2026年统计学期末考试数据分析计算题库(样本分布分析试题)附答案

2026年统计学期末考试数据分析计算题库(样本分布分析试题)附答案1.某城市家庭月用电量总体服从正态分布，均值μ=420度，标准差σ=50度。现随机抽取64户家庭作为样本，计算以下概率：（1）样本均值在410度至430度之间的概率；（2）样本均值超过435度的概率。解答：（1）总体正态，样本量n=64（大样本），样本均值X̄~N(μ,σ²/n)，即X̄~N(420,50²/64)=N(420,39.0625)。标准化得Z=(X̄-420)/(50/8)=(X̄-420)/6.25。P(410≤X̄≤430)=P((410-420)/6.25≤Z≤(430-420)/6.25)=P(-1.6≤Z≤1.6)。查标准正态分布表，Φ(1.6)=0.9452，Φ(-1.6)=0.0548，故概率=0.9452-0.0548=0.8904。（2）P(X̄>435)=P(Z>(435-420)/6.25)=P(Z>2.4)。Φ(2.4)=0.9918，故概率=1-0.9918=0.0082。2.某电子元件寿命总体方差未知，假设服从正态分布。随机抽取25个元件，测得样本均值为1200小时，样本标准差s=80小时。求：（1）样本均值的抽样分布形式及参数；（2）样本均值小于1180小时的概率。解答：（1）总体正态且方差未知，小样本（n=25<30），样本均值X̄~t(n-1)，即t(24)分布，均值为总体均值μ（未知），方差为σ²/n，但因σ未知，用样本方差s²代替，故抽样分布为t(24)，参数为自由度24。（2）计算t值：t=(1180-1200)/(80/√25)=(-20)/(16)=-1.25。查t分布表（自由度24），t=-1.25对应的单侧概率约为0.110（通过t分布表或统计软件计算，t=1.25时单侧概率≈0.110，故t=-1.25时P(X̄<1180)=0.110）。3.某品牌手机用户中，60%为女性。随机抽取100名用户，计算样本中女性比例超过65%的概率。解答：总体比例p=0.6，n=100。检查正态近似条件：np=60≥5，n(1-p)=40≥5，故样本比例p̂近似服从N(p,p(1-p)/n)，即N(0.6,0.6×0.4/100)=N(0.6,0.0024)，标准差σ_p̂=√0.0024≈0.049。标准化得Z=(0.65-0.6)/0.049≈1.02。查标准正态分布表，Φ(1.02)=0.8461，故P(p̂>0.65)=1-0.8461=0.1539。4.某生产线生产的零件直径总体服从正态分布N(μ,σ²)，其中σ²=16mm²。随机抽取16个零件，测得样本方差s²=20mm²。求：（1）(n-1)s²/σ²的分布及参数；（2）P(s²>25)的概率。解答：（1）对于正态总体，(n-1)s²/σ²~χ²(n-1)。本题中n=16，故(n-1)s²/σ²~χ²(15)，参数为自由度15。（2）P(s²>25)=P((16-1)s²/16>(15×25)/16)=P(χ²(15)>23.4375)。查卡方分布表（自由度15），χ²=23.4375对应的右侧概率约为0.05（χ²0.05(15)=24.996，χ²0.10(15)=22.307，23.4375介于两者之间，近似为0.07）。5.从两个正态总体N(μ₁,σ₁²)和N(μ₂,σ₂²)中分别抽取样本量n₁=20和n₂=25的样本，测得样本方差s₁²=30，s₂²=25。已知σ₁²=25，σ₂²=20，求P(s₁²/s₂²>1.5)的概率。解答：对于正态总体，(s₁²/σ₁²)/(s₂²/σ₂²)~F(n₁-1,n₂-1)。本题中n₁-1=19，n₂-1=24，故(s₁²/25)/(s₂²/20)=(4s₁²)/(5s₂²)~F(19,24)。要求P(s₁²/s₂²>1.5)，即P(4s₁²/(5s₂²)>4×1.5/5)=P(F(19,24)>1.2)。查F分布表（分子自由度19，分母自由度24），F0.25(19,24)=1.24，F0.30(19,24)=1.15，故P(F>1.2)≈0.27（通过线性插值或统计软件更精确）。6.某地区成年人平均每日步数总体均值μ未知，标准差σ=800步。现抽取36人作为样本，样本均值为6200步。（1）求样本均值的抽样分布；（2）若总体实际均值为6000步，求样本均值大于6200步的概率。解答：（1）总体标准差已知，n=36（大样本），根据中心极限定理，样本均值X̄~N(μ,σ²/n)=N(μ,800²/36)=N(μ,71111.11)，标准差为800/6≈133.33。（2）若μ=6000，则X̄~N(6000,71111.11)。标准化得Z=(6200-6000)/133.33≈1.5。查标准正态分布表，Φ(1.5)=0.9332，故P(X̄>6200)=1-0.9332=0.0668。7.