2026年中考数学：与圆有关的位置（知识解读+例题讲义）解析版

第27讲与圆有关的位置

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知识点1：点，直线与圆的位置关系

知识点2：切线的性质与判定

知识点3：三角形的内切圆与外接圆

M知识梳理

知识点1：点，直线与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

已知。。的半径为r,点P到圆心。的距离为d,则:

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d〉rU＞点P在圆外

点在圆上点在圆周上d=ru＞点P在圆上

点在圆内0点在圆的内部d＜rU＞点P在圆内

【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆

心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系.

2.直线和圆的位置关系

设。0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系图形公共点个数性质及判定

相离2没有公共点d>rU>直线1与相离

相切有唯一公共点d=rU>直线1与。0相切

相交有两个公共点d<rU>直线1与。0相交

【小技巧】判断点马圆之间的位置关系，将该点的圆心足与半径作比较即可.

3.圆和圆之间的位置关系

设。《、。（）2的半径分别为r、R（其中R>r）,两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:

位置关系图形公共点个数性质及判定

外离©（5）无d>R+r=两圆外离

外切1个切点d=R+r=两圆外切

相交两个交点R—r<d<R+两圆相交

内切留1个切点d=R—r<=>两圆内切

内含无0<d<两圆内含

两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是

两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

知识点2：切线的性质与判定

1.切线的性质与判定

定义线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点.

圆的切线垂直于过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或

经过切点与圆心的直线.）

性质解题方法：当题H已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆

心（这是圆中作辅助线的一种方法）.根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而

利用垂直关系进行有关的计算或证明.

1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.

2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，

判定

1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明百线垂直

于这条半径，简称“连半径，证垂直”：

3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的

距离等于半径，简称“作垂直，证半径”.

2.切线长定理

定义在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线

长.

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角.

切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切

点构造直角三角形来求解.

知识点3：三角形的内切圆和外接圆

1.三角形内切圆与外接圆

三角形外接经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条

圆边垂直平分线的交点，叫做二角形的外心，这个二角形叫做这个圆的内接二

角形.

三角形内切与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

圆内心，这人三角形叫做圆的外切三角形.

2.三角形内心与外心

圆心的圆心的确定方法图形圆心的性质

名称

外心三角形三边中垂线的交点1）OA=OB=OC

第2）外心不一定在三角形的内部.

内心三角形三条角平分线的交点A1）到三边的距离相等；

2）0A>OB、0C分别平分/BAC、N

ABC、ZACB；

3）内心一定在三角形内部.

3.常见结论

1）三角形内切圆半径公式：r=1,其中S为三角形的面积：C为三角形的周长.

2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r=丹;或r=W，其中a,b为直角三角形的直

角边长，C为斜边长.

【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接.内切圆的圆心与切点、圆心与三角形

的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解.

题型精讲叶

【题型1点与圆的位置关系判定】

【典例1】已知。。的半径为5,点P到圆心。的距离为3,则点P与。0的位置关系是

（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心。的距离d与圆的半径r的大小关

系判断位置：若dvr,则点在圆内；若（1=%则点在圆上；若d>r,则点在圆外，熟

练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：：。。的半径r=5,点P到圆心0的距离d=3,且3V5,

-d<r,

.••点P在。。内，

故选：A.

【变式1】已知。。的半径为5,点P到圆心。的距离为3,则点尸（）

A.在。。内B.在。。上C.在外D.无法确定

【答案】A

【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；

根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离，与圆的半径/­的大小即可.

【详解】解：：。。的半径丁=5,点夕到圆心。的距离d=3,

<r,

.••点P在。。内;

故选A.

【变式2】如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点。处建一个5G基站，其覆盖半径

为300m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）

500m

A.4,B,C都不在B.只有BC.只有4,CD.A,B,C

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据

勾股定理的逆定理证得△ABC是比角三角形，取4c中点D,连接8D,根据直角三角形斜

边中线的性质得BO=%C=250m,以点。为圆心，300m长为半径画圆，再根据图形即

可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：,.乂B=300m,BC=400m,AC=500m,

：.AB2+BC2=AC2,

••.△ABC为直角三角形，乙ABC=90。，

取AC中点D,连接BD,则8。=3c=250m,

以点。为圆心，300mK为半径画圆，如图所示：

由图可知，点B、C都在OD内

•••这一栋楼中在该5G基站覆盖范围内,

故选：D.

