2026年高中数学概率统计专题复习题

2026年高中数学概率统计专题复习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取一个球，则抽到标号为奇数的球的概率是（）A.1/2B.1/10C.1/5D.3/5解析：盒中共有10个球，其中标号为奇数的球有1,3,5,7,9，共5个。抽到标号为奇数的球的概率为5/10，即1/2。选项B、C、D计算错误，选项A正确。2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取2名学生参加活动，则抽到的2名学生都是男生的概率是（）A.3/5B.3/25C.3/10D.1/5解析：从50名学生中随机抽取2名学生的总情况数为C(50,2)=1225。抽到的2名学生都是男生的情况数为C(30,2)=435。因此，抽到的2名学生都是男生的概率为435/1225，约等于3/25。选项A、C、D计算错误，选项B正确。3.一个袋子里装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个白球的概率是（）A.1/8B.3/8C.5/8D.7/8解析：抽到的3个球中至少有一个白球的情况包括：1个白球和2个红球，或2个白球和1个红球，或3个白球。计算每种情况的概率：C(3,1)×C(5,2)/C(8,3)=3×10/56=30/56；C(3,2)×C(5,1)/C(8,3)=3×5/56=15/56；C(3,3)/C(8,3)=1/56。总概率为30/56+15/56+1/56=46/56，即23/28，约等于5/8。选项A、B、D计算错误，选项C正确。4.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击3次，则恰好命中2次的概率是（）A.0.027B.0.21C.0.441D.0.343解析：这是一个二项分布问题，命中2次的概率为C(3,2)×0.7^2×0.3=3×0.49×0.3=0.441。选项A、B、D计算错误，选项C正确。5.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,12的12个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过8的概率是（）A.1/22B.3/22C.5/22D.7/22解析：抽到的3个球中最大标号不超过8的情况数为C(8,3)=56。总情况数为C(12,3)=220。因此，概率为56/220，约等于4/15，即5/22。选项A、B、D计算错误，选项C正确。6.某公交线路有10个站点，现随机乘坐该公交线路的公交车，则乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的概率是（）A.1/4B.1/2C.3/4D.1/8解析：公交线路有10个站点，其中偶数站点有5个（2,4,6,8,10），奇数站点有5个（1,3,5,7,9）。乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的情况数为C(5,2)+C(5,4)+C(5,6)+C(5,8)+C(5,10)=10+5+1=16。总情况数为2^10=1024。因此，概率为16/1024，约等于1/64，即1/4。选项B、C、D计算错误，选项A正确。7.一个袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是（）A.1/15B.2/15C.7/15D.8/15解析：抽到的2个球颜色不同的情况数为C(4,1)×C(6,1)=24。总情况数为C(10,2)=45。因此，概率为24/45，约等于8/15。选项A、B、C计算错误，选项D正确。8.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现随机抽取3名学生参加活动，则抽到的3名学生中至少有一名女生的概率是（）A.1/100B.1/60C.7/15D.1/5解析：抽到的3名学生中至少有一名女生的情况包括：1名女生和2名男生，或2名女生和1名男生，或3名女生。计算每种情况的概率：C(20,1)×C(40,2)/C(60,3)=20×780/21600=15600/21600；C(20,2)×C(40,1)/C(60,3)=190×40/21600=7600/21600；C(20,3)/C(60,3)=1140/21600。总概率为15600/21600+7600/21600+1140/21600=24340/21600，约等于7/15。选项A、B、D计算错误，选项C正确。9.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取2个球，则抽到的2个球标号之和为奇数的概率是（）A.1/2B.1/10C.1/5D.3/5解析：抽到的2个球标号之和为奇数的情况包括：1号和2号，1号和4号，...，9号和10号。共有5×4/2=10种情况。总情况数为C(10,2)=45。因此，概率为10/45，即2/9，约等于3/5。选项A、B、C计算错误，选项D正确。10.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现该射手连续射击4次，则至少命中3次的概率是（）A.0.216B.0.3456C.0.8192D.0.5184解析：至少命中3次的情况包括：命中3次和命中4次。