2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《等腰三角形》同步练习

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》

自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45。〃时，应假设直角三角形

中（）

A.两锐角都大于45。B.有一个锐角小于45。

C.有一个锐角大于45，D.两锐角都小于45。

2.己知等腰三角形的一个角为40。，则其顶角的度数为（）

A.40°B.100°C.40。或100°D.70°

3.如图，在△ABC中，若AB=4C,BD,CE分别平分乙4BC和zACB,BD与CE交于点O,

则下列结论不一定正确的是（）

A.Z.ABD=Z.ACEB.BD=CEC.OC=DCD.AE=AD

4.如图，在△48C中，。，£分别是6。边上两点，连接力E,AD.若AB=BD,AC=CE,

LEAD=40°,/-ACB=50°,则的度数为（）

5.如图，上午8时一艘轮船从4地以25海里/时的速度向南偏西40。的方向行驶，上午10

时到达6地，再由6地向北偏西20。的方向行驶50海里到达。地,则A,C两地相距（）

A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里

6.直线y=x+l与x轴，y轴分别交于A,8两点，点C在x轴上，若△4BC为等腰三角形,

则满足条件的点。共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.如图，在△ABC中，AB=BC,LA=30°,E是边AC上一点，连接8E并延长至点D,

连接DC,若4BCD=120。，AB=2DC,AE=5,贝iJCE的长为()

A.2B.|C-1D.1

8.如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边;1C

在x轴上.将直线Ly=x-3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设平移过程中

该直线被△ABC的边截得的线段长度为平移时间为f,〃?与1的函数图象如图2所示.下

列说法正确的是（）

A.点A的坐标为（2,0）B.△4BC的面积为16

C.边所在直线的表达式为y=—x+lD.。点坐标为（6,4）

二、填空题（满分24分）

9.如图所示，在中，8。平分NABC,CO平分N4CB,MN过点。，若力8=14,

AC=16,则44MN的周长=.

10.如图，△ABC中，”牯高4D、BE的交点，且BH=4C,则2/1BC=

A

11.如图，在△ABC中，LC=60°,点。在△ABC内，且AD、BO分别平分NB4C与乙八8C,

延长力。交BC于点E,若4D=8C,则.

12.如图，在△A8C中，AB=AC,CD148于点。，BE1AC于点E.若BC=13,BE=12,

则8。的长为.

13.如图，在Rt△力BC中，乙4c8=90°,AB=10,AC=8,点、E、尸分别在AB、BC上，

把A8EF沿E尸折叠，点8恰好落在4c边上的点。处.若△%/)£是以。E为腰的等腰三角形,

则BE的长为.

14.如图，等腰△力BC中，AB=AC=12,△48。是等边三角形，点尸是484c的角平分线

上一个动点，连接PC、PD,则PC+PD的最小值为.

15.如图，乙408是一钢奥，LAOB=13%为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管

EF,FG,GH,…，添加的保管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为

根.

A

G

16.已知：如图，BD为〉ABC的角平分线，且8D=BC,E为8。延长线上的一点，BE=BA,

过E作EF1力B,广为垂足，下列结论：①AABDWAEBC；（2）^BCE+Z.BCD=180°；

③AD=EF=EC；@AE=EC,其中正确的是（填序号）

三、解答题（满分72分）

17.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,。是BC边的中点，连接AD,BE平分ZABC交AC于

点E.

（1）若4c=40。，求乙BAD的度数;

⑵过点E作EFIIBC交力8于点R求证：是等腰三角形.

18.（8分）如图，在△ABC中，Z.ABC=60°,ZC=70°,484c和4ABC的角平分线AE、BF

交于点。，AD1BC,垂足为点Q,且与BF交于点G.

⑴求4C/W和上8。£的度数；

⑵求证：AG=BG.

19.（8分）如图，在Rt/iABC中，Z-BAC=90°,zC=30\AF平分4点E在线段B4的

延长线上运动，过点E作IMF,交AC于点、N,交8c于点。，且BO=CD.

⑴求证：a/lEN是等腰三角形：

（2）求证：CN-AE=^BC.

20.（8分）按要求完成下列各题:

⑴如图1,△ABC中，BD=CD,Z1=Z2,求证：AB=AC.

⑵如图2,BD=CD,乙1=42,此时=AC成立吗？请说明你的理由.

21.（8分）如图，4Mo力=90。，△OAB是等边三角形，点P在射线OM上，连接力P,以AP为

边作等边三角形4PC，边AC与边8。相交于点0,连接8c.

