二次函数压轴之线段周长问题-2026年中考数学二轮专练

2026年中考数学二轮专题精练-二次函数压轴之线段周长问题

I.已知抛物线丁=。12+2仆+°(〃H0)与1轴交于4(-4,0),B两点(点8在点4右侧)，与)，

轴交于点C(0,-4),。为对称轴与x轴的交点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P,Q两点，且WDQ

为等腰直角三角形.

(i)求的面枳；

(ii)点G(p,g)为该抛物线AC段上一动点，过点G作GN_Lx轴，GN与直线PO相交于点

N,直接写出线段GN取得最大值时p的值.

2.如图，抛物线与x轴交于4、B两点,与)，轴交于。点，点A的坐标为(2,0),点B的坐

标为(—3,0),点C的坐标为(0,3).

(I)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q,使AQ+C。的值最小，并求出点Q的坐标.

(3)点尸是抛物线上位于直线3C上方的点，连接P8、PC,。点的横坐标为〃bS〉KP=S，

请写出5与机的函数关系，并求S的最大值.

(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点使得以从A、B、C四个点为顶点的四边形是平

行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，已知抛物线)，=/+公+。与x轴交于4、B两点,与y轴交于点C,顶点、为点E,

已知点B的坐标为(I,。)，经过点B的直线与抛物线另一个交点力的坐标为(-2,-3)，连接AD.

⑵若点”在X轴上，则当M+B的值最小时，求点尸的坐标；

⑶若点^是)，轴上的一点，使得△ACP为等腰三角形，求点P的坐标.

4.已知,抛物线)，=-/+公+。经过点A(TO)和C(0,3).

备用图

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△A4C的周长最小？如果存在，请求出点。的坐标,

如果不存在，请说明理由；

(3)设点M在抛物线的对称轴上，当/XMAC是直角三角形时，求点M的坐标.

5.如图，在平面宜角坐标系xQy中，抛物线y=/+Zu+c与x轴交于•A(T,。)，B两点(点、

A在点8左侧)，与)，轴交于点。(0,-3),点P为x轴下方抛物线上一点.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

试卷第2页，共6页

(2)如图，当点夕的横坐标为2时，，。为直线AP上一点，△08。的周长为7是否成立，若成

立，请求出。点坐标，若不成立，请说明理由；

PH

(3)若直线AP与1y轴交于点M,直线8M与抛物线交于点Q,连接PQ与y轴交于点",求7^7

的值.

6.如图，已知抛物线)，=加+班+c(〃=0)与x轴交于点力。,0)和点B,与)，轴交于点C(0,4),

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P是线段4c上的一个动点(不与点B,。重合)，过点P作y轴的平行线交

抛物线于点Q,连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形。CPQ的形状并说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，。是OC的中点，过点。的直线与抛物线交于点£且

ZDQE=2ZODQ.在)，轴上是否存在点R使得为等腰三角形？若存在，求点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图,二次函数的图象交x轴于点2,0),8(8,0),交y轴于点＜7(0,4),连接AG8C,

点P是线段08上一动点.过点尸作直线灯)〃AC,交线段8C于点E,交y轴于点。，交

二次函数的图象于点R且点尸在第一象限.

备用图

(I)求二次函数的解析式;

(2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标；

(3)在点P运动的过程中，是否存在八。=所的情况？若存在.求出点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

8.如图，己知二次函数图象的顶点为C(LO),直线V=x+m与该二次函数的图象交于A.B

两点，其中点4的坐标为(3,4),点“在y轴上.

(1)求〃?的值及此二次函数的表达式：

(2)P为线段A8上的一个动点(点。与点4B不重合)，过点。作x轴的垂线与二次函数的图

象交于点E,设线段的长为八点P的横坐标为x,求〃与4之间的函数表达式(写出自

变量的取值范围).

9.如图，抛物线y二/+区+c经过点A(-l,0),8(3,0),C(0,3)三点，。为直线8C上方抛物

(I)求抛物线的解析式；

(2)如图1,求线段OE长度的最大值：

⑶如图2,设AB的中点为F,连接C/),b,是否存在点D,使得中有一个角与NCR?

相等？若存在，求点。的坐标；若存在，请说明理由.

10.如图,抛物线y=-/+法+c经过点A(3,0)和点8(0,3).

