人教版高中数学必修2考点训练：总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计（解析版）

9.2.3&9.2.4总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计

【考点梳理】

>考点一、平均数、中位数、众数

>考点二、频率分布宜方图中位数和平均数的计算

>考点三、方差、标准差的计算与应用

>考点四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响

>考点五：总体集中离散程度的估计综合问题

【知识梳理】

知识点01：众数、中位数、平均数

名称概念

如果有〃个数内，X2,…，X”，那么：（内+工2+…+占）就是这组数据

平均数

的平均数，用x表示，即X=J（XI+X2T------

将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个

中位数数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数

是偶数时）叫做这组数据的中位数.

一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）

众数

叫做这组数据的众数.

知识点02：总体集中趋势的估计

1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量,它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.

2.一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数;而对分类型

数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.

知识点03：频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法

1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的慢坐标与小矩形面咫的乘积之和近似代替.

2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应担心

3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.

知识点04：方差、标准差

13.方差和标准差

假设一组数据是即，X2,…，用：表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为

〃r=l

14.总体（样本）方差和总体标准差

⑴一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为匕，匕，…，为，总体平均数为T,则总体方差§2=：之（匕-歹）2.

N,-=1

（2）加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有©2WN）个，不妨记为匕，打，…，匕，其中匕出现的频数为

7；＜/=1,2,正则总体方差：S2=1£f（工一可2.总体标准差：S=0

/Y/—I

如果一个样本中个体的变量值分别为刃，儿，…，为，样本平均数为亍，则称为样本方差，s=

〃»=1

正为样木标准差.

【题型归纳】

题型一、平均数、中位数、众数

1.（24-25高一上•四川南充）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种

植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位；cm）分别是23,24,23,25,26,23,

25.则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.24,25B.23,23

C.23,24D.24,24

【答案】C

【分析】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得.

【详解】苗高由小到大排列为：23,23,23,24,25,25,26,

所以这组数据的众数和中位数分别是23,24.

故选：C

2.（23-24高一下•新疆•期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84,79,

84,86,95,84,87,93,则该组数据的平均数和众数分别是（）

A.86,84B.84.5,85C.85,84D.86.5,84

【答案】D

【分析】根据平均数和众数的概念求解.

【详解】将样本数据按升序排列为79,84,84,84,86,87,93,95,可得平均数还79+3x84+8:+87+93+95=8$5,

O

因为84出现了三次，且次数最多，厅以众数为84.

故选：D

3.（23-24高一下•黑龙江大庆•期末）一个同学投掷10次骰子，记费出现的点数，根据统计结果，在下列情况中一

定不能出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数为4

B.中位数为4,众数为3

C.平均数为2,方差为2.1

D.中位数为3,方差为0.85

【答案】C

【分析】举例判断ABD,C用反证法证明不能出现6.

【详解】对于A,10次点数为1,1,1』,4,4,4,446符合题意,故A错误；

对于B.10次点数为3,3,334,4.4,6,6,6符合题意，故B错误

■

对于C.设10次点数为%,%2，知七,如与，8，％8，知与）€寸，且1工王工当工七工勺工4〈王《用《为46,平

均数为〃?=2,

假设有一次点数为6,不妨设/=6,

由方差公式$2_X；++石+石+芯+/+X；+芍+¥+入6_m2,

10

代入，"2,%=6,2/=江+•»：+与M+¥+K+H+36_4,

则M+名+W+x：+W+寸+/+M+W=25,则%最大取4,

不妨设%=4,则%：+4+后+看+4+,+4+M=9,方程无解，故天工4,

当演=3,X：+X；+4+X；+X；+K；+¥+H=]6,以最大取3,

不妨设七二3,贝IJ-+4+H+X：+r：+H+4=7,则不=芍=与=4=%=超=3=1，

则这10次点数为U,1,1,1,1,1,3,3,6,但平均数为1.9=2,不合题意,故而¥3；

当马=2时，x；+x；+x；+X+x；+W+q+x：=21,方程无解，故为*2；

当几=1时，入：+4+石+*+石+W+/+父=24,方程无解，

综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C正确；

对于D,10次点数为3,3,3,3,3,3,344,6符合题意，故D错误

故选：C.

