2026年黑龙江省龙东地区中考数学真题及答案解析

第1页（共1页）2026年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．x5•x2＝x10 B．m2+m2＝2m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣2a）3＝﹣8a33．（3分）如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：kg）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（）A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，565．（3分）深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（）A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝84706．（3分）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＞﹣6 B．k＜﹣6 C．k＞﹣6且k≠﹣4 D．k＜﹣6且k≠﹣47．（3分）在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣169．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC上一点，且AC＝AD，E，F分别是CD，AB的中点，连接EF，若AC＝2，则EF的长为（）A． B． C．1 D．0.510．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分别交对角线AC于G，H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF为等边三角形；②过点G作GN⊥AD于点N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M为边AB上任意一点，连接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB交于点P，射线DE与边BC交于点Q，若CQ，AP＝2，则PQ．其中正确的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（3分）2026年5月19日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加．将数据12000用科学记数法表示为．12．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．14．（3分）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为．（标点不计）15．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝80°，则∠C＝．17．（3分）王芳用一个圆心角为120°，半径为4的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为．18．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，P，Q为BD上两个动点，且PQ＝2，则AP+AQ的最小值为．19．（3分）在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC边上找一点D，将纸片沿BD折叠，使点A落在A′处，当△A′BD的某一边与AC边垂直时，A′D＝．20．（3分）如图，B1是直线l：yx+2与y轴的交点，过点B1作A1B1⊥l交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为．三、解答题（本大题共8道题，满分60分）21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝4cos60°+1．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣2），C（2，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到的△A1B2C2，并写出C2的坐标；（3）求出（2）中线段A1C1所扫过的图形面积．（结果保留π）23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）作射线BD交y轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD的长为．24．（7分）为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动．该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间（单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）m＝，C组对应的频数，并补全直方图；（2）调查所得数据的中位数落在组（填组别）；（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数．25．（8分）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）A，C两地之间的距离为km，乙车的速度为km/h；（2）求线段EF的函数解析式；（3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km．26．（8分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作EF⊥BE，交AD边所在的直线于点F．（1）如图①，当点E在OC上时，求证：AB+AFAE；（2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明．27．（10分）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2台A型汽车和1台B型汽车总售价为21万元，销售3台A型汽车和2台B型汽车总售价为34万元．已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元．（1）求A型汽车和B型汽车每台售价分别为多少万元？（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50台，售出A型汽车的数量不超过30台，并且投入的总成本不低于295万元，求有哪几种销售方案？（3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的AO边与x轴重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OC）．（1）求点A和点C坐标；（2）在OB边上有一动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B匀速运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，求△APQ的面积S关于运动时间t的函数解析式；（3）在x轴上有一点R（1，0），在y轴上有一动点M，在第一象限内是否存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