试卷第4页，共6页

⑴求抛物线)，=-X2+bx+C的解析式为

(2)若直线/_Lx轴，在第一象限内与抛物线交于点M,与直线44交于点M设线段的

长度为〃，请结合函数图象求出〃的取值范围.

⑶若抛物线)，=--+法+。的图象上存在点P,使△RW的面积等于VAOB的面积的一半，

则这样的点尸共有一个.

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*+2x+3与X轴交于4,3两点(点A在点8的

左侧)，与y轴交于点。，点。是该抛物线的顶点.

⑴求直线AC的解析式；

(2)求3,。两点的坐标；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点M,使AACM的周长最小，求出M点的坐标；

(4)点。是x轴上一个动点，点夕作直线川4。交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动,

在抛物线上是否存在定点Q,使得A,P,0,C为顶点的四边形是平行四边形，若存在,

请直接写出符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，抛物线y=d+瓜+6与x轴交于与-2,0),8(4.0)两点,与y轴交于点物。是第一

象限内抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的解析式：

(2)当C£>〃x轴时，求“1CQ的周长；

3

(3)当ABCD的面积等于AAOC面积的二时，求点。的横坐标.

13.在平面直角坐标系中，已知抛物线加+2经过A(-6,0)、3(2,0)、C(0,2)三点,

抛物线的顶点为。，对称轴OE交x轴于点E,接EC.

必

(I)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

⑵如图1,将△COE绕点上旋转得到点C1能否恰好落在直线上？若能，求出点

G恰好落在直线4。的坐赤，若不能，请说明理由；

⑶如图2,点A是抛物线上的动点，连接尸C、PE,将AQCE沿CE所在直线对折，点P的

对应点为点片，点4能否落在直线A。上？若能，求出点々恰好落在直线A。上时的点。横

坐标，若不能，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案

1.(l)y=-x2+x-4

(2)(i)11+2\/10；(ii)P=-2

【分析】(1)代入点坐标，待定系数法求解析式即可；

(2)(i)先通过对称轴公式求出。的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，

确定尸。的中点与点尸和点。的关系，并构建方程求出点尸的坐标，即可计算求出各线段

长，进而计算出面积；

(ii)待定系数法求出直线尸。的解析式,从而表示出点N的坐标，进而用含〃的式子表示GN,

得到GN关于〃的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可.

【详解】⑴解：代入4-4,0)和(0,-4),得，?

L=i

解得2,

c=-4

:.y=gx2+x-4；

(2)解：(i)由(I),得抛物线的对称轴为直线1=-多=-1,

2a

••・。(-LO),

如图，设PQ的中点为E,则。£=P£=Q£=g。。，DE±PQ,

,PE=—1—/«,DE=—nr+in-4,

2

•/PE=DE,

/.—1—m=—m2+4,

2

答案第1页，共32页

解得加=一2-质，或〃?=一2+加(不合题意，舍去),

，DE=PE=-\-m=\+^,PQ=2DE=2+2>/W,

p(-2-Vio,i+>/io),

ASAPD2=ioEP2=^(l-Vio)(2+2>/io)=ll+2Vio；

(ii)设,直线£>P：y=kx+b,

卜2-婀攵+O=1+W

代入P(—2-而，1+加)，D(-1,O),得<

-k+b=O

k二—T

解得L।

b=-\

y=-x—\,

由题意，得Ngp-l),G[pip24-p-4|,

A=(-/?-1)--p2+p-41=5PJ2p+3,

V--<0,

2

b-2

p-------=------“时，GN取得最大值.

当2a2x

<-2

11,

2.⑴y=——X2——x+3

22

15、

⑵Q「5句

(3)s=q,+|)S最大值为蚤

⑷(5,3)或(T,-3)或(-5,3)

【分析】(1)根据点人B,C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

(2)利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x=-；,作点。关于抛物线对称轴的

对称点C,连接47,交抛物线对称轴于点Q,此时AQ+CQ取最小值，求出直线AC'的

解析式，即可解答；

(3)由题得P(〃?,彳川_]?+3)-3<〃?<()),过点「作工轴的垂线，交BC于点G,求出

答案笫2页，共32页

直线8c的解析式，则G(m,m+3),求出PG,根据，叩，=3。3阵|,再利用二次函数的性

质即可解答；

(4)设七(e,q),利用平行四边形的性质，分以AC为对角线，以AB为对角线，以A石为对

角线三种情况讨论即可.

