2026年《抽样技术》习题附答案

2026年《抽样技术》习题附答案一、选择题（每题2分，共20分）1.在简单随机抽样中，若总体方差为S²，样本量为n，总体量为N，则样本均值的方差为（）。A.S²/nB.S²/n·(N-n)/(N-1)C.S²/(n-1)D.S²/n·(N-1)/(N-n)2.分层抽样中，若按各层单元数占总体单元数的比例分配样本量，这种分配方式称为（）。A.奈曼分配B.比例分配C.最优分配D.内曼分配3.整群抽样中，若群内单元差异较大，群间差异较小，则抽样效率通常（）。A.较高B.较低C.与简单随机抽样相同D.无法判断4.系统抽样中，若总体单元按无关标志排列，其抽样误差通常（）简单随机抽样。A.大于B.小于C.等于D.不确定5.多阶段抽样中，若某阶段抽样的设计效应（Deff）大于1，说明该阶段抽样的方差（）相同样本量的简单随机抽样。A.更大B.更小C.相等D.无关6.为估计某城市家庭月均用电量，将全市按街道划分为若干层，每层内随机抽取社区，社区内随机抽取家庭，这种抽样方法属于（）。A.分层抽样B.整群抽样C.多阶段抽样D.系统抽样7.简单随机抽样中，当总体量N很大时，有限总体校正系数（N-n）/(N-1)可近似为（）。A.1-n/NB.n/NC.1D.N/n8.分层抽样中，若各层的层内方差差异较大，为提高估计效率，应采用（）分配样本量。A.比例B.奈曼C.任意D.等比例9.整群抽样的群大小相等时，总体均值的无偏估计量是（）。A.样本群均值的简单平均B.样本群总和的简单平均C.样本单元均值的简单平均D.样本群内方差的平均10.系统抽样中，若总体单元按有关标志排列（如收入由低到高），其估计精度通常（）无关标志排列。A.更高B.更低C.相同D.无法比较二、填空题（每空2分，共20分）1.抽样调查中，抽样误差是由（）引起的误差，非抽样误差包括（）和（）等。2.简单随机抽样中，总体均值的无偏估计量是（），其方差的无偏估计量为（）。3.分层抽样的关键是（），其主要目的是（）和（）。4.整群抽样中，群的划分应尽量使群内差异（），群间差异（），以提高效率。5.多阶段抽样中，阶段数的选择需平衡（）和（），通常阶段数越多，（）越复杂。三、简答题（每题8分，共40分）1.简述简单随机抽样的优缺点。2.比较分层抽样与整群抽样的异同点。3.解释设计效应（Deff）的含义及其在抽样设计中的作用。4.系统抽样的主要步骤有哪些？如何避免周期性波动对估计的影响？5.多阶段抽样中，为何通常优先减少初级单元（PSU）的数量而增加次级单元（SSU）的数量？四、计算题（共70分）1.（15分）某县有300个村庄，随机抽取30个村庄进行小麦产量调查，每个村庄调查5户，得到样本户均产量为450公斤，样本户产量的方差为2000公斤²。试估计全县户均小麦产量，并计算其标准误（假设村庄内户数相同）。2.（15分）某城市有100万居民，按收入分为高、中、低三层，各层人数分别为10万、60万、30万，层内方差分别为8000、2500、1000。若采用分层抽样，总样本量为1000，分别按比例分配和奈曼分配计算各层应抽样本量。3.（15分）某企业有5000名员工，按工号顺序排列（1-5000），采用系统抽样抽取100名员工调查满意度，抽样间隔k=50。若随机起点r=18，列出前5个被抽中的工号，并计算样本均值的方差（假设总体方差S²=100）。4.（15分）某林区有200个林班（初级单元），每个林班有50棵树（次级单元），采用二阶抽样，随机抽取20个林班，每个林班随机抽取10棵树，测得样本树高均值为12米，林班内树高方差为9米²，林班间均值方差为4米²。试估计林区平均树高，并计算其方差。5.（10分）某调查采用整群抽样，将总体分为100个群，每群10个单元，随机抽取10个群，测得群内单元均值为30，群间方差为25，群内方差为16。计算整群抽样的设计效应，并说明其意义。