2026年高考数学复习讲义随机事件、频率与概率（学生版+解析）

专题10.4随机事件、频率与概率（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1随机事件与样本空间】.........................................................................3

【题型2随机事件的关系与运算】......................................................................4

【题型3互斥事件与对立事件的概率】..................................................................4

【题型4频率与概率】..................................................................................5

【题型5频率估计概率在统计中的应用】................................................................6

1、随机事件、频率与概率

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考n卷：第12题，

从近几年的高考情况来看，随机事

5分

⑴了解随机事件发生的不确件、频率与概率的考查比较稳定，主要

2024年北京卷：第18题（1）,

定性和频率的稳定性，了解概考查以频率估计概率、互斥事件与对立

4分

率的意义以及频率与概率的事件等内容，往往以选择题或填空题的

2024年上海卷：第19题上海

区别形式考查，难度较易；有时以频率估计

⑵，9分

⑵理解事件间的关系与运算概率也会在解答题中以一小问的形式出

2025年北京卷：笫18题（1）,

现，与统计等知识结合考查，难度中等.

4分

知识梳理

知识点1频率与概率

1.频率与概率的区别

本身是随机的,在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次

频率

数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.

概率本身是一个在［0,1］内的确定值，不随试验结果的改变而改变.

例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的

举例次数是521,则正面向上的频率力（XX）（正面向上）=赢，而正面向

辨析

上的概率P（正面向上）=L它是一个客观常数，

2.频率的稳定性（用频率估计概率）

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件4发生的频率具有随机性.一般地，随着试验

次数〃的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率以A)会逐渐稳定于事件4发生的概率

PC4).我们称频率的这个性质为频率的稳定拄.因此，我们可以用频率加4)估计概率P(A).

知识点2随机事件

1.事件

(1)随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的了•集来表示.为了叙述方便，我们将样

本空间C的子集称为随机事件,简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大

写字母4,B,C,…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

(2)必然事件

人作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发生，我们称

Q为必然事件.

(3)不可能事件

空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不可能事件.

2.事件的关系和运算

(1)两个事件的关系和运算

事件的关系

含义符号表示图形表示

或运算

包含4发生导致B发生A^BIO

并事件

A与8至少一个发生HUB或4+8

(和事件)81

交事件

A与B同时发生4G3或48

(积事件)1国1

互斥

A与B不能同时发生AQB=0

(互不相容)⑷鲸|

互为对立A与8有且仅有一个发生AC\B=0,AUB=n硒

(2)多个事件的和事件、枳事件

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A,8,C,…,AU8UCU…(或A+8+C+…)

发生当且仅当A,B,C,…中至少一个发生，AClBClCn…(或ABC…)发生当且仅当A,B,C,…同时发生.

知识点3随机事件的关系与概率

1.互斥事件、对立事件的判断

判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互层事件；两个事件，若有且仅

有一个发生，则这两个事件为四事件，对立事件一定是互斥事件.

2.互斥事件的概率求法

求复杂的互斥事件的概率•般有两种方法：

一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计

算；

二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）=I-P（A）求出所求概率，特别是“至多”“至

少”型题目，用间接求法比较简便.

【方法技巧与总结】

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

⑵事件A的对立事件斤所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的社集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

UJ.U-U4）=0（4）+。（42）+…+0（4）.

举一反三

【题型1随机事件与样本空间】

【例1】（2025高一上•全国・专题练习）卜列现象是必然现象的是（）

A.走到十字路口遇到红灯B.冰水混合物的温度是1汽

C.三角形的内角和为180。D.一个射击运动员每次射击都命中7环

【变式1・1】（24-25高一下•全国・周测）下列事件中，随机事件的个数是（）

①2020年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰：

③从标有1，2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签:

④向量的模不小于0.

A.1B.2C.3D.4

【变式1-2]（24-25高二上•上海•期中）下列现象是随机现象的是（）

A.买一张福利彩票，中奖B.在标准大气压下水加热到100。。沸腾

C.异性电荷，相互排斥D.实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起

【变式1-3]（24-25高一下•安徽六安・期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）

①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；

②“当x为某一实数时，可使"v0”是不可能事件；

③“明天上海要下雨''是必然事件：

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

A.①②③B.@®®C.①②④D.①③④

【题型2随机事件的关系与运算】

【例2】(24-25高一下•全国•课后作业)若干人站成一排，其中为互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”B.呷站排头”与“乙站排尾”