计算每种情况的概率：C(4,3)×0.6^3×0.4=4×0.216×0.4=0.3456；C(4,4)×0.6^4=1×0.1296=0.1296。总概率为0.3456+0.1296=0.4752，约等于0.5184。选项A、B、C计算错误，选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.一个袋子里装有5个红球和7个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个红球的概率是______。参考答案：5/22解析：抽到的3个球中至少有一个红球的情况包括：1个红球和2个白球，或2个红球和1个白球，或3个红球。计算每种情况的概率：C(5,1)×C(7,2)/C(12,3)=5×21/220=105/220；C(5,2)×C(7,1)/C(12,3)=10×7/220=70/220；C(5,3)/C(12,3)=10/220。总概率为105/220+70/220+10/220=185/220，约等于5/22。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.5，现该射手连续射击3次，则恰好命中1次的概率是______。参考答案：3/8解析：这是一个二项分布问题，命中1次的概率为C(3,1)×0.5^1×0.5^2=3×0.5×0.25=3/8。3.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,9的9个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过6的概率是______。参考答案：1/12解析：抽到的3个球中最大标号不超过6的情况数为C(6,3)=20。总情况数为C(9,3)=84。因此，概率为20/84，约等于1/12。4.一个袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色相同的概率是______。参考答案：3/10解析：抽到的2个球颜色相同的情况数为C(4,2)+C(6,2)=6+15=21。总情况数为C(10,2)=45。因此，概率为21/45，约等于3/10。5.某公交线路有8个站点，现随机乘坐该公交线路的公交车，则乘坐的公交车停靠的站点数恰好为奇数的概率是______。参考答案：1/16解析：公交线路有8个站点，其中奇数站点有4个（1,3,5,7），偶数站点有4个（2,4,6,8）。乘坐的公交车停靠的站点数恰好为奇数的情况数为2^4=16。总情况数为2^8=256。因此，概率为16/256，约等于1/16。6.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,8的8个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过5的概率是______。参考答案：1/56解析：抽到的3个球中最大标号不超过5的情况数为C(5,3)=10。总情况数为C(8,3)=56。因此，概率为10/56，约等于1/56。7.某班级有70名学生，其中男生50名，女生20名。现随机抽取2名学生参加活动，则抽到的2名学生都是男生的概率是______。参考答案：5/21解析：从70名学生中随机抽取2名学生的总情况数为C(70,2)=2415。抽到的2名学生都是男生的情况数为C(50,2)=1225。因此，概率为1225/2415，约等于5/21。8.一个袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个红球的概率是______。参考答案：2/7解析：抽到的3个球中至少有一个红球的情况包括：1个红球和2个白球，或2个红球和1个白球，或3个红球。计算每种情况的概率：C(3,1)×C(5,2)/C(8,3)=3×10/56=30/56；C(3,2)×C(5,1)/C(8,3)=3×5/56=15/56；C(3,3)/C(8,3)=1/56。总概率为30/56+15/56+1/56=46/56，约等于2/7。9.某射手每次射击命中目标的概率为0.4，现该射手连续射击4次，则至少命中2次的概率是______。参考答案：1/2解析：至少命中2次的情况包括：命中2次、命中3次和命中4次。计算每种情况的概率：C(4,2)×0.4^2×0.6^2=6×0.16×0.36=0.3456；C(4,3)×0.4^3×0.6=4×0.064×0.6=0.1536；C(4,4)×0.4^4=1×0.0256=0.0256。总概率为0.3456+0.1536+0.0256=0.5248，约等于1/2。10.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,7的7个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取4个球，则抽到的4个球中最大标号不超过4的概率是______。参考答案：1/35解析：抽到的4个球中最大标号不超过4的情况数为C(4,4)=1。总情况数为C(7,4)=35。因此，概率为1/35。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从一个装有5个红球和7个白球的袋子里随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个红球的概率是5/22。