【详解】(1)解:设抛物线的解析式为)，=以2+法+4〃工0),

1

-

«=i9

-

4a+2b+c=0I

A

-=一

则，9a—3力+c=0,解得＜2-

c=3C-3

・•・抛物线的解析式为y=-T/一：x+3；

(2)解：•・•抛物线的解析式为)，=-：/一：x+3,

・•・抛物线的对称轴为直线五=六、=-J,

2x/

I2)

作点C关于抛物线对称轴的对称点C，连接AC,交抛物线对称轴于点Q,

则QC=QU,C(-l,3),

此时AQ+C。取最小值，

设直线AC的解析式为y=sx+f(swO),

,(2s+t=0,,(5=-1

则＜o,解得个,

-s+r=3(r=2

••・直线AC'的解析式为)，=-X+2,

将x=-g代入y=-x+2,则y=g,

答案第3页，共32页

(3)解：•••P点的横坐标为

设直线BC的解析式为尸质+3(〃/0),

则一3%+3=0,解得々=1,

・•・直线3C的解析式为y=x+3,

则G(”〃+3)

PG=--nr--m+3-(rn+3)=--ni2-—m

22'’22

••一

1”II1(123)Q3293(3Y21R3

g2il2122)44412)164

327

••・当〃1=-彳时，S有最大值，最大值为二；

216

(4)解：设E(eq),

当以AC为对角线，四边形AEC8是平行四边形时，如图:

••・£(5,3)；

当以A8为对角线，四边形4C8E是平行四边形时，如图:

答案笫4页，共32页

・•・E(--3)；

当以AE为对角线，四边形ACE8是平行四边形时，如图:

，E(-5,3)；

综上，存在点E坐标为(5,3)或(-1,-3)或(-5,3)时，以&A、B、C四个点为顶点的四边形

是平行四边形.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系

数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的

性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键.

3.⑴抛物线解析式为y=/+2x-3；直线8。的解析式为广工-1

(2)卜别

⑶他「3-3夜)或(0,-3+3夜)或(0,3)或(0,0)

【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分

答案第5页，共32页

类讨论的思想求解是解题的关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)可求出。(0,-3),顶点£的坐标为(TT)；,作点C关于x轴的对称点G,连接EGFG,

则G(0,3),b=G/，可证明当石、F、G三点共线时，EF+GF有最小值,即此时M+b

有最小值；求出直线EG的解析式，进而求出直线EG与x轴的交点坐标即可得到答案；

(3)求出点4坐标，进而求出AC的长，再分C4=CP=3&，AC=AP和AP=b三种情

况，讨论求解即可.

.1+Z?+c=O

【详解】⑴解：把点B和点。的坐标代入y=x2+/u—c中得'".

4-2Z?+c=-3

他=2

c=-3

・•・抛物线解析式为)，=/+2.r-3；

设直线的解析式为)，=履+〃，

.卜+方'=0

2八〃=-3'

[k=\

b=一】

，直线8。的解析式为

(2)解:在)，=丁+2]一3中，当x=0时，)=一3,

:.C(0,-3)；

抛物线解析式为)，=V-2x—3=(x+1『一4,

・•・顶点£的坐标为(TT)；

如图所示，作点。关于x轴的对称点G,连接EG,FG,则G((),3),CF=GF,

EF+CF=EF+GF,

，当E、尸、G三点共线时，所+G/有最小值，即此时所+b有最小值；

设直线EG的解析式为)，=k、x+a,

答案笫6页，共32页

甘+向=-4

a=3

K=7

4二3

・••直线EG的解析式为），=7.r+3,

3

在），=7x+3中，当），=7x+3=。时，,x=

7

(3)解：在y=N+2x-3中，当),=/+2工-3=0时，解得x=—3或x=l,

・•・A(-3,0),

VC(0,-3),

：.OA=OC=3,

•*-AC=>1OA2+OC2=y/2；

当C4=CP=3夜时，则点p的坐标为仅，-3-3&)或(0,-3+3@；

当AC=A。时，*：OA±CP,

：.0P=0C=3,

二点P的坐标为(0,3)；

当4P=b时，设点尸的坐标为(0,p),

.,.(-3-O)2+(O-p)2=(-3-/?)2,

解得〃=0,

，点P的坐标为(0,0)；

答案第7页，共32页

综上所述，点P的坐标为(。，-3-3&)或仅,-3+3夜)或(0,3)或(0,0).