题型二、频率分布直方图中位数和平为数的计算

4.（23-24高一下•河北张家口•期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（）

I频率用［距

4a........「

3a..........—

u40506070KO时速（kmh）

A.a=0.lB.车速的众数估计值是70

C.车速的平均数估计值大于其中位数的估计值D.车速的中位数估计值是62.5

【答案】D

【分析】利用频率分布宜方图求出〃、众数、平均数、中位数判断即得.

【详解】对于A,由10（a+3a+4a+2«）=l,得。=0.01,A错误；

对于B.车速在［60,70）内的频率最大，车速的众数估计值是65,B错误；

对于C车速的平均数为0.1x45+0.3x55+0.4x65+0.2x75=62,

车速的中位数〃?€（60,70）,则⑺一60位0.04=0.1,解得出=62.5,C错误;

对于D,车速的中位数估计值是62.5.

故选：D

5.（24-25高二上•黑龙江齐齐哈尔•期中）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了

100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法错误的是（）

A.估计该年级学生成绩的众数约为75

B.a=0.05

C.估计该年级学生成绩的75百分位数约为85

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计

方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D.

【详解】由图易知成绩在70-80分之间的人数最多，

故可估计该年级学生成绩的众数为75,A正确；

由频率分布直方图可知2axlOx2+3〃xlO+7axlO+6axlO=l,解得。=0.005,B错误；

由于前三组的频率之和为l（）xl2a=0.6,前四组的频率之和为10xl&/=0.9,

故估计该年级学生成绩的75百分位数约为80+tfF>d（）=85,C正确;

Ua

由频率分布直方图可知成绩在80-90分之间和90-100分之间的频率之比为3:1,

故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为85x：3+95x；I=87.50,D正确.

44

故选：B.

6.（23-24高一下•内蒙古通辽•阶段练习）从某中学高•年级中随机抽取100名学生的成绩（单位：分），绘制成频率

分布直方图（如图），则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为（）

A.125,125B.125.1,125

C.124.5,124D,125,124

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数与频率分布直方图的关系即可计算正确答案.

【详解】由题图可知(a+a-0.005)xl0=1-(0.010+0.015+0.030)x10,解得。=0.025,

则x=105x0.1+115x0.3+125x0.25+135x0.2+145x0.15=125.

因为(0.010+0.030)x1()=0.4<0.5,0.4+0.025x10=0.65>0.5,

所以中位数在［120,130)内，设中位数为x,

则0.4+0.025x(x-120)=0.5,

解得x=124.

故选:D.

题型三、方差、标准差的计算与应用

7.（23-24高一下•海南省直辖县级单位•期末）从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm）,甲班的数

据为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高高，

克及方差时，s：的关系为（）

A.Afp>x乙9S，>S乙B«>K乙,S甲<S乙C.AqiV9S甲>S乙D.与<坛，

S卜sl

【答案】D

【分析】由题意，根据平均数和方差的计算公式分别计算出高、至、S3S3即可下结论.

、—169+162+150+1604-159”八—180+160+150+150+165

【详解】与=----------------------=160,其乙=----------------------=116Z1I,

S：=#(169—160)2+(162—160)2+(150—160)2+(160—160)2+(159—160尸]=37.2,

S；=-[(180-161)2+(160-161)2+(150-161)2+(150-161)2+(165-161)2J=124,

所以画1<9,s，<.

故选：D.

8.（2124高一下•福建福州,期末）若数据巧、声、…、工的平均数是4,方差是4,数据M+l、3&+1、…、3A;+1

的平均数是〃"标准差是一则下列结论正确的是()

A./w=12>5=36B.〃?=12,s=6

C."?=13,s=36D.〃?=]3,s=6

【答案】D

【分析】由数据为、々....月的平均数是4,方差是4,数据3百+1、3々+1......3%+1的平均数是

2

〃?=:［3（再+与+£）+〃］，方差/=：［（%-4『+（占-4）?++（X2-4）,代入计算可得平均数出，方差s?的值,

开方求出标准差可得答案.

