2026年浙江省部编版高中二年级数学下册第7章同步练习题

2026年浙江省部编版高中二年级数学下册第7章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＜0，g(3)=ln4-3＞0。由零点存在性定理及函数单调性可知，a的取值范围是(1，3)，故选D。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值是（）A．-10B．10C．-6D．6解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M-m=18-(-4)=22，但选项无22，重新检查计算：f(4)=64-48+2=18，f(-1)=-1-3+2=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22，选项有误，需修正题目或选项。3.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是（）A．eB．e²C．1/eD．1/e²解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，得a=e，故选A。4.不等式|x-1|+|x+2|＞3的解集是（）A．(-∞，-2)∪(1，+∞)B．(-2，1)C．(-∞，-3)∪(2，+∞)D．(-∞，-3)∪(3，+∞)解析：分段讨论：①x＜-2时，-x+1-x-2＞3，-2x-1＞3，x＜-2；②-2≤x≤1时，-x+1+x+2＞3，3＞3，无解；③x＞1时，x-1+x+2＞3，2x+1＞3，x＞1。故解集为(-∞，-2)∪(1，+∞)，故选A。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值可能是（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得2(π/4)+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-3π/4。当k=0时，φ=-3π/4≡5π/4(mod2π)，故选C。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，则a_5的值是（）A．48B．45C．42D．39解析：a_1=S_1=3-1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2•3^{n-1}。验证n=1时成立，故a_5=2•3^4=2•81=162，但选项无162，重新检查题目：若S_n=2•3^n-1，则a_n=2•3^{n-1}，a_5=162，需修正题目。7.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C在直线y=x上的投影长度是（）A．2√2B．2√3C．4√2D．4√3解析：圆心(1，-2)到直线y=x的距离d=|1×1+(-2)×1|/√2=√2。投影长度为2√(r²-d²)=2√(4-2)=2√2，故选A。8.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[1，3]上的最小值是1，则a的值是（）A．2B．3C．-1D．4解析：f(x)是开口向上的抛物线，对称轴x=a。①当a＜1时，f(x)在[1，3]上单调递增，最小值f(1)=1，即1-2a+a²=1，a²-2a=0，a(a-2)=0，a=0或a=2，但a＜1，故a=0；②当1≤a≤3时，最小值f(a)=-a²+2a²-a²=1，即a²=1，a=±1，但1≤a≤3，无解；③当a＞3时，f(x)在[1，3]上单调递减，最小值f(3)=9-6a+a²=1，即a²-6a+8=0，(a-2)(a-4)=0，a=2或a=4，但a＞3，故a=4。综上，a=0或a=4，选项无0，需修正题目。9.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(4)=18。由零点存在性定理，f(x)在(-1，1-√3/3)，(1-√3/3，1+√3/3)，(1+√3/3，4)上各有一个零点，共3个零点，故选C。10.已知函数f(x)=x²lnx在x=1处取得极值，则f(x)在x=1处的拐点是（）A．(1，0)B．(1，-1)C．(1，1)D．(1，2)解析：f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=3。f''(x)=2lnx+3，f''(1)=3。f''(x)在x=1处不变号，故x=1不是拐点，选项有误，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是________。解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。2.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值是________。解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。3.不等式|x-1|+|x+2|＜3的解集是________。解析：分段讨论：①x＜-2时，-x+1-x-2＜3，-2x-1＜3，x＞-2；②-2≤x≤1时，-x+1+x+2＜3，3＜3，无解；③x＞1时，x-1+x+2＜3，2x+1＜3，x＜1。解集为(-2，1)。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值可能是________。解析：sin(2x+φ)的最大值为1，当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得φ=2kπ+π/2-π/2=2kπ，故φ=0(mod2π)，若选项为π/4，需修正题目。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，则a_4的值是________。解析：a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2•3^{n-1}。a_4=2•3^3=54，需修正题目。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C在直线y=-x上的投影长度是________。解析：圆心(1，-2)到直线y=-x的距离d=|1×(-1)+(-2)×1|/√2=3√2/2。投影长度为2√(r²-d²)=2√(4-9/2)=√2，需修正题目。7.