中考数学一题多解：平面直角坐标系与图形运动（原卷版）

第02讲平面直角坐标系与图形运动

在数学几何学习中，平面直角坐标系是每年学考的必考内容，也是我们几何学习和复习的重

题型•：点的坐标题黑心坐标方法的简单应用

题皇二:规律型：点的坐标题型六：两点间距离公式

平面直角坐标系与图形运动

题型。坐标确定位.置题型七：数形结介思想

题型四:坐标。图形性质题型八：利用数形结合思想分类讨论

【必备知识】

一、平面直角坐标索的有关概念，直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系

1.在平面内取一点O,过点O画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点.这样，就在平面内

建立了一个直角坐标系.通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫

做横轴（记作X轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作y轴）.如图所

示，记作平面直角坐标系宜沙：点O叫做坐标原点（简称原点），x轴和歹轴统称为坐标轴.

建立直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）

y

3

2

第二象限第一象限

1

-3-2-1O23x

-1

第三象限第四象限

-2

-3

2.在平面直角坐标系X0F中，点尸所对应的有序实数对（4力）叫做点尸的坐标，记作尸（41），其中。叫做

横坐标，6叫做纵坐标.

3.平面直角坐标系的两条坐标轴把平面分成四个区域.这四个区域依次叫做第一象限、第二象限、第三象

限、第四象限.同时规定，x轴、y轴不属于任何象限.

4.经过点A(a,b)且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=a,经过点A(a,b)且垂直于y轴的直线可以表示

为直线y=

二、平面直角坐标平面上点的平移、对称及简单图形的对称问题

1.一般地，如果点沿着与x轴或y轴平行的方向平移个单位，那么

向右平移所对应的点的坐标为(x+"?,)，)；

向左平移所对应的点的坐标为(x-机,y)；

向上平移所对应的点的坐标为(x,y+m):

向下平移所对应的点的坐标为

2.一般地，在直角坐标平面内，与点"(xj)关于x轴对称的点的坐标为(羽-用：与点M(x,y)关于y轴

对称的点的坐标为(-xj).

3.一般地，在直角坐标平面内，与点用(xj)关于原点对称的点的坐标为(-占-)，).

【思考】在平面直角坐标系中，点的平移和对称在坐标的变化方面有何异同？

三、平面直角坐标平面上两点间距离公式

1.在直角坐标平面内，平行于k轴的直线上的两点/(XQ)、8(//)的距禽"4=1须-.q[;平行于)，轴

的直线上的两点。(X,必)、O(X,，2)的距离。。=|凹-歹2卜

2.两点的距离公式：如果直角坐标平面内有两点力、B,它们的坐标分别为4凡,凹)、5(々,必)，那么

4B两点的距离-％)2+(胃-肉.

【思考】两点间距离公式是如何推导的？

【注意】在运用两点间距离公式时注意坐标的符号.

【应对方法与策略】

1.对于直角坐标平面内的任意一点P,过点尸作x轴的垂线，垂足为可得点M在x轴上所对应的实

数〃；再过点尸作y轴的垂线，垂足为N,可得点N在y轴上所对应的实数那么有序实数对（〃力）表

示点尸，这样的有序实数对是唯一确定的.反过来，任意给定一对有序实数伍力），可在x轴上描出实数a

所对应的点在y轴上描出实数力所对应的点N；再过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，那

么这两条垂线的交点户表示有序实数对他乃），这样的点也是唯一确定的.于是，平面内的每一点都有唯

,的有序实数对与它对应.

2.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变

大，向下平移纵坐标变小；关于工轴对称，两对称点在一条垂直x轴的直线上，所以横坐标不变，纵坐标

互为相反数，同理关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数.

【记忆技巧】

点的平移右加左减，上加下减；

【多题一解】

题型一：点的坐标（共5小题）

1.（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点力（-1,-2）落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚-咚咚，咚-

咚，咚咚咚-咚”表示的动物是“狗二则听到“咚咚-咚，咚咚咚-咚咚，咚-咚咚咚”时，表示的

动物是（）

4QRSUVX

3TBEINP

2WDAHLMY

10CGFJKZ

1234567

A.狐狸B.猫C.蜜蜂D.牛

3.（2022•青海）如图所示，A（2V2,0）,AB=3近,以点4为圆心，48长为半径画弧交上轴负半轴于

点。，则点C的坐标为（）

A.(3心0)B.(V2»0)C.<-V2»0)D.(-3vL0)

4.（2022•河池）如果点尸（〃?，1+2M在第三象限内，那么机的取值范围是（）

A.--</??<0B.m>--C.w<0D.m<--

222

5.（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（-3,『+］）所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

题型二：规律型：点的坐标（共4小题）

6.（2022♦河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形/8CQE77的中心与原点。重合，AB//

x轴，交y轴于点P.将△O4P绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第2022次旋转结束时，点力的

坐标为（）

A.(V3>-I)B.(-1,-V3)C.(-V3»-1)D.(1,V3)

7.（2022•济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作

“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,由数字0和1纽成的序列表示一个点按照上面描述依次连

续变换.例如：如图，点0（0,0）按序列“（）11…”作变换，表示点。先向右平移一个单位得到S

（1,0）,再将。1（1,0）绕原点顺时针旋转90°得至（0，-1），再将。2（。，-I）绕原点顺时

针旋转90°得到6（-I，0）…依次类推.点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标

8.(2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中,Ai(2,0),(0,1),小当的中点为g；A2(0,

3),B2(-2,0),42&的中点为。2：力3(-4,0),B3(0,-3),丁当的中点为。3；-4(0,7),

S4(4,0),人治的中点为。4；…；按此做法进行下去，则点。2022的坐标为.

