河南省洛阳市洛龙区2025-2026学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

河南洛阳市洛龙区2025-2026学年第二学期中学科素养调研九年级数学一、单选题1．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（

）A． B． C． D．2．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（

）A． B． C． D．3．春天生机盎然，杨柳飞絮也进入了传播期．据生物学家测定，某种杨柳飞絮颗粒的直径约为0.000048米．将数据0.000048用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．如图，，直线分别与，交于点，，射线，垂足为．若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．下列运算的结果为的是（

）A． B． C． D．6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（

）A． B． C． D．7．如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（

）A．0.5 B．1 C． D．28．如图是化学元素周期表中原子序数为1，8，11，12的四种元素，分别为氢（H），氧（O），钠（Na），镁（Mg）．从中随机一次性选取两种元素，已知钠和镁为金属元素，氢和氧为非金属元素，则这两种元素恰好都是非金属元素的概率为（

）A． B． C． D．9．如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则的长度为（

）A． B． C． D．710．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（

）A．拉力的大小与符合反比例函数关系B．当的长减小时，拉力在增大C．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了D．的长每增大，所施加的拉力就减小二、填空题11．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）．12．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）．13．不等式组的最小正整数解是________．14．如图，四边形内接于，为的直径．若，，则________．15．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，射线与射线交于点，点为射线上的一点（点与点不重合）．在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，则的长为________．三、解答题16．计算(1)计算：(2)化简：17．第43届洛阳牡丹文化节期间，某校组织学生参与志愿服务活动．为合理安排岗位，班级对后勤保障，文明引导，花艺协助，秩序维护，讲解服务五类志愿服务岗位开展民意调查，从五个岗位中投票选出学生参与意愿最高的岗位，投票结果的条形统计图和扇形统计图如图所示．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次参与投票的学生共有________人．请补全条形统计图．(2)为进一步优化岗位安排，选取8名同学对文明引导和讲解服务两个岗位方案进行综合打分，成绩如表所示：志愿服务岗位评分平均数中位数众数文明引导109836410107.510讲解服务10109555887.585表中的________．(3)结合投票数据与打分情况，你认为班级应优先安排学生参与哪个志愿服务岗位?请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点坐标为．分别以点，点为圆心画和，当，分别与轴相切时，切点分别为点和点，连接，．(1)求反比例函数的表达式．(2)求图中阴影部分图形的面积和（结果保留）．19．如图，在中，，是边上的中线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长，交于点，连接．求证：四边形是矩形．20．随着人工智能技术的快速发展，人形智能机器人在医疗领域的应用日益广泛．某三甲医院为优化就医服务，提升导诊效率，拟采购，两种型号的人形智能导诊机器人．已知购买3台型机器人，2台型机器人共需360万元；购买2台型机器人，5台型机器人共需460万元．(1)求，两种型号智能导诊机器人的单价．(2)该医院计划采购，两种型号智能导诊机器人共10台，且型机器人的台数不超过型机器人台数的2倍．求该医院最少需花费多少万元．21．春日校园，樱花盛放．数学实践小组计划用所学知识测量校园内一棵樱花树的高度，具体探究方案与相关数据如表：主题测量校园樱花树的高度工具卷尺，含角的直角三角板示意图

