2027金版教程一轮复习数学基础版第2章第3节 第1课时 二次函数及其性质

第二章

一元二次函数、方程和不等式第三节二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数及其性质课标解读考向预测会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.预计2027年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次方程判断根的分布为主，也可能与其他函数复合考查与函数单调性有关的问题，难度不会太大.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：_______________(a≠0).(2)两根式：_________________(a≠0).(3)顶点式：______________(a≠0).y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－x1)(x－x2)y＝a(x－h)2＋k

2.二次函数的图象与性质解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域______________________________________单调性在____________上单调递减；在______________上单调递增在____________上单调递增；在_____________上单调递减对称性函数的图象关于直线__________对称××××题组二回归教材——练一练(1)(北师大版必修第一册习题2－2T3改编)函数y＝x2－2x，x∈[0，3)的值域是(

)A.[0，3) B.(－1，3)C.[－1，3) D.[0，3](2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(

)考点探究提素养考点一二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝_____________.－4x2＋4x＋7根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

1.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝___________.x2－2x＋3考点二二次函数的图象(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(

)A.b2＞4ac B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0 D.5a＜b识别二次函数图象应学会“三看”2.若abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)解析：因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.对于A，a<0，b<0，c<0，A不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，B不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，C不符合题意；对于D，a>0，b<0，c<0，D符合题意.故选D.考点三二次函数的性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性

(1)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(

)A.(2，6) B.(－∞，2]∪[6，＋∞)C.(4，12) D.(－∞，4]∪[12，＋∞)(2)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(

)A.[－3，0) B.(－∞，－3]C.[－2，0] D.[－3，0]解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数在其图象对称轴的两侧的单调性不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.考向2二次函数的值域与最值

(1)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________.(2)(2026·山东济南模拟)已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2在区间[－1，3]上的最小值是1，则a＝________.(3)(2026·安徽马鞍山模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的取值范围为[5，9]，则实数m的取值范围是_______.解析：f(x)＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，且f(0)＝f(4)＝5，f(2)＝9，因为函数f(x)＝－x2＋4x＋5在区间[0，m]上的取值范围为[5，9]，所以由图可知，2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4].[2，4]求二次函数在闭区间上最值的类型及策略

4.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为___.75.(2026·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋3在[n，m]上的取值范围是[2，11]，则m－n的取值范围是________.解析：因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以f(x)min＝f(1)＝2，令f(x)＝11，即x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，因为f(x)＝x2－2x＋3在[n，m]上的取值范围是[2，11]，所以当m＝4时，则－2≤n≤1，此时m－n∈[3，6]，当1≤m<4时，要使f(x)在[n，m]上的取值范围是[2，11]，则n＝－2，此时m－n∈[3，6)，当m<1时，f(x)在[n，m]上单调递减，且f(m)>f(1)＝2，此时f(x)在[n，m]上的取值范围不可能是[2，11]，故舍去.同理可得，当n>1时，f(x)在[n，m]上的取值范围也不可能是[2，11].综上所述，m－n的取值范围是[3，6].[3，6]考点四根的分布(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根均为正数，则实数m的取值范围是______________.(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若该方程有两根，且其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为___________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为_____________.一元二次方程根的分布解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数的零点间的关系，借助图象，从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解：(1)开口方向；(2)判别式的符号；(3)对称轴与所给区间的位置关系；(4)区间端点处函数值的符号.7.已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是__________.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点二次函数的值域二次函数的单调性二次函数图象的应用二次函数图象的应用由二次函数的最值求参数由二次函数的零点个数求参数由二次函数的值域求参数由二次函数的单调性和最值求参数二次函数图象的应用二次函数图象与性质的综合题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点二次函数零点的应用求二次函数的解析式由二次函数的定义域、值域求参数求与二次函数相关的复合函数的值域与二次函数相关的复合函数的值域问题与二次函数相关的函数单调性问题与二次函数相关的函数值域问题已知部分函数值求参数与二次函数相关的函数最值问题二次函数的最值2.已知函数f(x)＝2x2－mx＋1在区间[－1，＋∞)上单调递增，则f(1)的取值范围是(

)A.[7，＋∞) B.(7，＋∞)C.(－∞，7] D.(－∞，7)3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则(

)A.∀x∈(0，1)，都有f(x)>0 B.∀x∈(0，1)，都有f(x)<0C.∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0 D.∃x∈(0，1)，使得f(x)>0解析：由a>0可知函数f(x)的图象开口向上，又f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)<0.故选B.4.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(

)A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<05.(2026·浙江杭州模拟)已知二次函数y＝x2－2x＋2，当0≤x≤t时，函数的最大值为M，最小值为N.若M＝5N，则t的值为(

)A.0.5

B.1.5

C.3

D.4解析：二次函数y＝x2－2x＋2的图象的对称轴为直线x＝1，且y＝(x－1)2＋1，若0<t≤1，当0≤x≤t时，y随x的增大而减小，故M＝02－2×0＋2＝2，N＝t2－2t＋2，因为M＝5N，故5(2t2－2t＋2)＝2，整理，得5t2－5t＋4＝0，Δ＝25－4×5×4<0，故方程5t2－5t＋4＝0无解，不符合题意.若t>1，当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1<x≤t时，y随x的增大而增大，故N＝(1－1)2＋1＝1，若1<t≤2，则M＝02－2×0＋2＝2，此时M≠5N，若t>2，则M＝t2－2t＋2，由M＝5N，得t2－2t＋2＝5，可得t2－2t－3＝0，因为t>2，解得t＝3，所以M＝5，N＝1.综上所述，t＝3.故选C.7.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(

)A.0 B.1C.2 D.4解析：设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的一部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C.二、多项选择题9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0C.9a＋3b＋c<0 D.abc<010.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，(a－1)2－4b<0，则下列结论正确的是(

)A.∃x∈R，f(x)≤x B.∀x∈R，f(x)>xC.∀x∈R，f(f(x))>x D.a＋b>0f(x)＝x2－4x＋3三、填空题12.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，其图象截x轴所得的线段长为2，且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为______________.解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象经过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.(2，4]13.若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________.解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数y＝x2－4x－4，x∈[0，a)的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a