【详解】因为数据/、&....4的平均数是4,方差是4,

,222

即x=」(为+12+…+x“)=4,5=-[(^-4)+(^2-4)+.+(x”一4)〔=4,

数据％+1、3.+I....3乙+1的平均数

/??=—[(3x,+1)+(3x2+1)++(3x„+1)]=—[3(+x2+.x“)+〃]=3x4+l=13,

数据网+1、3々+1....3%+1的方差

2222

5=1^(3^+1-13)+(3^2+1-13)++(3X2+1-13)]

=9-4)2+(七-4)2

++(x2—4)~J=9x4=36,

所以标准差是$=6.

故选：D.

9.(23-24高一下•江苏南京•期末)已知数据x”/，0X”的平均数为10,方差为5,数据3*—1,342—1，3工3一1”-3.一1

的平均数为7,方差为则()

A.x=10,52=14B.x=9,52=44

2

C.x=29,5=45D.x=29,？=44

【答案】C

【分析】根据平均数和方差公式计算即可.

【详解】解：原来数据平均值为方差为sj则

-=(3%-1)+(34-1)++(3x.-1)=3(」+占++X”)一〃=3〃%-〃=3—_1=2(

nnn

方差为$2=K3X|-l)-(3x1g-1)[+[(3七-l]一(3x瞭-1)『++[(3x.-l)-(3x做-1)[

n

_9|(M~~x.)~+*2-％)-+=%2=45

n,汉…

故选：C.

题型四：各数据加减乘除对方差、平为数的影响

10.(24-25高一下•贵州遵义•阶段练习)已知一组数占，々，匕，%的平均数是3,方差为4,则数据2X+1,2公

2天+1,2%+1的平均数和方差分别是()

A.7,8B.7,16C.6,8D.6,16

【答案】B

【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可.

【详解】由题意，口土卫产出=3,52H「3『+(巧—3)2+(对—3)2+(.%-3)2]=4.

所以2%+1,2x,+l,2当+1,24+I的平均数

—_2,A+I+2x+1+2x.+1+2x+1_2(^+x+x+)+4

X,=-------2------------4----------2----3------=Zx.5+1=/9

44

方差s：=4x1(5-3『+(七-3『+(%,-3)2+(4-3)[=16.

故选：B.

II.(23-24高一下•福建泉州•期末)已知数据0々，七，…，土的均值为3,方差为1,则数据

2x,+3,23+3,2冒+3,,2%+3的均值和方差分别为()

A.9,5B,6,5C.9,4D.6,4

【答案】C

【分析】根据均值和方差公式计算数据的数字特征，或者根据均值和方差的性质计算.

【详解】方法一：设数据苍•当…月的均值为1方差为s1贝底=3段=1,

由y=2芭+3,y2=2七+3,%=2鼻+3,…，%=2%+3得加%，％…，L的均值为:

]41n1,T

y=-£(2.rr4-3)=-^2^+3=2x-^x.+3=2J+3=9；

,l

Mnr-lnj-l

y，%』的方差为：

Sj=-£[2x,.+3-(2x+3)]3=-^(2^.-2X)2=22xl^(x.-x)2=45；=4

〃r=1〃i=lnr=l

方法二：由题意可知：新数据的均值为2x3+3=9,方差为4x1=4.

故选:C.

12.(23・24高一下•贵州贵阳•期末)若样本数据：芭,与，&，…，％的平均数是62.3,方差为16,则对于样本数据:

2X|-1,2,X-,-1,…,2x“—1,卜.列结论正确的是()

A.平均数是124.6,方差为64B.平均数是124.6,标准差为32

C.平均数是123.6,方差为32D.平均数是123.6,标准差为8

【答案】D

【分析】直接由平均数、方差(标准差)的性质即可求解.

【详解】若样本数据：牛林占，…，怎的平均数是62.3,方差为16,

则对于样本数据:-l,2x2-l,...,2x,-1,平均数是2x62.3-1=123.6,标准差为,2?xl6=8・

故选：D.

题型五：总体集中离散程度的估计综合问题

13.(2025高三・全国•专题练习)在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了10()

名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130).[130,150]分组，绘制了如图所

(I)求出图中。的值并估计本次考试及格率(“及格率''指得分为90分及以上的学生所占比例)；

(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数：

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

【答案】(1)。=0.003,66%

(2)120分

⑶众数估计值为100分，平均数估计值为99.6分

【分析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程，求得。=0.003,进而得到及格率；

(2)分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解.：

(3)结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.