2

4.(\)y=-x+2x+3f(1,4)

⑵存在，点P坐标为(1,2)

(3)当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为。/)或(1,2)或(弓)或

【分析】(1)由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的

一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点；

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为点8,连接8c交抛物线对称轴于点P,此时4c的

最小值为AC+CP+AP=AC+CB,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点8的坐标，

由点4、C的坐标利用待定系数法即可求出直线5C的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛

物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

(3)设点M的坐标为(1,加)，则收42=(1+1『+小=4+〃/，

MC-=(1-O)2+(//z-3)2=l+(7Z7-3)2,AC2=[O-(-l)]2+(3-O)2=lO,分ZACM=90°、

ZAMC=90°>NCAA/=90。三种情况，利用勾股定理可得出关于，〃的一元二次方程或一元

一次方程，解之可得出，〃的值，进而即可得出点M的坐标.

【详解】(1)解：由题意知，将A(TO),C((),3)代入广-丁+法+c中，

-l-b+c=0b=2

得c=3'解得：

c=3

・••抛物线的解析式为y=-d+2x+3,

将抛物线的一般解析式转化为顶点式为)，=-/+2.r+3=-(x-l)2+4,

当x=l时，y=4,

，抛物线的顶点坐标为(1.4).

(2)解：存在，

如图，设抛物线与入轴的另一个交点为点8,连接8C交抛物线对称轴于点P,此时△PAC的

最小值为AC+CP+AP=AC+C3,

答案第8页,共32页

解得：$=-1,~=3,

，点B的坐标为（3,0）,

,・,抛物线的解析式为），=*+2工+3=《-1）2+4,

・•・抛物线的对称轴为直线x=l,

设直线3c的解析式为>=履+〃（攵工0）,

将8（3,0）、。（0,3）代入》="+6中,

k=-\

得：b=3,解得：

b=3'

••・直线BC的解析式为y=-x+3,

•.•当x=l时，y=-x+3=2,

J当△Q4C周长最小时，点P的坐标为（1,2）.

（3）解：如图，设点M的坐标为（1,小），

由勾股定理得，力仅2=(1+11+〃/=4+〃/,

22

MC--(IO)I(山3)-1I(m3)2,

答案第9页，共32页

4C2=[0-(-l)]2+(3-0)2=l0,

此时分三种情况考虑:

①当ZACM=90。时，有AA/2=AC2+CM2,BP4+/n2=10+1+(/«-3)2,

解得：mg

.,.点M的坐标为

②当Z4MC=90。时，有AC2=AM2+CM?,gpio=4+m2+1+(/H-3)2,

解得：町=1,闭2=2,

••・点M的坐标为(1,1)或(1,2),

③当NC4M=9O。时，有CM2=AA/2+AC2,即1+(〃?一3f=4+>+10,

2

解得：///=--,

•••点M的坐标为,

综上所述，当AllAC是直角三角形时，点M的坐标为(11)或(1,2)或，g)或

【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴

上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用.

5.(\]y=x2-2.X-3

(2)不成立，理由见解析

(3)3

【分析】(1)将A(TO),。((),-3)两点代入解析式即可求解；

(2)过夕作PGJ_x轴,作。关于直线AP的对称点。，连接AO',BO\80'与AP交于

连接0。，可推出此时，BD+OD最小.由翻折可得：VA8W47。，进而得在

中，BO=OD+BD=4AO、AB2=布，。。+5。最小值为后，

心刈)最小值为08+00+80=3+后，据此即可判断；

(3)过P作刊7JLy轴交于凡过。作PNJLx轴交于M过。作。石人y轴交于£过Q作

QK_Lx轴交于K,设P(”?,m2一26一3),QU，"-2”-3),可推出VA/WsVAMO得

答案第10页，共32页

=QM="?-3：再证V8KQsV80M得,OM=-3〃-3；进而得〃?=-3〃；

ANPNDKQK

最后证VQHEsVP”尸，即可求解；

【详解】⑴解：:抛物线"炉+加+c过A(-1,O),C(0,-3)两点，

\-b+c=0

\b=-2

解得，，，

c=-3

・•・抛物线的解析式为广？-2x-3；

(2)解：不成立.理由如下：

过P作PG_Lx轴，

由题意得：当x=2时，y=22-2x2-3=-3,

・•・P（2,-3）,

••・OG=2,PG=3,

・•・AG=OA+OG=3.