2026年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：由中心对称图形的定义可知，D选项中的图形是中心对称图形，符合题意；A、B、C中的图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．x5•x2＝x10 B．m2+m2＝2m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣2a）3＝﹣8a3【解答】解：根据同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、积的乘方的运算法则逐项分析判断如下：对选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加x5•x2＝x5+2＝x7≠x10，选项错误，不符合题意；对选项B：根据合并同类项法则，合并同类项时，系数相加，字母与指数不变m2+m2＝2m2≠2m4，选项错误，不符合题意；对选项C：根据完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，选项错误，不符合题意；对选项D：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，再将结果相乘（﹣2a）3＝（﹣2）3•a3＝﹣8a3，选项正确，符合题意；故选：D．3．（3分）如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：这个组合体的左视图为：故选：A．4．（3分）在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：kg）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（）A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56【解答】解：∵数据（单位：kg）：47，49，56，52，56中，56出现了2次，次数最多，∴这组数据的众数为56；∴这组数据的平均数为．故选：B．5．（3分）深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（）A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝8470【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则：2025年平均每公顷产量为7000（1+x）•（1+x）＝7000（1+x）2kg，又∵2025年平均每公顷产量为8470kg，∴可列方程为7000（1+x）2＝8470．故选：B．6．（3分）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＞﹣6 B．k＜﹣6 C．k＞﹣6且k≠﹣4 D．k＜﹣6且k≠﹣4【解答】解：原方程可变形为，方程两边同乘（x﹣2）去分母得，4﹣k+2k＝x﹣2，整理得x＝k+6，由条件可知x＞0且x﹣2≠0，∴k+6＞0，k+6﹣2≠0，解得k＞﹣6且k≠﹣4．故选：C．7．（3分）在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【解答】解：设购买笔记本x个，钢笔y个，x，y均为正整数，由题意得20x+15y＝300，两边同除以5化简得4x+3y＝60，整理得，∵y是正整数，4与3互质，∴x必须是3的倍数，又∵y＞0，∴，解得x＜15，结合x＞0可得，x的取值为3，6，9，12，共4种不同取值，故有4种购买方案，故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【解答】解：设B（x，y），其中x＜0，y＞0，则xy＝k，由条件可知OB＝2OH，∵BD⊥x轴，AC⊥x轴，∴AC∥BD，由图可知点H在线段AC上，∴△OHC∽△OBD，相似比为，∴，由条件可知，∴，∵点A在双曲线上，AC⊥x轴，∴，∵S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC，∴，∴，∴|k|＝16，∵双曲线位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣16．故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC上一点，且AC＝AD，E，F分别是CD，AB的中点，连接EF，若AC＝2，则EF的长为（）A． B． C．1 D．0.5【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，连接AE，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，BC＝2AC＝4，由勾股定理得：，∵∠C＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，即∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，F是AB的中点，∴．故选：B．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分别交对角线AC于G，H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF为等边三角形；②过点G作GN⊥AD于点N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M为边AB上任意一点，连接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB交于点P，射线DE与边BC交于点Q，若CQ，AP＝2，则PQ．其中正确的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC+∠BCD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵DE垂直平分BC，∴DB＝CD，BE＝EC，∠DEC＝90°，∴DB＝CD＝BC，即△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，∠ABC＝120°，∠ADC＝120°，∴△ABD也是等边三角形，∠BAD＝60°，∵，∴∠EDF＝60°，∵DE⊥BC，△DBC为等边三角形，∴DE平分∠CDB，∠CDE＝∠BDE＝30°，∴∠FDB＝∠EDF﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠ADF＝∠ADB﹣∠FDB＝60°﹣30°＝30°，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，DA＝CD，∠ADF＝∠CDE＝30°，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴DF＝DE，∵∠EDF＝60°，∴△DEF为等边三角形，故①正确，符合题意；如图，过点G作GN⊥AD于点N，∵∠BAD＝60°，∠ADF＝30°，∴∠AFD＝90°，即GF⊥AB，∵AC平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB，∴GN＝GF，故②正确，符合题意；∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴，∵AB∥CD，∴△AFG∽△CDG，∴，∴，同理△CEH∽△ADH，，∴，∴，即，∵点E、F是BC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴，∴AC＝2EF，∴，故③正确，符合题意；如图，M为边AB上任意一点，连接MD和ME，过点M作MH⊥BC交CB延长线于点H，设菱形边长为a，则，∴S菱形ABCD＝BC•DE＝a•a，，∵S△BME：S△DEC＝4：5，∴，∴，解得，∵∠ABC＝120°，∴∠MBH＝60°，∴，∴，∴，∴，故④正确，符合题意；由旋转性质知∠PDQ＝60°，∵∠ADB＝60°，∴∠ADP＝∠BDQ，∵∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°，∴△DAP≌△DBQ（ASA），∴，∵，∴，∴，∴，如图，过点P作PM⊥CB交CB延长线于M，∵∠ABC＝120°，∴∠PBM＝60°，∴，PM＝PB•sin60°，∴MQ＝BM+BQ，在Rt△PMQ中，PQ，故⑤错误，不符合题意．