第九章 第5节 第2课时 椭圆的简单几何性质

第2课时椭圆的简单几何性质

考点突破呼林彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一椭圆的性质

【例1】（1）（2017•全国III卷）已知椭圆C：夕+%=13*0）的左、右顶点分别为

4，4,且以线段Aa为直径的圆与直线以一ay+2H2=0相切，则。的离心率

为（）

A必MC啦

22

（2）已知椭圆及3+方=1（公也＞0）的右焦点为凡短轴的一个端点为M,直线/：

4

3x—4），=0交椭圆E于两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线/的距离不小于不

则椭圆E的离心率的取值范围是（）

一

，3

A（0,用B.（3-1

41・

'_

3\

C.坐,1）D.I)

47

解析（1）以线段AA2为直径的圆是乂直线bx-ay-\-2ab=0与圆相切,

b1

所以圆心（（），（））到直线的距离d=a,整理为f=3/，即

（2）设左焦点为后，连接RM，FoB,则四边形A所凡为平行四

边形.

V|AF|+|BF|=4,

••.|AQ+|AR）|=4,

设M（0,b）,则，2与，，1WA2.

4—从

离心率e=^=E.

答案(1)A(2)A

规律方法求椭圆离心率的方法

⑴直接求出〃，c的值，利用离心率公式直接求解.

（2）列出含有〃，b,C的齐次方程（或不等式），借助于/=/一/消去乩转化为

含有e的方程（或不等式）求解.

22

【训练1】（1）（2016.全国HL卷）已知。为坐标原点，尸是椭圆C：，■3=1（幻心0）

的左焦点，A,3分别为C的左、右顶点.P为。上一点，且轴.过点A的

直线/与线段尸“交于点“，与y轴交于点E.若直线经过。石的中点，则C

的离心率为（）

1123

A.gB，2C.]Dq

92

（2）设椭圆C：夕+*=l（a>Q0）的左、右焦点分别为Q,F?,过F2作x轴的垂

线与C相交于A，B两点,Q3与y轴相交于点若AO_L~B,则椭圆C的离

心率等于.

解析（1）设知（一以孙则£（0,篝），OE的n点、为D,

则。（0’2（急））,又&D,M三点共线’

所以2（a-c）-a+c'

所以。=3c,所以e=g.

（2）由题意知人（一c,（）1,B（c,0）,其中二P,因为过B且与x轴垂直的

直线为x=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A（c,9），4。，一!）,因为

46平行于y轴，且因。|=|0尸21，所以历。|=|。见即。为线段尸出的中点,所

以点。的坐标为《,一圉，又所以&,仍・品冒=一1，

W-。

L二）=7,整理得g/=2〃c,所以小m2—d）=2ac,又且0Ve<l,

所以*\/5/+26—小=0,解得e=^^(e=—#舍去).

答案（DA

考点二椭圆性质的应用

【例2】（1）（2018•湖南东部六校联考）已知椭圆的中心在原点，离心率e=；,且

它的一个焦点与抛物线产=一以的焦点重合，则此椭圆方程为（）

A.鸿=1B-7+6=1

*+"[D.%）』

（2）已知点Q,尸2是椭圆f+2）7=2的左、右焦点，点尸是该椭圆上的一个动点，

那么|即i+彷¥的最小值是（）

A.OB.lC.2D.2^2

22

解析（1）依题意，可设椭圆的标准方程为5+£=13>8>0），由已知可得抛物

C1

线的焦点为（-1,0）,所以c=l,又离心率解得a=2,7r=«2—c2=3,

所以椭圆方程为5+^=1,故选A.

（2）椭圆的标准方程为因为原点O是线段q出的中点，所以户元+户户2

=2历，即|户R+府y=|2历|=2|PO|,椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，

即|PO|的最小值为6=1,所以|即|+所|的最小值为2.

答案（1）A（2）C

规律方法利用椭圆几何性质的注意点及技巧

（1）在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中羽

y的范围，离心率的范围等不等关系.

（2）求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦

点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.

