2026山东初中数学一轮复习 阶段检测验收卷 三角形（解析版）

阶段检测验收卷

第四章三角形

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，

选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）

1.在联欢晚会上，有A、“、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求

在他们中间放一个木凳，谁先抢到党子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在VA8C的

（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边上高的交点D.三条垂直平分线的交点

【答案】D

【分析】本题考查了三角形特殊点（重心、内心、垂心、外心）的性质，解题的关键是理解"游戏公平"意

味着凳子到八、&C三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等.

先明确“公平”的本质：凳子位置到A、B、C三点距离相等：再分别回忆各选项特殊点的性质一一三

边中线交点（重心）到顶点距离与到对边中点距离成2:1；三条角平分线交点（内心）到三边距离相等；三边上

高的交点（垂心）是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点（外心）到三个顶点距离相等，

据此匹配符合条件的选项.

【详解】解：A、选项为三边中线的交点（重心）

重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1,并非到三个顶点距离相等，无法保证

游戏公平，此选项不符合题意；

B、选项为三条角平分线的交点（内心）

内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题

意；

C、选项为三边上高的交点（垂心）

垂心是三角形三条高的交点，无"到三个顶点距离相等〃的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题

意；

D、选项为三条垂直平分线的交点（外心）

外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到4、艮C三名同学的距离相同，能保证游戏公

平，此选项符合题意；

故选：D.

2.已知三角形三个内角的度数之比为x：V：z,且x+y<z,则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】C

【分析［本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为180。是解题的关键.

设一个角的度数为丘，则另外两个角分别为，。和以，根据6+依，=180。-七<七，再根据x十y<z可得

出答案.

【详解】解：设•个角的度数为h，则另外两个角分别为，好和心，

同心+b，+以=180°,

（3心+。=180°-kz,

□x+y<z,

^kx+ky^<kz,

团180。一心（心，

团上>90°,

团三角形为钝角三角形.

故选:C.

3.如图，在VA4C中，ZC=90°,AC=8cm,A5的垂直平分线MN交AC于。，连接B。，若

sinZDBC=1,则8C的长是（）.

B

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】A

【分析】本题考查解直角三角形，中垂线的性质，根据sin/OBC=：3,得到C诂D=3:,设

CD=3x,BD=5x,中垂线的性质，得到A0=8Z）=5x,根据AC=CD+AD,求；I"的值，再利用勾股定

理，求出4c的长.

【详解】解:0ZC=9O°,

CD3

0sinZDBC----

BD5r

设。。=3x,BD=5x,

回AB的垂直平分线MN交ACFD,

团AD=AO=5x,

团AC=CO+AO=8x=8,

解得x=l,

团CD=3,BD=5,

团AC=V^-CD2=4cm；

故选A.

4.如果等腰VA8C的两边长分别是方程f—7x+io=（）的两个根，则VA8C的周长为（）

A.12B.9C.12或9D.10

【答案】A

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三

角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5,即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论；腰为

2底为5或腰为5底为2,利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可

【详解】解：团方程f_7x+10=。可化为（x—2）（x—5）=0,

团两根为X=2,X,=5,

回等腰三角形两边长分别为2和5,

团可能情况：

①接为2,底为5：但2+2=4<5,不满足三角形三边关系，不成立；

②腰为5,底为2：5+5>2,5+2>5,2+5>5,均成立；

回三角形边长为5、5、2,周长为5+5+2=12；

故选：A

5.直角三角板48c与直角三角板。耳'如图摆放，其中N84C=NEZW=90。，ZE=45°,ZC=30°,

4c与。笈相交于点M,若BC〃EF,则44A/D为（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【分析】木题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由3C〃EF,得到NEW-NC-30。，由三角形外

角的性质得到ZAMD=ZE+ZE4,W=75°.

【详解】解：©BC〃EF,

回NE4M=NC=30。，

0ZE=45°,

0ZAMD=ZE+ZEAM=75°.

故选：C.