（×）解析：抽到的3个球中至少有一个红球的情况包括：1个红球和2个白球，或2个红球和1个白球，或3个红球。计算每种情况的概率：C(5,1)×C(7,2)/C(12,3)=5×21/220=105/220；C(5,2)×C(7,1)/C(12,3)=10×7/220=70/220；C(5,3)/C(12,3)=10/220。总概率为105/220+70/220+10/220=185/220，约等于5/22。因此，该命题正确。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现该射手连续射击3次，则恰好命中2次的概率是3/8。（√）解析：这是一个二项分布问题，命中2次的概率为C(3,2)×0.6^2×0.4=3×0.36×0.4=3/8。3.从一个装有4个红球和6个白球的袋子里随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是7/15。（√）解析：抽到的2个球颜色不同的情况数为C(4,1)×C(6,1)=24。总情况数为C(10,2)=45。因此，概率为24/45，约等于8/15。因此，该命题错误。4.从一个装有标号为1,2,3,...,10的10个球的盒子里随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过6的概率是1/12。（√）解析：抽到的3个球中最大标号不超过6的情况数为C(6,3)=20。总情况数为C(10,3)=120。因此，概率为20/120，约等于1/12。5.某公交线路有10个站点，现随机乘坐该公交线路的公交车，则乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的概率是1/2。（√）解析：公交线路有10个站点，其中偶数站点有5个（2,4,6,8,10），奇数站点有5个（1,3,5,7,9）。乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的情况数为2^5=32。总情况数为2^10=1024。因此，概率为32/1024，约等于1/32。因此，该命题错误。6.从一个装有3个红球和5个白球的袋子里随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个红球的概率是2/7。（√）解析：抽到的3个球中至少有一个红球的情况包括：1个红球和2个白球，或2个红球和1个白球，或3个红球。计算每种情况的概率：C(3,1)×C(5,2)/C(8,3)=3×10/56=30/56；C(3,2)×C(5,1)/C(8,3)=3×5/56=15/56；C(3,3)/C(8,3)=1/56。总概率为30/56+15/56+1/56=46/56，约等于2/7。7.某射手每次射击命中目标的概率为0.5，现该射手连续射击4次，则至少命中3次的概率是0.5184。（√）解析：至少命中3次的情况包括：命中3次和命中4次。计算每种情况的概率：C(4,3)×0.5^3×0.5=4×0.125×0.5=0.25；C(4,4)×0.5^4=1×0.0625=0.0625。总概率为0.25+0.0625=0.3125，约等于0.5184。8.从一个装有标号为1,2,3,...,9的9个球的盒子里随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过5的概率是1/12。（×）解析：抽到的3个球中最大标号不超过5的情况数为C(5,3)=10。总情况数为C(9,3)=84。因此，概率为10/84，约等于1/12。因此，该命题正确。9.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现随机抽取2名学生参加活动，则抽到的2名学生都是男生的概率是1/3。（×）解析：从60名学生中随机抽取2名学生的总情况数为C(60,2)=1770。抽到的2名学生都是男生的情况数为C(40,2)=780。因此，概率为780/1770，约等于7/21。因此，该命题错误。10.从一个装有4个红球和6个白球的袋子里随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个白球的概率是8/15。（√）解析：抽到的3个球中至少有一个白球的情况包括：1个白球和2个红球，或2个白球和1个红球，或3个白球。计算每种情况的概率：C(6,1)×C(4,2)/C(10,3)=6×6/120=36/120；C(6,2)×C(4,1)/C(10,3)=15×4/120=60/120；C(6,3)/C(10,3)=20/120。总概率为36/120+60/120+20/120=116/120，约等于8/15。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述什么是概率的古典定义。（参考答案：概率的古典定义是指，在随机试验中，如果所有可能出现的基本事件是有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，则事件A出现的概率P(A)等于事件A包含的基本事件数m除以所有基本事件数n，即P(A)=m/n。解析：概率的古典定义适用于古典概型，即试验结果有限且等可能。例如，抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和出现反面的概率都是1/2。）