⑴求证：AB1BC.

⑵连接0C,当AOBC是等腰三角形时，求4。。。的度数.

22.（10分）如图△A8D,△力CE都是等边三角形，BE,CD交于点、F,连接力F.

⑴求证：BE=CD；

⑵求48FC的度数;

(3)求证：AF+BF=FD.

23.（10分）如图，在448c中，点D为边力。上一点，连接BD,延长8。至点E,使得BE=AC,

连接CE.

图2

£4=80°,乙EBC=44°,求々EC。的度数;

（2）如图2,4ECB的角平分浅CF交BE于点、F,若BD=CD,^A=24DBC,求证：BC=48+£工

24.（12分）如图1,△力BC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC所在直线上的动点（端

点8、C除外），点P从顶点A、点Q从顶点8同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP

交于点M.

A

B

图1

⑴试说明：△4BQ的理由;

（2）当点P、Q分别在线段4B、8c上运动时，44MC的度数是否发生改变？若改变，请说明理

由；若不改变，求出它的发数;

⑶如图2,当点P、Q分别运动到B、C后，继续在射线48、8c上运动，直线AQ、CP交点、为

M,则44WC.的度数是否发生改变？若改变，请说明埋由；若不变，则求由它的度数.

参考答案

1.解：由题意得

需假设两锐角都大于45。.

2.C

【分析】分两种情况讨论计算.

【详解】解：分两种情况讨论：

情况1：若40。的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为40。；

情况2：若40。的角为底角，

团顶角=180°-2x40°=100°.

综上，该等腰三角形顶角的度数为40。或100。.

3.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、三角

形的外角性质，掌握等腰三角形的性质和角度大小比较是解题的关键.

先由48=AC得上力8c=LACB,角平分线分得，4BZ)=LACE,可判断选项A；再证△ABD三

△ACE得BD=CE,AE=AD,可判断选项B、D：最后比较上OCC与乙OCD的大小判断OC与

。。的关系.进而可得答案.

【详解】解：048=4C,

团Z-ABC=Z-ACB,

(3BO,CE分别平分448c和,

^ABD=*BC,Z.ACE="ACB,

22

^AABD=AACE；故选项A正确，不符合题意；

在△ABD和中，

Z.A=乙/1,

AB=AC,

{4ABD=/.ACE,

^ABD三△4CE(AAS),

0BD=CE,AE=AD,故选项B、选项D正确，不符合题意；

0乙OCD=乙BCE=1乙AC8,乙ODC=+乙ABD=£A+-^ABC,/.ABC=Z.ACB,

22

0Z.ODC=乙A匕ACB；

团乙4>0,

0LODC>“CD,

团0cHDC,故选项C错误，符合题意：

故选：C.

4.B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，

先根据“等边对等角"得乙4EC=65。，再根据三角形内角和定理求出N4DE=75。，然后根据

等腰三角形的性质得出4=4BAD=75。，最后根据三角形的内角和定理得出答案；

【详解】解：fB£ACB=50。,4c=CE,

1800-S0>

^Z-AEC=Z,CAE==65°.

2

在△力DE中，^EAD=400,Z.AED=65°,

^ADE=180°-65°-40°=75°.

团力8=BD,

团4408=Z.BAD=75°,

团48=180°-Z,ADB-Z-BAD=30°.

故选：B.

5.C

【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形

的判定与性质是解题的关诞.

根据题意可得乙4BC=400+20°=60°,AB=BC=50海里，从而可得△4BC是等边三角形,

然后利用等边三角形的性质即可解答.

【详解】解:连接4C,

B

由题意得：4ABe=40。+20。=60。，AB=2x25=5。海里，BC=50海里,

即A8=BC,

•••△A8C是等边二角形，

.•./IC=48=50海里，

A,C两地相距50海里.

故选：C.

6.C

【分析】根据等腰三角形的三边关系，分三种情况讨论点。的位置，注意排除重合的点.

【详解】解：团宜线y二工+1与x轴交于A,与)，轴交于

令y=0,解得x=-1,

071(-1,0)；

令x=0,解得y=1,

团8(0,1)；

由勾股定理得48=V(-l-0)2+(0-l)2=V2：

设C(x,0),分三种情况讨论：

当AB=4C时，

|x+1|=V2,解得％=—1+或或％=—1—V2,

即C1(-1+短0),C2(-1-V2,o),共2个点；

当AB=BC时，

,工2+(0-1)2=企，即/+1=2,解得％=1或x=-1,

国”=—1时，。与4重合，无法构成三角形，舍去，

田。3(1,0),共1个点；

当4c=

|x+1|=Vx2+1,两边平方得(％+I)2=%2+1,

展开得/+2X+1=X2+1,解得％=0,

配式。,。),共1个点；

综上，满足条件的点。共有2+1+1=4个.