C.“甲站排头”与“乙不站排头”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

【变式2-1](24-25高三上•上海黄浦•期末)掷一颗质地均匀的锁子，观察朝上面的点数.设事件/点数是

奇数，事件四点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件

的为()

A.E与FB.尸与GC.E与HD.G与H

【变式2-2](24-25高吓.云南昭通・期末)在投掷•枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示响上的点数为

偶数”，事件8表示“向上的点数是1或2”，事件。表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是()

A.A与8是对立事件B.B与C是对立事件

C.A与。是互斥事件D.A与8是互斥事件

【变式2-3](24-25高二上•山东淄博•阶段练习)对空中移动的目标连续射击两次，设4两次都击中目标

两次都没击中目标),C=｛恰有一次击中目标｝,D=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是

()

A.AQDB.A\JC=B\JD

C.AUC=DD.8nD=0

【题型3互斥事件与对立事件的概率】

【例3】(24-25高一下♦江苏常州•期末)已知事件48互斥，它们都不发生的概率为右且PQ4)=2P(8),则

P(A)=()

A.-B.-C.-D.-

3993

【变式3-1](24-25高一下•山东烟台・期末)已知事件A与事件B互为对立事件，且PQ4)=0.4,则P(8)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【变式3-21(24-25高一下•广东深圳•期末)已知两个随机事件A和B,其中PQI)=P(B)=士PQ4UB)="

284

则PQ48)=()

【变式3-3]（24-25高一下•北京•期末）已知随机事件4和8互斥,4和C对立,且P（C）=0.8,P（B）=0.3,则

PG4UB）=（）

A.0.2B,0.3C.0.4D.0.5

【题型4频率与概率】

【例4】（25-26高二上•四川成都•阶段练习）下面说法正确的是（）

A.设一批产品的次品率2，则从中任取10件，必有I件是次品

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

C.天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨

D.做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是J

【变式4-1]（25-26高二上•四川南充•阶段练习）下列说法正确的是（）

①已知b>ct那么事件“a>c”有可能不发生；

②随机试验的频率与概率相等；

③如果一个事件发生的概率为99.9999%,那么说明此事件必然发生；

④只有不确定事件有概率；

⑤若事件A发生的概率为PQ4），则0<PG4）<1.

A.⑤B.③©C.③④⑤D.②③④⑤

【变式4-2]（2025高三・全国・专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的

电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据.若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm,会获得“优

秀飞行员”称号.现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：

降落时距靶心距离（单位：

[0,4)[4,8)[8,12)[12,16]

cm）

人数18213922

用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（）

A.0.18B.0.21C.0.39D.0.40

【变式4-3]（2025高一•全国・专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点

数都是2,则下列说法正确的是（）

A.朝上的点数是2的概率和频率均为1

B.若抛掷30000次,则朝上的点数是2的概率为1

C.抛掷第6次，朝上的点数一定不是2

D.抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次

【题型5频率估计概率在统计中的应用】

【例5】（24-25高二上•贵州遵义・期末）我市某高校共有学牛.30000人，其中女生18000人，为调查该校学

生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数

据（单位：h）.

频率

⑵根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区

间为：[0,2）,[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12],在该校学生中任选一人,试估计该生每周平均体育运

动时间不超过7h的概率.

【变式5-1]（24-25高一下•全国•课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下:

出生婴儿数21840230702009419982

出生男婴数11453120311029710242

（1）试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）；

（2）估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）.

【变式5-2](24-25高一下•江苏苏州・开学考试)为推动文明城市创建,提升城市整体形象,2018年12月

30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良

好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工,

统计了他们一周内路边停车的时间/(单位：小时)，整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

组号分组频数

1[2,4)6

2[4,6)8

3[6,8)22

4[8,10)28

5[10,12)12

6[12,14)4

(1)从该单位随机选取一•名职工，试估计这名职工一-周内路边停车的时间少于8小时的概率;

(2)求频率分布直方图中的值.

【变式5-3］（24-25高一下•广东广州•阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对

比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：

频率频率

旧养殖法新养殖法

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

⑵根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行匕较.

过关测试

一、单选题

1.（2025•福建福州•模拟预测）已知事件A,8为随机事件，则”，8为对立事件"是“，8为互斥事件”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（24-25高一下•全国・单元测试）某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明（）

A.该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件

B.该工厂生产的1（）000件产品中合格的产品一定有9999件

C.合格率是99.99%,很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品

D.该工厂生产的产品合格的可能性是99.99%

3.（25-26高二上•海南省直辖县级单位•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.某种福利彩票的中奖概率为高，那么买1000张这种彩票一定能中奖.