【变式3】如图，在。。中，弦MN的长为2百，点力在0。上，MN10A/ANM=30。.若

。。所在的平面内有一点P,且0P=2,则点P与。。的位置关系是（）

A

A.点P在O。上B.点P在。。内C.点P在。。外D.无法确定

【答案】A

【分析】设。4与MN交于点0,圆周角定理得到440M=60。，勾股定理求出0M的长,

进而判断0P与0M的大小关系，即可得出结论.

【详解】解：设。4与MN交于点D.

-MN1OA,Z.ANM=30°,

：.MD=ND=\MN=Q,Z.AOM=2乙ANM=60°,

；.0D=\OM,MD=百0D=百，

-OD=1,

'-OM=2,

-OP=2,

•••OP=OM,

.••点P在O。上.

故选A.

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，判断点与圆的位置关系，解题的

关键是求出半径的长.

【题型2直线与圆的位置关系判定】

【典例2】己知。。的半径为5,圆心。到直线/上一点的距离为5,则直线/和。。狗位

置关系可能是（）

①相交：②相切：③相离

A,①②③B.②C.①③D.①②

【答案】D

【分析】本题主要考宣直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系

即可解决.

【详解】设圆心。到直线/的距离为力

根据题意，在直线/上存在一点P，使得0P=5,

因为垂线段最短，所以圆心。到直线/的距离dWOP,即dW5,

又因为圆的半径r=5,所以dWr,

当d=r=5时.百线；与。。相切：

当dvr时，直线/与0。相交，

故直线/和。。的位置关系可能是相切或相交

故选：D.

【变式1】如图用的是“FI密饮水计时，卷头红照雨衡前“这•景，图中的江面和太阳可看成

直线和圆，则它们的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.平行

【答案】C

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键.根

据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得.

【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交，

故选：C.

【变式2】已知。。的半径是6cm,点。到同一平面内直线机的距离为5cm,则直线川与。。

的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法判断

【答案】A

【分析】本题考查直线与圆的位置关系.根据点到直线的距离与半径比较可得结论.

【详解】解：设圆的半径为广，点。到直线〃，的距离为4,

•­•d=5>r=6>

d<r,

•••直线m与圆相交.

故选：A.

【变式3】若。0的半径是3cm,圆心。到直线1的距离为5cm,则直线1与O。的交点个数是

（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】本题考查了圆与直线的位置关系.根据圆与直线的位置关系，比较圆心到直线

的距离与半径的大小，判断交点个数.

【详解】解：•••。。的半径厂=3（：01,圆心0到直线I的距离d=5cm,

d>r,

.••直线工与。。相离，没有交点.

故选：A.

【题型3圆的切线性质】

【典例3】如图,BC是O。的直径，点4。在O。上，直线P4与O。相切于点4若NP4B=42°,

则人10C的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接04由切线的性质得到NP40=90。,

求出乙44。=90。一匕PA8=48。，由等腰二角形的性质推出乙8==48。，由圆周

角定理即可得到〃DC==48°.

【详解】解：连接04

•.•直线P4与。。相切于点儿

半径04_LP4，

：.Z.PA0=90°,

-Z-PAB=42°,

^BAO=90°-Z.PAB=48°,

,-OA=OB,

:/B-Z.BAO-48°,

：.z.ADC==48°.

故选：C.

【变式1】如图，已知力B是半O。的直径，4c是弦，CD切。0于点C,交AB的延长线于点

D,44=20°,则ND=()

A.20°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查切线的性质，如图，连接OC，根据等边对等角及三角形外角的性质

推出2。0。=40。，再根据切线的性质得出乙OCO=90。，即可解答.解题的关键是掌握

切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

【详解】解：如图，连接OC,

二。4=OC,

-LA=20°,

：./-ACO=z_A=20%

••.zCOD=Z.ACO+Z-A=20°+20°=40°,

••CD切O。于点C,

“CD=90°,

AZD=90°-iC。。=90°-40°=50°.

故选：C.