综上所述，正确的是①②③④．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（3分）2026年5月19日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加．将数据12000用科学记数法表示为1.2×104．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．12．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据二次根式的性质得x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件OB＝OD（答案不唯一），使四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：添加条件：OB＝OD，∵在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．14．（3分）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为．（标点不计）【解答】解：∵“七八个星天外，两三点雨山前”，共有12个汉字，其中数词的个数为4，∴数词出现的概率为：．故答案为：．15．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【解答】解：，解不等式①得x＞a+1，解不等式②得x≤2，∵关于x的不等式组只有3个整数解，∴该不等式组的整数解为0，1，2，∴﹣1≤a+1＜0，∴﹣2≤a＜﹣1．故答案为：﹣2≤a＜﹣1．16．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝80°，则∠C＝50°．【解答】解：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，连接OA，OB，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OAPB是四边形，∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，∵∠C，∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，∴．故答案为：50°．17．（3分）王芳用一个圆心角为120°，半径为4的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为．【解答】解：设这个圆锥底面圆的半径为r，则，解得．故答案为：．18．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，P，Q为BD上两个动点，且PQ＝2，则AP+AQ的最小值为．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，AC⊥BD，OA＝OC，在Rt△AOB中，，∴AC＝2OA＝12，∵点A关于BD的对称点是点C，∴AP＝CP，∴AP+AQ＝CP+AQ，将点C沿BD方向平移2个单位长度得到点C′，连接C′Q，AC′，∴CC′∥PQ，CC′＝PQ＝2，∴四边形CC′QP是平行四边形，∴CP＝C′Q，∴AP+AQ＝C′Q+AQ，当A，Q，C′三点共线时，C′Q+AQ最小，最小值为线段AC′的长，∵CC′∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥CC′，∴∠ACC′＝90°在Rt△ACC′中，，∴AP+AQ的最小值为，故答案为：2．19．（3分）在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC边上找一点D，将纸片沿BD折叠，使点A落在A′处，当△A′BD的某一边与AC边垂直时，A′D＝或或．【解答】解：已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，所以AB＝1，∠A＝60°．由折叠性质可知：A′D＝AD，A′B＝AB＝1，∠BA′D＝∠A＝60°．过B作BE⊥AC于点E，可得，．当A′D⊥AC时：∠A′DA＝90°，由折叠性质得∠ADB＝∠A′DB＝45°，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝45°，所以，所以，即．当A′B⊥AC时：，在Rt△A′DE中，∠A′ED＝90°，∠DA′E＝60°，所以．当BD⊥AC时：∠BDA′＝90°，则D，E重合，所以综上，A′D的值为或或．故答案为：或或．20．（3分）如图，B1是直线l：yx+2与y轴的交点，过点B1作A1B1⊥l交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为．【解答】解：∵B1是直线yx+2与y轴的交点，∴B1（0，2），B0（﹣4，0），∴OB1＝2，OB0＝4，∴B1B02，∴，∵四边形A1B1B2C1是正方形，∴∠A1B1B2＝∠B1A1C1＝90°，B1B2＝A1B1＝C1A1，∴∠A1B1B0＝180°﹣∠A1B1B2＝90°，∴，如图，分别过点C1，C2，C3作x轴的垂线，垂足分别为E，F，H，∴∠B1OA1＝∠B1A1C1＝∠A1EC1＝90°，∴∠B0B1O+∠OB0B1＝∠B0B1O+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠C1A1E＝90°，∴∠OB0B1＝∠A1B1O＝∠C1A1E，∴C1E＝A1C1•sin∠C1A1E＝A1C1•sin∠OB0B1＝1，∴C1的纵坐标为1；∵四边形A2B2B3C2，A3B3B4C3都是正方形，∴∠A2B2B3＝∠A2B2B0＝∠A3B3B4＝∠A3B3B0＝90°，A2B2＝B2B3＝A2C2，A3B3＝B3B4＝A3C3，同理可得：∠C2A2F＝∠C3A3H＝∠OB0B1，∵，∴，∴，，∴C2的纵坐标为，，∴，∴C3的纵坐标为，…；∴按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为．故答案为：．三、解答题（本大题共8道题，满分60分）21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝4cos60°+1．【解答】解：原式，∵，∴原式．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣2），C（2，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到的△A1B2C2，并写出C2的坐标；（3）求出（2）中线段A1C1所扫过的图形面积．（结果保留π）【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；A1（1，2），根据图像得：A1（1，2）；（2）根据图像得：C2（0，3）；（3）根据网格得：，∵逆时针旋转90°，∴扫过的图形面积为：．23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）作射线BD交y轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD的长为或．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）由条件可得B（3，0），∴OB＝3，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∴当点D在点C上方时，如图所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝15°+45°＝60°，∴，∴；当点D在点C下方时，如图所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴，∴；综上可得：CD的长为或．