常数)。

an-lPT

结论：｛a)是等比数列，公比已。

np-i

求首项：ai=S]=pa]+qa1--■■(pW1)°

i-p

p=1时：Sn=an+q,贝I]即=%+qnq=0,退化为Sn=ano

2

14.已知Sn=An+Bn型

直接推：an=Sn-Sn_t=2An+(B—A)。

首项验：ai=A+B,与公式n=1时2A+B—A=A+B一致。

判等差：此数列是等差数列，公差2AO

和公式反：已知an求和可写回Sno

2

推广：Sn=An+Bn+C时，CW0则从第二项起等差。

15.形如an+2=P%i+i+(特征根法，拓展)

2

写特征方程：r=pr+qo

求两根若0工r2,通项=Cr?-1+Dr2-1o

定系数：代入n=1,2解&D。

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n-1

相等根：rt=r2=r时，an=(C+Dn)ro

斐波那契：an+2=an+1+an,特征根与之

16.周期递推an+fc=an

找最小周期：写出前几项直到重复。

余数定位：用n除以k的余数找对应项。

求和分段：先求一个周期和，再乘周期数加余项和。

通项写：可用三角函数或模运算。

周期为2:an+2=an时，奇偶项分别相等。

17.分式递推化为整式

交叉乘：产=^+c可令Xn=普。

bn+l6]bn

两边同乘：去掉分母得整式递推。

注意零：分母不为零是前提。

整体代：将分式看作一个整体变量。

倒代换：有时设xn=-更方便。

an

18.递推与通项互验

由通项写递推：直接计算a-a或

n+1nan

由递推求通项：用累加、累乘、待定系数等方法。

相互脸证：已知通项代入递推是否成立。

初始值验：递推加初始值是否唯一确定数列。

数学归纳：证明猜想的通项正确。

19.分段递推处理

奇偶分段：a2k=f(a2k-1)，a2k+1=g(a2k)o

分别求：求奇数项子列和偶数项子列的通项。

合并写：用(一1尸或取整函数合并。

初始两个：需给a11a2。

图形法：画出项的变化图辅助理解。

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20.二阶递推降阶

设bn=an+1-aan:使bn成等比。

选a:解a2=pa+q。

构等比：HR+I—&Hn=Bn—（32—a31）o

再解一阶：得一阶线性递推。

初中拓：此法属于特征根法变形。

五、数列求和技巧（第76-90点）

1.公式法求和

等差和:s一小野或呵+华，。

等比和:Sn=（q丰］），q=］时Sn=呵。

i-q

Vnu2_n（n+l）（2n+l）

平方和:Lk=lK--0

立方和:2：k3=［的52。

乙k=lL2」

一次和:2：1<=嘤是基础。

2.分组求和法

n

识别拆：通项为“等差+等比”如an=2n+3o

分别和：等差部分和+等比部分和。

常数列：通项中有常数也单独分一组。

多组拆：可拆成三个或更多部分。

合并写：最后将各部分和相加。

3.裂项相消法（分式型）

基本裂：而3=1一三。

推广裂:4）。

消项察：求和后中间项正负抵消，只剩首尾。

第19页，共40页

二次型:]同样裂项。

(an+b)(an+b+k)

待定系：若分子不为1,先拆出系数。

4.裂项相消法（根号型）

有理化：标篇=而钉一/。

推广式：赤蒲=1«*7一百）。

消项察：求和后中间根号抵消。

分子有根：分子有理化后可能裂项。

复合型：人需先变形。

5.裂项相消法（阶乘型）

关键式：n-n!=（n+1）!—n!o

求和：2：1k・k!=（n+1）!-1。

变形式：（n+l）!—l也可写作（n+l）!—l!。

推广._2_=_L___1_

差'<（n+l）!n!（n+l）!°

2

复合阶乘：占n需拆分。

（n+l）!

