2027金版教程一轮复习数学基础版第3章第10节 函数模型及其应用

第三章函数与基本初等函数第十节

函数模型及其应用课标解读考向预测1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.近几年高考对函数模型及其应用的考查，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2027年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在实际生活中的应用，以选择题的形式出现.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调_______单调_______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_____平行随x的增大逐渐表现为与_____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴x轴

“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．题组一走出误区——判一判(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(

)(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(

)(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(

)√××题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册4.5例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是(

)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象的变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)(人教A必修第一册复习参考题3T6改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(

)A．40万元B．60万元C．80万元 D．120万元解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.75考点探究提素养考点一用函数图象刻画实际问题(1)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的是(

)A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.(2)(2026·山东临沂模拟)青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是(

)解析：由题图可知，该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合各项所给图象，只有C符合题意．故选C.(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．考点二给定函数模型解决实际问题血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)(

)A．0.3小时B．0.5小时C．0.7小时 D．0.9小时(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040考点三构建函数模型解决实际问题A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最少？解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：4．(2026·陕西西安模拟)净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(

)A．9 B．8C．7 D．6课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点构建一次函数模型解决实际问题选择对数型函数模型解决实际问题根据给定的幂函数模型解决实际问题根据给定的分式函数模型解决实际问题根据给定的指数型函数模型解决实际问题根据给定的指数型函数模型解决实际问题根据给定的对数型函数模型解决实际问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★考点构建指数型函数模型解决实际问题用函数图象刻画实际问题利用反比例函数模型、二次函数模型解决实际问题根据给定的幂函数模型解决实际问题根据给定的分段函数模型解决实际问题根据给定的指数型函数模型解决实际问题根据给定的对数型函数模型解决实际问题一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了(

)A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3解析：由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B.小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.36．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果