B.随着试验次数的增加，频枣一般会越来越接近概率.

C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈.

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，

30%认为不降水.

4.（2U25•四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调有中小学生母日完成作业的时间，收集了某位学生1U。天

每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每口完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每口完成作业时间的众数为2.3小时

5.（25-26高一上•河北•开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其

中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有1个是黑球D.摸出的是2个刍球、1个黑球

6.（2025・湖南娄底•二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件/,•（i=1,2,3）表示随机事件“第i

（i=1,2,3）次跳远成绩及格”，那么事件”前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格''可以表示为（）

A.71A/2B./2U/3C.JinJ?n/3D.AnJ?n/3

7.（2025・四川绵阳•三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测,

整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

A.a=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70）的概率约为0.5

8.（25-26高二上.广东•阶段练习）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2

张々片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（）

①2张卡片都不是红色；

②2张卡片恰有1张是红色；

③2张卡片至少有I张是红色；

®2张卡片至多一张为红色.

A.IB.2C.3D.4

二、多选题

9.（2025・河南信阳•模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面

向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过。次上述操作

后，所有硬币均为反面向上，则几的值可以为（）

A.45B.54C.63D.72

10.（2025•安徽合肥•模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了

3支，下列结论中正确的是（）

A.事件“白色与红色粉笔都用到“与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件

B.事件“白色与红色粉笔都用到“与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件

C.白色与红色粉笔都用到的概率为|

D.白色与红色粉笔至少1支用到的概率为总

11.（2025•江苏镇江•模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.

决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取I道题作

答.设事件4•为“第i次抽到选择题P=123）,则下列结论中正确的是（）

A.4与42互斥；&与43互斥

B.不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同

c.P（A2A3）=I

D.PQ4]U42）=蔡

三、填空题

12.（25-26高二上.四川眉山.开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100

次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为.

13.（24-25高二・上海•课堂例题）若事件A和8互斥，且PQ4UB）=0.5,P（B）=0.3,则P（Z）=

14.（24-25高二・上海•课堂例题）观察下列现象：

①在标准大气压下水加热到100℃,沸腾；

②导体通电，发热；

③异性电荷，相互排斥；

④实心铁块丢入水中，铁块浮起；

⑤买一张福利彩票，中奖；

⑥掷一枚硬币，反面朝上：

其中是随机现象的有.

四、解答题

15.（24-25高二・上海•课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？

（1）在空地上抛一石块，石块会下落；

⑵明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话；

（3）买一张福利彩票，会中奖.

16.（24-25高二上•广东佛山•阶段练习）把1、2、3、4、5,6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样

的々片上，并随机抽取I张.设事件4出现奇数，事件从出现被3除余2的数.写出下面两个事件的对

应子集：

(1)密件4、事件8至少有一个发生；

(2)事件人事件8恰好有一个发生.

17.(25-26高二上•广东佛山•期口)甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下:

由频率估计概率，解答下列问题.

(1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率.

(2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独

立，估计甲、乙两人平局的概率.

(3)在(2)的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率.

18.(24-25高一・全国•随堂练习)设某人向一个目标连续射击3次，用事件4表示随机事件”第，次射击命

中目标”(i=l,2,3),指出下列事件的含义：

⑴Aid公；

(2)A1Ci42c才3；

GNU%；

(4)另C\A2C\A3.

19.（24-25高一下•全国•课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置

捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg）,并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），

（2）估计数据落在［1.15,1.30）中的概率为多少;

（3）洛上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼,

其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中饱的总条数.

专题10.4随机事件、频率与概率（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1随机事件与样本空间】.........................................................................3

【题型2随机事件的关系与运算】......................................................................4

【题型3互斥事件与对立事件的概率】..................................................................4

【题型4频率与概率】..................................................................................5

【题型5频率估计概率在统计中的应用】................................................................6

1、随机事件、频率与概率

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考n卷：第12题，

从近几年的高考情况来看，随机事

5分

（1）了解随机事件发生的不确件、频率与概率的考查比较旗定，主要

2024年北京卷：第18题（1）,

定性和频率的稳定性，了解概考查以频率估计概率、互斥事件与对立

4分

率的意义以及频率与概率的事件等内容，往往以选择题或填空题的

2024年上海卷：第19题上）、

区别形式考查，难度较易；有时以频率估计

（2）,9分

⑵理解事件间的关系与运算概率也会在解答题中以一小问的形式出

2025年北京卷：第18题（1）,

现，与统计等知识结合考查，难度中等.