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[1，3]上的最大值是9，则a的值是________。解析：f(x)是开口向上的抛物线，对称轴x=a。①当a＜1时，f(x)在[1，3]上单调递增，最大值f(3)=9，即9-6a+a²=9，a²-6a=0，a(a-6)=0，a=0或a=6，但a＜1，故a=0；②当1≤a≤3时，最大值f(a)=a²，a²=9，a=±3，但1≤a≤3，故a=3；③当a＞3时，f(x)在[1，3]上单调递减，最大值f(1)=1，即1-2a+a²=9，a²-2a-8=0，(a-4)(a+2)=0，a=4或a=-2，但a＞3，故a=4。综上，a=0，3或4，选项无4，需修正题目。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的零点个数为________。解析：同第9题，零点个数为3。9.已知函数f(x)=x²lnx在x=1处取得极值，则f(x)在x=1处的二阶导数是________。解析：f''(x)=2lnx+3，f''(1)=3。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值之差是________。解析：最大值f(4)=18，最小值f(-1)=-4，差为18-(-4)=22，需修正题目。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m=22。解析：M=18，m=-4，M-m=22，正确。2.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值一定是e。解析：f'(1)=e-a=0，a=e，正确。3.不等式|x-1|+|x+2|＞3的解集是(-∞，-2)∪(1，+∞)。解析：同第4题，解集为(-∞，-2)∪(1，+∞)，正确。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值可能是π/4。解析：sin(2x+φ)的最小值为-1，当2x+φ=2kπ-π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得φ=2kπ-3π/4≡5π/4(mod2π)，正确。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，则a_5=162。解析：a_5=S_5-S_4=(3^5-1)-(3^4-1)=242，需修正题目。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C在直线y=x上的投影长度是2√2。解析：圆心(1，-2)到直线y=x的距离d=√2，投影长度为2√(4-2)=2√2，正确。7.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[1，3]上的最小值是1，则a的值一定是2。解析：f(1)=1，1-2a+a²=1，a(a-2)=0，a=0或a=2。当a=0时，f(x)=x²在[1，3]上最小值为1；当a=2时，f(x)=(x-2)²在[1，3]上最小值为1。故a=0或2，不一定是2，错误。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的零点个数为3。解析：同第9题，零点个数为3，正确。9.已知函数f(x)=x²lnx在x=1处取得极值，则f(x)在x=1处的拐点是(1，0)。解析：f''(x)=2lnx+3，f''(1)=3，f''(x)在x=1处不变号，不是拐点，错误。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值之差是22。解析：最大值f(4)=18，最小值f(-1)=-4，差为22，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)的单调区间。解：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令f'(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞，1-√3/3)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1-√3/3，1+√3/3)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1+√3/3，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。故单调增区间为(-∞，1-√3/3)∪(1+√3/3，+∞)，单调减区间为(1-√3/3，1+√3/3)。2.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求f(x)的极值。解：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。f(x)=e^x-ex。f''(x)=e^x-e，f''(1)=e-e=0。f'''(x)=e^x，f'''(1)=e＞0，故x=1是f(x)的极小值点。极小值为f(1)=e-e=0。3.已知不等式|x-1|+|x+2|＜3的解集，求其整数解。解：解集为(-2，1)。整数解为-1，0。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，求φ的值。解：sin(2x+φ)的最大值为1，当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得φ=2kπ-π/2，若选项为π/4，需修正题目。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，求a_n的通项公式。解：a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2•3^{n-1}。验证n=1时成立，故a_n=2•3^{n-1}。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C的圆心和半径。解：圆心为(1，-2)，半径为2。7.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[1，3]上的最小值是1，求a的取值范围。解：f(x)=(x-a)²。当a＜1时，最小值f(1)=1，即1-2a+a²=1，a(a-2)=0，a=0或a=2，但a＜1，故a=0；当a＞3时，最小值f(3)=1，即9-6a+a²=1，a²-6a+8=0，(a-4)(a-2)=0，a=4或a=2，但a＞3，故a=4；当1≤a≤3时，最小值f(a)=a²=1，a=±1，但1≤a≤3，无解。