2026年福建省湘教版高二数学选修第10章知识点巩固习题

2026年福建省湘教版高二数学选修第10章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第10章《数列》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2^n-1)，利用等差数列求和公式可得S_n=n^2。正确答案为C。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式b_n为（）A．3^n-3^(n-1)B．3^(n-1)C．2•3^(n-1)D．3^n解析：当n=1时，b_1=T_1=2；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2•3^(n-1)。故b_n=2•3^(n-1)对所有n成立。正确答案为C。3.在等比数列{c_n}中，若c_3•c_7=64，且公比q≠1，则该数列的通项公式c_n为（）A．2^(n-1)B．4^nC．2•3^(n-1)D．2^(n+1)解析：由等比数列性质c_3•c_7=c_1q^2•c_1q^6=c_1^2q^8=64，又q≠1，解得c_1=2，q=2。故c_n=2•2^(n-1)=2^n。正确答案为D。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=√(d_n+d_n+1)，则该数列的极限为（）A．1B．2C．√2D．0解析：设极限为L，则d_n→L，d_n+1→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2。正确答案为B。5.在等差数列{e_n}中，若e_5+e_10=20，e_6•e_9=36，则该数列的公差d为（）A．1B．2C．3D．4解析：由e_5+e_10=2e_7=20，得e_7=10；由e_6•e_9=(e_7-d)•(e_7+2d)=36，代入e_7=10解得d=2。正确答案为B。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则f_10的值为（）A．40B．41C．42D．43解析：f_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，f_10=4×10-1=39。注意n=1时f_1=S_1=3，故f_n=4n-1对所有n成立。正确答案为A。7.在等比数列{g_n}中，若g_4=16，g_6=64，则该数列的公比q为（）A．±2B．2C．4D．±4解析：由g_6/g_4=q^2=64/16=4，得q=±2。正确答案为A。8.已知数列{h_n}满足h_n=2n+3/(n+1)，则该数列的极限为（）A．2B．3C．5D．6解析：h_n=2n+3/(n+1)=2(n+1)-2+3/(n+1)，当n→∞时，2(n+1)-2→∞，3/(n+1)→0，故数列发散。正确答案为无解，但选项中无正确答案，需调整题目。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_3+i_5=15，i_2+i_4+i_6=21，则该数列的公差d为（）A．1B．2C．3D．4解析：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；i_2+i_4+i_6=3(i_4)=21，得i_4=7，故d=i_4-i_3=2。正确答案为B。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则j_n的表达式为（）A．nB．n+1C．2nD．n(n+1)解析：当n=1时，j_1=T_1=1；当n≥2时，j_n=T_n-T_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n。故j_n=2n对所有n成立。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：3^(n-1)-1解析：由递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故a_n+1=2•3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=_________。参考答案：±3解析：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的通项公式c_n=_________。参考答案：2^(n-1)解析：当n=1时，c_1=S_1=1；当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。故c_n=2^(n-1)对所有n成立。4.在等差数列{d_n}中，若d_5=10，d_10=25，则该数列的公差d=_________。参考答案：3解析：由d_10-d_5=5d=25-10=15，得d=3。5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)+n，且e_1=1，则e_10=_________。参考答案：55解析：e_n=e_(n-1)+n=e_(n-2)+(n-1)+n=…=e_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2。e_10=10×11/2=55。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则f_5的值为_________。参考答案：16解析：f_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。f_5=2×5=10。注意n=1时f_1=T_1=2，故f_n=2n对所有n成立。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_6=32，则该数列的公比q=_________。参考答案：2解析：由g_6/g_3=q^3=32/8=4，得q=2。8.已知数列{h_n}满足h_n=1/(n+1)，则该数列的前10项和S_10=_________。参考答案：1-1/11=10/11解析：S_10=1/2+1/3+…+1/11=∑(1/k)fromk=2to11=1-1/11=10/11。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=9，i_4+i_5+i_6=15，则该数列的公差d=_________。参考答案：2解析：i_1+i_2+i_3=3i_2=9，得i_2=3；i_4+i_5+i_6=3i_5=15，得i_5=5，故d=i_5-i_2=2。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+2)/2，则j_n的表达式为_________。参考答案：n+1解析：当n=1时，j_1=T_1=3；当n≥2时，j_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[(n-1)(n+1)/2]=n+1。故j_n=n+1对所有n成立。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n+1=a_n+2，则该数列是等差数列。（）错误解析：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，即a_n+1-a_n=d，而题中a_n+1-a_n=2，故是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）正确解析：由b_3=b_1q^2=8，得q^2=8，q=±√8=±2√2，但题目未限制q为有理数，故q=2√2时正确。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列是等差数列。（）正确解析：当n=1时，c_1=S_1=1；当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1，故c_n=2n-1，是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_2+d_3=12，则3d_2=12。（）正确解析：d_1+d_2+d_3=3d_2=12，故3d_2=12。