高中数学 加练 专题3　第18练　公切线问题

第18练公切线问题(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线，则m+n等于()A.4 B.5 C.6 D.8答案B解析设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b，3b+m)，对于函数y=x3(x>0)，y'=3x2，则3a2=3(a>0)，解得a=1，所以13=3+m，即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0)，y'=-2x+n，则-2b+n=3(b>0)，又-b2+nb-6=3b-2，所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2，又b>0，所以b=2，n=7.所以m+n=-2+7=5.2.已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+14均相切的直线l有(A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案C解析f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1，所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-整理得y=(3x12-1)x-2设g(x)=x2+14，直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2所以切线方程为y-x22+14=2x2(x整理得y=2x2x-x22则3x12-1=2整理得3x122-122-2x13-14=94x14-2当9x12-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，x1=0也满足方程，故上述方程有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.二、多项选择题(共6分)3.若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值可能是()A.1 B.e C.2e D.6答案ABC解析设两曲线上的两点分别为A(x1，x12-1)，B(x2，alnx2-1)，x由两曲线y=x2-1与y=alnx-1分别求导得y'=2x，y'=a故在A处的切线方程为y-(x12-1)=2x1(x-x1整理得y=2x1x-x12在B处的切线方程为y-(alnx2-1)=ax2(x-x2整理得y=ax2x-a+alnx2所以2又a>0，解得a=4x22(1-lnx2构造函数f(x)=4x2(1-lnx)，x>0，f'(x)=4x(1-2lnx)，令f'(x)>0，解得0<x<e，令f'(x)<0，解得x>故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)故f(x)max=f(e)=2e，因为a>0，所以a的取值范围是(0，2e]，故A，B，C正确.三、填空题(每小题5分，共10分)4.已知函数g(x)=x的图象与函数f(x)=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.答案(e2，e)解析函数f(x)=alnx的定义域为(0，+∞)，可得f'(x)=ax，由g(x)可得g'(x)=12x，设曲线f(x)=alnx与曲线g(x)=x的公共点为(x0，y0)，x由于在公共点处有相同的切线，所以12x所以x0=4a2(a>0)，由f(x0)=g(x0)，可得alnx0=x联立x解得x0=e2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e2，e).5.若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是.答案-解析令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex，则f'(x)=-kx2，g'(x)设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，即y=-kx12设点B(x2，g(x2))，则曲线y=g(x)在点B处的切线方程为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)，即y=ex2x+(1-x2由题意-消去x1得-4k=(1-x2)2e由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根，令φ(x)=(1-x)2ex，则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex，当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增；当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减；故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=4e当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0，当x→-∞时，φ(x)→0；当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示，由图可知0<-4k<4e，即-1e<四、解答题(共14分)6.(14分)已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(7分)(2)若C1和C2有两条公切线，证明：相应的两条公切线段互相平分.(7分)(1)解函数y=x2+2x的导数y'=2x+2，曲线C1在点P(x1，x12+2x1)处的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x即y=(2x1+2)x-x12函数y=-x2+a的导数y'=-2x，曲线C2在点Q(x2，-x22+a)处的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-即y=-2x2x+x22+a.如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，则2x1+2=-2x2，-x12=x2消去x2得方程2x12+2x1+1+a当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0，即a=-12时，解得x1=-12，此时点P与即当a=-12时，C1和C2有且仅有一条公切线由①得公切线方程为y=x-14(2)证明由(1)可知，当a<-12时，Δ>0，C1和C2有两条公切线设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则由(1)得x