：.AG=PG,

•・•ZPGA=90°,

・•・^PAG=ZAPG=45n,

作。关于直线AP的对称点O',连接AO]BO\BO'与AP交于D,连接OO,

此时8力+00最小.

由翻折可得：VAOD^VA（7D,

AAO=AOr=LOD=OD,NOV）=NOAP=45。，

BO=OD+BD=OD+BD,NBA。=ZBAD+ZCTAD=90°,

当）'=0时，x2-2x-3=0,

答案第II页，共32页

解得用=-1,占=3,

・•・4(3,0).

，08=3,

••・AB=OA+OI3=4,

在RS84。中，B(y=OD+BD=ylA(y2+AB2=V17，

，00+8。最小值为J万，

••koBD最小值为0B+OD+BD=3+J17,

V3+VT7>7,

・•・△03。的周长不可能为7；

(3)解：过P作Pb_Ly轴交于立过P作尸N_Lx轴交于N,过。作。£_Ly轴交于日过

Q作QK_Lx轴交于K,

设P(〃?,nr-2m-3),Q(〃,n2-2n-3),

APF=\n^取=|加一2初—3|,QE=|〃|,Q/C=|n2-2/1-31,

•••PN_Lx轴，ZPNA=ZMOA=9(r.

，OM//PN,

/.YAPNKAMO,

.AOOM

•・俞一丽’

1_oM

**m+1(/??+l)(/?z-3)

OM=in—3，

同理可得：VBKQsVBOW,

答案第12页，共32页

.OBOM

••茄一谑’

.3_OM

**3-n+-3)，

AOM=-3/i-3,

m-3=-3n-3,

:・m=-3/?,

TP尸J_y轴,QE_Ly轴，

/QEH=/PFH=90。,

又•・,4QHE=4PHF,

・•・MQHEsVPHF,

.&竺=也［=囹

,,加一至一时一百’

.♦“二I-3〃|二3|〃|

,•丽-可-『一

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与

性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础.

6.(l)y=x2-5A+4

(2)四边形OC'PQ是平行四边形，理由见解析

⑶(0年)或(0，1)或(0,7)

【分析】(1)设抛物线)，1)。-4),根据待定系数法，即可求解；

(2)先求出直线的解析式为：>=一1+4,设尸(％-1+4),则。(.1,/一51+4),(04工44),

得到PQ=-(x-2产+4,从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；

<3)过点。作轴，过点Q作QN〃y轴，过点E作EN〃人轴，交丁点N,推出

/MDQ=NDQN=NEQN,从而得M就Q二N而E，进而求出反5.4),设R0,y),分三种情况

讨论，即可求解.

【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c(a/0)与x轴交于点4(1,0)和B,与丫轴交于点C,

对称轴为直线x=|,

/.8(4,0),

答案第13页，共32页

设抛物线y=a(x—D*—4),把C(0,4)代入得：4=67(0-1)X(0-4),

解得：4=1,

，抛物线的解析式为：y=(x-l)(x-4)=x2-5x+4；

(2)解：•••8(4,0)((0,4),

设直线8c的解析式为：y="+4,

则软+4=(),

解得：k=—\,

・•・直线3C的解析式为：v=-x+4,

设P(x,-x+4),则Q(x,V-5x+4),(0<x<4),

PQ=-x+4-_5x+4)=-f+4x=-(x-2)2+4,

・••当x=2时，线段P。长度最大=4,

・•・此时，PQ=CO,

又VPQ//CO,

••・四边形OCPQ是平行四边形；

(3)解：过点Q作轴，过点Q作QN〃),轴，过点石作EN〃八轴，交丁点N,

答案第14页，共32页

由(2)得：。(2,-2),

•.♦。是OC的中点，

/.£>(0,2),

•「QN〃y轴，

NOOQ=NQQN,

又丁NDQE=2NODQ,

NDQE=2/DQN,

ZMDQ=乙DQN=/EQN,

：.tanZMDQ=tanZ.EQN.