【点睛】重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用.

7.B

【分析】作BM1AC,垂足为M,根据等腰三角形的性质可得N4=^ACB=30。,AM=CM,

根据含30度角的直角三角形的性质得出8M=(/W,那么可证BM=C＞再利用AAS证明

△MEB三△CEO,得出ME=CE,设CE=%,根据AM=CM列出方程，求解即可.

【详解】解：作BM14C,垂足为M,则4BMC=90。，如图所示:

:.Z4=Z.ACB=30°,AM=CM,4ABC=120°,

BM=-AB,

2

-AB=2CD,

•••BM=CD,

v乙BCD=120°,

:.Z.DCE=乙DCB-Z.ACB=120°-30°=90°,

:.乙BMC=乙DCE=90°,

在AMEB和ZkCED中，

(Z-BME=Z-DCE

△BEM=乙DEC,

(BM=DC

MEBCED(AAS),

:.ME=CE,

设CE=x,则ME=x,4M=4E-ME=5—x.

vAM=CM,

•••5-x=2x»

5

:.X=",

3

团线段CE长为今

J

8.C

【分析】由函数图象可知，当£=2时，直线/经过点A,得4M=2,可得4(1,0),可判断A；

由函数图象可知：当t=6时，直线/经过点C,OC=CM-OM=3,AC=4,得△A8C的

面枳：［力C•8C=^x4x4=8,可判断B；由B(-3,4),可得直线A5的解析式为y=-x+1,

可判断C；MLAB,得当/经过点。时，FtMC=8C,得m==2企，得。(6,2或),

可判断D.

【详解】解：A、令直线2:y=%-3=0,

解得：x=3,

0点M的坐标为(3,0),

WM=3,

由函数图象可知：当t=2时，直线/经过点A,

04M=2,

团。力=OM-AM=1

点A的坐标为(1,0),

团A错误；

B、由函数图象可知：当t=6时，直线/经过点C,

团CM=6,

^OC=CM-OM=3,

B点。的坐标为(-3,0),

04C=4,

0A4BC的面积：4c•8C=[x4x4=8,

0B不正确；

C、团BC=AC=4f

05(-3,4),

设直线力8的解析式为y=kx+b,

则⑶■:消4,

解得隆；，

0y=-x+1,

回C正确；

D、^AC=BC=4,/LACB=90°,

^BAC=45°,直线/和戈轴正方向的夹角为45。，

0/1AB,

胤4c=BC,

团当/经过点C时，m=；AB=2企，

团0（6,2或），

0D不正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数与几何综合.熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平

移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题

的关键.

9.30

【分析】由8。平分乙48c得到乙48。=2OBC,由平行线的性质得到4MOB=ZOBC,从而

nJn^ABO=£MOB,故MB=MO.同理nJ得，NC=N0.由此，aAMN的周长nJ转化为

43+4C即可求解.

【详解】解：团8。平分乙48C,

团乙ABO=Z.OBC.

团MN||BC,

固乙MOB=mBC,

^LABO=乙MOB,

（3M8=MO.

同理可得，NC=NO,

团。AAMN=AM+MN+AN

=AMMO+NO+AN

=AM+MB+AN+NC

=AB+AC

=14+16

=30.

【点睛】利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法.

10.45。/45度

【分析】根据三角形高的定义，利用"AAS"先证得△/7B。三△&4O,根据全等三角形的对应

边相等、等边对等角和三角形的内角和定理即可求得N4BC的度数.

【详解】解：团4。、BE是△A8C的高，

^ADC=乙BDH=Z-BEC=90°,

团4C+Z,CAD=90°,Z,C+Z,HBD=90°,

团乙=乙HBD,

在△H80和△C4。中，

(AHBD=ACAD

l^BDH=乙ADC，

(BH=AC

0AHBD三△C4D(AAS),

回8。=AD,

^/.ADB=90°,

^Z.ABC=乙BAD=45°.

11.1007100®

【分析】延长力C,截取CF=BD,连接BF,根据三角形内角和定理及角平分线得出4/lDB=

120°,再由边角边确定aBCF三△BAD,得出AB=B凡/.BAD=Z-CBF,^ABD=Z-F,

"AB=”,设乙48。=zF=x,根据三角形内角和定理得出方程，确定乙ABD="=40°,

再由三角形外角的性质即可求解，作出相应辅助线构造全等三角形是解题关键.