【详解】(1)由频率分布直方图的性质，

可得(0.004+o+0.013+0.014+0.016)x20=l,解得a=0.003.

所以及格率为(0.016+0.014+0.003)x20=0.66=66%.

(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)x20=0.66,

得分在130分以下的学生所占比例为0.66+0014x20=0.94,

所以第80百分位数位于U10,130)内，

由篙需=皿估计第8。百分位数为⑵)分.

(3)由图可得，众数估计值为100分.

平均数估计值为0.08x60+0.26x80+0.32x100+0.28x120+0.06x140=99.6(分).

14.(23-24高一下•云南昭通•阶段练习)某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛“，全校学生参加了这次竞赛，为了

了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行

统计将成绩进行整理后，分为五组(50Vxv60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<l(X)),其中〃=泌，

请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：

(1)求的值:

(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：09，与，…，/，已知这10个分数的平均数f=90,标准差

s=6,若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差；

附：方差计算公式：心这伪一可三佃一可十5―可\…+比―可］或

一」力A-储+¥+…+x：)-p

(3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：小元s：；记

总样本的平均数为彷，样本方差为1.试证明：$2=品|心2+(工-⑹［+〃2］学+(反-而)1}.

【答案】⑴々=0.032,Z>=0.004.

(2)平均数:90；方差：38.75.

(3)证明见解析

【分析】(1)由频率分布直方图面积和为I,列出等式求解即可；

(2)由平均数、方差计算公式代入数据求解即可；

(3)由方差的计算过公式即可求证；

【详解】(1)由题意知，a=8b,ja(0.008+0.016+a+0.04+z>)xl0=l,

所以a=0.032,0=0.004.

(2)解：工=90,故：%+々+七+…+Xu»=l°x90=900.

又/=J(x；+¥+…+襦)_9。2=6。工：+*+…+x[=81360,

剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为不口，孙…，/，

平均数与标准差分别为京，“，

人日人八AAF—x+x>+&+•••+4900—95—85八八

则剩余8个分数的平均数：题=」~—------=-----------=90；

OO

方差：3；--(^^+^+-..+^)-902-i(8136O-952-852)-9O2-38.75.

8'8\

(3)证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，

各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：小元子；公,孔学.

记总样本的平均数为了，样本方差为小,

$2=」—位(元-4+力…斗」—匠(―+…『+£()'「尹〜)2

“I+%Li=lr=lJn\+n2L*=1r=l

由£(—)=£(—，得(元同=22(%-力仃㈤=0,

―■—£(七一元+而一一了了

所以一5_5+^

“1+n2L*-•r-l

—J—E(^-J)2+E(J-^)2「JO?+£(》一5)2

〃[+n2l=ir=ir=i/=i

〃[s；+(于一切)[+小[$+(y_0)1}

4+%

15.(23-24高一下.浙江杭州.期末)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠

随机分成两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，3组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体

枳相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到P(。的估计值为0.30.

⑴求乙离子残留百分比直方图中外〃的值;

(2)求甲离子残留百分比的第75百分位数：

（3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）

【答案】（1）4=0.35,力=0.10

⑵5.0

⑶6.00

【分析】（1）由题意可求出〃，利用频率之和为1可求出。；

（2）根据频率分布直方图中的第75百分位数计算方法即可求解；

（3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.

【详解】（1）由已知得0.30*+0.05+0.15,解得廊=0.10,

所以。=1一0.20—0.15—0.30=0.35.

（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间［455.5）,设为x,

则0.154-0.20+0.30+（x-4.5）x0.20=0.75,解得x=5.0,

所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0.

（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

【双基达标】

一、单选题

1.（24-25高一下•安徽宿州•期中）已知互不相等的一组数百,々，0%15，/，毛，%的平均数为4，方差为5；，若大，勺，当，

匕,丹,萄,亏的方差为4，则（）

A.B.

C.51<52D.S：与S；的大小关系不确定

【答案】c

【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项.