6.下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容:

题目测策河内小岛B到河边公路/的距离

B

测量目标

示意图/,•千、J

tCD1

相关数据NBA。=45。，/BCD=75。，AC=60米

则小岛4到公路/的距离为（）

A.250+6）米B.300+6）米

C.理巨米D.3（）+156米

3

【答案】B

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，二次

根式的运算，作出合适的辅助线是解题关键.

作BE_LAC于点E,作/BCF=NCBF,F在BE上,则CF=8/"设CE=x,表示AE=8E=60+x,

BE=2x+瓜,再进一步求解即可.

【详解】解：作BELAC于点E,在BE上取点”，使得4BCF=ZCBF,则CA=,

设CE=x,

回/班。=45。，NBCD="。,

0Z4BD=45°=ZBAD,ZCBE=90°-75°=15°,

回AE=3E=60+x,ZCFE=ACBF+ABCF=30°,

^BF=CF=2x,EF=y/CF2-CE2

@BE=2x+瓜,

团60+x=2x+&x,

解得：x=30（V3-l）,

团小岛8到公路/的距离为：BE=3O（J5—l）（G+2）=30（J5+l）（力

故选：B

7.如图，在R【Z\A8C中，ZC=90°,A。是角平分线，DEJ.AB,AB=5,AC=3,且％的=6,则

S为（）

D.不能确定

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质；由八4及C的面积，AC的长,可求出高力C,AO是角平分线，所

以DK-OC,进而可求解△A"。的面积.

【详解】解：05AADC=6,ZC=90°,

0-xACxDC=6,

2

0AC—3,

团QC=4,

团AD是角平分线，DEJ.AB,

^DE-DC-4,

0S/:ARD=—xABxED=-x5x4=10.

故选：B.

8.如图，在V/WC中，AB=ACNA=36。，按如下作图:

（1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交84,8c于点M,N；

（2）分别以点M、N为圆心，大于《MN的长为半径作弧，两弧在VA8C内部交于点P；

（3）作射线交AC于点O.

根据以上作图，判断下列结论正确的有（）

@ZC=2Z4；®AD=HC；®BC2=CD-AB

A.®@B.①③C.②③D.③

【答案】D

【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可；

②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解；

③证明△CBDFCAB,利用相似一:角形的对应边成比例即可求解.

【详解】解：^AB=AC,ZA=36°,

团Z43C=NC=生吐幺=72。,

2

0ZC=2Z4,

故①正确；

由题意得：8。平分N48C,

团448O=NCBO=36。，

回NX=ZAQ,

0AD=BD>

团NCDB=180°-ZC-NDBC=72°,

6NCDB=/C,

0BC—BD,

0AD=BD=BC>

故②正确；

0ZC=ZGZDBC=ZA,

团/hCBD^ACAB,

CBCD

团---=---,

ABCB

团8C2=CO・48，

故③正确.

综上所述，正确的有①②③.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三

角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

9.如图，在四边形4BCD中，ZABC=Z/1DC=9O\对角线AC与4。相交于点O,M、N分别为AC、BD

的中点，ZACD=\5°,AC=^OD=OM.以下结论错误的是（）

A.MNXBDB.MN=2C.AB=4上D.一BAIA>dCOD

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线；

连接证出MN是8。的垂直平分线，即可判断MN_L8£>,根据题意得到

〃）CA=肘=15°,N6O/=N〃例=30°,在RtZXOMN中，即可判断J/V=，〃"=2；根据题意证

2

出是4。的垂直平分线，即可判断的长度；先证出ZADB=Z0DC,即可判断

」BA*VOD,即可求出.

【详解】解：如图所示，连接

团NA4C=44OC=90°,"、N分别为AC、8。的中点,

=-AC,DM=-AC,

22

团BM=DW.

团V是80的中点，

团MN是的垂直平分线，

田MN工BD.故A正确：

@ZACD=15°,BM=CM=-AC,

2

回4%为=Z6W=15。，

0ZDA^4=3O°.