6,裂项相消法（组合数型，拓展）

组合恒等：（;）=（二】）+（二;）。

裂项变：4裂项较复杂，初中少见。

二项式和：，（：）=2%

K

系数和：£k（；）=n2nT。

平方和：E（；）2=（：）。

7.错位相减法

识别式：an=（An+B）・q「i（等差X等比）。

写S口与qSn:错开一位对齐。

第20页,共40页

相减求和：得（1-q）Sn=首项+等比和-末项，再除以

1-Qo

多次错位：等差X等比可一次完成，多项式X等比需多次。

系数整理：最后整理成Sn=4・q"+…形式。

1-q

8.倒序相加法

a

适用条：31+an-2+^n-l=…为定值。

写两遍：Sn=+a2+—I-an,再倒序写一遍。

相加得：2Sn=n（ai+an）,即S0=*色2（等差也符合）。

函数型：若f（x）+f（l-x）=l,则Sn=?f（：）可用此法。

对称阵：杨辉三角每行和用此法。

9.并项求和法

正负交替：如1—2+3—4+…，每两项并一*组。

组和定：每组和为-1（上例）。

分奇偶：项数为奇数时，最后一项单独处理。

变步长：有时每三项一组。

取绝对：若去绝对值后需并项。

10.周期数列求和

求周期T:写出前几项找最小正周期。

一周期和：S周期=前T项和。

整体和：Sn=L"」・S周期+余项和。

通项表达：用余数函数写an=bnm0dTo

复杂周期：周期可随n变化？不，周期数列周期固定。

11.绝对值数列求和

找变号点：解an之0得分界n0o

分段讨论：前.rio-l项取负，后面取正。

分别求和：用公式算两部分后相加（注意符号）。

第21页，共40页

多重变号：若数列多次变号，需多段。

图形辅助：画出数轴帮助定位。

12.奇偶项分别求和

写奇偶通项：a?”1和a2k的表达式。

分别求和：奇数项和+偶数项和。

项数注意：若n为奇数，最后一项单独处理。

统一式：可用匕户和1一（一1尸合并。

2

周期3：拆成三个子列分别求和。

13.取整数列求和

22

分段法：如an=L不」，当LVnJ=k时，ne[k,（k+I）—

1]。

个数算：每个k出现（k+I/-k2=2k+1次。

总求和：21ik-（2k+l）+最后不完整段。

取整函数性质：Lx」<x<LxJ+lo

常用型：L-J按整除分段。

m

14.有穷数列首尾配对

配对和：ai+an,a2+an_1；...若为定值则高效。

中间项：若n为奇数，中间一项单独加。

适用型：不仅是等差，任何满足定值对的数列。

几何配对：等比数列若=a2an_!='•­可用于求积。

推广：倒序相加法就是首尾配对的求和形式。

15.自然数幕和技巧

n(n+l)(2n+l)

平方和：2k2=

6

3n(n+l)12

立方和：Ek=["2~1°

一次和：2k=也少是基础。

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四次方和：2k4=n(n+l)(2n+；；(3n2+3n—1)(记公式可查)。

推导法：用(k+l)m+l—km+1累加递推。

六、数列应用题技巧(第91-1Q0点)

1.单利问题化等差

本息和：每期增加固定利息，an=ai+(n-1)x利息、。

求期数：已知最终值，用n=Y+l。

a

总利息：Sq-叫二n"T)d。

利率换算：利息二本金X年利率X年数。

不同利率：各期利率不同时不是等差。

2.复利问题化等比

n-1

本息和：an=a“l+r)o

求期数：用对数T丁：)+1。

In(1+r)

总收益：等比求和公式。

不同利率：若利率变化需分段计算。

连续复利：初中不要求，用ert形式。

3.分期付款等差模型

每月还固定：剩余欠款成等差。

等额本金：每月还本金相同，利息逐月减少。

公式：第k月还款=卓+(本金—(k-l)W)xr。

总还款：n・"■+r•本金

n2

等额本息：初中一般不讲，涉及等比数列。

4.堆垛问题(三角垛)