5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)+1，且e_1=1，则该数列是等差数列。（）正确解析：e_n-e_(n-1)=1，故是公差为1的等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则f_3=±18√2。（）错误解析：由f_4/f_2=q^2=54/6=9，得q=±3，故f_3=f_2q=6×(±3)=±18，不是±18√2。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）正确解析：当n=1时，g_1=T_1=1；当n≥2时，g_n=T_n-T_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故g_n=2^(n-1)，是等比数列。8.在等差数列{i_n}中，若i_5=10，i_10=25，则i_7=17.5。（）错误解析：由i_10-i_5=5d=25-10=15，得d=3，故i_7=i_5+2d=10+6=16。9.已知数列{j_n}满足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，则该数列是等差数列。（）错误解析：j_n-j_(n-1)=n，故不是等差数列（相邻项之差不为常数）。10.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=14，且公比q≠1，则a_1=2，a_2=6，a_3=6。（）错误解析：a_1+a_2+a_3=a_1+aq+a_1q^2=14，若a_1=2，则2+2q+2q^2=14，2q^2+2q-12=0，q^2+q-6=0，解得q=2或q=-3。若q=2，a_2=4，a_3=8；若q=-3，a_2=-6，a_3=18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故a_n+1=2•3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的公比q。解：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式c_n。解：当n=1时，c_1=S_1=3；当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故c_n=4n-1对所有n成立。4.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_3+i_5=15，求该数列的公差d。解：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；又i_4=i_3+d=5+d，i_2=i_1+d，i_2+i_4+i_6=3i_4=21，得3(5+d)=21，解得d=2。5.已知数列{j_n}满足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，求该数列的前10项和S_10。解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，S_10=1+2+…+10=10×11/2=55。6.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_6=32，求该数列的公比q。解：由a_6/a_3=q^3=32/8=4，得q=∛4=√2。7.若数列{b_n}的前n项和T_n=n(n+2)/2，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时，b_1=T_1=3；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[（n-1）(n+1)/2]=n+1，故b_n=n+1对所有n成立。8.在等差数列{c_n}中，若c_5=10，c_10=25，求该数列的前15项和S_15。解：由c_10-c_5=5d=25-10=15，得d=3，故c_1=c_5-4d=10-12=-2，S_15=15×(-2)+15×14/2=105。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，求数列的前10项和S_10。解：由a_4=a_1q^3=16，得q^3=8，q=2，S_10=2(2^10-1)/(2-1)=2046。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求数列的第10项b_10。解：当n=1时，b_1=T_1=2；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=2n，b_10=2×10=20。3.在等差数列{i_n}中，若i_1=3，i_5=9，求数列的前20项和S_20。解：由i_5-i_1=4d=9-3=6，得d=3/2，S_20=20×3+(20×19/2)×(3/2)=630。4.已知数列{j_n}满足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，求数列的第10项j_10。解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，j_10=10×11/2=55。5.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，求数列的第6项a_6。解：由a_4/a_2=q^2=54/6=9，得q=3，a_6=a_2q^4=6×81=486。6.若数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-1，求数列的第5项b_5。解：当n=1时，b_1=T_1=1；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，b_5=2^4=16。7.在等差数列{i_n}中，若i_3=7，i_7=15，求数列的第10项i_10。解：由i_7-i_3=4d=15-7=8，得d=2，i_10=i_7+3d=15+6=21。8.已知数列{j_n}满足j_n=j_(n-1)+2n，且j_1=1，求数列的前10项和S_10。解：j_n=j_(n-1)+2n=…=j_1+2(1+2+…+n)=1+n(n+1)，S_10=1+2+…+10+(1+2+…+10)=55+55=110。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.D4.B5.B6.A7.A8.B9.B10.C二、填空题1.3^(n-1)-12.±33.2^(n-1)4.35.556.167.28.10/119.210.n+1三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、简答题1.a_n=3^(n-1)-1解：由a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故a_n+1=2•3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.q=±3解：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.c_n=4n-1解：当n=1时，c_1=S_1=3；当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故c_n=4n-1对所有n成立。4.d=2解：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；又i_4=i_3+d=5+d，i_2=i_1+d，i_2+i_4+i_6=3i_4=21，得3(5+d)=21，解得d=2。5.S_10=55解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，S_10=1+2+…+10=10×11/2=55。6.q=√2解：由a_6/a_3=q^3=32/8=4，得q=∛4=√2。7.b_n=n+1解：当n=1时，b_1=T_1=3；当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[（n-1