江苏苏州市2025-2026学年高二年级下册期中调研数学（解析版）

高二年级期中调研试卷

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知“（3,5，-7）,8（-2,4,3）,则（）

A.（-5,-1,10）R（5,9,-10）C.（5,1,-10）n.（1,1,-10）

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算求解.

【详解】已知A（3,5,-7）,3（-2,4,3）,则84=（5」,—10）.

2.已知函数=则/（4）=（）

A.-B.gC.1D.2

42

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数求得正确答案.

【详解】/（*）=«,/（/=±=g

故选：A

3.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程/（单位：m）与时间，（单位：s）满足关系式

3

/（r）=2r+-r.当运动员的滑雪路程为38m时，则运动员此时的滑雪速度是（）

A.17.5m/sB.20.5m/sC.22m/sD.153.5m/s

【答案】A

【解析】

3

【分析】由题意得2产+—，=38,解出f,再求导，进而求解.

2

【详解】由题意得2-+,=38,即4r+3-76=0,所以。一4）（4，+19）=0,

解得/=4,所以/'（1）=4f+-,r（4）=4x4+1.5=17.5（m/s）.

4.线段AB3。在平面。内，BD1AB,ACla,且A3=3,80=4,AC=5,则C,。两点间的

距离为（）

A.5B.V34C.向D.5夜

【答案】D

【解析】

【分析】由AC_La得ACLAB,即得CA・48=0,CA80=0,又ABBO=0,再由

CD2=（C4+A8+8O『，利用数量积的运算即可求解•.

【详解】由AC_L。，ABua,BDua,得AC13O,ACLAB,

得到。48=0,。-8。=0,又B/?_LAB所以A8BD=0，

・;CD=CA+AB+BD，

/.CD2=[CA+AB+=CA+AB2+BD+2CA-AB+2CA-BD+2AB-BD

=|CA|24-|AB|2+|^D|2=52+32+42=50,A|c/）|-572.

5.已知方=（1,2,加）在力上的投影向量是（2J,1），则同=（）

A.75B.3C.VioD.V15

【答案】B

【解析】

【分析】设。在力上的投影向鼠为c,由。・c=k「，解出，〃，再求向审的模即可.

【详解】设。在。上的投影向量为C,则c=（2,u）,

所以。=c"=同2=6,所以々•C=1X2+2X1+〃7=4+〃7=6,解得〃Z=2,

所以4=（1,2,2）,所以M=，2+2?+22=3.

6.点M是四面体Q48C的棱的中点，点N在线段OM上且MN=，0N,点尸在线段AN上且

2

3

AP=-AN,若OP=xOA+)，O8+zOC,则x+y+z=()

4

734

A.——B.-C.一D.I

1645

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算求OP,进而可得my,z,即可得结果.

______.23—

【详解】在四面体。WC中，CM=MB，ON=-OM,AP二一AN,

4

贝=-x-^OB+OC)=-OB+-OC,

33233

.一一・3r一3一——3-3•

可得。夕=04+4尸=。4+.4川=。4+^(0/^—04)=。4+1。/7—1。4

1.3,1—1I.1.|

=-0A+--OB+-OC=-OA+-OB+-OC,

44(33444

---一13

因为0。=xOA+)，06+zOC,则K=y=z=—,所以x+y+z=一

4'4

7.在棱长为1的正方体ABCD-AqGR中，石为线段。。的中点，尸为线段的中点，则直线FC；

到平面石的距离是（）

1R62

A.-D.--C.一

333。・专

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证FC〃平面则直线到平面

的距离等于点G到平面AgE的距离，利用空间向量求点到平面的距离.

【详解】如图，以。点为坐标原点，分别为式,y,z轴，建立空间直角坐标系.

ZA

则A(1,O,O),4(1,1,1),c,(0,1,1),

可得AE=f-l,0,1L4与=(0,1,1),C.»,=(1,0,0),

/、〃A£=-x+—z=0

设平面44石的法向量为n=(x,y,z)，贝叶2

n•AB1=y+z=0

令z=2,则x=l,y=-2,可得同=(1,-2,2),

因为A£=bG，可知

且FGS平面AgE,AEu平面AgE,所以FC1〃平面4片£,

因此直线FC(到平面AqE的距离等于点G到平面AB.E的距离，

则点G到平面AB]E的距离为d=卜：?可=

同3

所以直线FC,到平面A^E1的距离为g.