故答案为：或．24．（7分）为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动．该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间（单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）m＝45，C组对应的频数25，并补全直方图；（2）调查所得数据的中位数落在B组（填组别）；（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数．【解答】解：（1）抽取的总人数为10÷10%＝100（人），∴m%＝45÷100×100%＝45%，则m＝45，∴C组对应的频数为：100﹣10﹣45﹣20＝25，故答案为：45，25；（2）∵共100个数据，∴中位数是第50、51个数据的平均数，由频数分布直方图可得A组10个数据，B组45个数据，那么第50、51个数据在B组，∴中位数落在B组；故答案为：B；（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数为：（人）．答：估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数为675人．25．（8分）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）A，C两地之间的距离为270km，乙车的速度为100km/h；（2）求线段EF的函数解析式；（3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km．【解答】解：（1）根据图象得A，C两地之间的距离为：180+90＝270km；根据图象得：当甲到达C地时，用时3小时，∴返回A地时总的时间为6小时，∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，∴乙车在路上行驶的总时间为：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小时，∵乙车从A地去B地，然后返回A地，∴总路程为：180×2＝360千米，∴乙车的速度为；故答案为：270；100；（2）由图象可知甲车的速度为：（180+90）÷3＝90km/h，∴90÷90＝1h，180÷90＝2h，∴E（4，0），F（6，180），设线段EF的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得：，∴y＝90x﹣360（4≤x≤6）；（3）设甲车行驶t小时，甲乙两车相距10km，∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，∴甲车提前行驶了90×0.1＝9km＜10km，∵100km/h＞90km/h，∴在从A到B的过程中，两车之间的距离一直减小，不可能相距10km，∴甲车行驶到B地需要的时间为：180÷90＝2h，乙车行驶到B地需要的时间为：180÷100＝1.8h，∴当乙车停留，甲车到达B地后继续行驶10km，即为两车之间距离为10km，此时的时间为：；当甲车到达B地之前时，与乙车之间的距离为10km时，由（2）得乙车2小时后的时间为：0.1+1.8+2＝3.9小时，甲车行驶的路程为：180+90+（90﹣10）＝350km，∴行驶的时间为：，符合题意；当从B地返回A地的过程中，两车之间距离为10km，100（t﹣0.1﹣1.8﹣2）＝90（t﹣2﹣1﹣1）+10，解得：t＝4h（符合题意），综上可得：甲车行驶或或4h时，甲乙两车相距10km．26．（8分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作EF⊥BE，交AD边所在的直线于点F．（1）如图①，当点E在OC上时，求证：AB+AFAE；（2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EG⊥AC交AB的延长线于点G，∴∠AEG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠G＝90°﹣∠BAC＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，∴AE＝EG，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠AEB＝∠FEB＝90°，∵∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠FEA＝∠BEG，又∵∠FAE＝∠G＝45°，AE＝EG，∠FEA＝∠BEG，∴△AEF≌△GEB（ASA），∴AF＝BG，∴AG＝AB+BG＝AB+AF，∵，∴；（2）解：图②：；图③：．理由如下：如图②，过点E作EH⊥AC交AB于点H，∴∠AEH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，∴△AHE是等腰直角三角形，∴AE＝EH，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°，∵∠FEH+∠HEB＝90°，∴∠FEA＝∠HEB，又∵∠DAC＝∠AHE＝45°，∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°，∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB，∴△AEF≌△HEB（ASA），∴AF＝BH，∵AB＝AH+BH，∴；如图③，过点E作EK⊥AE交AF于点K，∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°，∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°，∴△AKE是等腰直角三角形，∴AE＝EK，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°，∵∠KEB+∠BEA＝90°，∴∠FEK＝∠BEA，又∵∠AKE＝∠BAC＝45°，∴∠FKE＝∠BAE＝135°，∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE，∴△KEF≌△AEB（ASA），∴FK＝AB，∵AF＝AK+FK，∴．27．（10分）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2台A型汽车和1台B型汽车总售价为21万元，销售3台A型汽车和2台B型汽车总售价为34万元．已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元．（1）求A型汽车和B型汽车每台售价分别为多少万元？（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50台，售出A型汽车的数量不超过30台，并且投入的总成本不低于295万元，求有哪几种销售方案？（3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）设A型汽车每台售价为x万元，B型汽车每台售价为y万元，根据题意列二元一次方程组得，，解得，答：A型汽车每台售价8万元，B型汽车每台售价5万元；（2）设售出A型汽车a台，a为整数，根据题意列一元一次不等式组得，，解不等式7a+225﹣4.5a≥295，得2.5a≥70，即a≥28，因此28≤a≤30，∵a为整数，可得a的取值为28，29，30，当a＝28时，50﹣a＝50﹣28＝22；当a＝29时，50﹣a＝50﹣29＝21；当a＝30时，50﹣a＝50﹣30＝20，答：共有3种销售方案，方案1：售出A型汽车28台，B型汽车22台；方案2：售出A型汽车29台，B型汽车21台；方案3：售出A型汽车30台，B型汽车20台；（3）设总利润为W万元，每台A型汽车利润为8﹣7＝1（万元），每台B型汽车利润为5﹣4.5＝0.