高考数学-指数与指数函数 （学生版）

指数与指数函数

激活思维

1.（教材经典题）设。>0,则下列运算中正确的是（）

4323

A.=dB.a~Cly=Cl2

221

C.ClyQ3=0D.（〃4）*二Q

2.（教材经典题改编）设Q=3°Lb=2-。％c=90.4,则（）

A.b<c<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

ii

3.（教材经典题改编）已知石+L£=5,则X+L］的值为（）

A.5B.23

C.25D.27

4.下列函数的值域是（0,+8）的有（）

A.B.y=p-i

A।]—2x.

C.y=（3ID.y=^\—3V

5.函数），="什2026+2026（4>0,的图象恒过定点

聚焦知识

1.根式

（1）概念：式子也叫做,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

（2）性质：（、/"）〃=0（〃使得'］有意义）;当n为奇数时，,曰=〃；当n为偶数

时，g呼怒

龙考檄号

2.分数指数鬲

n\

(1)规定：正数的正分数指数辕的意义是二=(〃>0,〃7,“EN*

且〃>1)；正数的负分数指数幕的意义是。一［=(4>0,〃?，且〃〉

1);0的正分数指数塞等于0:0的负分数指数塞.

(2)有理指数辕的运算性质：a>as=；

(ar)s=；(ab)1-,其中〃>0,b>0,r,sWQ.

3.指数函数的图象与性质

a>\0<67<1

V

T

图象啰-1]___Xk.L_r=i

0ix-7

定义域R

值域

过定点_______，即当x=0时，y=

当x>0时，________；当xV0时，_____；

性质

当xVO时，________当x>0时，_______

在(一8,+8)上是____在(一8,+8)上是_____

4.常用结论

(1)画指数函数》=出(。>0且。工1)的图象时注意两个关键点：(1,。)，(0,

1).

(2)底数。的大小决定了图象相对位置的高低，不论是还是0<。<

1,在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.

龙考檄号

(Xa<b<\<c<d

(3)/(x)=qx与g(x)=/l\\a>0且a21)的图象关于y轴对称.

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目恤Ml指数式的求值与化简

例1(1)计算J—j■—(—9.6)。+V(\r(2)一兀尸一层)一2的值为

()

1

A.-B.it

n

C.7i2D.2

(2)已知x—工-1=26Q>0),求二.、的值.

x2+x-2

<总结梃燎》

指数寐运算的一般原则：(1)负指数幕化成正指数幕的倒数.(2)底数是负

数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分

龙考檄号

数.（3）若是根式，应化为分数指数幕，尽可能用森的形式表示.

变式1⑴已知eb—e1R=2,则6卡=.

（2）（2025•福州质殓）牛奶保鲜时间因储臧温度的不同而不同，假定保鲜时间

y（单伍h）与储藏温度M单位：℃）的关系式为歹=相义廉厂为常数）.若牛奶在0℃

的冰箱中，保鲜时间约是100h,在5c的冰箱中，保鲜时间约是80h,那么在

10℃的冰箱中的保鲜时间约是h.

目标区指数函数的图象及应用

例2（1）（多选）若函数>=优+〃-且aWl）的图象经过第一、三、四

象限，则下列说法中正确的有（）

A.a>1B.0<a<l

C.b>0D.Z><0

（2）（2025•龙岩质检）已知兀0=0—小当.VbVc时,有/⑷>/（c）〉/S）,

则必有（）

A.QVO,/）<0,c<0B.tz<0,/）>0,c>0

C.2-a<2，D.1<2。+2y2

变式2已知函数=二若实数满足〃〈力Vc且/（〃）

fX十Z9X71，

=/S）=<c），则3〃+3，>+3<、的取值范围为（）

A.（3,9）B.（5,9）

C.（5,11）D.（3,11）

目标©指数函数的性质及应用

视角1单调性与最值

例3-1（1）（2023•新高考I卷）设函数於）=2您r）在区间（0,1）上单调递

减，则。的取值范围是（）

A.(—8,—2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,4-oo)

龙考檄号

（2）函数/（X）=（；J的值域为.