8.已知〃>0,函数/(x)=(x—a)hu在区间(l,e)上不单调，则。的取值范围是()

A.0<cz<1B.C.a>4D.1<6/<2e

【答案】D

【解析】

f(l)<0

【分析】利用导数研究单调性，进而得',z(八，解出即可求解.

/e)>o

【详解】由题意得：f'(x)=lnx+匕=lnx-@+l,令g(x)=/'(x),

XX

所以/(x)=!+§>0,所以g(力在(l,e)单调递增，且/")=j,r(e)=2-9,

xxe

又因为/（X）在（l,e）上不单调,所以《

r(e)=2-^>0，解得l<a<2e.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若｛。，上同构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

i1111

A.b+c、b、b-c

B.a+b,a-b,c

■99——

C.a+b,a+b+c,c

D.a+/?+c,〃+Z?,/?+c

【答案】AC

【解析】

【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可.

【详解】对于A：/?=：伍+£）+（仅—〃可以由〃+c和8—c•线性表示，所以共面,

x=\

对于B：假设。+Z?=工（。-Z7）+yc=M-x〃+yc：,可得〈一x=l,此方程组无解，

y=0

所以〃十8不能用〃-人和c线性表示，故不共面.

对干C：a+〃+c=（a+〃）+c,可以由〃十方和c线性表示，所以共面.

对于D：彳段设a+〃+c=x（a+〃）+,，（〃+c；）=xd+（x+y）〃+yc；,

x=]

可得＜x+y=l,此方程组无解，所以;7＞不能用〃+b和b+c线性表示，故不共面.

）二1

10.设x＞0,/（x）=lmr,g（x）=l-L两个函数的图象如图所示，则（）

JC

A./(X)的图象是Gg(x)的图象是。2

B.〃力的图象是G，g(x)的图象是G

C.当xw(O,l)时，lnx>2

.z111

D.ln(/?4-l)>-+-+—

[7234

【答案】ACD

【解析】

【分析】令〃(x)=/(x)-g(x)，利用导数研究单调性，进而得221」，即可判断AB,由正取代工

X

得即可判断c,令％=四，得］□”!■>-!一,进而判断D.

nn7/4-1

【详解】令Mx)=/(x)-g(x)=lnx+，-l,

入

11X—1

所以〃(丫)=------=——,

由/f(x)>0=>x>l,/7r(x)<0=>0<x<l,

所以力(X)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

所以/?(x)而n=〃(1)=0，所以〃(X)N〃(X)1tlin=0，所以/(x)Ng(x)，Wlnx>l--,

X

所以/(x)的图象是G，g(x)的图象是。2,故A正确，B错误：

当工£(0,1)时，由1|1%>1一一，由«取代X得1

所以lnx>21--尸，故C正确;

,"+1LL…7/4-1n_1

令上二----，所以In---->

nn〃+1n+\

111

234>++++

所以In—+In—+In—++1In2-3-i4

123

、(234〃+1、\11

所以In(〃+l)=ln-x-x—xx---->-+-+—+・・・总T故D正确♦

、123n234

11.如图，在四面体ABC。中，二面角A—BC—D的大小为。，且A3=3C=3D=2,

ZABC=ZDBC=\2(y\则()

A.无论。为何值，BCLAD

B.当AD与平面6c。所成角为45时，a=90

C.当a=90时，二面角A—CQ-8大于600

2

D.当a=120时，二面角A—CQ—3的正切值为一

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】取AQ中点O,连接60,CO证明A£>_L平面6OC可得A；作AE_L6C,垂足为E，连接DE，

作A/1DE，垂足为b，作EHLCD,垂足为H,连接AH,利用线面垂直和几何关系找到NAO厂即为

A。与平面8c。所成角可得B；由NA/7E即为二面角A—CO—3的平面角结合几何关系可得C；作

AP上DE，垂足为人作PQ_LC。，垂足为Q,连接AQ,由几何关系可得D.