4分

知识梳理

知识点1频率与概率

1.频率与概率的区别

本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次

频率

数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.

概率本身是一个在［0,1］内的确定值，不随试验结果的改变而改变.

例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的

举例次数是521,则正面向上的频率力颇（正面向上）=赢，而正面向

辨析

上的概率尸（正面向上）=L它是一个客观常数，

2.频率的稳定性（用频率估计概率）

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件4发生的频率具有随机性.一般地，随着试验

次数"的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率启4）会逐渐稳定于事件4发生的概率

尸（川.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率4人）估计概率P（A）.

知识点2随机事件

1.事件

（1）随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样

本空间Q的子集称为随机事件,简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大

写字母A,B,C,…表示.在每次试验中，当且仅当4中某个样本点出现时，称为事件A发生.

（2）必然事件

4作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Q总会发生，我们称

C为必然事件.

（3）不可能事件

空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称0为不可能事件.

2.事件的关系和运算

（1）两个事件的关系和运算

事件的关系

含义符号表示图形表示

或运算

包含A发生导致8发生AQB□

并事件

A与3至少一个发生4U8或/+Z?

（和事件）

交事件

A与4同时发生4nB或48

（积事件）

互斥

A与8不能同时发生4c13=0

（互不相容）

互为对立A与8有且仅有一个发生AAB=0,AUB=Q硒

（2）多个事件的和事件、积事件

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A,3,C,…,AU3UCU…（或4+4+C+…）

发生当且仅当A,B,C,…中至少一个发生，AfWncn…（或4BC…泼生当且仅当4,B,C,…同时发生.

知识点3随机事件的关系与概率

1.互斥事件、对立事件的判断

判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互后事件；两个事件，若有且仅

有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

2.互斥事件的概率求法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计

算；

二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A尸l-P（A）求出所求概率，特别是“至多”“至

少"型题目，用间接求法比较简便.

【方法技巧与总结】

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

⑵事件人的对“.事件彳所含的结果组成的集合，是全集中由事件人所含的结果组成的集合的社集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P（4U/U…U4）=。（4）+〃（42）+…+。（4）.

举一反三

【题型1随机事件与样本空间】

【例1】（2025高-上.全国•专题练习）下列现象是必然现象的是（）

A.走到十字路口遇到红灯B.冰水混合物的温度是1汽

C.三角形的内角和为180。D.一个射击运动员每次射击都命中7环

【答案】C

【解题思路】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可.

【解答过程】选项A,十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；

选项B,标准大气压下，冰水混合物的温度是0汽，事件冰水混合物的温度是1国不是必然现象;

选项C,三角形的内角和为180。，这个事件为必然现象；

选项D,一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象.

故选：C.

【变式1-1]（24-25高一下•全国倜测）下列事件中，随机事件的个数是（）

①2020年8月18日，北京市不下雨：

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签：

④向量的模不小于0.

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解题思路】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即叽

【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.

故选:B.

【变式1-2]（24-25高二上•上海•期中）下列现象是随机现象的是（）

A.买一张福利彩票，中奖B.在标准大气压下水加热到100。。沸腾

C.异性电荷，相互排斥D.实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起

【答案】A

【解题思路】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得.

【解答过程】对于A,买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；

对于B,在标准大气压下水加热到10（TC,沸腾是必然事件，B不是；

对于C,异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；

对于D,实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起''是不可能事件，D不

是.

故选:A.

【变式1-3]（24-25高一下•安徽六安•期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）

①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；

②“当x为某一实数时，可使"〈0”是不可能事件；

③“明天上海要下雨”是必然事件；

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

A.①②③B.C.①②④D.①③④

【答案】C

【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可.

【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确,

对于②，“当x为某一实数时，可使/<0”是不可能事件，所以②正确，

对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，

对于④,“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.

故选：C.

【题型2随机事件的关系与运算】

【例2】（24-25高一下•全国•课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”B.呷站排头”与“乙站排尾”

C.“甲站排头”与“乙不站排头”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

【答案】A

【解题思路】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【解答过程】对于选项A,因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，

对于选项B,因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，

对于选项C,因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确，

对于选项D,因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确，

故选：A.