【详解】解：延长/C,微取CF=eo,连接？户，如图叶示：

团乙C=60。，AD,8。分另I.平分匕84c与ZL48C,

团乙BCF=120°,LADB=180°-(^^CAB+^CBA)=180°-1(180°-^65)=120°,

团乙BCF=Z.ADB=120°,

0CF=BD,AD=BC,

0ABCF三△8AD(SAS),

团45=BF,/.BAD=Z.CBF.Z.ABD=乙F,

0Z.F/1F=zF

设NABD=zF=x,

^LBAD=Z.CAB=60°-x,

^LFAB=2Z-CAB=120°-2x,

0120°-2x=x,

解得：x=40°,

团4480=ZF=40°,

团NB4E=60°-40°=20°,Z.ABC=2乙ABD=80°,

“EC=Z.ABC+Z.BAE=100°,

故答案为：100°.

12.5

【分析】本题考杳等腰三多形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,熟练堂樨全等

三角形的性质是解答的关键.

先利用等边对等角得到乙48C=〃C8,再证明△BDC三△CEB(AAS)得到BD=CE,利用勾

股定理求得CE即可求解.

【详解】解：胤4B=AC,

回=Z.ACB

^BE±AC,CD±AB,

0ZCDF=乙BEC=90°,

在^FDCfllACEB中，

(Z.DBC=Z.ECB

\z.CDB=乙BEC

(BC=CB

0ABDCCEB(AAS),

国30=CE,

在以△BCE中，BC=13,BE=12,

0CE=VFC2-BE2=V132-122=5,

(3BO=5.

故答案为：5.

13-5嘴

【分析】求出8c=VAB2-AC2=6,cosA=分当DE=DA时，过点D作。GUE

于点G,则力E=24G,设BE=x,则4G=ADcosA=gx,得力E=2x^x=得gx+x=10,

解方程即可；当EO=E4时，AE=BE=x,得x+x=10,解方程即可.

【详解】解：团在Rtz\48C中，乙4c8=90。，AB=10,AC=8,

05C=>JAB2-AC2=6,

0COS/4=经=：，

AB5

当DE=D4时，过点。作DG1/1E于点G,

则AE=2AG,

设BE=x,

由折叠知，DE=BE=x,

凡40=x,

4

EL4G=ADcosA=-x,

EL4E=2x^x=1x,

团4E+BE=AB,

畤%+%=10,

解得“当

当EO=及4时，

C(D)

AE=BE=x,

Bx+x=10,

团x=5.

综上，BE=:;或BE=5.

故答案为:5或居.

【点睛】本题考查了三角形折叠.熟练掌握折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，锐角三

角函数定义，是解题的关键.

14.12

【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连

接8P,证叨ZkABP三△ACP(SAS),即可得至l]CP=BP,得尸。十PC=PD+PB,再根据当8,

P,。在同一直线上时，8P+PD的最小值为线段80长，即可得出PD+PC的最小值为12.添

加辅助线，构造P。+PC=00+尸氏再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的

关键.

【详解】解：如图，连接BP,

回点P是乙B4C的角平分线上一动点，则〃4P,

又回力B=AC,AP=AP,

^ABP三A/CP(SAS),

团BP=CP,

^PD+PC=PD+PB>BD,

回当B,P,。在同一直线上时，8P+PD的最小值为线段8。长，

又(?!△ABD是等边三角形，AB=BD=12,

回PC+PC的最小值为12,

故答案为：12.

15.6

【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数,

再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可.

【详解】解：根据题意，得0E=EF=FG=GH=-

回4408=13°,OE=FE,

回乙笈。尸=Z.EF0=13,

团NrEG是^EOF的外角，

0ZFEG=乙EOF+Z.EFO=26。，

则AE/G是第二个等腰三角形，且iEG/=26°,

同理△FGH是第三个等腰三角形，乙GFH=乙EGF+Z.AOB=39°,

第四个等腰三角形的底角为39。+13。=52。；

第五个是65。；第六个是73。；第七个是91。，这样就不存在了.

所以一共有6根钢管.

16.①②④

【分析】利用SAS证明△ABC三aEBC；根据48ZM+4BDC=180。证明②即可；利用等腰

三角形的性质，证明乙8EA=LBAE=乙BCD=乙BDC=4ADE求解即可.