三角形数：第n层有娱个。

第23页,共40页

总个数：yn21=—。

乙k=l26

堆高判断：已知总数反求层数用估值法。

空心垛：总个数=大三角-小三角。

层数求和：每层个数成二阶等差。

5.堆垛问题（方垛）

正方形垛：第n层有n2个。

总个数：k2=n（n+[2n+l）。

金字塔形：每层正方形排列，总数为平方和。

矩形垛：第n层有nxm个。

空心方垛：总个数=大方-小方。

6.爬楼梯问题（斐波那契）

一次1或2阶：到第n阶方法数Fn满足Fn=F-i+F「2。

初始条件：FI=1,F2=2（从地面起）。

一次1,2,3阶：an=an_i+an_2+an_3o

相邻不同：若不能连续两次1阶，需额外限制。

排列组合：也可用插空法直接计算。

7.细胞分裂问题

每次分裂乘2:an=a「2nT（等比）。

分裂时间：已知总数反求代数用n=log2（红）+1。

ai

部分死亡：每代乘固定比例仍是等比。

分裂+死亡：an+1=p-ano

分批分裂：不同细胞不同速率，需分段。

8.往返运动求和

每次剩比例：如每次剩今路程成等比。

总路程：无穷等比求和（若收敛）。

有限折返：写出前几项，用等比前n项和。

第24页,共40页

时间累计：每次时间也成等比。

n

反弹高度：第n次反弹高度为h0-qo

9.数阵图求总和

按行看：每行成等差或等比。

按列看：每列也可能有规律。

整体和：先求每一行和，再求行和之和。

对角线：主对角线、副对角线规律。

杨辉三角：第n行和为2-1。

10.三角形数阵求指定位置

前k-l行总项数：色?2。

第m行第n列：先定位在第几行。

通项法：数阵本身有通项公式时直接代入。

左右对称：若对称可用对称性简化。

行列关系：ajj=f（tj）可能是i+j或ixj形式。

七、观察与归纳

示例1（技巧1、2：看趋势、作差）

题目：数列2,5,8,11,14,...求第20项。

所用技巧：看速度（增长均匀可能等差）、一次差定等差。

解析：相邻两项差：5-2=3,8-5=3,常数d=3,首项

Q[=2o

通项an=a1+（n—l）d=2+（n—l）x3=3n-lo

代入n=20：“20=3x20—1=59。

答案：59

示例2（技巧3、13:作商判等比、指数试探）

题目：数列3,6,12,24,48,…求第10项。

所用技巧：作商判等比、指数试探（底数变）。

解析：相邻两项比：1=2,[=2,公比q=2,首项%=3。

36

第25页,共40页

通项册=%・qnT=3・2〃TO

9

代入n=io；a10=3-2=3x512=1536。

答案：1536

示例3（技巧5：奇偶拆两列）

题目：数歹U254,10,6,15820,…求第15项。

所用技巧：奇偶位分离规律。

解析：奇数位：第1,3,5,…项为2,468,…,通项@21=23

偶数位：第2,4,6,…项为5,10,15,20…通项a2k=5ko

第15项，n=15为奇数，设几=2k—1=15=2k—1=k=8。

=2k—16。

答案：16

示例4（技巧7、8:对照平方表、三角数）

题目：数列1,3,6,10,15,...求第12项。

所用技巧：对照三角数（当也）。

解析:观察：a=1=竽"，=竽^,的=

r乙4=3乙6=乙

通项。九二当2

代入n=12：12x132

a]2=2~/oo

答案：78

示例5（技巧9:遇根号有理）

24

题目：求^-7=的值。

2n=1Vn+Vn+l

所用技巧：化差形、找对消。

解析:「\=Vn+1_yfn

Vn+Vn+lvo

和式=(V2-Vl)+(V3-V2)+-+(V25-V24)o

中间全部抵消，剩下屈-a=5-1=4。

答案：4

示例6（技巧10:周期先找T）

第26页,共40页

题目：数列2,-3,42-3,4…求第100项。

所用技巧：周期先找T,余数法。

解析：周期7=3,一个周期内2,-3,4。

100+3=33余1,余数1对应周期第1项2o

答案：2

示例7(技巧11:递推算前项)