MQNE

即丽=而，

设E(x,炉一5x+4),

则NE=X-ZNQ=X2-5X+4-(-2),

VM0=2,MD=2-(-2)=4,

•__2________x_-_2_____

**4-X2-5X+4-(-2)F

整理得：./一71+]0=0,

解得：内=5,勺=2（舍去）,

・•・£(5,4),

答案第15页，共32页

设尸(0,y),

则BF2=(4-0)2+(0-y)2=16+/,

EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-)，『，

BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

①当班'=石厂时，16+y2=25+(4-y)2，

25(

解得：)，二一，则点尸的坐标为0,丁;

Ok07

②当斯=8E时，16+)3=17,

解得：y=i或y=T,

则点尸的坐标为(0,1)或(0,7);

③当£F=3E时，25+(4->')2=17,无解，

综上所述：点尸的坐标为：(。，1)或(0」)或(0，-1).

【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，涉及解直角三角形，等腰三角形的性质，

勾股定理，二次函数与特殊三角形，平行四边形的判定等知识点，掌握二次函数的性质以及

图像I：点的坐标特征，添加辅助线是解题的关键.

答案第16页，共32页

7.（l）＞,=--.r2+-x+4

42

（84一，16八）

（2）百,0或—,0

（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）利用正切函数求得tanNACO=tan/C8。，即4co=NCBO,推出NAC4=90。.得

（）pIPFnr8-"?

到tan"DP=J=2，设OP=m,则OD=2m,由sinZCBO=?=",得至IjPE=-j=-,

OD2PBBCV5

分两种情况讨论，PE=2PD或PD=2PE,列式计算即可求解；

（3）假设存在.则Eb=AC=2逐，过点r作F〃_LA8于点儿交BC于点G,利用面积

公式得到R7=5,设”（，!，0）,得到FG=-：〃2+2/?=5,利用根的判别式即可判断.

【详解】（1）解：•・•二次函数的图象交x轴于点A（-2,0）,8（8,0）,

•••设二次函数的表达式为>=〃(》+2乂1-8).

将点C(0,4)代入y=a(x+2)(x—8),得。.(O+2)(O—8)=4,解得〃=

113

二次函数的表达式为y=--(A+2)(X-8)=--x2+—x+4；

442

(2)解：•・•A(—2,0),8(8,0),C(0,4),

••・04=2,OC=4,OB=8.

**-AC=y)22+42=275»Z?C=>/42+82=475.

*.*tanZ.ACO=,tanZ.CBO==—

CO2BO2

JtanZACO=tanNC30.

/./ACO=/CBO.

・•・ZACS=ZACO+zLBCO=zLCBO十乙BCO=9CT.

•/PD//AC,

/.ZPEB=ZACB=90°,ZACO=NODP.

OP1

tanZ.ODP=tan/.ACO------=—.

OD2

设OP=〃i,则OD=2/〃.

PD=也m>PB=8-〃?.

答案第17页，共32页

・・・

.sinZ/.fCcBO--P--E-=---O--C

PBBC

8-m4V5

,3等,

丁点P为线段DE的三等分点,

,PE-2PD或PD-2PE,即=或右加=2x^^

・・・T或吁竺

117

••・点尸的坐标为倍8,o］或停，。］；

1111zI/7

（3）解：不存在.

理由：假设在线段08上存在点P,使得4C=EE,则E”=AC=2后,

连接/G〃S,如图所不，

则S^BCF=1^CFE=^X4X/5X2X/5=20.

过点F作FH上AB于点H,交8C于点G,

=；FG(OH+BH)=；FGOB=4FG=2().

：.FG=5.

•••3(8,0),C(0,4),

Sk+b=0k=~-

设直线8c的表达式为"则『，解得2,

・二直线4c的表达式为y=-：工+4.

设”(〃,0),则G(〃,—g〃+4),“，h3+4.

I42J

答案第18页，共32页

s/1，3J[1八12cu

I42)I2)4

整理,得〃2一8〃+20=0.

VA=(-8)2-4xix20=-l6<0,

・♦・该方程无实数解.

・••假设不成立.

••・在线段OB上不存在点P,使得AC=斯.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角

形的面积公式，一元二次方程根的判别式.解决问题的关键是转化条件，列出方程.

8.(1)//Z=I,y=(x-l)2

(2)h=-X2+3x(0<x<3)

【分析】本题考查/用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是：

(1)因为直线y=x+，〃过点A,将4点坐标直接代入解析式即可求得〃7的值；设出二次函

数的顶点式，将A(3,4)代入求解即可；

(2)由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表

达式，/?即为二者之差；根据尸、E在二者之间，即可求出x的取值范围.