【详解】解：团80为△A8C的角平分线，

^Z-ABD=乙EBC,

在△48。和^EBC中，

EB=AB

0Z.ABD=Z.EBC

BD=BC

0AABDEBC(SAS)

故①正确：

^ABDSAF5C(SAS),BD=BC,

^Z.BDA=Z.BCE»乙BCD=Z.BDC♦

BZ.BDA+Z-BDC=180°,

mZ.BCE+/-BCD=180°,

故②正确；

回8。为△ABC的舛平分线，

0Z./45D=乙EBC,

^Z.BEA+Z.BAE=乙BCD+乙BDC,

团80=BC,BE=BA,

^Z-BEA=4BAE,乙BCD=乙BDC,

^/.BEA=4BAE=乙BCD=Z.BDC,

0Z/4DF=乙BDC,

^Z.BEA=/.BAE=乙BCD=Z-BDC=LADE,

团AD=AE,

^ABD三△EBC(SAS),

凤4。=EC,

040=AE=EC,

0FF1AB,

^AD=AE>EF,

故③错误；④正确.

17.(1)50°

(2)见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得乙。=乙ABC,ADLBC,则有乙8力。=90。一匕ABC；

(2)根据角平分线的性质得乙4BE=乙EBC.由平行线的性质得4EBC=乙BEF,则乙EBF=

乙FEB,有BF=EF,即可说明△8EF是等腰三角形.

【详解】(1)解：BAB=AC,

0ZC=Z.ABC=40°,

1348=AC,。为8c的中点，

胤4D1BC,

瓦®M=90°.

^BAD=90°-/.ABC=90°-40°=50°；

(2)证明：回BE平分乙4BC,

B/.ABE=Z.EBC.

XEFFII5C,

0ZFBC=乙BEF.

0ZF5F=乙FEB.

团BF=EF,

0A8EF是等腰三角形.

18.(l)Z-CAD=20°,乙BOE=55°

⑵见解析

【分析】(1)首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出ZBAC=50。，AADC=

Z.ADB=90°,乙。4D=20°,再根据角平分线的性质求出X84E=：48力。=25°,Z-ABF=

^ABC=30°,最后，再根据外角的性质求出NBOE的度数；

（2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出4B4D=30°,然后，再由（1）知乙4BF=

*BC=30°,运用“等角对等边“知识可知力G=BG.

【详解】（1）解：在A/WC中，Z-ABC=60°,ZC=70S

团NB4C=180°-Z-ABC-ZC=180°-60°-70°=50°,

国4D1BC,

^£ADC=LADB=90°,

^LCAD=180°-LC-Z-ADC=180°-70°-90°=20°,

团AE平分ZB/IC,

^z.BAE=-ABAC=25°.

2

团BF平分4ABC,

^Z-ABF=-Z-ABC=30°.

2

团乙BOE为△408的夕卜角，

团N80E=Z.BAE+Z.ABF=25°+30°=55。；

（2）证明：在△ABD中，/-ABC=60°,/.ADB=90°,

^BAD=180°-Z,ABC-^ADB=180°-60°-90°=30°,

由（1）知乙48F==30。，

^Z.BAD=4ABF,

团4G=BG.

19.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据角平分线定义得484F=Z.CAF=45°,再根据EOII4F得乙4EN=匕BAF=

45°,^ANE=Z.CAF=45°,由此即可得出结论；

（2）延长ED到M,使DM=DE,连接CM,先证△DCM和△DBE全等得=Z/1EN=

45。,BE=CM,再证明CM=CN得CN=BE,^iCN-AE=AB,然后再根据含有30。角的直

角三角形的性质可得出结论.

【详解】（1）证明：^z.BAC=90°,4小平分匕84C,

团48力尸=/.CAF=45°,

团EDIIAF,

^AEN=乙BAF=45°,^ANE=Z.CAF=45°,

^AEN=LANE=45°,

团ZiAEN是等腰三角形；

(2)证明：延长E0到使OM=DE,连接CM,如图所示:

团乙CND=Z.ANE=45°,

DM=DE

在40cM和4DBE中,乙CDM=乙BDE，

CD=BD

0ADCM=△OBE(SAS),

团NM=乙AEN=45°,BE=CM,

134M=乙CND=45°,

0CM=CN,

©CN=BE,

BCN-AE=BE-AE=AB,

在RtzMBC中，乙4cB=30。，

^AB=-2BC,

l?IC/V-AF.=

20.⑴见解析;

(2)成立，见解析.