【训练2]⑴（2018•贵州七校联考）以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的

面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（）

A.lB3C.2D.2啦

（2）（2017•全国I卷）设A,8是椭圆C5+]=1长轴的两个端点.若C上存在点

历满足N4MB=120°,则〃z的取值范围是（)

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+8)

C.(0,1JU[4,+8)D.(0,V§JU[4,+8)

解析(1)设仇。分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，

依题意知，当三角形的高为〃时面积最大，

所以;X2cZ?=l,bc=\,

而2。=2听不？22/注=2啦

(当且仅当人=c=l时取等号)，故选D.

(2)①当焦点在x轴上，依题意得

「小、ZAMB厂

0<小<3,且若2lan—5—=小.

/.0<m<3且1,则0<机W1.

②当焦点在)，轴上，依题意〃2>3,且需Ntan，〃z29,

综上，加的取值范围是(0,1]U[9,4-00).

答案(1)D(2)A

考点三直线与椭圆(多维探究)

命题角度1弦及中点弦问题

2

【例3—1】已知椭圆5+)?=],

⑴过A(2,1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程;

⑵求过点心加被P点平分的弦所在直线的方程.

解(1)设弦的端点为P8,乃)，。(12,%)，其中点是M(X,y).

['十次=1，①

2

^2

十②

-”

2=1

①一②得言

2(竺十月)2y'

Xy-\

所以2y=x-V

化简得9一〃+2)，2—2)，=0(包含在椭圆，+)，2=1内部的部分).

(2)由⑴可得弦所在直线的斜率为仁一六=一看因此所求直线方程是厂;=

—3(*—9'化简得2x+4y—3=0.

规律方法弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点;

(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.

命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)

[1503-2](2018・沈阳质检)已知。点坐标为(0,—2),点A,3分别为椭圆瓦

22

3+方=1(〃》>())的左、右顶点，直线5P交E于点Q,△A8P是等腰直角三角

形，且&?=,读.

(1)求椭圆E的方程；

⑵设过点P的动直线/与£相交于M,N两点，当坐标原点。位于以MN为直

径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.

解(。由aAB尸是等腰直角三角形，得〃=2,仇2,0).

r6

-

沏=5

设Q(Xo,知)，则由的=,①，得V4

--

yo—5

代入椭圆方程得/=i,

所以椭圆E的方程为5+)，2=l.

(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为了=近-2.

y=kx—2,

联需+4,

消去y并整理得(1+46%2—16区+12=0.(*)

因直线/与上有两个交点，即方程(*)有不等的两实根,

故/=(一164—48(1+4必)>0,解得必，.

设M(xi，yi),N(M”)，

,16k

xi+切一］+软2,

由根与系数的关系得J12

修处=甲3

因坐标原点。位于以MN为直径的圆外,

所以丽・丽＞（）,即汨M+,»＞（），

又由即12+，1，2=为12+（人—2）（区2-2）

=（1+2）%工2—2Z（X［+工2）+4

=（1+a.送Lk渭/4＞0,

解得好＜4,综上可得定必＜4,

贝I」当＜女＜2或-2＜k＜一坐.

则满足条件的斜率k的取值范围为（-2,-邮停9

规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方

程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关

问题.

2.设直线与椭圆的交点坐标为4（为，yi）,8（X2,力），

则|八6|=7（1+1）［（汨+处）2—4处©1

=y（i+/｝（y+乃）2—4M），2］伏为直线斜率）.

易错警示（1）设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.

⑵利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽

略判别式.

22

【训练3】（2016.全国H卷）已知椭圆后3+^=1的焦点在x轴上，4是E的

左顶点，斜率为MQ0）的直线交E于A,M两点，点N在上上，MALNA.

（1）当Z=4,=时，求△AMN的面积；

（2）当21AM=|4M时，求k的取值范围.

解⑴设M（R,yi）,则由题意知y＞0.

22

当」=4时,E的方程匿+勺=1,4—2,0）.

由|4M=HN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为7.

因此直线AM的方程为y=x-\-2.

将x=y~2代入£+'=1得7），-12y=0,

解得尸0或尸与12，所以》=芋12.