［详解］由题意可知，

O

所以西+%2+工3+Z+毛+&+为=，则%+占+二+^+—+二+必=%,

所以数据内，/，0%，&，/，玉的平均数是4，

又2二（内一.）2+（电一鼻）2+（七一鼻）2+（七一%）2+（$一/）2+（4一型）2+（/一小）2+（4一%）2=

（%一/J+（入2一/J+（&-J+（七一+（占）’+（线—/J+（七一4J.

~8~

。2_（内一%）2+（£一用『+（七一%）2+（七一/）2+（.0—夫）2+（工6一/『+（与-%）2

S2-'

S：与学的分子相同，比较分母，可知S；VS）

故选：C

2.（24-25高一下•辽宁葫芦岛•阶段练习）某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、

良、优的结果分别用0,1,2,3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记

后的数据，下列结论正确的是（）

A.75%分位数为1B.平均数为1.2

C.方差为1D.极差为4

【答案】C

【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差,平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解.

【详解】将8次测试结果标记后得到数据0,0,0,1,1,1,2,3.

詈=1.5,故A错误;

对于A：因为8x75%=6,所以数据的75%分位数为:

对于B：平均数为g(()x3+lx3+2+3j=l,故B错误；

O

方差为"x[3x(0—l『+3x(l—1『+(2—1丫+(3—1广

对于C：=1,故C正确;

对于D：极差为3-0=3,故D错误.

故选：C

3.（24-25高一下•安徽•阶段练习）某科研团队对某产品的一项新政能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优

的结果分别用0,1,2,3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数

据，下列结论错误的是（）

A.75%分位数为1B.极差为3C.平均数为1D.方差为1

【答案】A

【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解.

【详解】将8次测试结果标记后得到数据0,0,0,1,1,I,2,3.

因为8x75%=6,所以这组数据的75%百分位数为詈=1.5,故A错误;

对于A,

对十B.这组数据的极差为3-0=3,故B止确;

对于C.平均数为g(0x3+lx3+2+3)=l,故C正确;

O

方差为([3x(0—1)2+3x(1—1『+(2—1)0(3—1广

对于D.=1,故D正确.

故选：A.

4.（24-25高三上•天津南开・期末）已知数据中马，0，4的平均数为8,方差为6,贝1」3玉+2,39+2,3占+2,,34+2

的平均数和方差分别为（）

A.26,54B.26,56C.24,54D.24,56

【答案】A

【分析】根据平均数、方差的性质求解.

【详解】由题意数据小修，七，，土的平均数为；=8,方差为一=6,

根据平均数和方差性质可得

数据3%+2,33+2,3马+2,3百+2,3%+2,3t+2,的平均数为3工+2=3x8+2=26,方差为32s?=9x6=54,

故选：A

5.（2D24.广东韶关.一模）众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势.它们的大小关系和数据的分布形态有

关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：I）,得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数

B.p<x<m

C.m<x<pD.p</fi<x

【答案】D

【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小.

【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数工大于中位数为也，

由于第一个小矩形面积为4x0.060=0.24<0.50,

前2个小矩形面枳之和为4x(0.060+0.080)=0.56>0.50,

所以中位数位于（5,9）之间，故可得0240+（/〃—5）x0.080=0.5,解得〃z=&25,

由频率分布直方图可知众数〃5=+言9=7,

故〃<〃?v工，

故选：D.

6.（24-25高二上•内蒙古赤峰•阶段练习）某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了1（）0件产品，质检人员测量其长

度（单位:厘米），将所得数据分成6组：[90,91）,[91,92）,[92,93）,[93,94）,[94,95）,[95,96〕,得到如图所示的频率分

布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（）

B.长度的平均数是93

C.长度的中位数一定落在区间用,94）内

D.长度落在区间193,94）内的个数为35

【答案】A

【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解.

【详解】对于A,由频率和为1,得（0.1x2+6+0.35+0.15+0.05）x1=1,解得力=0.25,故A错误；

对于B：根据频率分布直方图长度的平均数为

90.5x0.1+91.5x0.1+92.5x0.25+93.5x0.35+94.5x0.15+95.5x0.05=93,故B正确；

对于D,长度落在区间［93,94）内的个数为100x0.35=35,故D正确；

对于C.［90,93）有100x（0.1+0.1+0.25）=45个数，［94,96］内有100x（0.15+0.05）=20个数，

所以长度的中位数一定落在区间［93,94）内，故C正确.