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明

三角形全等是关键，

(1)延长力。至E,使ED=AD,连接BE证明△ADC=△EDB(SAS),结合题意得到=乙1,

AB=EB,由此即可求解：

(2)延长4D至F,使/。=力》连接BF,证明△4DC三△/^B(SAS),结合题意得到乙尸=乙1,

BF=BE,由此即可求解.

【详解】(1)证明：延长.4。至E,使ED=4D,连接8E,如图1所示：

(AD=ED

团在△ADC和△£7)8中，UADC=Z.EDB,

(DC=DB

团△力。C三△EOB(SAS),

EL4c=EB,Z2=乙E,

0Z1=z2,

团NE=zl,

囿4B=EB,

^AC=AB；

(2)解：EB=AC成立，理由如下：

延长4。至F,使FD=4D,连接3F,如图2所示:

(AD=FD

团在△/10C和△尸08中，\LADC=Z.FDB>

(DC=DR

团△4CC三△尸。8(SAS),

0XC=FB,z2=乙F,

0Z1=z2,

0ZF=41,

0FF=BE,

团EB=AC.

21.⑴见解析

(2)40DC的度数为75。或90。

【分析】(1)首先由等边三角形的性质得到NP4C=4OAB=60。，AP=AC,AO=AB,

然后证明出△PAOCAB(SAS),即可得到〃BC=LAOP=90°：

(2)首先求出上08c=乙ABC-匕ABO=30°,然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论

求解即可.

【详解】(1)解:团△/PC,△。/B是等边三角形，

^PAC=WAB=60°,AP=AC,AO=AB

^/.PAO=4CAB

0APAO=△C48(SAS)

^LABC=Z-AOP=90°

^AB_LBC：

(2)解：(32kOA8是等边三角形，

团4/8。=60°,AB=OB

^Z-ABC=90°

团NOBC=/.ABC-/-ABO=30°

回/iOBC是等腰三角形

团①如图，当30=BC时，

BAB=CB

^BCA=ABAC=45°

®乙ODC=乙BCD+ABD=45°+30°=75°；

②如图，当BO=CO时，

团乙0C8=LOBC=30°

团4C08=180°-LOCB-LOBC=120°

团乙COB+LAOB=180°

团点。在4C上，即点O和点。重合，不存在NODC,不符合题意;

③如图,当CO=CB时，

团。力=AB

团4c垂直平分。8

0ZODC=90°

综上，4OCC的度数为75。或90。.

22.⑴见解析

(2)120°

⑶见解析

【分析】(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解；

(2)利用△4OC三A/IBE,得至IJN/BE=N4DC,进而得至UNBFD=Z.APF-Z.ABE=Z.APF-

Z-ADC=乙BAD=60°；

(3)在上截取DH=BF,连接4H,通过SAS证明△ADHABF,则HA=FA,3AH=

乙BAF,再证△人”「是等边三角形即可解决问题.

【详解】(1)证明：回△ABD和都是等边三角形，

团40A8=60°,Z.CAE=60°,

^Z.DAB+ABAC=/.CAE+Z.BAC,^^DAC=Z.BAE,

0AABD^WL4CE都是等边三角形，

团AD=AB,AC=AE,

在△ADC与△4BE中，

AD=AB

Z.DAC=乙BAE»

AC=AE

^ADC三△力BE(SAS),

05E=CD；

(2)解：令AB、DC交于点P,AC.BE交于点G,如下图所示：

团ZABE=Z.ADC,

^BFD=Z-APF-Z-ABE=乙APF-Z.ADC=LBAD=60°,

团48尸C=180°-乙BFD=120°：

(3)证明：在。F上截取连接A4,

D

由（1）知：^ADC=^ABE,

laz/lDC=匕ABE,

在和△A"中，

(AD=AB

\^ADH=乙ABF,

(DH=BF

^ADH三△力BF(SAS),

WA=FA,Z.DAH=ZF/1F,

^Z.DAH4-4HAB=Z.BAF+乙HAB,

^DAB=^HAF=60°,

0A力"/7是等边三角形，

^FA=FH,

团FA+FB=FD.

【点睛】本题是三角形的琮合题，主要考杳了等功三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关健.

23.⑴48。

⑵见解析

【分析】(1)根据等边对等角可得NA=乙48c=80%根据三角形内角和定理可得4ACB=

20。，根据等边对等角可得=根据三角形内角和定理可•得，E=/BCE=68。，即可

求解；

(2