【变式2】如图，PAyPB、CD是OO的切线，4、B、£是切点，CD分别交线段24、PB十

C、D两点,若NAP8=50。，则/COD的度数为（）

A.60°B.65。C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本题主要考杳了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理，

连接。4。8,0瓦根据切线的性质和切线长定理得

OA1PA,OB1PB,OE1CD,BD=DE,CA=CE,再根据“边角边”证明△AOC三△E0C,

△EOD^△BOD,可得=\LAOB，然后根据四边形内角和定理求出Z.AOB=130°,

最后根据NCOD=".4OB得出答案.

【详解】解：连接。4。8,0£如下图,

A

c

•・P4P8,CD是。。的刃线，点4B,E是切点,

：.0A1PA,OB1PB,OE1CD,BD=DE,CA=CE,

.-^OAC=Z.OEC=乙OED=乙OBD=90°,

'-AO=EO=BO,

...△AOC^△EOC(SAS),△EOO三△BOO(SAS),

.-Z-AOC=Z.EOC=^AOE,Z.EOD=乙BOD=g乙BOE,

:.乙COD=gZJlOE+2LBOE=E(Z_AOE+乙BOE)=匕408,

-Z.APB=50°,

：.Z.AOB=3600-Z.PAO-Z-PBO-AAPB=130°,

.■.^COD=1X130°=65°.

故选：B.

【变式3】如图，四边形4BCO内接于0。.过点C作O。的切线，交4B的延长线于点E,

连接OD.若。。IIEC,NEC8=35°,则4/1的度数为()

A.70。B.75。C.80°D.85。

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内

角和定理以及圆周角定理.连接。8、0C,根据切线的性质得到40CE=iOCF=90°,

求得说。=90°-35°=55°,根据等腰三角形的性质得到乙OBC=乙OCB=55°,求得

48。。=180°-55°—55°=70°,根据平行线的性质得到NCOD=90°,根据圆周角定理

即可得到结论.

【详解】如图，连接OB,OC,

•••EF是。。的切线，切点为C,

.­.ZOCE=ZOCF=90°,g|JOC±EF,

vZ-ECB=35"，

Z.BCO=90°—35°=55°,

vOB=OC,

••・N08C=40C8=55°,

:.乙BOC=180°-55c-55°=70°,

•••OD||EC,

•••OD1OC,

/.COD=90°,

/./-BOD=Z-BOC+乙COD=160°,

£A=\LBOD=80°,

故选：C.

【题型4切线的性质与判定综合】

【典例4］如图，已知。是△4BC边48上的一点，以。为圆心、。8为半径的圆与边力C

相切于点。，且BC=CO,连接。C,交。。于点E,连接8E并延长O。，交AC于点工

AC

DF

⑴求证：BC是。。的切线:

(2)若力C=10,tanz.BAC=求E0的长.

【答案】⑴见解析

⑵3

【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、

锐角三角函数与解直用三角形等知识与方法.在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线

是解题关键.

(1)连接00,由力。与。。相切「点0，^ACIOD,可证明△BOC三△D。。，得

“BC=乙ODC=90°,即可证明BC是O。的切线；

(2)由tan/BAC=葛=*得8c=，8,由勾股定理得4c=dAB?+BC?=京8,则

1/1F=10.即可求得A8=6,BC=8.由"C♦0。+g8c•8。=g/18•8C,.1L

DO=BO=E0,得：xlOEO+；x8EO=gx6x8,可求得E0=:

【详解】(1)证明：如图，连接。。，

♦••4C与。。相切于点D,

.-.AC10D.

:.Z.ODC=90°.

在△BOC和△DOC中,

(OB=0D

OC=OC

(BC=DC

.-.△FOC^ADOC(SSS).

:.Z.OBC=乙ODC=90°.

•••。8是。0的半径，RBC10B,

••.BC是00的切线.

Be4

(2)解：vtanZ-BAC=京=彳，

BC=

•••AC=JAB?+(,4B)==10.

•••AB=6.

4

:.BC=x6=8.

S4ABC=3。，DO+*BC-BO—^AB-BC.DO—BO-EO

1118

•••5x10EO+5xSEO=5x6x8,解得EO=3.

••・E。的长是*

【变式1】如图，。。与4/18。的边力。相切于点。，与边AB交于点B,。为力C的中点，连

接BD,AO1BD,Z.C=Z.OAB.

(1)求证:AB是。。的切线;

(2)若=60。，CD=4,求△ABD的面积.