故a=0或a=4。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的零点个数为3，求证f(x)在区间[-1，4]上至少有一个零点。证明：f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(4)=18。由零点存在性定理，f(x)在(-1，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，4]上的最大值与最小值。解：f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(4)=18。f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0。故最大值M=18，最小值m=-4。2.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求f(x)的极值。解：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。f(x)=e^x-ex。f''(x)=e^x-e，f''(1)=0。f'''(x)=e^x，f'''(1)=e＞0，故x=1是f(x)的极小值点。极小值为f(1)=e-e=0。3.已知不等式|x-1|+|x+2|＞3的解集，求其解集。解：分段讨论：①x＜-2时，-x+1-x-2＞3，-2x-1＞3，x＜-2；②-2≤x≤1时，-x+1+x+2＞3，3＞3，无解；③x＞1时，x-1+x+2＞3，2x+1＞3，x＞1。解集为(-∞，-2)∪(1，+∞)。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，求φ的值。解：sin(2x+φ)的最大值为1，当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得φ=2kπ-π/2，若选项为π/4，需修正题目。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，求a_5的值。解：a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2•3^{n-1}。a_5=2•3^4=162，需修正题目。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C在直线y=x上的投影长度。解：圆心(1，-2)到直线y=x的距离d=√2，投影长度为2√(4-2)=2√2。7.已知函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[1，3]上的最大值是9，求a的取值范围。解：f(x)是开口向上的抛物线，对称轴x=a。①当a＜1时，f(x)在[1，3]上单调递增，最大值f(3)=9，即9-6a+a²=9，a²-6a=0，a(a-6)=0，a=0或a=6，但a＜1，故a=0；②当1≤a≤3时，最大值f(a)=a²=9，a=±3，但1≤a≤3，故a=3；③当a＞3时，f(x)在[1，3]上单调递减，最大值f(1)=1，即1-2a+a²=9，a²-2a-8=0，(a-4)(a+2)=0，a=4或a=-2，但a＞3，故a=4。综上，a=0，3或4。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的零点个数为3，求证f(x)在区间[-1，4]上至少有一个零点。证明：f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(4)=18。由零点存在性定理，f(x)在(-1，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.A4.A5.C6.C7.A8.C9.C10.D二、填空题1.1412.e13.(-2，1)14.0(mod2π)15.5416.√217.0，3，418.319.320.22三、判断题1.√22.√23.√24.√25.×26.√27.×28.√29.×30.√四、简答题1.解：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令f'(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞，1-√3/3)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1-√3/3，1+√3/3)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1+√3/3，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。故单调增区间为(-∞，1-√3/3)∪(1+√3/3，+∞)，单调减区间为(1-√3/3，1+√3/3)。2.解：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。f(x)=e^x-ex。f''(x)=e^x-e，f''(1)=e-e=0。f'''(x)=e^x，f'''(1)=e＞0，故x=1是f(x)的极小值点。极小值为f(1)=e-e=0。3.解：解集为(-2，1)。整数解为-1，0。4.解：sin(2x+φ)的最大值为1，当2x+φ=2kπ+π/2，k∈Z时取得。令x=π/4，得φ=2kπ-π/2，若选项为π/4，需修正题目。5.解：a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2•3^{n-1}。验证n=1时成立，故a_n=2•3^{n-1}。6.解：圆心为(1，-2)，半径为2。7.解：f(x)=(x-a)²。当a＜1时，最小值f(1)=1，即1-2a+a²=1，a(a-2)=0，a=0或a=2，但a＜1，故a=0；当a＞3时，最小值f(3)=1，即9-6a+a²=1，a²-6a+8=0，(a-4)(a-2)=0，a=4或a=2，但a＞3，故a=4；当1≤a≤3时，最小值f(a)=a²=1，a=±1，但1≤a≤3，无解。故a=0或a=4。8.证明：f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(4)=18。由零点存在性定理，f(x)在(-1，0)，(0，2)，(2，4)上各有一个零点，共3个零点。五、应用题1.解：f