【变式2-1］（24-25高三上•上海黄浦•期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E：点数是

奇数，事件小点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件

的为（）

A.E与FB.尸与GC.E与HD.G与H

【答案】B

【解题思路】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.

【解答过程】对于选项A,因为事件E和事件F不能同时发生，所以E与F互斥，故选项A错误，

对于选项B,当朝上面的点数为6讨，厂与G同时发生，即F与G不是互斥事件，所以选项B正确，

对于选项C,因为事件E和事件H不能同时发生，所以E与"互斥，故选项C错误，

对于选项D,因为事件G和事件“不能同时发生，所以G与H互斥，故选项D错误，

故选：B.

【变式2-2］（24-25高一下•云南昭通・期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“网上的点数为

偶数”，事件8表示“向上的点数是1或2”，事件。表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（）

A.A与4是对立事件B.3与C是对立事件

C.A与C是互斥事件D.A与3是互斥事件

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用互斥密件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.

【解答过程】对于A中，当向上优点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误;

对干B中，事件8与C不能同时发生，且事件区与。必有一个发生，所以B正确；

对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件。同时发生，所以C错误；

对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件3能同时发生，所以D错误.

故选:B.

【变式2-3](24-25高二上•山东淄博•阶段练习)对空中移动的目标连续射击两次，设4=｛两次都击中FI标

｝.8=]两次都没击中目标)"=｛恰有一次击中目标｝,D=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是

()

AfB.AUC=BUD

C.AUC=DD.BClD=0

【答案】B

【解题思路】根据事件关系，即可判断选项.

【解答过程】A.事件。包含恰好一次击中FI标或两次都击中目标，所以AO故A正确；

B/UC=D包含的事件为至少一次击中目标，8UD=C为样本空间，所以B错误，C正确；

D.事件B与事件。是对立事件，所以BnD=0,故D正确.

故选：B.

【题型3互斥事件与对立事件的概率】

【例3】(24-25高一下•江苏常州・期末)已知事件48互斥，它们都不发生的概率为3且PQ4)=2P(8),则

P(A)=()

C.-D.-

93

【答案】C

【解题思路】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.

【解答过程】由事件4B互斥，且48都不发生为土

则PG4UB)=P(A)+P(B)=1-1=|,

又P(Q=2P(B),所以2P(B)+P(B)=|,解得P(3)=1P(4)=g,

所以p(彳)=1-p(/l)=

故选:C.

【变式3-1]<24-25高一下•山东烟台•期末)己知事件A与事件。互为对立事件，且PG4)=0.4,则P(。)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】C

【解题思路】根据对立事件的概率之和为1求解即可.

【解答过程】因为事件A与事件B互为对立事件，

所以P(8)=1-PG4)=1-0.4=0.6,

故选:C.

【变式3-21(24-25高一下•广东深圳•期末)已知两个随机事件A和B,其中P(4)=%P⑻=P(AU8)=京

则P(48)=()

A.-B.-C.-D.-

4328

【答案】D

【解题思路】因为A和8是两个随机事件,所以由P04U8)=PQ4)+P(8)-火力8)即可求出结果.

【解答过程】因为A和8是两个随机事件，

所以PG4UB)=P(A)+P(B)-P(AB)

贝IJPQ48)=PQ4)+P(B)-PQ4UB)=：+：

2848

故选：D.

【变式3-3](24-25高一下•北京•期末)已知随机事件4和8互斥，4和C对立，且P(C)=。8P(B)=0.3,则

PG4UB)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】D

【解题思路】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.

【解答过程】由A和C对立，P(C)=0.8,可得PQ4)+P(C)=1,解得PG4)=0.2,

乂由随机事件力和B互斥可知IPG4B)=0,

由PQ4U8)=P(力)+P(F)-P(AB),

将P(4)=0.2,P⑻=0.3代入计算可得P(4UB)=0.5.

故选:D.

【题型4频率与概率】

【例4】(25-26高二上•四川成都•阶段练习)下面说法正确的是()

A.设一批产品的次品率2，则从中任取10件，必有1件是次品

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

C.天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨

D.做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛•枚硬币出现正面的概率是9

O

【答案】C

【解题思路】根据概率和频率的定义逐一分析即可.

【解答过程】对于A,次品率描述的是次品的可能情况，从中任取1（）件，不一定正好I件是次品，故A错

误；

对于C,天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下诔，故C正确；

对于B和D,概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率，

做8次抛硬币的试验，结果5次虚现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是"

但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是去故B、D错误.

故选：C.

【变式4-1］（25-