1I?19144

因此△4MN的面积SZMMN=2X1X万*万=国-.

22

（2）由题意/>3,k>34（—3，0）,将直线4M的方程y=«r+/）代入，+]=

得（3+於2）f+23•派2工+*炉-3/=o

।r也2-3J3（3—必）

由由•（—"）=不铲得x尸3+公'

故|AM=l》i+3h/l+炉=。-

3IIK

由题设，直线AN的方程为>=—：。+3），

K

故同理可得依2=里法互.

3KII

2k

由21AM=|AM得讦正=吊百’

即（必一2）f=3Z（2I）,

当攵=也时上式不成立，因此？=二3〃（苦2〃一?—1）.

々A•1人十/一2必十&-2（女一2）（后+1）

>3等价于一产三一1^2<0,

2—2>0,仅一2v0,

由此得0—2V0或0—2X）,解得3出4a

3

因此攵的取值范围是（、历，2）.

怖时作业I分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、选择题

92

1.直线），=尤+2与椭圆2+1=1有两个公共点，则机的取值范围是（）

A.（l,+8）B.（l,3）U（3,+8）

C.（3,+3）D.（O,3）U（3,+但）

y=x+2t

解析由,2工得（〃7+3）/+47加+〃2=0.

由J>0且及m>0得m>\且m#3.

答案B

2.设椭圆C：=1（以>人>0）的左、右焦点分别为Q,尸2，P是C上的点,

PF2±F,F2,N尸尸1尸2=30°,则。的离心率为()

A

乎6B.13

C.|D半

解析在Rt2\PB品中,令|P尸¥=1,因为NP/”2=30°,所以|P尸]|=2,下画

木•故，=奇=瑞金可=■•

故选D.

答案D

/2

3.（2018•石家庄质检）设椭圆力+$=1（加>0,心0）的右焦点与抛物线）?=8x的焦

点相同，离心率为J则此椭圆的方程为（）

20^2

A工q21=1R工j21=1

八12十16-016十12-1

2））。

cJE=1-+r=l

。48十641D564十481

解析由抛物线）7=8工的焦点为（2,0）,可知椭圆焦点在x轴上，且椭圆的半焦

221

距c=2,可设椭圆的方程为力+，=1（。>%>0）,因为离心率6弋=2，所以4=4,

22

层=〃2_。2=]2,即椭圆的方程为a+£=1.

1O12

答案B

x2v2

4.(2018・武汉调研)已知椭圆C及点8(0,a),过点8与椭圆相

切的直线交x轴的负半轴于点A,尸为椭圆的右焦点，则NA3尸=()

A.60°B.90°C.1200D.1500

解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程)，=履+〃(40),与椭圆方程联

y=kx-\-a,

立/消去y整理得(/+/产帚+2Az3丫+。4一/力2=0,

[/+产1，

由/=(2ka3)2—4s2+—〃％2)=0,

得k弋,从而产会+。交，轴于点A(—£。)，

又尸(c,0),易知丽•砺=(),故NA8尸=90°.

答案B

v22

5.(2018.许昌模拟)设E(—c,0),F2c0)分别是椭圆系+力v=1(>0)的左、右

焦点，若在直线上存在点P,使线段PQ的中垂线过点B，则椭圆离心率

V

的取值范围是()

AJfv9啦2]B.(fU,近3]

超A0,BD再0,1]

解析如图，由题意可知，IP吊|>|PF2|且IP吊|>|F尸2],所以要

使△PF|F2为等腰三角形，则只能是IF1F2ITPF2I，设尸点坐

标为e，0,则直线工=1与x轴的交点为。仔，0),

2

则|PF2l=IQF2l=2c2?一c,

即3c2—/20,即e22；.

解得乎We<l.

答案D

二、填空题

6.(选修2-1P49A5⑶改编)焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为

2c=8,

。=5,

解析由题意知解得＜

>0・8。=4,

又辰=片一c'/./?2=9,:・b=3.