【详解】选项A：如下图所示，取A。中点。，连接3。，CO

因为3O_LAO,CO±AD,所以AD_L平面8OC,

因为BCu平面BOC,所以BC_L4D；

选项B：如下图所示，作AEJ.BC,垂足为E，连接力E，作AF10E，垂足为b，作EHJLC。，垂

足为〃，连接AH,

A

由_ABC=^DBC可得DEIBC,

所以NAED即为二面角A—BC—O的平面角a,

因为BC_L平面AOE，3Cu平面CDE,

所以平面BCD±平面ADE，

因为平面平面AT>E=OE，4。_1_平面3。。,

所以NAOF即为AO与平面BCD所成角，

因为NAOb=45，VADE为等腰三角形,

所以NAEO=90，即a=90:

选项C：若。=90，则4石，平面3CO,

因为EH_LC。，所以NA〃£即为二面角A-CQ-8的平面角,

3

因为4E=G，可求得EH=/,

Ap2GL

所以tan/A〃七二一V3-tan60，

EH3

所以二面角A-CD-B小于60°；

选项D：如下图所示，作APJ_OE，垂足为P,作QQ_LC。，垂足为。，连接AQ,

因为4P_LDE，所以API平面3CO,

3/o

因为Z/lEO=a=120，所以AP=AEsin60==,PE=AEcos60=—»

22

因为。八5所以叩吟PG=PDCOS304,

y\p342

所以tan/AQP=1^—x—=—

293

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数/(工)二炉-1,当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是.

【答案】2.1

【解析】

【分析[根据平均变化率的定义直接求解即可.

【详解】函数，(x)=f—],当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为

」(1.1)-〃1)1.12—1一(2—1)0.21,

-i.i-i--6J~~oT~'

故答案为：2.1.

13.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面P45所

成角的正切值是.

【答案】72

【解析】

【分析】过PC上任一点。作ZX，_L平面RW，则NDPO即为直线产。与平面以8所成角的平面角，根

据线面垂直及三角形全等得到NOPE=NOPF=i/APB=30°,结合三角函数求解即可.

2

在PC上任取一点。并作/WJ•平面QA6，则NDPO即为直线PC与平面RW所成角的平面角.

过点。作QE_LP4,OF.LPB,.

因为OO_L平面Q48,PA尸8u平面Q4B，所以。OJ.Q4,DOAPB.

又。及OOu平面ODE,OEcOD=O,所以Q4_L平面ODE,

乂DEu平面OOE，所以Q4J_OE，同理P8_L

XZAPC=ZAPB=60°,PD=PD，所以Z\DEP二△DFP，所以。£=蹬.

又OP=OP,所以RteOPE=RtAOPb,所以NOPE=NOP/7='NA尸8=30。.

2

设PE=G，在RtZXOPE中，OP=2；在RlZXOPE中，PD=2C.

=«2可一2?=2日，

在RtZV)OP中,OD=\IPD2-OP2

则颉皿。嚼=乎="

即直线PC与平面R4/所成角的正切值为V?.

14.已知。＞0,b＞0,若函数/（打二加似一工一加m在区间（L+8）上单调递减，则空幺的最大值是

3

【答案】二

e

【解析】

【分析】由题意得广（力＜。在a也）上恒成立,令g（x）=r（x）=@—1—加I,利用导数研究单调性,

X

、在田4日..b~4-Clb~4-/?+1

进叩得a«Z?+l,H即n一；—<---：——令〃a）=f：j+L利用导数研究单调性求最大值即可.

eJyeh

【详解】由题意得：f\x）=--\-bcX~\又/（力在（1,+8）上单调递减，

X

所以/'（X）《。在（1,+8）上恒成立，即尸（力1rax＜0,

令g（x）=r（x）=0_]_岳1,所以g'（x）=_g—从1，当工＞1时,，（九）＜。,

XX

所以g（x）在（1,+。）单调递减，

所以g（力在（1,+co）上恒成立,

所以g（l）=〃一〃一1工。，所以。48+1，

-（-jb~+cib~+b+\人，/\x?+x+i

又干工^—，令心）=^^，

所以/«力二&±1二二士1二二£苫，令"（耳=0,解得工=1,

elel

由/(x)>0=0<x<1,由〃(x)(Onx)l,

所以〃(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,

所以小)3=硝)=|，所以学“勺!3|.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在平行六面体中，AB=AD=AA]=2,

ZBAA,=ZDAA,=ZBAD=60.

/\UUU

(1)用表示AC,并求AC；的长；

(2)求证：AC_L平面8。£＞石.

【答案】(1)AG=4“+/W+AA,卜2"

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据向量的加法可得AG=AB+AD+4A，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可.

(2)结合向量的数量积得到ACJ_3。，AC上叫，可得\C1BB.,再利用线面垂直的

判定定理证明即可.