SOD=OM,

0Z6^J/=N〃明=30°.

(3AC=8,DM=-AC,

2

团0M=4.

在RtZXDWN中，

ZZ!W=90°,ZAW=30°,

0.IZV=-mf=2.故B正确；

2

团在=30°,

：.£DMN=C^,

0ZW=30°,

/颇l=30°,

团MN是8。的垂直平分线，

国N=乙热淤=GO0,

0ZBW=9O°,

mZBlfC=1800-NBMO=90°,

0B,W1AC,

^AB=BC

•・・AC=8,

团48=4&，故C错误；

0AM=BM,NAM3=90。，

/./ABM=45°,

•・•/颂=30°,

:.ZABD=\50,

^ZABD=ZACD,

团N4ZT=90°,/BDC=Z.ODM+NMDC=45°,

0ZAZ）^=45O,

0Z4DB=ZODC.

^^BAD^COD,故D正确；

故选：C.

10.如图，VA8C为等边三角形，尸为BC上一点，Z^PQ为等边三角形，P。与AC相交于点M,则下

列结论中正确的是（）

①A8CQ；②ZACQ=60。；@AP2=AM-AC;④若8P"C,则P。_L4C.

A.只有①②B.只有①③C.只有①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练

掌握等边三角形的性质及全等、相似三角形的判定是解题的关键.

通过等边三角形的性质证明三角形全等，推导角的关系判断平行和角度；利用相似三角形的判定证明线段

比例关系；结合中点性质分析垂直关系，逐一验证四个结论.

【详解】解：团V4BC、AAQQ是等边三角形，

^A13=AC,AP=AQ,^BAC=Z1PAQ=^,

回N8"=NC4Q,

团ABAP丝/XCAQ(SAS),

团4CQ=N8=6()。，

(3ZR4C=6(r.

[3NA4C=NACQ,

RMBCQ,故①②正确；

0Z4PM=ZACP=6O°,ZPAM=ZC4P,

团.4PA/s.ACP，

APAM

回---=----,

ACAP

^AP2=AMAC故③正确；

0BP=PC,V43C是等边三角形，

团AP_L8C,ZPAC=30°,

E1AAPQ是等边三角形，

(3N04P=/4QP=6O。，

团@。=60。-30。=30。，

0ZAMQ=180°-30°-60°=90°,即PQ_LAC,故④正确.

故选：D.

二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）

11.如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的

安全性.那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有.

【答案】稳定性

【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键.根据图示，有三角形构

成，结合三角形的稳定性即可求解.

【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性.

故答案为：稳定性.

12.如图，VA8C的两个外角的平分线A。，CE相交于点O.若点。到8C的距离为3.5,A8=4,则

4A80的面积为.

8

【答案】7

【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点。到A8的距离等于点。到4c的距

离，再利用面积公式进行计算即可.

【详解】解：13V4BC的两个外角的平分线A。，CE相交于点0,

回点。到AB的距离等于点0到AC的距离，且点。到AC的距鹿等于点。到BC的距离,

图点。到AB的距离等于点O到AC的距离，

0点。到8C的距离为3.5,

圆点。到A8的距离为3.5,

团AB=4,

圆.ABO的面积为:x4x3.5=7；

故答案为:7.

13.已知NANB,NC是VA8C的三个内角，其中NANB为锐角，若sin+IanB-¥j=0,则

/C的度数是.

【答案】90。/案度

【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键.利

用非负数的性质求出-A和N3的度数，再根据三角形内角和定理计算/C的度数.

【详解】解：［3sinA-孚+，an6-坐）=0,且绝对值和平方项均非负，

团sin4----=0,tanB----=0

23

国.A6口6

团sinA=——，tanB=——，

23

回/A，N8为锐角，

024=60。，4=30。，

□ZC=180°-60°-30。=90°.

故答案为：90°.