故选：A

7.（24-25高三上.广西南宁•开学考试）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统

计这50名学生的成绩都在区间［50,100］内，按分数分成5组：［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］,得

到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论塔识的是（）

B.成绩不低于70分的学生所占比例为70%

C.50名学生成绩的平均分小于中位数

D.50名学生成绩的极差为50

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图求出口0,80)的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出

平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得.

【详解】设厂0,80)组的频率为。，则由各组频率之和为1可得

10x(0.01+0.02+0.03+0.02)+4=0.8-4=1,解得〃=0.2；

[50,60),[60.70),[70,80),[80,90),[90,100]各组频率依次为：0.1,0.2,0.2,()3,().2,

A项，[80,90)组频率最大，即成绩在[80,90)上的人数最多，故A正确；

B项，成绩低于70分的学生频率为0.1+0.2=0.3,即不低于7()分的学生频率为1-03=0.7,

所以成绩不低于70分的学生所占比例为70%,故B正确；

C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是

55x0.14-65x0.2+75x0.24-85x0.3+95x0.2=78.

rtlO.l10.210.2=0.5,故50名学生成绩的中位数为80,

所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确；

D项，极差为数据中最大值与最小值的差，

已知50名学生的成绩都在区间[50,100]内，

但成绩的最大值不一定是100,最小值也不一定是50,

故极差小于等于50,但不一定等于50,故D错误.

故选：D.

8.(23-24高一下•贵州毕节•期末)某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自

主阅读时间，按照时长(单位：小时)分成五组：[2,4),[4,6),[6,8)、[8/0),[10,12),得到如图所示的频率分布直方

图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是()

B.估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时

C.样本的极差介于6小时至10小时之间

D.估计这2000名学生每周自主回读时间的平均值是6.5小时

【答案】D

【分析】A项，由己知频率可得4〃关系；B项，由各组频率之和为1与A项所得频率关系求解〃]，[h0.6e(0.3,0.7),

估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可：C项，山最人值与最小值的取值区间，再由不等

式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面枳(频率)的乘枳之和近

似代替，计算可得.

【详解】选项A,由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3,

则2x005+2。+乃=1-0.3,解得〃+》=0.3,故A正确；

选项B.由各组频率之和为2(0.05x2+24+6)=1得，2a+b=0.4,

a+b=0.3

联立工.门4解得〃

2a+b=0.4[b=0.2

故五组[24),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12)的频率分别为0.1,0.2,040.2,0.1,

因为前两组的频率之和为(11+0.2=0.3,前三组的频率之和为0』+0.2+0.4=0.7,

JS0.3<0.6<0.7,

设样本数据的第60百分位数值为x,则xt[6,8),

由。.3+0.2*-6)=0.6,解得X=7.5,

故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确；

选项C.设样本数据中的最小值为最大值为d,

由频率分布直方图可知，最小值。目2,4),最大值d«10,12),

所以-ru(y-2],则由不等式的性质可得极差d-ca(610),

即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确：

选项D,由频率分布直方图样本平均数的近似值为3x0.1+5x0.2+7x0.4+9x0.2+11x0.1=7,

估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是7小时，故D错误.

故选：D.

9.(23-24高一下•四川达州•期末)在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在[50,100]之间，将这些成绩共分成

五组：[50,60),[60,70),[70,80),[80.90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的

众数和中位数(中位数精确到个位)分别是().

A.65,70B.65,71C.65,72D.65,73

【答案】D

【分析】本题根据众数和中位数的概念以及在频率分布直方图的表达方法即可计算求解.

【详解】众数是频率分布直方图中最高的矩形的中点的坐标，即众数为竺罗=65,

设把频率分布立方图分成两个面积相等部分的平行于），轴的直线横坐标为。，

先求图中的。值，由（0.004+0.（）36+a+0.（）2（）+0.（X）8）xl0=l得，«=0.032,

则（飞-70）x0.032=0.5-04=0.1,所以%=73.1=73.

故选：D.

