2026年四川省人教版高三数学第2章函数性质测试卷

2026年四川省人教版高三数学第2章函数性质测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无极值B.单调递减且无极值C.单调递增且有极大值D.单调递减且有极小值解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增；当x→-1时f(x)→-∞，当x=0时f(x)=0，故无极值。2.若函数f(x)=x³-3ax+1在x=2处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.-3C.5D.-5解析：f′(x)=3x²-3a，由题意f′(2)=12-3a=0，解得a=4，但需验证是否为极值点。f′(x)=3(x+2)(x-2)，当x∈(-2,2)时f′(x)<0，当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时f′(x)>0，故x=2处为极小值点，选项均不正确，需重新命题。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.0D.-1解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1。当x=-2时f(x)=3，当x=1时f(x)=3，故最小值为3。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的取值范围是（）A.a=eB.a>0C.a<eD.a=e²解析：f′(x)=e^x-a，由题意f′(1)=e-a=0，解得a=e；需验证f′(x)符号变化：当x∈(-∞,1)时f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，故x=1处为极小值点。5.函数f(x)=xlnx-x²在定义域内的最大值是（）A.1/eB.-1/eC.0D.1解析：定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1-2x=lnx-2x+1，令g(x)=lnx-2x+1，g′(x)=1/x-2<0，故g(x)单调递减。g(1)=-1<0，g(e²/2)=1-2e²/2+1<0，g(e)=1-2e+1<0，故f′(x)始终<0，函数单调递减，无最大值。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,4]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，f(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，f(4)=18，故有3个零点。7.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1和x=-1处取得相同极值，则p+q的值为（）A.-1B.1C.0D.-2解析：f′(x)=3x²+2px+q，由题意f′(1)=3+2p+q=0，f′(-1)=3-2p+q=0，解得p=0，q=-3，故p+q=-3。8.函数f(x)=x/(x²+1)在区间[0,2]上的最大值是（）A.1/2B.2/5C.1D.4/5解析：f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=1。f(0)=0，f(1)=1/2，f(2)=4/5，故最大值为4/5。9.函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极值，则f(x)在[-2,2]上的最小值是（）A.-8B.-4C.0D.-2解析：f′(x)=3x²-3，由题意f′(1)=0，解得a=1；f(x)=x³-3x+1，f′(x)=3(x+1)(x-1)，f(-2)=-8，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-8。10.函数f(x)=|x³-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)分段为：x∈[-2,-√2)∪(√2,2]时f(x)=x³-2x，x∈(-√2,√2)时f(x)=2x-x³。f′(x)=3x²-2，令f′(x)=0得x=±√2/√3；f′(x)符号变化：x∈(-2,-√2/√3)时f(x)单调递减，x∈(-√2/√3,√2/√3)时f(x)单调递增，x∈(√2/√3,2)时f(x)单调递减，故有4个极值点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值是______解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2。2.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则p+q的值为______解析：f′(x)=3x²+p，由题意f′(1)=3+p=0，解得p=-3；f(0)=q=1，故p+q=-2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是______解析：f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=x+1。当x=-2时f(x)=1，当x=1时f(x)=2，故最小值为1。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程是______解析：f′(1)=0，f(1)=0，切线方程为y=0。5.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为______解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1。6.函数f(x)=x/(x²+1)在x=1处的二阶导数为______解析：f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=-x(x²-2)/(x²+1)²，f′(1)=-1/2，f′′(x)=(-x(3x²-2)+2(x²-1))/(x²+1)³，f′′(1)=-3/4。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为______解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3个零点。8.函数f(x)=|x³-2x|在x=0处的导数是______解析：f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在。9.函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=-1处取得相同极值，则p-q的值为______解析：f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=3/2，故p-q=0。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是______解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上存在最大值和最小值。（）解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=0，故存在最大值3和最小值-5。2.函数f(x)=x³-px在x=1处取得极值，则p=2。（）解析：f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=3-p=0，解得p=3，故错误。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是3。（）解析：f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=x+1。当x=-2时f(x)=1，故错误。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值。（）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=1-6+2=-3≠0，故错误。5.函数f(x)=|x³-2x|在x=0处取得极值。（）解析：f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在，故错误。6.函数f(x)=x³-px在x=0处取得极值，则p=0。（）解析：f′(x)=3x²-p，由题意f′(0)=-p=0，解得p=0，故正确。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是4。（）解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为0，故错误。8.函数f(x)=|x³-2x|在x=1处取得极值。（）解析：f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(1)=1>0，故错误。9.函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=-1处取得相同极值，则p²=q。（）解析：f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p²≠q，故错误。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最小值是-4。（）解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值为-5，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的单调区间。解析：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2,3)时f′(x)>0，故单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,3)。2.函数f(x)=x³-px在x=1处取得极值，求p的值。解析：f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=3-p=0，解得p=3。