14.如图，等边三角形4BC的边长为2,A的半径为1,点。是8c上的动点，OE与CM相切于点E,

则DE的最小值是.

【答案】V2

【分析】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质.

连接作于“，因为力E与。A相切于E,所以AEJ.OE,可得

DE=J心-AS?=《AD'I，当。与"重合时，A”最小，此时〃上最小，求出A”的长，即可得出。七

的最小值.

【详解】解：如图，连接AEA。，作A”_L8C于，，

团QE与d相切于E,

/.AE±DE，

I2QA的半径为1,

DE=yjAD2-AE2=\lAD2-1，

当。与〃重合时，A。最小，

回等边V/WC的边长为2,

:.BH=CH=1,

4〃=，22-|2=&，

团QE的最小值为：J(a2-『=、£.

故答案为：V2.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=6,CB=8,连接AC,—3AC的平分线交8C于点E,则线段战的长

为_____

【答案】3

【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地

作出所需要的辅助线是解题的关键.作砂IAC上点凡根据勾股定理求得AC=10,由角平分线的性质

得BE=EF,再证明Rt_A5入Rt4A在(HL),得AF=AB=6,则CF=4,设BE=EF=x,则

CE=3-x,再由勾股定理得CE、EL+C尸，即可求得3E.

【详解】解：作b_LAC于点立

在矩形48co中，48=6,CB=8,ZB=90°,

^AC=yJABr+BC2=\0^

团4c平分N8AC,AB1BE,EF1AC,

^BE=EF,

^AE=AE,ZABE=AAFE=90°,

E]Rt../WE^Rt_/AFE（HL）,

0AF=AB=6,

^CF=AC-AF=4,

设BE=EF=x,则CE=8—x,

在RlsCE/中，CE'EF'CF。,

0（8-X）2=X2+I6,

团x=3,

0BE=EF=3.

故答案为：3.

16.如图，已知S&8c=8m。AO平分/朋C,且AO_L4。于点。，则S△皿•=

【答案】4

【分析】本题考杳了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积，得出点O是跖的中点是解题关

键.延交ACT点E,证明山，AD59..AOE(ASA),得到从而得出540c-gs八放，即可

求解.

【详解】解：如图，延长3。交AC于点E，

AD平分N84C,AD1BD,

\?BAD?E4D,ZADI3=ZADE=90°,

又♦.AD=AD,

ADB^.ADE(ASA),

BD=DE，

SAZM：=SADU»$△忒-/〉=$△(?”£，

**,S&ABC=8m~,

S^ADC=4m~,

故答案为：4.

三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分,

共72分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本题8分）如图，在直角VA8c中，ZA=90°.

⑴在VAKC内找一点P,使点P到点A、C距离相等且到边AC、AC的距离相等.（利用直尺圆规作图）

（2）若4=50。，求NE4P的度数.

【答案】（1）见解析

（2）70°

【分析】本题考查作图一复:杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知

识解决问题.

（1）作CT平分/ACA,作线段AC的垂直平分线MN,直线MN交射线CT于点P,点P即为所求：

（2）由作图可知B4=PC,推出NQ4C=/PC4,求出NPC4可得结论.

.\ZACB=90°-50°=40°,

Tb平分/AC8,

:.ZACP=-AACI3=2O0,

2

•「MN垂直平分线段AC,

:.PA=PC,

:.ZPAC=ZPCA=20°,

NBA尸=90。-20。=70°.

18.（本题8分）如图，BD平分ZABC交AC于点D,DE工AB于E,DF工BC于F,AB=6,

BC=8,若&枷=28,求OE的长.

【答案】4

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得尸是解决本题的关键.利用角

平分线的性质可得DE=DF,再根据S△八BC=S*+求解即可.

【详解】解：团3。平分N48C,DEJ.AB,DF±BC,

@DE=DF,

团S&ABC~S/\ABD+S&BCD»S△.8c=工8,AB=6，BC=8,

0-x6xDE+-x8xDF=28,

22

团7DE=28,

团QE=4.