22

当焦点在X轴上时，椭圆方程为焉+卷=1,

2f

当焦点在y轴上时，椭圆方程为原v+y=1.

答案25+9-=1或*+方=1

7.已知椭圆的方程是f+2产一4=0,则以M(l,1)为中点的弦所在直线方程是

解析设过M(l,1)点的方程为)，=区十乩

则有女+人=1,即〃=1一%,即)，=H+(1—Z),

8+2)?—4=0,

联立方程组'n人

1丁=履+(1—Z),

则有(1+2+*+(4&-必2沈+(2后一必一2)=0,

所以中=；4必一4攵

1+2?=1

3

-

22

13

所以y=—即m+2)，­3=0.

答案人+2)，-3=0

2

8.若尸F2分别是椭圆氏/+*=](0V"⑴的左、右焦点，过点Fi的直线交椭

圆石于A,B两点.若忸丹|=3尸山AF2_Lx轴，则椭圆E的方程为.

解析设点A在点8上方，F|(-c,0),&(c，0),其中0=#1一。2,则可设A(c,

/),B(M先)，

由|AQ|=3|居阴，可得后尸3万瓦

5

—2c=3(项+c)，沏=一尹

故)即

［一/=3兆，

)'0=

代入椭圆方程可得253/.)+.2:1,

解得从=,故椭圆方程为/+¥=].

答案/+孝=1

三、解答题

9.(2017.北京卷)已知椭圆。的两个顶点分别为A(—2,0),3(2,0),焦点在x轴

上，离心率为坐.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点n为x轴上一点，过。作x■轴的垂线交椭圆c于不同的两点M过n

作AM的垂线交BN于点E求证：ABDE与△BDN的面积之比为4:5.

92

⑴解设椭圆C的方程为夕+*=1(公>>>0).

仅=2,

由题意得｛C理解得。=小.所以/=。2—。2=1.

2，

所以椭圆C的方程为手+)?=1.

(2)证明设M(w,〃)，则。5，0),N",一〃).

由题设知加工±2,且“W0.

直线AM的斜率痴=心，

加十2

故直线DE的斜率kDE=一喑.

所以直线DE的方程为y=一若2a—〃z).

直线BN的方程为y=?_2〃产—2).

-n

联立《

y=2^d)‘

n(4—)

解得点E的纵坐标注=-45+/.

由点M在椭圆C上，得4一面=4总

4

所以加=一5几

又S△血=*即•M=j\BD\•\n\9

Szssv=18£)|•

所以△BOE与△BON的面积之比为4:5.

10.(2018•山西晋城一中、忻州一中等五校联考)已知48分别为椭圆C：冬+£=

13乂>0)在x轴正半轴、》轴正半轴上的顶点，原点。到直线AB的距离为呼L

且依8|=市.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)直线/：)，=履+机与圆f+),2=2相切，并与椭圆。交于M,N两点,若|历M

竽，求k的值.

解(1)由|八5|=，7^7=市，、；心］招=2^^,a>b>0.

计算得出。=2,人=#,则椭圆C的离心率为e=b~_\_

~cr=2'

2,2=1,

(2)由(1)知椭圆方程为，+"=1,设M3，>1),Ng竺)，则,%、消去y

y=kx-\-m

得，(3必+4*+6切ir+3m2—12=0,直线I与椭圆相交,则J>0,即48(3必-

W2+4)>0,

6km3m2-\2

且X]+12=3炉+4'*"2=3曾+4•

又直线/与圆f+)?=2相切,

则，即/〃2=2（必+1）.

而/1+如•川(为+历)2―4：历

y/1+后•N48(3左2—，〃2+13

3炉+4

、/1+然・、/48(1+2)4s・、/年+3产+2

39+4=3产+4

年必昨土即四4/,#4+3必+2」2g

又|A//V]7，所以30+47，

即5/一3必一2=0解得％=±1,且满足/>0,故4的值为士1.

能力提升题组

(建议用时:20分钟)

11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为长，&,椭圆。上点A满足g

_LQ&.若点。是椭圆C上的动点，则后力•版的最大值为()

•小「9-15

A.2