【小问1详解】

平行六面体A8C。-Aj8|G。中，BC=AD，CC(=A4,.

ACX=AB+BC+CC.=AB+AD+AA,.

|UULT|2/Uiiiuuinuuur#IUUIIJ|Uutii2iuuii|2uunuuuuunuuuruuauuur

LAC,={AB+AD+AAA=\AB\+\AD\+LU!+2ABAD^2ABAAi+2ADAA,

uuti||Umi|

cosZBAA1+2AZ)AAcosNDAA

22+22

222

所以1AC】=2\fb.

【小问2详解】

AiC=AC-AAi=AB+AD-AA],BD=AD-AB»叫二明，

所以AC.8O=（A8+AO—A4j（AO—A8）

=ABAD+ADAD-AAyAD-ABAB-ADAB+AACAB

=2x2x-+22-2x2x--22-2x2x-+2x2x-=0,

2222

所以A,C_L6。，所以AC_L6。.

AC.区g=^AB+AD-AA^A\=ABAAx^ADAA[-AA,AAy

11

=2x2x-+2x2x——292=0,

22

所以4cl.,所以AC，34.

又BDcBB\=B,BD，84<=平面6。。蜴，

所以ACJ.平面3。。片.

16.已知函数/（犬）=」工3一gx2-2x+],x£R.

（1）求/（X）的极值；

（2）若对任意大,乙£卜3,3],都有|/（X）_/（W）|VM恒成立，求实数M的最小值;

（3）若过点（0,，）的直线/与曲线），=/（“相切，求/的方程.

177

【答案】（1）“X）的极大值为〃—l）=—；/（X）的极小值为“2）二——

63

⑵改

3

（3）y=—2A十—

“6

【解析】

【分析】（1）利用导数研究单调性求极值即可求解；

（2）由（1）的单调性求出函数的最值即可求解；

（3）设切点，利用导数的几何意义求切线方程，代入（°，3），解出即可求解•

【小问1详解】

由题意得：/（力=/一工一2=（%一2）（%+1）,令r（x）=O,解得X=2或一1,

由f'（x）＞。有：x＞2或xv-l,由/'（x）＜。有：一1＜元＜2,

所以〃力在（一1,2）单调递减，在（一8,—1）,（2,+8）单调递增，

所以/（X）的极大值为/（_1）=\X（_1）'_GX（_1）2_2X（_1）+[==,

326

117

/（x）的极小值为了（2）=上x2i_Lx2，_2x2+]=一」

33

【小问2详解】

由已知有：对任意内,％26[—3,3],都有|/&）一/（戈2）上”恒成立，

由⑴有〃x）在（-3,-1）,（2,3）单调递增,在（一1,2）单调递减,

又“一3）二-£,〃3）=—3，

13

所以/（x）max=/（-）=p/Wmin=/（-）=-y，

所以M"（/M=j-^-y^）=y.

x\m-min

所以实数M的最小值为生；

3

【小问3详解】

设切点为（％,/（%）），

所以/（九0）二4片一5片一2Ao+1,r（毛）=片一毛一2,

,

所以切线方程/为：y-/（A0）=/（A^）（x-x0）,

所以y=（片一/-2）（工7（））+/-；片-2%+1，

又切线/过点

所以，=（片一%-2）（0-§玉：一5不；一2升）+1,

化简整理有：4片一3器一1二0,即（与一1乂4片+$+1）=0,解得/=1,

75

所以直线/的方程为：y=-2（x-\）--=-2x+-,

66

所以直线/的方程为；y=-2x+~.

6

17.如图，在直三棱柱ABC-A禺G中，NZMC=90，AB=AC=2,M=3,M是AA的中点,

N是qG的中点.

(1)求MN与CC,所成角的余弦值:

(2)求平面A、MN与平面4CGA,所成角的正弦值;

(3)记2是8G与qc的交点，在线段AN上是否存在点。，使得尸。〃平面ACM?若存在，求出

部的值：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）通

10

⑵叵

19

A02

（3）当尢"二可时，PQ//平面ACM

Z*41VJ

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解;

（2）求平面AMN的法向量为々，利用向量的夹角公式即可求解;