19.(本题10分)如图，点。在/AOA的内部，NOC4=NOC8,NOCA与/AQA互补，

⑴求证：AAOCS^OBC；

(2)若4C=2,BC=2.5,求OC的长度.

【答案】(1)见解析

(2)万

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、互补的定义、三角形内角和定理，熟练掌握柜关知识点是

解题的关键.

(1)根据互补的定义得到？OCA?AOC?BOC180?,根据三角形内角和定理得到

?OC4?AOC?A180?,贝I」有NA=/80C,再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明；

(2)根据相似三角形的对应边成比例即可求解.

【详解】(1)证明；售NOC4与二八08互补，

团NOC4+NAO4=180。,

即？OCA?AOC?BOC180?,

0?OC41AOC?A180?,

团/4=4OC,

XENOCA=NOCB,

团△AOCSAZ)8C：

(2)解：回△AOCS^OBC,

ACOC

0---=---,

OCBC

^OC2=ACBC

（3AC=2,BC=2.5,

0OC3=2x2.5=5，

图0C=6（负值已含去），

团OC的长度为括.

20.（本题10分）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学

楼的高度.如图，在大楼A8的正前方有一斜坡C。，CD=4米，坡角NDCE=30。，小红在斜坡下的点C

处测得楼顶6的仰角为60。，在斜坡上的点。处测得楼顶8的仰角为45。，其中点A、C、E在同一直线

上.

⑴求斜坡C。的高度OE：

⑵求大楼A8的高度（结果保留根号）.

【答案】⑴2米；

⑵（6+4G）米.

【分析】（1）根据30。角所对直角边是斜边的一半即可求解；

（2）过。作J•八8,交AB于点F,则NOE4=NE4尸=/。幺=90。，所以四边形力丛产为矩形，证

A—_x+2_2x+4百（2x+4）

明尸，设班'=£）尸=.丫米，则AA=（r+2）米，由一ccs30。一一J5-3米，同理

2

BD=C.BF=&c米,在口△8。中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD^即

（0x）2=6（；+4）+42,然后求出X的值即可.

【详解】（1）解：在RlVDCE中，C£>=4米，ZZX?E=30°,ZD£C=90°,

团。“=；。。=2米，

则斜坡C。的高度DE为2米；

（2）解：过。作。产_LA7?,交48于点尸，

0ZDEA=ZE4F=ZDM=9O°.

回四边形OE4尸为矩形，

0Zfi/T>=9O°,NBDF=45。,

0ZF^D=45°,即△6蛆为等腰宜.角三角形，

^BF=DF,

设B尸=。尸=人米，

团四边形OE4尸为矩形，

团Ab=O£=2米，即A8=(x+2)米，

在RtZkA8C中，ZA5C=30°,

ABx+22x+4\5(2X+4)

回-cos30o-^r->/33米，

T

同理8。=&8尸=向米，

0ZDCE=3O°,NAC9=60°,

团NDC8=90°,

在RtZXBCZ)中，根据勾股定理得：I3D2=BC2+CD2,

团⑹二吗+4)-十彳?，

解得：芭=4+46,A-2=4-4>/3（舍去），

团AB=x+2=4+4x万+2=6+46（米），

团大楼A8的高度为（6+46）米.

【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用一仰角俯角问题，

坡度坡角问题，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是

解题的关键.

21.（本题10分）如图，已知A/?=a）,点E,产在线段80上，KAF=CE.

请从①B/=OE;②NBAF=NDCE；③=B中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得

AABF冬ACDE.

你添加的条件是：（只填写一个序号）.

添加条件后，请证明AECF.

【答案】①（或②）

【分析】本题主要考查全等二角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定

理与性质并灵活运用.利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角

形的性质及平行线的判定证明即可.