【答案】⑴见解析

⑵4百

【分析】(1)根据切线的性质可得，0。/=4ODC=90。，然后利用三线合一得出

Z.AOB=Z-AOD,证明△AOB三△AOD(SAS),求出NOZM=NOBA=90°即可；

(2)先根据直角三隹形斜边中线的性质求出BD=\AC=CD=AD=4t再根据垂径定

理和勾股定理求出AE,然后计算即可.

【详解】(1)证明：连接OD,

“C是。0的切线，

•••土。。4=Z.ODC=90°,

•・。8=00,4018。，

：Z-A0B=Z.AOD,

又=0A,

△40R=Zk40Z)(SAS),

.'./.ODA=WBA=90°,即1OB,

.MB是。。的切线：

(2)解：如图，设04与BZ)交于点£,

•：/-ABC=90°,。为AC的中点,

•BD=^AC=CD=AD=4,

"0IB。，

-DE=^BD=2,

••/E=dAD?-DE?=V42-22=2收

•'S^ABD=•/IE=1x4x2V3=4V3.

【点睛】本题考查了列线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质,

直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和

性质定理是解题的关灌.

【变式2】如图，力8是。0的直径，PA与。。相切于点4PD交43的延长线于点。，DELPO

交尸。的延长线于点£乙EPD=乙EDO

p

⑴判断直线PD与OO的位置关系，并说明理由：

⑵若PA=5,AD=12,求。。的半径.

【答案】(1)PD与O0相切，见解析

(2年

【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计

算是解此题的关键.

(1)过点0作0尸_1.8,先根据切线的性质、同角或等角的余角相等讦明〃20=乙。「0,

进而可得△PfOw^PAO(AAS),0A=OF,由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线

即可得出结论；

(2)由勾股定理求出PD=Jp/P+4。2=13,进而可得D/uPD-P/ng,再在Rt

△。尸。中，由勾股定理列方程求出O。的半径.

【详解】⑴解：记明：过点。作OF1OP,

••TB是。。的直径，P4与。。相切于点4

VDELPO,

AZF=90°,

vZ.DOE=Z.POA,

/.EDO=Z-APO,

vZ.EPD=乙EDO,

••・4APO=乙DPO,

在△PFO与△/MO中,

Z.PFO=Z.A

乙FPO=4APO,

OP=OP

△PF0wZiP40(AAS),

:.OA=OF,

••・PD与O。相切；

(2)由(1)证得尸。三△PAO,

•••PF=PA,

•：PA=5,AD=12,^.PAD=90°,

••.PD=-JPA2+AD2=13

由(1)证得△P/Ow/kPAO,

•••PF=PA,

:・DF=PD-PF=8,

设O。的半径为：。/1=「，

r2+82=(12—r)2,

io

•­丁=丁，

io

•••0。的半径为可.

【变式3】如图，为。。的直径，。为。。上一点，连接AC、8C,点产为C8上一点，且

CF=CA,延长8/^于点E,使得CE18E,延长EC、ZM交于点O.

⑴求证：0E是0。的切线；

(2)若=|FC,DA=4,求BE的长.

【答案】(1)证明见解析

48

(2)BE=~

【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质

是解题的关键，

(1)如图所示，连接。C,可证0CII8E,根据为。。的切线，0C1DE,即可求证:

(2)根据(1)中0CII8E,设。。的半径为r,可证△。。。〜△。后从可算出。0的

半径，根据三角形的相似即可求解.

【详解】(1)证明：如图所示，连接0C

—J——J

•:CF=CA

'-Z.ABC=LEBC,

•••08=0C,

：/0CB=乙ABC,

：/0CB=Z.EBC,

'.0CIIBE,

••・ED为O0的切线，

・••OCJ.DE,

-DE1BE；

(2)解：-DC=|FC,

设DC=5Q,则EC=3a,

：DE=8a,

设OO的半径为r，则48=2r,OD=DA+OA=4+r,DB=4+2r,

由(1)可知，0UII3E,

；.4DC0FDEB,

DCDO_

：'~DE='DB,

5a_4+r

'而=4+27*

•••r=6,

'.AB=12,DB=16,OD=10.

•••△DCODEB

OCDO5

'''BE=而=出

48

:.BE=T

【题型5三角形的内切圆】

【典例5】如图，在RtZ\/18C中，47=90。.

⑴尺规作图：作Rt△4BC的内切圆O。，并分别标出。。和4B、BC、&4相切的切点

D.E、F；（要求：架留作图痕迹，不写做法，不需证明）

⑵若4）=6,BD=4,求。0的半径r的长.