测量方法如图，校园花坛边缘有一处缓坡，小明同学站在斜坡上，手持含角的直角三角板，将角顶点贴于眼部，一条直角边保持水平，视线沿斜边向上观察；前后调整站位，直至视线恰好对准樱花树顶端，标记此时站立点为．小亮同学用卷尺测得：小明同学眼部到站立点的垂直高度以及，的长．已知，，均与地面垂直，点，，在同一直线上，图中所有点均在同一平面内．测量数据米，米，米，斜坡的坡度．解决问题……根据以上信息，求这棵樱花树的高度（结果精确到．参考数据：）．22．某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在水平安全线上点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点的水平飞行距离（单位：）与飞行高度（单位：）的部分对应数据如表：飞行水平距离01020304050…飞行高度02240546470…根据上面的信息，解决下列问题：(1)求飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式．(2)求飞行器飞行的最大高度．(3)①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离．②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域，点到点的距离为，的长为．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域内（不包括端点，），请直接写出发射平台相对于安全线的高度的取值范围．23．定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为契直四边形．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为契直四边形，记作契直四边形．(1)概念理解用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到所示的四个四边形，其中不是契直四边形的是________（填序号）(2)性质探究如图3，在契直四边形中，已知，设，为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用如图4，在契直四边形中，已知，，，为边上一动点，且，连接．沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长．参考答案1．A【详解】∵由题意可知，高于海平面的海拔用正数表示，∴低于海平面，应记作，2．C【详解】解：能通过折叠围成一个三棱柱的是：．3．B【详解】将绝对值小于1的数用科学记数法表示为的形式时，满足，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数，为负数.∵左起第一个非零数字前共有5个零，且满足，∴．4．C【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．5．C【详解】解：A.，结果为，非，B.，结果为，非，C.，结果为，符合题意，D.，结果为，非；故选：C6．D【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．7．C【详解】解：∵的对角线相交于点，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E是中点，，∴是的中位线，∴；故选：C．8．D【详解】解：列表可得：氢氧钠镁氢（氢，氧）（氢，钠）（氢，镁）氧（氧，氢）（氧，钠）（氧，镁）钠（钠，氢）（钠，氧）（钠，镁）镁（镁，氢）（镁，氧）（镁，钠）由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的情况有种，故这两种元素恰好都是非金属元素的概率为．9．B【详解】解：∵，，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，，由作图得垂直平分，∴点E是的中点，∴，即，∴．10．D【详解】解：由图象中数据发现：，拉力与距离的乘积不变，拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意；由图象可得，当的长减小时，拉力在增大，故B正确，不符合题意；由图象可得，当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故C正确，不符合题意．由图象知，当时，，当时，，当时，，，的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故D错误，符合题意．11．（答案不唯一）【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：，∴符合题意，故答案为：（答案不唯一）．12．【详解】解：∵方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中，∴．故答案为：．13．1【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得。该不等式组的解集为，∴该不等式组的解集中的正整数为，，因此最小正整数解是．14．/度【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵是直径，∴，∴，故答案为：．15．或2【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，，，如图，当在线段上，射线与交于点，∵，∴，又，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，∴，如图，当在线段上时，延长交射线于，同理可得：，，∴，设，而，则，∴，∴，同理：，∴，∴，综上：的长为或．16．(1)1(2)【详解】（1）解：；（2）解：．17．(1)50，补全条形统计图如图所示：(2)8.5(3)解：班级应优先安排学生参与文明引导志愿服务岗位，理由：两个岗位的平均数相同，文明引导的中位数和众数都高于讲解服务，因此班级应优先安排学生参与文明引导志愿服务岗位．【详解】（1）解：本次参与投票人数为（人），文明引导人数为（人），（2）解：将文明引导分数从小到大排列：3，4，6，8，9，10，10，10，第4位和第5位的数分别为8和9，∴中位数；（3）略18．(1)(2)【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，，反比例函数的表达式为；（2）解：，分别与轴切于，两点，轴，轴．，，．．由题意可知，两个阴影部分关于原点成中心对称，图中阴影部分图形的面积和为：．19．(1)解：如图，直线即为所求（方法不唯一）：(2)证明：如图，∵，是边上的中线，∴，，即，∵，∴，，∵是的中点，∴，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【详解】（1）略（2）略20．(1)型号智能导诊机器人的单价为80万元，型号智能导诊机器人的单价为60万元(2)该医院最少花费680万元【详解】（1）解：设型号智能导诊机器人的单价为万元，型号智能导诊机器人的单价为万元．根据题意，得，解得，答：型号智能导诊机器人的单价为80万元，型号智能导诊机器人的单价为60万元．（2）解：设该医院采购型号智能导诊机器人台，则采购型号智能导诊机器人台，根据题意，得．解得．设该医院需花费万元，则．，随的增大而增大．，且为整数，当时，有最小值，．答：该医院最少花费680万元．21．这棵樱花树的高度约为8.9米【详解】解：过点作，垂足为．延长交于点．由题意知，．，设，．在中，．，．解得（负值舍去），．，．．在中，．．答：这棵樱花树的高度约为8.9米．22．(1)(2)飞行器飞行的最大高度是72米(3)①飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离是120米；②【详解】（1）解：设飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式为将；；代入，得解得∴函数解析式为（2）解：∵，∴当时，．答：飞行器飞行的最大高度为．（3）①令，则解得答：飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离为②发射平台高度为时，轨迹对应的函数为令，得整理得由求根公式，取正根由题意，得解左侧不等式：解右侧不等式：综上，．故答案为：．23．(1)③(2)解：，理由如下：∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；(3)或【详解】（1）解：图2四种直角三角形纸板摆放中，图①②④，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，均为契直四边形；图③，四边形中有一