（3）求平面4cM的法向量为均，设黑二尤，由PQ・4=0求出4即可•

【小问1详解】

由港意得：以A为坐标原点，分别以ACA也A4为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

由A8=AC=2,M=3,所以

A（0,0,0）,3（0,2,0）,C（2,0,0），A（0,0,3），5（023）C（Z0,3）,M（（H0）,N（l,l,3）,

所以MN=(1,O,3),CG=(0,0,3),

—cMN31x04-0x0+3x333屈

所以8sMMce广网瓯“LOFX二旃二丁;

【小问2详解】

由题意得M4,=((),-1,3),

设平面4MN的法向量为％=（x，x，zj,

77.-MA.=-y,+3z.=0/、

所以।n'，令4=1,得力=（—3,3,1）,

〃i•MN=内+3Z]=0

显然用=（0,1,0）为平面ACGA的一个法向量，

设平面AMN与平面ACGA所成角为。，

所以8S”|8S〃"小辐=焉=噜，

所以sin夕=>/1-cos20='''）-：

19

【小问3详解】

由题意得四边形片为矩形，所以点P为BG的中点,

所以尸(1,1,1),所以R<=(T,—I,|),AW=(LI,O),

设黑=2,所以AQ=尢AN=(ZZO)，

所以PQ=PA+AQ=(-L-Lq)+(2,40)=(4-l,2-l，m

设平面ACM的法向量为巧二（毛,）’2,22），

由CM=（-2,1,O）,M4,=（O,-l,3）,

ftty•CM=-2x,+%=0/、

所以｛-.，令%=6,得为二（3,6,2）,

[tiy,--y2+3z2=0

---3

由P。//平面ACM,所以尸Q•&=3（/1—l）+6（%-l）+2x1二。，

J

2

解得

A.Q2

所以当既■=£时，p。//平面ACM.

18.现有一块半径为/?的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题：

（1）若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形

的顶角。取何值时，该三角形的面积取得最大值？

（2）若从该圆形铁皮中剪出个圆心角为。的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧K对应圆周上的段

弧），并将该扇形制作成•个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的

周长），试问：当扇形的圆心角a取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？

7T

【答案】（1）当等腰三角形的顶角。二§时.，该三角形的面积取得最大值

（2）当扇形的圆心角a=2叵时，该圆锥形容器的容积取得最大值

3

【解析】

【分析】（1）结合圆的相关性质求出三角形面积表达式，根据导数与最值的关系求解即可.

（2）结合圆锥的展开图与扇形的关系及圆锥的体积公式求出体积表达式，根据导数与最值的关系求解即可.

【小问1详解】

设等腰三角形的顶角为6,底边为BC,高为AD，则8C=2RsinO,CE=2RcosO,

所以OO=LCE=RCOS。，所以A£）=R+Rcos。.

2

A

BDrC

则三角形面积

11(1'

S(<9)=-BC-/lD=-x2/?sin^(7?+/?cos<9)=7?2sin6>(l+cos6>)=/?2sin6>+-sin2^|,

22k2y

Sr(6>)=R2(cos0+cos26>)=/?2(2cos28+cos8-1).

令S'(，)=0,即2cos20+cosC-l=O，解得83。=；或(:05。=-1.

因为。£（0,兀），所以COS6£（-1,1）,所以COSO=L,此时，二二.

3

TTI/7E

当0,三时，S'⑻>0,5（。）单调递增；当-,71时，S'⑻<0,S⑻单调递减;

所以当时，s（e）取得最大值.

故当等腰三角形的顶角。时，该三角形的面积取得最大值.

3

【小问2详解】

aR

设圆锥形容器的底面半径为一，高为人则2w=aR,

所以圆锥形容器的容积为V（a）=！兀兀aR

33~27t2叱二鳖/I

zJ---------------\2

Rh2R6aJ1〃、Rba6)

设f（a）=片（。）=1447?1一彳)-------ar

\2n喋144兀214n2J

则人）磊”6a5、33a5、

Y4a

4兀2,1447i\

33a=0,则8兀2一3。2=0,解得复迎或a=一名伽（舍

令f'(a)=0,即4a----：

144兀212兀33

去),

当at0,3时，/'(二)>0，/(。)单调递增；当a32兀时，/'(a)<0,f(a)单调

递减；

所以当°=名画时，该圆锥形容器的容积取得最大值.

3

故当施形的圆心角a=2叵时，该圆锥形容器的容积取得最大值.

3

19.已知函数〃x)=lnx+(2-a)x,g(x)=ax2.

(1)当a=l时，

①求曲线y=/(x)在％=1处的切线；

②是否存在实数加，〃使得不等式/(可工〃