2026年高考数学复数专题训练试卷

2026年高考数学复数专题训练试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则z在复平面内对应的轨迹是（）A.以（-1，0）、（1，0）为焦点的椭圆B.以（-1，0）、（1，0）为端点的射线C.以（-1，0）、（1，0）为顶点的等腰梯形D.以（-1，0）、（1，0）为顶点的正方形解析：由复数模的几何意义知，|z+1|+|z-1|=4表示到点-1和点1的距离之和为4的点的集合。根据椭圆定义，当两定点距离小于定值时为椭圆，等于定值时为线段，大于定值时无轨迹。|-1-1|=2<4，故轨迹为椭圆。选项A正确。2.若复数z=1+i，则z³的虚部为（）A.0B.2C.-2D.4解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-i=-2+2i，虚部为2。选项B正确。3.已知复数ω=2cosθ+i（0≤θ＜2π），则|ω|+|ω²|的值等于（）A.2B.3C.4D.5解析：|ω|=√(4cos²θ+1)，|ω²|=|4cos²θ+2i|。由于|ω²|的实部为4cos²θ，虚部为2，故|ω²|=√(16cos⁴θ+4)。当θ=0时，|ω|=2，|ω²|=2，和为4；当θ=π/2时，|ω|=1，|ω²|=1，和为2。选项C正确。4.若复数z满足z²+2z+4=0，则|z+1|²+|z-1|²的值等于（）A.4B.6C.8D.10解析：设z=a+bi，代入z²+2z+4=0得(a²-b²+2a+2bi)+2(a+bi)+4=0，解得a=-1，b=√3。则z=-1+√3i，|z+1|²+|z-1|²=|-√3i|²+|√3i-2|²=3+7=10。选项D正确。5.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则arg(z₁z₂)等于（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z₁z₂=(2+i)(1-2i)=4-3i，辐角为arctan(-3/4)，位于第四象限，故arg(z₁z₂)=7π/4。选项D正确。6.若复数z满足|z-1|²+|z+1|²=4，则z在复平面内对应的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析：设z=x+yi，代入得(x-1)²+y²+(x+1)²+y²=4，化简得x²+y²=1，为圆。选项A正确。7.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂的模等于（）A.1/2B.1C.√2D.2解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)=i，模为1。选项B正确。8.若复数z满足z²+z+1=0，则z³+z²+z等于（）A.1B.-1C.0D.i解析：z³+z²+z=z(z²+z+1)=0。选项C正确。9.已知复数ω=cosα+i（0≤α＜2π），则|ω-1|²+|ω+1|²的值等于（）A.2B.4C.6D.8解析：|ω-1|²+|ω+1|²=(cosα-1)²+sin²α+(cosα+1)²+sin²α=2cos²α+2=4。选项B正确。10.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁²+z₂²+z₁z₂等于（）A.0B.2C.4D.6解析：z₁²+z₂²+z₁z₂=(1+i)²+(1-i)²+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z的平方根为__________。参考答案：√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i解析：设z=a+bi，则(a+bi)²=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2。2.若复数ω=2+i，则ω的共轭复数为__________。参考答案：2-i解析：共轭复数是将虚部取相反数。3.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为__________。参考答案：√3+i解析：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=√3+i。4.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模为__________。参考答案：√2解析：z₁•z₂=2，模为2。5.若复数z满足z²=1，则z的辐角主值为__________。参考答案：0或π解析：z=±1，辐角主值为0或π。6.若复数ω=cosα+i（0≤α＜2π），则|ω-1|²的值为__________。参考答案：2-2cosα解析：|ω-1|²=(cosα-1)²+sin²α=2-2cosα。7.若复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的虚部为__________。参考答案：4/5解析：z₁/z₂=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，虚部为7/5。8.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z在复平面内对应的轨迹的焦点距为__________。参考答案：2解析：轨迹为椭圆，焦点距为2。9.若复数ω=1+i，则ω⁴的实部为__________。参考答案：0解析：ω⁴=4，实部为0。10.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²的值为__________。参考答案：8解析：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=|2|²+|2i|²=4+4=8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂=2。（）解析：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2，正确。2.若复数z的模为1，则z的平方的模也为1。（）解析：|z|²=1，|z²|=|z|²=1，正确。3.若复数z₁+z₂=0，则z₁和z₂互为共轭复数。（）解析：z₁=-z₂，但未必有虚部相反，如z₁=2i，z₂=-2i，正确。4.若复数z满足|z|=1，则z的平方根的模也为1。（）解析：z²的模为1，z²的平方根模为1，正确。5.若复数z₁和z₂的辐角主值分别为α和β，则z₁/z₂的辐角主值为α-β。（）解析：arg(z₁/z₂)=arg(z₁)-arg(z₂)，正确。6.若复数z满足z²=1，则z=±1。（）解析：z²-1=0，解得z=±1，正确。7.若复数z₁和z₂的模相等，则z₁和z₂互为共轭复数。（）解析：|z₁|=|z₂|，但未必有虚部相反，如z₁=1+i，z₂=1-i，错误。8.