（3）（2025•宿迁期中）（多选）若定义在[-1,1]上的函数外）=-2•9'+4・3乂,

则下列结论中正确的是（）

A./）的单调递减区间是[0,1]

B.4）的单调递增区间是[-1,1]

C./U）的最大值是次0）=2

D.{x）的最小值是{1）=一6

视角2比大小与解不等式

例3-2（1）（2025•石家庄调研）已知〃=（|/）b=ijo/?,,,=（|

将a,6,。按照从小到大的顺序排列为（）

A.c<b<aB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

（）（•济南月模拟）若函数0,

220253则/(2工)+./-3)>0

的解集是（）

A.(—8,1)B.(I,4-oo)

C.(-8,-3)D.(-3,+8)

视角3综合应用

b—3V

例3-3已知心尸------1是定义在R上的奇函数.

（1）求人丫）的解析式：

（2）已知OVaVl,若对于任意的x£[l,+8）,存在加W[—2,1],使得人刈

—x2+2x4--^fzw+,成立，求实数a的取值范围.

2

龙考檄号

随堂内化

1.（2025•新乡二模）仁］'+声=（）

A.16B.8也

C.32D.16也

2.若x满足不等式法2+1・£,一2,则函数y=2'的值域是（）

C.（-8,mD.[2,+8）

3.（2025•安庆二模）若函数/（X）=Q-2-Wl+b的图象经过原点，且无限

接近直线y=2但又不与该直线相交，则（）

A.函数4丫）不具有奇偶性

B.a=2

C.函数儿丫）的值域为（一8,2）

D.函数人工）的单调递增区间为[0,+8）

4.（2025•聊城一楼）设实数〃>0,函数e）=四上为奇函数，则/（1g3）=_

1。'—C7

配套精练

一、单项选择题

1.已知。=0.3。$,Z?=0.30-5,c=0.40-5,贝ij（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

2.设函数./（x）=3口口在区间（1,2）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（一8,2]B.（-8,4]

C.[2,4-00)D.[4,4-oo)

3.（2025•杭州期末）已知函数人工）=2、+〃7・2r（m£R）是奇函数,则下列关

系正确的是（）

A-X1）<A2）B../（1）>/（2）

a

C.X2）=2/（l）D./（2）=j+Xl）

4.（2025•漳州三模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中

的污染物含量P（单位：mg/L）与时间/（单位：h）间的关系为其中P0>

0,k>0,若在前5h内消除了10%的污染物，则15h后污染物含量还剩余（）

A.70%B.85%

C.81%D.72.9%

产—i+x,xW1,

5.(2025•德州模拟)设=/1则满足火1_劝＞大21)的x的

I9X19

(X

取值范围是()

A.(-8，-1]B.(0,4-oo)

C.(一1,0)D.(-8,0)

二、多项选择题

6.（2025.绍兴模拟）已知函数4刈=式*,则下列结论错误的是（）

A.当4=1时，/（x）是偶函数，且在区间（0,1）上单调递增

B.当2=1时，/⑺是奇函数，且在区间（0,1）上单调递减

C・当义=-1时，/（x）是偶函数，且在区间（0,1）上单调递减

D.当4=一1时，Hx）是奇函数，且在区间（0,1）上单调递增

7.（2025•宁德质检）设函数/（幻=0-1|,a,b,c£R,且则下

列说法正确的是（）

A.函数y=/a）有最小值o,无最大值

B.函数歹=/（x）的图象与直线y=l有两个不同的交点

常考撤号

C.若火<>7©>.他),则2。+2y2

D.若火0=火力)，则2加+2。的取值范围是£,2,

8.已知函数(丫)=(:二：，20,若旦人工1)=/(》2)=/(工3)，则

()

A.XI+X3=2B.修<0<》2<1V》3

c.|x3|>bc,|>|x2|D.OVx孙I)wl

4

三、填空题

41

。3—8a3b]

9.彳匕简：----------+卜一2'gJX7a=.

4方+24法+43I/

〃？—1+9”'

10.(2026•德州期初)己知〃>0,函数/)=--------,若儿0+4一幻=0,

3Y

则加+〃=.

11.已知函数,/(x