某药物有效率的总体比例p未知，随机抽取200名患者试验，其中130人有效。（1）求样本有效率的抽样分布（假设p=0.6）；（2）若实际p=0.6，求样本有效率在0.55至0.65之间的概率。解答：（1）n=200，p=0.6，np=120≥5，n(1-p)=80≥5，样本有效率p̂~N(p,p(1-p)/n)=N(0.6,0.6×0.4/200)=N(0.6,0.0012)，标准差σ_p̂=√0.0012≈0.0346。（2）P(0.55≤p̂≤0.65)=P((0.55-0.6)/0.0346≤Z≤(0.65-0.6)/0.0346)=P(-1.445≤Z≤1.445)。Φ(1.445)≈0.9251，Φ(-1.445)=0.0749，故概率=0.9251-0.0749=0.8502。8.某工厂生产的零件长度总体方差σ²=25cm²，随机抽取9个零件，测得样本方差s²=30cm²。（1）求(9-1)s²/25的分布；（2）计算该统计量大于12的概率。解答：（1）正态总体下，(n-1)s²/σ²~χ²(n-1)，本题n=9，故8s²/25~χ²(8)。（2）P(8s²/25>12)=P(χ²(8)>12)。查卡方分布表（自由度8），χ²0.10(8)=13.362，χ²0.15(8)=11.030，12介于两者之间，故概率约为0.12（通过统计软件计算更精确为0.155）。9.从两个正态总体中分别抽取n₁=10和n₂=15的样本，样本方差分别为s₁²=18和s₂²=12。已知总体方差σ₁²=20，σ₂²=15，求P(s₁²/s₂²<1.5)的概率。解答：(s₁²/σ₁²)/(s₂²/σ₂²)~F(n₁-1,n₂-1)=F(9,14)。代入数据得(s₁²/20)/(s₂²/15)=(3s₁²)/(4s₂²)~F(9,14)。要求P(s₁²/s₂²<1.5)，即P(3s₁²/(4s₂²)<3×1.5/4)=P(F(9,14)<1.125)。查F分布表（分子自由度9，分母自由度14），F0.60(9,14)=1.12，故P(F<1.125)≈0.605。10.某城市居民月收入总体均值μ=8000元，标准差σ=2000元。随机抽取100户，计算样本均值与总体均值之差的绝对值不超过300元的概率。解答：样本均值X̄~N(8000,2000²/100)=N(8000,40000)，标准差=2000/10=200。P(|X̄-8000|≤300)=P(-300≤X̄-8000≤300)=P(-1.5≤Z≤1.5)。Φ(1.5)=0.9332，Φ(-1.5)=0.0668，故概率=0.9332-0.0668=0.8664。11.某产品次品率总体p=0.05，随机抽取200件检验。（1）求样本次品率的期望和方差；（2）求样本次品率不超过0.07的概率。解答：（1）期望E(p̂)=p=0.05，方差Var(p̂)=p(1-p)/n=0.05×0.95/200=0.0002375。（2）np=10≥5，n(1-p)=190≥5，p̂~N(0.05,0.0002375)，标准差≈0.0154。Z=(0.07-0.05)/0.0154≈1.30。Φ(1.30)=0.9032，故P(p̂≤0.07)=0.9032。12.某高校学生身高总体服从正态分布，方差σ²=100cm²。随机抽取16名学生，样本方差s²=120cm²。（1）求(16-1)s²/100的分布；（2）计算该统计量在10到20之间的概率。解答：（1）(n-1)s²/σ²=15s²/100~χ²(15)。（2）P(10≤15s²/100≤20)=P(10≤χ²(15)≤20)。查卡方分布表，χ²0.90(15)=8.547，χ²0.50(15)=14.339，χ²0.25(15)=17.338，χ²0.10(15)=22.307。10对应概率约0.85，20对应概率约0.13，故概率≈0.85-0.13=0.72（更精确值需查详细表或软件）。13.从两个正态总体N(μ₁,36)和N(μ₂,49)中分别抽取n₁=25和n₂=36的样本，求样本方差比s₁²/s₂²的期望。解答：对于正态总体，E(s₁²)=σ₁²=36，E(s₂²)=σ₂²=49。因此，E(s₁²/s₂²)≠E(s₁²)/E(s₂²)，但当样本量较大时，s₁²和s₂²近似无偏，故近似期望≈36/49≈0.7347。14.某网站用户日均访问时长总体均值μ=40分钟，标准差σ=10分钟。随机抽取49名用户，求样本均值在38到42分钟之间的概率。解答：X̄~N(40,10²/49)=N(40,100/49)，标准差=10/7≈1.4286。P(38≤X̄≤42)=P((38-40)/1.4286≤Z≤(42-40)/1.4286)=P(-1.4≤Z≤1.4)。Φ(1.4)=0.9192，Φ(-1.4)=0.0808，故概率=0.9192-0.0808=0.8384。15.某疫苗有效率的总体比例p未知，假设p=0.8，随机抽取100