【答案】（1）见解析

（2）2

【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作

边的垂线，确定半径，继而可求得△48C的内切圆；

（2）连接OE,OF.0D,根据切线的性质得到OE_LBC,OFLAC,求得

zc=LCFO=LCEO=90%得到四边形。ECF是矩形，根据角平分线的性质得到

OF=OD,0D=0E.求得。E=0R得到四边形0EC尸是正方形，根据正方形的性质

得到。/=C/=C£=OE=r,根据切线的性质得到AF=AD=6,BE=8。=4，根

据勾股定理即可得到结论.

【详解】⑴解：如图所示：。。即为所求；

(2)解：连接OE,OF,OD,

c

•・・。0是△4BC的内切圆，

.--0E1BC,OF1AC^

.=乙CFO=Z-CEO=90%

••・四边形OECF是矩形，

•・AO平分/CAB,8。平分

..OF=。0,OD=OE,

J.OE=OF,

.•.四i力形。“尸是正方形.

.•.OF=CF=CE=OE=r,

是△ABC的内切圆，

-AF=AD=6,BE=BD=4,

-AC=AF+CF=6+r,BC=4+r,

,-AC2+BC2=4B)

.-.(6+r)2+(4+r)2=(6+4)2,

•-r=2(负值已舍去)，

即的半径r的长为2.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，勾股定

理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点.

【变式1】如图，己知。。是的内切圆，ZC=9O°,。0与BC,AC,48的切点分

别为D,E,F,若AC=8,BC=6,则。。的半径为()

B

CEA

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】B

【分析】连接OD,0E,由乙C=90。，AC=8,BC=6,求得＜8=10,由。。厉4C,

BC,48的切点分别为E,D,F,^AE=AF,BD=BF，CD=CE,由

AE-^BD=AB=10,求得CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+BD)=4,则CD=2,再

证明四边形ODCE是正方形，所以。。=。)=2,于是得到问题的答案.

【详解】解：连接。小OE,

:.AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

•••。。与BC,AC,的切点分别为D,E,F,

•••BC1OD,ACLOE,AE=AF,BD=BF,CD=CE,

AE+BD=AF+BF=AB=10,

CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+80)=8+6-10=4,

:.CD=2,

vZ.ODC=ZC=Z.OEC=90°,OD=OE,

四边形ODCE是正方形，

:.OD=CD=2,

.•・。。的半径长为2,

故选：B.

【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定

与性质等知识，求得CO=2,并且证明四边形0OCE是正方形是解题的关键.

【变式2】如图，在RtA.48。中，ZC=9O°,AC=8,AB=10,/为△48C的内心，IDLAB

于点。，则的长为()

A.2B.1C.3D.百

【答案】A

【分析】过点/作/E_L5c于E,/F_14c于E,连接〃、IB、IC,根据勾股定理求已

22

BC=y/AB+AC=6,S^ABC=-FC=1x8x6=24,根据内心性质得出

/D=/E=/F,根据5AABC=+SABG+S^AC人得出•(10+8+6)=24,即

可得出答案.

【详解】解：过点/作/ELBC于E,/F1AC于£,连接〃、IB、IC,如图所示：

C

在RtZkABC中，-.Z.ACB=90°,AC=8,AB=10,

:.BC=>JAB2+AC2=6.

J.S^ABC=•BC=5x8x6=24.

♦”为△ABC的内心,

；.ID=IE=IF,

'：S〉ABC=S&ABI+S&BCI+SaAG,

•ID+^BC-IE+•/r=24,

-(AB+BC+AC)-24,

即如•(10+8+6)=24,

解得：ID=2,

故选：A.

【点睛】此题考查了直角三角形的内心的概念及性质，勾股定理.熟练掌握三角彩内心

的特点是解题的关键.

【变式3】如图，在RtAABC中，Z.ACB=90°,AC=5,BC=12,。。是△力BC的内切

圆，连接。力，。8,则图中阴影部分的面积是（）

435

A.TCB.3%C•2乃D•3九

【答案】C

【分析】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握

相关知识点是解题的关键.