【详解】(1)解:把A(3,4)代入y=x+〃?，得4=3+〃z,

解得〃?=1,

y=x+l,

•・•二次函数图象的顶点为C(l,0),

，设二次函数的表达式为尸

把A(3.4)代入得4=〃(3-1):

解得。=1,

Ay=(x-l)2；

(2)解：•・•点P的横坐标为x,尸石_Lx轴，

・••点E的横坐标为x,

•・•点E在抛物线上，点P在线段A3上(点产与点AB不重合)，

答案第19页，共32页

工点E的纵坐标为)，=(x-1『=/-2x+l,点P的纵坐标为x+1,0<x<3,

,/?=x+1-(f-2x+1)=-。+3x,

即h=-x2+3x(0<xv3).

9.(\)y=-x2+2x+3

⑵辿

8

(3)存在，。点坐标为停?或目)

【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据平行于)，轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得ZW,根据

相似三角形的判定与性质，可得OE的长，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)根据正切函数，可得NCF。，根据相似三角形的性质，可得GH,BH,根据待定系数法，

可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案.

【详解】(1)解：•・•抛物线过点A(T0),8(3,0),C(0,3),

・•・设抛物线的解析式为y=〃(x+l)(x-3),

把(0,3)代入得3=a(O+l)(O-3),解得。=-1,

y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3；

(2)设直线BC的解析式为y=h+4,

•・•直线/3C过点8(3,0),C(0,3),

3k+"=0

则J

仇=3

解得

4=3

••・直线BC的解析式为)，=[1+3,

设/)(〃,-〃2+2〃+3卜0<〃<3),

过点。作。M_Lx轴交8c于M点，如图1,

答案第20页，共32页

佟11

则M(〃,T7+3),

/.DM=+In+3)-+3)=-n2+3〃,

•・・DM_Lx轴，

.•・DM||CO、

NDME=/OCB,

VDEIBC,

：,/DEM=/BOC=舒,

.△DEMs/\BOC,

,DE二OB

•・・8(3,0),C((),3)

,•*OB=3»OC=3,BC=\/32+32=3\/2,

.DE_3y/2

DM=372=T?

“二62夜23夜6（3丫9x/2

2222\2）8

V2

--------<0n，

2

二.当时，OE取最大值，最大值是逑；

（3）存在.

假设存在这样的点。，△（?£）£中有一个角与NCR?相等,

•・•点/为A4的中点，A（—l,0）,“（3,0）,

AF(l,0),

答案第21页，共32页

oc

,-.OF=I,tanZCFO=—=3,

OF

过点3作BG_LBC,交CD的延长线于G点，过点G作G〃_L.r轴，垂足为“，如图2,

图2

①若NDCE=NCFO,

tanZDC£：=—=3,

BC

:.BG=90，

'：ZCOB=NCBG=NBHG=90°，

・•・4CB0=/BGH=舒-4HBG,

:・AGBHSABCO,

,GHHB二GB

~Bd~~6c~~BC，

:.GH=9,BH=9,

/.0/7=12,

/.G（12,9）,

设直线CG的解析式为y=/x+Z/,

b'=3

-12/+//=9'

r=l

解得~2

//=3

「•直线CG的解析式为y=gx+3,

1c

H-y=-x+3

联“'2,

^=-x2+2.r+3

3

解得x=或x=0（舍），

答案第22页，共32页

"点坐标为(［J3小15、；

②若NCDE=NCFO,

同理可得G”=1,8”=1,

•••G(4,l),

同理可得，直线CG的解析式为)，=-gx+3,

联立卜T+3,

y=-x1+2x+3

解得x="|或x=0(舍)，

•••。点坐标为(［］5，］7｝、

综上所述,存在点。，使得QE中有一个角与4F0相等，点D的坐标为传印或传J'.

【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形

等知识，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出力£的长，

又利用了二次函数的性质；解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了

待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标.

10.(\］y=-x2+2x+3

9

(2)0<n<-

(3)4

【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的相关性质是解题

的关键.

(1)把A、3的坐标代入函数解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；

(2)求出直线A8的解析式，设点“横坐标为机，根据函数解析式得出点M的坐标为

伽-1+2〃汁3),点N的坐标为(〃?,fz+3),求出〃的值，再化为顶点式，即可得出答案；

(3)根据△Q48的面积等于V4OB的面枳的一半，求得之力^二彳，在分情况讨论即可求出

点。的情况.