题目：已知的=1,an+1=2an+1,求的。

所用技巧：顺推法。

解析:a2=2x14-1=3,

a3=2x34-1=7,

。4=2x7+1=15,

"5=2x15+1=31。

答案：31

示例8(技巧15:待定系数猜)

题目：数列1,5,13,25,41,...猜测通项公式。

2

所用技巧：设an+bn+c9代三点。

解析：一次差：4,8,12,16；二次差：4,4,4,二阶等差，通项为二次函

数。

设Q"=An2+Bn+Co

代入n=1：A+B+C=1；n=2：4/+2B+C=5；n=3：9A+

3B+C=13o

2

解得A=2,B=—1,C=0o通项an—2n—no

验证九=4：2x16-4=32-4=28,不对？检查：原数列第4项

25,计算28不对。

重新解：

n=1：A+B+C=1(1)

n=2：4A+2B+C=S(2)

第27页,共40页

n=3：94+38+C=13(3)

(2)-(1):34+3=4

(3)-(2)：54+B=8

相减得2/=4=/=2,代入得B=—2,代入(1)得C=lo

2

an=2n-2n+1=2n(ji—1)+lo

验证几=4：2x4x3+1=25,正确。

答案：Q九=2n2—2n+1

八、等差数列

示例9(技巧16、17:公差灵活求、通项巧设置)

题目：等差数列中a5=20,a10=35,求的和do

所用技巧：两点式求公差。

解析：d=?T=?=3。

10—55

“5=+4d=20=Qi+12=Qi=8o

答案：%=8,d=3

示例10(技巧18、19:中项、对称性质)

题目：三个数成等差，和为18,积为192,求这三个数。

所用技巧：设a-d,a,a+do

解析：和3a=18=a=6。

积(6—d)•6・(6+d)=192=36—d2=32n灰=4=d=±2。

三数为4,6,8或8,6,4。

答案：4,6,8

示例11(技巧20、21：前n项和、最值)

题目：等差数列=25,d=—2,求前多少项和最大。

所用技巧：正负界找分界点。

解析：Q几=25十(71-1)(-2)=27—272。

令ar>0=>27—2n>0=>n<13.5,即n=13时a13=1>0,n=

第28页,共40页

14时的4=-1v0。

前13项和最大。

答案：13

示例12（技巧22:项数公式）

题目：在12和36之间插入5个数，使成等差，求插入的第3

个数。

所用技巧：插项数求公差。

解析：总项数几=5+2=7,首项由=12,末项a7=36c

36-1224.

公差d=-----=—=4c

7-16

插入的第3个数是。4=12+3x4=24c

答案：24

示例13（技巧23:等差判定）

题目：数列an=7n-3是否为等差？

所用技巧：通项式法。

解析:an=7n-3是pn+q形式，p=7,q=—3,所以是等差数列,

公差7o

验证：a九+i-a九=7（几+1）—3—（7TI-3）=7。

答案：是，公差7

示例14（技巧24:片段和性质）

题目：等差an的前m项和为=10,前2m项和为S2m=30,

求前3m项和。

所用技巧：Sm,S2m—Sm,S3m—S2m成等差。

解析：Sm=10,S2m-Sm=30-10=20,则S3m-S2m=30（公差

10）0

所以S3m=S2m+30=60o

答案：60

示例15（技巧25:奇数偶数项和）

第29页,共40页

题目：项数为奇数的等差数列，奇数项和S奇=35,偶数项和5偶=

28,求中间项和项数。

所用技巧：S奇一S偶=Q中，且S奇+S偶=Sno

解析：中间项Q中=35-28=7。

设项数2/c-1,则5奇=心口中=35=左=5,项数2x5—1=9。

答案