根据勾股定理可得AB的长，设。。与的切点分别为O,E,F,连接

OD,OE,OF,则匕。=匕COO=々CEO=90。,。。=OE,发。。的半径为入可证明四边

形是正方形，可得CO=CE=OO=r,然后三角形的内切圆的性质，可得到

r=2,Z.BAO+乙ABO=^CAB+^ABQ=45°,从而得到乙4。8=180°-

UOAB+匕ABO）=135°,然后根据扇形面积公式解答即可.

【详解】解：在中，乙4c8=90。，AC=5,BC=12,

.\AR=JAC2+BC2=13.

如图，设。。与4&BC/8的切点分别为。，E,F,连接。0,。民。凡则

乙C=乙CDO=乙CEO=90。。D=OE,

设O。的半径为广，

•••四边形ODCE是矩形,

,-'OD=0E,

••・四边形ODCE是正方形,

••.CD=CE=OD=r,

•••。0是△TlBC的内切圆,

.--AF=AD=5-r,BF=BE=12-r,OA,OB分别平分匕BAC,A8C,

•-5—r+12—r=AB=13,

•••r=2,

•.Z.C=90°,

.-./.ABC+Z-CAB=90°,

•Q,08分别平分血&ABC,

：.z.BAO+Z-ABO=^CAB+/.ABC）=45。，

・"OB=180。一“48+乙48。）=135°,

135JTX223

・•・阴影部分的面积是^^一=

故选：c

【题型6三角形的外接圆】

【典例6】如图，点/为等边△ABC的内心，连接相并延长交△力BC的外接圆于点。，已知

外接圆的半径为2,则线段DB的长为（）

【答案】A

【分析】本题考查等必三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接出，证明A/BO

是等边三角形，即可求解，牢记”等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键.

【详解】解：如图，连接出，

D

v△4BC是等边三角形,

Z.BAC=/.ABC=60°,

•・•点/为等边△48C的内心,

•••UAB=UBA=x60°=30°,

••・㈤D=UAB+HBA=60°,

v等边三角形的内心与外接圆的圆心重合,

•••点/为△A8C的外接圆的圆心，

:.IB=1D=2,

A是等边三角形，

:.BD=2,

故选A.

【变式1】如图，。。是的外接圆，则点。是△力8。的（）

A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边行直平分线的交点，叫做三角形的外

心，进而得出答案.

【详解】•••。。是△48。的外接圆，

•••点。是△48C的三条边的垂直平分线的交点，

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键.

【变式2】如图，点力，B,C都在格点上，△力的外接圆的圆心坐标为（）

A.(5,2)D.(4,3)

【答案】A

【分析】根据△ABC的外接圆的定义，作和BC的垂直平分线相交于点P,则可得出

答案.

【详解】解：根据的外接圆的定义，作和8C的垂直平分线相交于点P，

.•.点P(5,2)，

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的垂直平分线，正确作图是解题的关键.

【变式3】如图,。。是等边△/AC的外接圆，若48=3,则。。的半径是（）

【答案】C

【分析】作直径月。，连接CD如图，利用等边三角形的性质得到乙3=60。，关键圆周

角定理得到乙1。。=90。，4。=48=60。，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.

【详解】解：作直径4。，连接CQ,如图，

•••△/14C为等边三角形，

••24=60°,

•:AD为直径，

，乙4。。=90°.

•.2。=48=60°,则ZD4c=30°,

•••CD=：AD,

-AD2=CD2+AC2,即4。2=8402+32,

:.AD=S,

.•.04=OB=%力=F.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30

度的直角三角形三边的关系.

3"随堂检测.十.

1.下列图形中，一定有外接圆的是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【分析】本题考查了外接圆.外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上.三角形一

定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等,

四边形、五边形、六边形不•定右外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才々，

据此进行分析♦，即可作答.

【详解】解：•.・任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心），且外心到三个顶点的

距离相等,

三角形一定有外接圆,

四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有,

故选：A

2.如图是“光盘行动〃的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）

餐

文

桌

M雳

好

风

习

尚

惯

A.相切B.相交D.平行

【答案】B

【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可.

【详解】解：•.•餐盘看成圆形的半径大「餐盘的圆心到筷子看成直线2的距离为d.

:，d<r,

・••直线和圆相交.

故选：B

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知。。的半径为厂，如果圆

心O到直线/的距离是乩当d"时，直线和圆相离，当d寸时，直线和圆相切，当dv

时，直线和圆相交.