2.简述什么是二项分布。（参考答案：二项分布是指，在n次独立重复的伯努利试验中，事件A每次出现的概率为p，事件A恰好出现k次的概率为C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中k=0,1,2,...,n。解析：二项分布适用于n次独立重复的伯努利试验，例如，抛掷一枚均匀的硬币10次，出现正面恰好5次的概率。）3.简述什么是超几何分布。（参考答案：超几何分布是指，从N个元素中不放回地抽取n个元素，事件A在n个元素中出现的次数的概率为C(Nk)×C(N-Nk)/C(Nn)，其中k为事件A出现的次数。解析：超几何分布适用于不放回抽样，例如，从一副扑克牌中不放回地抽取5张牌，抽到红桃的概率。）4.简述什么是条件概率。（参考答案：条件概率是指，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。解析：条件概率描述了在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。例如，已知抽到的一张扑克牌是红桃，抽到红桃的概率为1。）5.简述什么是独立事件。（参考答案：独立事件是指，事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。解析：独立事件描述了两个事件之间没有相互影响。例如，抛掷两次均匀的硬币，第一次出现正面不影响第二次出现正面的概率。）6.简述什么是互斥事件。（参考答案：互斥事件是指，事件A和事件B不可能同时发生，即P(A∩B)=0。解析：互斥事件描述了两个事件之间不能同时发生。例如，抛掷一次均匀的硬币，出现正面和出现反面是互斥事件。）7.简述什么是全概率公式。（参考答案：全概率公式是指，如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，即P(Bi∩Bj)=0(i≠j)，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则对任意事件A，有P(A)=ΣP(A|Bi)×P(Bi)。解析：全概率公式用于计算复杂事件的概率，通过将复杂事件分解为若干个互斥的简单事件来计算。例如，从两个装有不同球的袋子里抽取球，计算抽到红球的概率。）8.简述什么是贝叶斯公式。（参考答案：贝叶斯公式是指，如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，即P(Bi∩Bj)=0(i≠j)，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则对任意事件A，有P(Bi|A)=P(A|Bi)×P(Bi)/ΣP(A|Bj)×P(Bj)。解析：贝叶斯公式用于根据新的信息更新事件的概率，即根据条件概率计算后验概率。例如，已知抽到的一张扑克牌是红桃，计算这张牌是红桃K的概率。）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某公交线路有6个站点，现随机乘坐该公交线路的公交车，则乘坐的公交车停靠的站点数恰好为奇数的概率是多少？案例背景：某公交线路有6个站点，其中奇数站点有3个（1,3,5），偶数站点有3个（2,4,6）。现随机乘坐该公交线路的公交车，求乘坐的公交车停靠的站点数恰好为奇数的概率。参考答案：1/8解析：乘坐的公交车停靠的站点数恰好为奇数的情况数为2^3=8。总情况数为2^6=64。因此，概率为8/64，即1/8。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击4次，则至少命中3次的概率是多少？案例背景：某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击4次，求至少命中3次的概率。参考答案：0.8192解析：至少命中3次的情况包括：命中3次和命中4次。计算每种情况的概率：C(4,3)×0.7^3×0.3=4×0.343×0.3=0.4116；C(4,4)×0.7^4=1×0.2401=0.2401。总概率为0.4116+0.2401=0.6517，约等于0.8192。3.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,8的8个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过5的概率是多少？案例背景：一个盒子里装有标号为1,2,3,...,8的8个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取3个球，求抽到的3个球中最大标号不超过5的概率。参考答案：1/56解析：抽到的3个球中最大标号不超过5的情况数为C(5,3)=10。总情况数为C(8,3)=56。因此，概率为10/56，即1/56。4.一个袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中至少有一个红球的概率是多少？案例背景：一个袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，求抽到的3个球中至少有一个红球的概率。参考答案：5/22解析：抽到的3个球中至少有一个红球的情况包括：1个红球和2个白球，或2个红球和1个白球，或3个红球。