若复数z₁+z₂=0，则z₁和z₂的辐角主值之和为π。（）解析：z₁=-z₂，辐角主值之和为π或2π，错误。9.若复数z₁和z₂的辐角主值分别为α和β，则z₁•z₂的辐角主值为α+β。（）解析：arg(z₁•z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)，正确。10.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为2(cosπ/3+isinπ/3)。（）解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=1+i，求z的平方根。解：设z=a+bi，则(a+bi)²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2，故z的平方根为√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i。2.已知复数ω=cosα+i（0≤α＜2π），求|ω-1|²+|ω+1|²的值。解：|ω-1|²+|ω+1|²=(cosα-1)²+sin²α+(cosα+1)²+sin²α=2cos²α+2=4。3.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的模和辐角主值。解：z₁/z₂=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，模为√(9/25+49/25)=√(58/25)=√58/5，辐角主值为arctan(7/3)。4.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z的代数形式。解：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁²+z₂²+z₁z₂的值。解：z₁²+z₂²+z₁z₂=(1+i)²+(1-i)²+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.已知复数ω=1+i，求ω⁴的值。解：ω=1+i，ω²=2i，ω⁴=(ω²)²=4i²=-4。7.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，求z在复平面内对应的轨迹方程。解：轨迹为以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴为4的椭圆，方程为x²/4+y²/3=1。8.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²的值。解：z₁+z₂=2，z₁-z₂=2i，|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=|2|²+|2i|²=4+4=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的值。解：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2。2.已知复数ω=cosα+i（0≤α＜2π），求|ω-1|²的值。解：|ω-1|²=(cosα-1)²+sin²α=2-2cosα。3.已知复数z₁=2+i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的值。解：z₁/z₂=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i。4.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z的代数形式。解：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁²+z₂²+z₁z₂的值。解：z₁²+z₂²+z₁z₂=(1+i)²+(1-i)²+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.已知复数ω=1+i，求ω⁴的值。解：ω=1+i，ω²=2i，ω⁴=(ω²)²=4i²=-4。7.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，求z在复平面内对应的轨迹方程。解：轨迹为以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴为4的椭圆，方程为x²/4+y²/3=1。8.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²的值。解：z₁+z₂=2，z₁-z₂=2i，|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=|2|²+|2i|²=4+4=8。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.C9.B10.B二、填空题1.√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i2.2-i3.√3+i4.√25.0或π2.2-2cosα7.4/58.29.010.8三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.解：设z=a+bi，则(a+bi)²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2，故z的平方根为√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i。2.解：|ω-1|²+|ω+1|²=(cosα-1)²+sin²α+(cosα+1)²+sin²α=2cos²α+2=4。3.解：z₁/z₂=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，模为√(9/25+49/25)=√(58/25)=√58/5，辐角主值为arctan(7/3)。4.解：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.解：z₁²+z₂²+z₁z₂=(1+i)²+(1-i)²+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.解：ω=1+i，ω²=2i，ω⁴=(ω²)²=4i²=-4。7.解：轨迹为以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴为4的椭圆，方程为x²/4+y²/3=1。8.解：z₁+z₂=2，z₁-z₂=2i，|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=|2|²+|2i|²=4+4=8。五、应用题1.解：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2。2.解：|ω-1|²=(cosα-1)²+sin²α=