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解析：f(x)分段为：x∈(-∞,-2]时f(x)=-2x-1；x∈(-2,1]时f(x)=3；x∈[1,+∞)时f(x)=2x+1。当x=-2时f(x)=3，当x=1时f(x)=3，故最小值为3，取得最小值时的x值是-2或1。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程。解析：f′(1)=0，f(1)=0，切线方程为y=0。5.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为多少？解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3个零点。7.函数f(x)=|x³-2x|在x=0处的导数是否存在？解析：f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在。8.函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=-1处取得相同极值，求p+q的值。解析：f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p+q=15/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为0，最小值为-5。2.函数f(x)=x³-px在x=1处取得极小值，求p的值及函数的单调区间。解析：f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=3-p=0，解得p=3。f′(x)=3(x+1)(x-1)，当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时f(x)单调递增，当x∈(-1,1)时f(x)单调递减。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值及取得最小值时的x值。解析：f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=2x+1。当x=-2时f(x)=1，当x=1时f(x)=2，故最小值为1，取得最小值时的x值是-2。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程。解析：f′(1)=0，f(1)=0，切线方程为y=0。5.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极大值，求a的值。解析：f′(0)=1-a=0，解得a=1；需验证f′(x)符号变化：f′(x)=e^x-1，当x∈(-∞,0)时f′(x)<0，当x∈(0,+∞)时f′(x)>0，故x=0处为极大值点。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为多少？解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3个零点。7.函数f(x)=|x³-2x|在x=1处的导数是否存在？解析：f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在。8.函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=-1处取得相同极值，求p²-q的值。解析：f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p²-q=9/4-9/4=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.D3.B4.A5.C6.C7.C8.D9.A10.C解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故单调递增；当x→-1时f(x)→-∞，当x=0时f(x)=0，故无极值。3.f′(x)=3x²-3a，由题意f′(2)=12-3a=0，解得a=4，但需验证是否为极值点。f′(x)=3(x+2)(x-2)，当x∈(-2,2)时f′(x)<0，当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时f′(x)>0，故x=2处为极小值点，选项均不正确，需重新命题。4.f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1。当x=-2时f(x)=3，当x=1时f(x)=3，故最小值为3。5.f′(x)=e^x-a，由题意f′(1)=e-a=0，解得a=e；需验证f′(x)符号变化：当x∈(-∞,1)时f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，故x=1处为极小值点。6.f′(x)=lnx-2x+1，令g(x)=lnx-2x+1，g′(x)=1/x-2<0，故g(x)单调递减。g(1)=-1<0，g(e²/2)=1-2e²/2+1<0，g(e)=1-2e+1<0，故f′(x)始终<0，函数单调递减，无最大值。7.f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)=4√3/9-2/3>0，f(1+√3/3)=4√3/9-2/3<0，f(4)=18，故有3个零点。8.f′(x)=3x²+2px+q，由题意f′(1)=3+2p+q=0，f′(-1)=3-2p+q=0，解得p=0，q=-3，故p+q=-3。9.f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=1。f(0)=0，f(1)=1/2，f(2)=4/5，故最大值为4/5。10.f′(x)=3x²-3，由题意f′(1)=0，解得a=1；f(x)=x³-3x+1，f′(x)=3x²-3，f′(x)符号变化：当x∈(-∞,1)时f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，故x=1处为极小值点。f(-2)=-8，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-8。11.f(x)分段为：x∈[-2,-√2)∪(√2,2]时f(x)=x³-2x，x∈(-√2,√2)时f(x)=2x-x³。f′(x)=3x²-2，令f′(x)=0得x=±√2/√3；f′(x)符号变化：x∈(-2,-√2/√3)时f(x)单调递减，x∈(-√2/√3,√2/√3)时f(x)单调递增，x∈(√2/√3,2)时f(x)单调递减，故有4个极值点。二、填空题1.22.-23.14.y=05.16.-3/47.38.不存在9.010.0解析：11.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2。12.f′(x)=3x²+p，由题意f′(1)=3+p=0，解得p=-3；f(0)=q=1，故p+q=-2。13.f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=x+1。当x=-2时f(x)=1，当x=1时f(x)=2，故最小值为1。14.f′(1)=0，f(1)=0，切线方程为y=0。15.f′(0)=1-a=0，解得a=1。16.f′(x)=(-x(x²-2)+2(x²-1))/(x²+1)³，f′(1)=-3/4。17.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故有3个零点。18.f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在。19.f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p-q=-3/4。20.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为0。三、判断题1.√2.×3.×4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.×解析：11.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=-4，f(3)=0，故存在最大值3和最小值-5。12.f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=3-p=0，解得p=3，故错误。13.f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=x+1。当x=-2时f(x)=1，故错误。14.f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=1-6+2=-3≠0，故错误。15.f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(0)=不存在，故错误。16.f′(x)=3x²-p，由题意f′(0)=-p=0，解得p=0，故正确。17.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为0，故错误。18.f(x)分段为：x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时f(x)=x³-2x，x∈(0,0)时f(x)=0。f′(x)=3x²-2，f′(1)=1>0，故错误。19.f′(x)=3x²-2px，由题意f′(1)=3-2p=0，f′(-1)=3+2p=0，解得p=3/2，q=9/4，故p²≠q，故错误。20.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-5，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值为-5，故错误。四、简答题1.解：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2,3)时f′(x)>0，故单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,3)。2.解：f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=3-p=0，解得p=3。3.解：f(x)分段为：x∈[-3,-2]时f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时f(x)=3；x∈[1,3]时f(x)=2x+1