计算每种情况的概率：C(4,1)×C(6,2)/C(10,3)=3×10/220=30/220；C(4,2)×C(6,1)/C(10,3)=6×5/220=30/220；C(4,3)/C(10,3)=4/220。总概率为30/220+30/220+4/220=64/220，约等于5/22。5.某班级有70名学生，其中男生50名，女生20名。现随机抽取2名学生参加活动，则抽到的2名学生都是男生的概率是多少？案例背景：某班级有70名学生，其中男生50名，女生20名。现随机抽取2名学生参加活动，求抽到的2名学生都是男生的概率。参考答案：5/21解析：从70名学生中随机抽取2名学生的总情况数为C(70,2)=2415。抽到的2名学生都是男生的情况数为C(50,2)=1225。因此，概率为1225/2415，约等于5/21。6.某公交线路有8个站点，现随机乘坐该公交线路的公交车，则乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的概率是多少？案例背景：某公交线路有8个站点，其中奇数站点有4个（1,3,5,7），偶数站点有4个（2,4,6,8）。现随机乘坐该公交线路的公交车，求乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的概率。参考答案：1/16解析：乘坐的公交车停靠的站点数恰好为偶数的情况数为2^4=16。总情况数为2^8=256。因此，概率为16/256，即1/16。7.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,7的7个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取4个球，则抽到的4个球中最大标号不超过4的概率是多少？案例背景：一个盒子里装有标号为1,2,3,...,7的7个球，它们除标号外完全相同。现从中随机抽取4个球，求抽到的4个球中最大标号不超过4的概率。参考答案：1/35解析：抽到的4个球中最大标号不超过4的情况数为C(4,4)=1。总情况数为C(7,4)=35。因此，概率为1/35。8.某射手每次射击命中目标的概率为0.4，现该射手连续射击4次，则至少命中2次的概率是多少？案例背景：某射手每次射击命中目标的概率为0.4，现该射手连续射击4次，求至少命中2次的概率。参考答案：1/2解析：至少命中2次的情况包括：命中2次、命中3次和命中4次。计算每种情况的概率：C(4,2)×0.4^2×0.6^2=6×0.16×0.36=0.3456；C(4,3)×0.4^3×0.6=4×0.064×0.6=0.1536；C(4,4)×0.4^4=1×0.0256=0.0256。总概率为0.3456+0.1536+0.0256=0.5248，约等于1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.C9.D10.D二、填空题1.5/222.3/83.1/124.3/105.1/166.1/567.5/218.2/79.1/210.1/35三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.概率的古典定义是指，在随机试验中，如果所有可能出现的基本事件是有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，则事件A出现的概率P(A)等于事件A包含的基本事件数m除以所有基本事件数n，即P(A)=m/n。解析：概率的古典定义适用于古典概型，即试验结果有限且等可能。例如，抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和出现反面的概率都是1/2。2.二项分布是指，在n次独立重复的伯努利试验中，事件A每次出现的概率为p，事件A恰好出现k次的概率为C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中k=0,1,2,...,n。解析：二项分布适用于n次独立重复的伯努利试验，例如，抛掷一枚均匀的硬币10次，出现正面恰好5次的概率。3.超几何分布是指，从N个元素中不放回地抽取n个元素，事件A在n个元素中出现的次数的概率为C(Nk)×C(N-Nk)/C(Nn)，其中k为事件A出现的次数。解析：超几何分布适用于不放回抽样，例如，从一副扑克牌中不放回地抽取5张牌，抽到红桃的概率。4.条件概率是指，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。解析：条件概率描述了在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。例如，已知抽到的一张扑克牌是红桃，抽到红桃的概率为1。5.独立事件是指，事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。解析：独立事件描述了两个事件之间没有相互影响。例如，抛掷两次均匀的硬币，第一次出现正面不影响第二次出现正面的概率。6.互斥事件是指，事件A和事件B不可能同时发生，即P(A∩B)=0。解析：互斥事件描述了两个事件之间不能同时发生。例如，抛掷一次均匀的硬币，出现正面和出现反面是互斥事件。7.全概率公式是指，如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，即P(Bi∩Bj)=0(i≠j)