答案一、选择题1.B2.B3.A4.B5.A6.C7.A8.B9.A10.A二、填空题1.样本随机性；登记误差；无回答误差（或其他合理答案）2.样本均值；s²/n·(N-n)/(N-1)（其中s²为样本方差）3.合理划分层；提高估计精度；方便组织实施4.大；小5.抽样成本；估计精度；抽样组织三、简答题1.优点：方法简单，理论成熟，估计量无偏且方差易计算；缺点：当总体差异大时效率低，需要完整抽样框，实际操作中可能难以实施。2.相同点：均将总体划分为若干子单元（层/群）；不同点：分层抽样中层间差异大、层内差异小，抽样时每层都抽样本，目的是提高精度；整群抽样中群间差异小、群内差异大，抽样时抽取部分群，目的是降低成本。3.设计效应（Deff）是某抽样方法的方差与相同样本量简单随机抽样方差的比值。Deff>1表示该方法方差更大（如整群抽样），Deff<1表示方差更小（如分层抽样），用于评估抽样设计效率，辅助选择最优方案。4.步骤：①确定抽样间隔k=⌊N/n⌋；②随机确定起点r（1≤r≤k）；③按r,r+k,r+2k,…抽取样本。避免周期性波动的方法：调整间隔k使其与总体周期无关，或采用多个随机起点。5.初级单元数量少可减少调查成本（如差旅费用），次级单元数量多可降低群内方差（因次级单元更接近总体），从而在总成本限制下提高估计精度。四、计算题1.全县户均产量估计值=样本户均产量=450公斤。标准误计算：总体群数R=300，样本群数r=30，每群单元数M=5（假设群大小相等）。群内方差s²=2000，设计为整群抽样（以村庄为群），则总体均值方差：V(ӯ)=(1-r/R)·(s²)/(rM)=(1-30/300)·(2000)/(30×5)=(0.9)·(2000)/150=0.9×13.33≈12标准误=√12≈3.46公斤。2.比例分配：各层样本量n_h=n·N_h/N高层：1000×(10/100)=100；中层：1000×(60/100)=600；低层：1000×(30/100)=300。奈曼分配：n_h=n·(N_hS_h)/Σ(N_hS_h)计算各层N_hS_h：高层10×√8000≈10×89.44=894.4；中层60×√2500=60×50=3000；低层30×√1000≈30×31.62=948.6总和=894.4+3000+948.6=4843高层：1000×(894.4/4843)≈184；中层：1000×(3000/4843)≈619；低层：1000×(948.6/4843)≈197（四舍五入）。3.前5个工号：18,18+50=68,68+50=118,118+50=168,168+50=218。系统抽样方差近似为简单随机抽样方差（无关标志排列时）：V(ӯ)=(1-n/N)·S²/n=(1-100/5000)×100/100=(0.98)×1=0.98。4.林区平均树高估计值=样本树高均值=12米。二阶抽样方差公式：V(ӯ)=(1-r/R)·S₁²/r+(1-m/M)·S₂²/(rm)其中，R=200（初级单元数），r=20（抽中初级单元数），M=50（每个初级单元次级单元数），m=10（每个初级单元抽中次级单元数），S₁²=4（林班间均值方差），S₂²=9（林班内方差）。代入得：V(ӯ)=(1-20/200)×4/20+(1-10/50)×9/(20×10)=(0.9×0.2)+(0.8×0.045)=0.18+0.036=0.216米²。5.设计效应Deff=整群抽样方差/简单随机抽样方差。整群抽样方差V_cluster=(1-r/R)·(σ_b²+(1-1/m)σ_w²)/(rm)其中，r=10（抽中群数），R=100（总群数），m=10（群大小），σ_b²=25（群间方差），σ_w²=16（群内方差）。V_cluster=(1-10/100)·(25+(1-1/10)×16)/(10×10)=0.9×(25+14.4)/100=0.9×39.4/100≈0.3546简单