【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），

证明：当选取①时，

在445户与，CQE中，

AB=CD

AF=CE,

BF=DE

:.tCDE（SSS）,

;.ZB=ZD，

BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

：.BE=DF,

在」ABE与YCDF中,

AB=CD

<NB=ND,

BE=DF

..△ABE经ZSC。尸（SAS）,

ZAEB=4CFD,

：,AE//CFx

证明：当选取②时，

在AAB尸与gCD卬卜，

AB=CD

-ZBAF=ZDCE,

AF=CE

△"/^△CDE（SAS）,

:.ZB=ZD,BF=DE，

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在与YCDF中,

AB=CD

«NB=ND,

BE=DF

:.△ABE^Z\CDF（SAS）,

/.ZAEB=4CFD,

：.AE//CFi

故答案为：①（或②）

22.（本题12分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题.

如图1,己知VA3C中，ZACB=90°,AC=BC,P是V/WC内的一点，且E4=3,28=1,PC=2,求

NEPC的度数.

小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到..C8E的位置,，你知道小强是怎么解决的吗？

（2）请根据（1）的思想解决以下问题：

①如图2所示，设P是等边V48c内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求-APB的度数.

②如图3所示，设。是等边VA4C内一点，要使4PC=150。，zS4PC=120°,求线段也码小满足的

数量关系.

【答案】（1）135°；（2）150。；（3）线段PA尸8,PC满足的数量关系为：PC:PB:PA=T:6:2

【分析】（1）将绕。旋转到△CBE的位置，得到NPCE=90。，通过证明8£：2=P炉+尸公，得至IJ

ZBPE=90°,利用角度关系解题即可；

（2）将..4BP绕点A逆时针旋转60。到“ACQ的位置.，连接尸。，证明△AP。为等边三角形，得到

4QP=60。，通过P。、CQ、PC的边长关系证明夕。2+cQ2=pc2,利用勾股定理逆定理得到

NPQC=90°,求出NAPB的度数即可.

（3）先求出NA尸8=360。-150。-120。=90。，由等边三角形得到阳=8C,Z48C=60。，把二A8P绕点8顺

时针旋转60。得到△C8O,证明出△8PD为等边三角形，贝ljNWZ>=N6O尸=60°,PD=PB,求出

ZPDC=30°,ZCPD=90°,则CO=2PC,再由勾股定理得m）=GP。，即可求解.

【详解】（1）解：如图：

由题意得：ZPCE=90°

:.PC=EC=2,BE=PA=3,

0ZCPE=ZE=45°,

由勾股定理得：PE2=22+22=S

*二1，BE?=9

：.BE2=PE2+PB-

.\ZBPE=9(r

.ZCPE=45°

.-.ZBPC=90°+45°=135°.

答：N4PC的度数为135。.

（2）将二绕点A逆时针旋转60。到》CQ的位置，连接P0,如图:

/.AP=AQ,NDAQ=60。，QC=PB=4

・•・△"Q为等边三角形，N4QP=6()。，PQ=PA=3

PQ2+CQ2=32+42=25,PC2=52=25

/.PQ2+CQ2=PC2

，Z.PQC=90°,ZAQC=600+90°=150°

ZAPB=Z1AQC=150。.

答：-AP4的度数为150。.

（3）解：线段PAPB.PC满足的数量关系为：PC.PB:PA=\:^:2

0/BPC=150°,ZAPC=120°,

0x64P^=36Oo-15Oo-l2Oo=9O°

（2VA8c为等边三角形，

0BA=BC,ZAZ?C=6O°

把，ABP绕点8顺时针旋转60°得到△C8O,如图：

^BD=BP,CD=AP,ZPBD=60°,ZCD«=Z4PB=90°

团△瓦外为等边三角形

中ZBPD=4DP=HP,PD=PB,

0ZPDC=9O°-6OO=3O°,ZCPD=150°-60o=90°.

0CD=2PC,

国PD=dCD?-PC?=£PC

团尸C:尸。：CQ=1:6：2

团PC:尸8:R4=1:J5:2

故PC:P8:PA=1：G：2.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，旋转的性质，等边三角形的性质与判定