10.（23-24高•下•河南三门峡•期末）某高中为了积极响应国家“阳光体育运动''的号召，调查该校3000名学生每

周平均体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4：3：3的比例进行分层随机抽样，收集了

300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的

A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时

B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300

C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%

D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600

【答案】C

【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数可判断A；根据频率分布直方图计算出高一年级每周平均体育运

动时间不足小时的人数，叫判断B：根据频率分布直方图计算出该校学生每周平均体育运动时间不少十小时的频率

与人数，可判断CD.

【详解】对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8（小时），故选项A正确；

4

对于B.该校高一年级的总人数为3000x7丁;=1200,由题中频率分布直方图可知，

该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为（0.025+0.1）x2=0.25,

所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为1200x0.25=300,

故选项B正确：

对于C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为

（0.075+0.025）x2xl00%=20%,故选项C错误；

对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为30（X）x20%=6（X）,

故选项D正确.

故选：C.

11.（24-25高一上•辽宁锦州•期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习

小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68,58,38,41,47,63,

82,48,32,31,则这组数据的（）

A.众数仅是31B.10%分位数是31.5

C.极差是38D.中位数是44

【答案】B

【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案.

【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误；

将这10个数据从小到大排列为31,32,38,41,47,48,58,63,68,82；

易知1（）*1（）%=1为整数，所以10%分位数是第1个数与第2个数的平均值，

即为3二1+黄39二31.5,B正确；

极差为82-31=51,C错误；

中位数为第5个数和第6个数的平均数，即4三7+丝48=47.5,D错误.

故选：B.

12.（23・24高一下•广东惠州•阶段练习）若数据4，%,%，%，%，4,%，%，%，即）的平均数为20,则数

据《，的,，“5，，%，，49，410与数据%，，“4，，〃9，40，20有相问的

（）

A.平均数B.中位数

C.极差D.方差

【答案】A

【分析】由平均数、中位数、极差和方差的定义和计算公式对选项一一判断即可得出答案.

【详解】因为数据4，出,小,%,6,4，%，4，。9，%0的立均数为20,

所以%+%+%+4+%+4,+。7+%+%+6。=20,

所以4+%+%+a4+a5++%+4+,％+《0=200

对于A,数据4,%，的，&，4，。6,。7，4，〃9，囚0，20的平均数为：

q+劣+4+2+氏+氏+4n+20220-八,,丁口

」一=----5一―一一——=-=20,故A正确；

对于B、C,无法确定数据％,a2,〈a，4，%，（%，5,%,%，4°，20的大小，

所以无法确定它们的中位数和极差，故B,C错误；

对于D,数据％,%,/，/，4，。6，的，%，〃9，©0的方差为：

（4—20『+（生—20）2+（火-20'+（包-20,+（%—20'+伍-20『+④—⑼？+（4二20f+（&-20）2+（八二20,

10

数据“I:42，“3，。4，〃5，“6，。了，。8，“9，。10，20的方差为：

222

（4-20）2+（生-20）2+（6-20）2+（/—20）2+（氏一十（综20y+3一⑼?十侬2o）+（^-20）+（%-20）+0

II

所以D错误.

故选；A.

二、多选题

13.（23-24高一下•江苏常州•期末）某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组

中的数据用该组区间的中点值作代表），则（）

A.a=0.008

B.约有200人的成绩不低于110分

C.约有60人的成绩低于7（）分

D.本次考试的平均分约为93.6分

【答案】ABD

【分析】借助频率分布直方图定义计算可得A：借助频率分布直方图计算对应频数可得B、C；借助平均数定义计

算可得D.

【详解】对A：(0.002+0.004+0.014-F0.020+«+0.002)X20=1,解得。=0.008,故A正确;

对B：（0.008+0.002）x20x1000=200,则约有200人的成绩不低于110分，故B正确;

对C：(0.0024-0.004)x20x1(X)0=120,故约有120人的成绩低于70分，故C错误；

对D：(0.002x40+0.004x604-0.014x80+0.020x100+0.008x120+0.002x140)x20=93.6,

故本次考试的平均分约为93.6分，故D正确.

故选：ABD.

14.(2024•湖南邵阳•三模)为了解•片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长(单位：cm),

所得数据均在区间［80,130］内，其频率分布直方图如图所示，则()

B.样本中底部周长不小于110cm的树木有12株

C.估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115

D.估计该片经济林中