【详解】⑴解：•••抛物线尸+饭+。经过点4(3,0)和点3(0,3),

答案第23页，共32页

-9+3/?+c=0

c=3

[b=2

解得

c=3

••・抛物线的解析式为y=-炉+2x+3；

(2)设宜线A8的解析式为)，=依+3,

把A(3,0)代入,得女+3=0,

解得A=—1,

二.直线AB的解析式为)，=f+3,

如图，设点M横坐标为次，

则点例的坐标为("?，-〃7'+2〃7+3),点%的坐标为("7,-〃2十3),

又•.•点M、N在第一象限，

线段MN的长度n=-m2+2m+3-(-in+3)=-nr+3/?i=,

当〃?=；3时，〃有最大值，最大值为9:，

9

n的取值范围是。<〃<7：

4

⑶•.•04=3,08=3,

••.SNO8=gx3x3=g,

•••△八43的面积等于VAOB的面积的一半，

9

*'•S^PAB=T»

设点。的坐标为(4-〃+2〃+3),当点P在第一象限时，

答案第24页，共32页

+5-.一5"。8=3'3〃+3、3.(-42+24+3)-2=(

2

3±g

解得。

~2~

••・尸0¥,-多3)或尸

f3-V3G+3,

22

•••在第一象限内有两个符合条件的点P;

当点P在第二象限时，过点P作PQ〃x轴，则。(/-〃,-/+24+3),

=g(q2_2a_a)3=；,

解得"手

,3+屈屈、’3-而呵

:.P或。

2222

・・.在第二象限内有一个符合条件的点P,在第四象限内有一个符合条件的点P；

综上所述，这样的点。共有4个.

11.⑴y=3x+3

答案第25页，共32页

⑵8(3,0),Q(l,4)

⑶(1,2)

(4)(2,3)或(1+",-3)或(1-疗,-3)

【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二

次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质;

（1）令y=。，解方程求出A、力的坐标，再令x=0求出点C的坐标，然后利用待定系数

法求一次函数解析式求解即可;

（2）把函数解析式整理成顶点式形式求出顶点。的坐标，即可求解;

（3）根据轴对称确定最短路线问题，连接8C,与对称轴的交点即为所求的点然后求

出直线BC的解析式，再求解即可;

（4）分点〃在点。的左功和右功两种情况，根据平行四功形的对动平行H相等，从点工、C

的坐标关系，用点。的坐标表示出点。的坐标，然后把点。的坐标代入抛物线解析式求解即

可.

【详解】（1）解：令），=0,则一/+2X+3=0,

整理得，/一2X—3=0,

解得X=T,々=3,

所以，点A（—1,O）,8（3,0）,

令x=0,则y=3,

所以，点。的坐标为（0,3）,

设直线AC的解析式为y=心+从

-k+b=0

则

〃=3

k=3

解得

b=3

所以，直线AC的解析式为y=3x+3；

(2)vy=-x2+2x+3=-(x-l)24-4,

「•顶点。的坐标为（1,4）,

答案第26页，共32页

由（1）可得B（3,0）

B（3,0）,D（l,4）

（3）・.・A、8关于对称轴直线x=l对称轴,

・•・直线4c与对称轴的交点即使的周长最小的点,

设直线BC的解析式为V=，柳十几

,3/〃+〃=0

所以，直线的解析式为y=-x+3,

当x=l时，y=-l+3=2,

所以，点M的坐标为（1,2）；

（4）•.•直线

...4Q||AC且4Q=AC,

VA（-1,O）,C（0,3）,

设点P的坐标为（工,0）,

则①若点Q在-v轴上方，则点。的坐标为（x+1,3）,

此时，-（x+l『+2（x+l）+3=3,

解得$=T（舍去），々=1，

所以，点Q的坐标为（2,3）,

②若点。在X轴下方，则点Q的坐标为3）,

此时，_（1『+2（1）_3;_3,

整理得，X2-4X-3=0，

解得内=2+近，0=2-币,

综上所述，点Q的坐标为：（2,3）或（1+收-3）或（1-五-3）

答案第27页，共32页

3、3

12.(1)y=——x2+-x+6

42

Q)2(M+E+1)

（3）1或3

【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数解析式的求解、

勾股定理的应用以及三角形面积的计算，解题的关键是熟练