3.如图，48是00的直径，8c是00的切线，若，B<C=35。，则N4C8的大小为（）

A.35°B.45。D.65°

【答案】C

【分析】根据切线的性质，得乙480=90。，再根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：是。。的直径，8c是。。的切线，

；.AB工BC,即乙/8c=90°,

•:乙BAC=35°,

.“。8=90°-35°=55°,

故选C.

【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理,

是解题的关键.

4.如图，直角三角形4BC的内切圆分别与48、8C相切于。点、E点,根据图中标示的长度

与角度，求力0的长度为何?

355

A.2B.D-3

【答案】D

【分析】设利用切线长定理得到BD=8E=1,AB=x+l,

AC=AD+CE=x+4,然后根据勾股定理得到(％+1)2+5?=(x+4)2,最后解方程

即可.

【详解】解：设4。二居

•••直角三角形4BC的内切圆分别与AB、BC相切于。点、E点,

•••BD=BE=1»

AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,

在RtA4BC中，(％+1),+52=(%+4)-解得％=(

即的长度为J.

故选D.

【点睹】本题考查三甬形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三

角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线长定理.

5.如图，P4P8分别与。。相切于48两点，点。为。。上一点，连接4C.BC,若NP=50。,

则N4C8的度数为（）.

A

A.60°；B.75°；C.70°；D.65°.

【答案】D

【分析】连接。4。从由切线的性质可知NOAP=40BP=90。，由四边形内角和可求

出乙4。8的度数，根据圆周角定理（•条弧所对的员1周角等于它所对的圆心角的•半）

可知乙ACB的度数.

【详解】解：连接。4。七

•••P4P8分别与O。相切于分B两点.

'.OA1PA,OB1PB.

••zOAP=Z.OBP=90°,

•kAOB=180。一4P=180°-50°=130°,

.ZCB=\LAOB=gx130c=65°.

故选D.

【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理

是解题的关键.

6.如图，等边三角形48c的边长为8,以上一点。为圆心的圆分别与边力B,/1C相切，则

O。的半径为（）

C

BO

A.2^3B.3C.4D.4-V3

【答案】A

【分析】连接4。，0E，根据等边三角形的性质及含30。的直角三角形的性质即可求解.

【详解】设。。与AC的切点为E,

连接400E,

••♦等边三角形48c的边长为8,

“C=8，“=，BAC=60。，

•圆分别与边加，4c相切，

•••4820=乙CAO=\LBAC=30°,

:40C=90°,

-0C=\AC=4,

,-0E1AC,

-,OE=goC=2V3.

o。的半径为2百.

故选A.

【点睛】此题主要考杳圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.

7.如图，点。是△ABC外接圆的圆心，点/是△48C的内心，连接。8,L4.若

LCM=35°,则乙OBC的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】根据三角形内心的定义可得土8力C的度数，然后由圆周角定理求出48。。，再

根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案.

【详解】解：连接0C,

•••点/是△ABC的内心,Z-CAI=35°,

・"AC=2Z-CA1=70°,

••.△BOC=2NB4C=140°,

•••OB=OC,

1800-z»OC180°—140°

-''Z.OBC=LOCB=22=20。,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形

三个内角平分线的交点是解题的关键.

4

8.如图，RM/18C中，ZC=90°,AB=5,cos/l=*以点8为圆心，r为半径作08,当r=3

时，08与4C的位置关系是（）

A.相离B.相切D.无法确定

【答案】B

【分析】根据RMABC中，4c=90。，cos/1=求出AC的值，再根据勾股定理求出

BC的值，比较BC与半径「的大小，即可得出。的位置关系.

4

【详解】解：•••RSABC中,ZC=90°,cosA=w，

AC4

"OSA.=i

-AB=5,

.-.AC=4

AB2-AC2=3

当r=3时，。8与AC的位置关系是：相切

故选：B

【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知

识，利用勾股定理解求出BC是解题的关犍.

9.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，4、B、C、0、E、0

均是正六边形的顶点.则点。是下列哪个二角形的外心（）.

A.△REDB.△480C.4BCDD.AACD

【答案】D

【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.

【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质

可知，点。到A,B,C,D,E的距离中，只有OA=OC=OD.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等.

10.如图，在AABC中点0为AABC的内心/A=6（T,CD=2,BD=4.则ADBC的面积是（）

A.473