9.(2022•荆门)如图，过原点的两条直线分别为小y=2x,/2：y=~x,过点A(1,0)作x轴的垂线与

/(交于点小，过点小作y轴的垂线与11交于点％2，过点42作X轴的垂线与1\交于点力3，过点43作y

轴的垂线与，2交于点44,过点4作X轴的垂线与八交于点为，……，依次进行下去，则点420的坐标

为.

10.（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1,3）表示，“炮”所在的位置用

点C的坐标为__________________

题型四：坐标与图形性质（共4小题）

12.（2022•铜仁市）如图，在矩形/8CQ中，/（-3,2）,B（3,2）,C（3,-I）,则。的坐标为

)

13.（2022•台湾）已知坐标平面上有一直线L与一点儿若上的方程式为x=・2,%点坐标为（6,5）,

则4点到直线£的距离为何？（）

A.3B.4C.7D.8

14.（2022•槐荫区一模）以直角丝标系的原点。为圆心，以1为半径作圆.若点P是该圆上第一象限内的

一点，且。尸与x轴正方向组成的角为a,则点尸的坐标为（）

A.（cosa,1）B.（1,sina）

C.（sina,cosa）D.（cosa,sina）

15.（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（・2,0）,点4在），轴正半轴上，以点4

为圆心，以1长为半径作弧，交x轴正半轴于点C,则点。的坐标为.

题型五：坐标方法的简单应用

一、单选题

1.（2020・河北•中考真题）如图，从笔直的公路/旁一点。出发,向西走6km到达/；从户出发向北走6km

也到达/.下列说法错误的是（）

/\东

A.从点P向北偏西45。走3km到之/

B.公路/的走向是南偏西45。

C.公路/的走向是北偏东45。

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达/

2.（2022・河北•平泉市教育局教研室二模）如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋❶的位置用有序数

对（。，-1）表示，黑棋❷的位置用有序数对（-3,（））表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（）

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

3.（2022・河南开封•二模）如图是东西流向且两岸b互相平行的一段河道，在河岸。有一根小树A,在

河岸〃的琪琪观测到小树A在他的北偏西30。方向上，则琪琪的位置可能是（）

北

-----►东

A

01Q1苍蓝

A.QB.Q2C.&D.Q

二、填空题

4.（2022•甘肃兰州•中考真题）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白

塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）,那么黄河母亲像的坐标是.

5.（2022・浙江丽水•三模）如图，射线04表示北偏西30。，若射线O8J.O4,则射线08表示的方向为

6.（2020•黑龙江绥化•中考真题）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50。方向，距禽观测塔100km的力

处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔尸的南偏西37。方向的8处，这时，8处距离观测塔

P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°«0.60,cos37、0.80,tan37=0.75,sin50'=0.77,

cos50«0.64»tan50«1.19.）

题型六：两点间距离公式

一.选择题（共1小题）

1.（2022•江阴市模拟）如图，半径为1的。。的圆心在坐标原点，P为直线y=-x+2上一点，过点P作

0。的切线，切点为力，连接。4OP.下列结论：

①当△（以夕为等腰直角三角形时，点尸坐标为（1,1）；

②当N/OP=6（）"时，点P坐标为（2,0）；

③△。力户面积最小值为工；

2

④N加Y）W45°.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二.填空题（共1小题）

2.（2022•海曙区自主招生）如图，点4、B、。均在坐标轴上，AO=BO=CO=\,过4、O、。作O。，E

是。。上任意一点，连结C£,BE,则CN+BR的最大值是.

3.（2021•西吉县二模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平面内两点4（勺，为）、P2

（x2,）'2），其两点间的距离P[P2='（X]_X2）2+（y[_y2）2,同时，当两点所在的直线在坐标轴或

平行「坐标轴或垂直于坐标轴忖，两点间距离公式可简化为应-内1或卜2-y小

（1）已知力（2,4）、4（-3,-8）,试求力、4两点间的距离：

（2）已知力、8在平行于），轴的直线上，点力的纵坐标为4,点4的纵坐标为-1,试求力、8两点间的

距离;

（3）已知一个三角形各顶点坐标为。（1,6）、F（-2,2）、F（4,2）,你能判定此三角形的形状

吗？说明理由.

题型七：数形结合思想

1.（2022•馆陶县模拟）如图，出租车司机王师傅从X地出发，要到距离力地13A7〃的C地去，先沿：北偏

东70°方向行驶了12公〃，到达4地，然后再从4地行驶了女6到达C地，此时王师傅位于4地的

B.北偏西20°方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

二.填空题（共4小题）

2.（2022♦惠阳区一模）等腰Rt△小8C”等腰等腰Rt△43c2c3…按如图所示放置，点8的

横坐标为1,点小，42,43,44…在直线y=X上，分别以42。1，43c2,41c3…的中点。1，。2,。3…为圆

心，山。1，43。2,4。3…的长为半径画弓石豆扇耳E•・依次按此作法进行下去，则磕！7森

的长是（结果保留IT）.

3.（2022•浑南区一模）在平面直角坐标系中，力点坐标为（0,3）,直线y=-2x+8交X轴于点8,交y轴

于点C,第一象限内有一动点P,且满足P/=PC+2,则△〃片台周长的最小值为.

4.（2022•和县•模）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线

是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处4距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2

米时，达到最大高度2米的4处，则小丁此次投掷的成绩是米.

5.（2022•越秀区校级二模）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为9米，出手后铅球在空

3

中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=-吉好+人田/当铅球运行至与出手高

度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为一米.

三.解答题（共5小题）

6.（2022•桂林模拟）如图，在立面直角坐标系中，已知△力的三个顶点的坐标分别是幺（2,3）,8

（1,1）,C（3,1）.

（1）画出关于x轴对称的△小0G；

（2）若点。是△力BC与△小SG的对称中心，请直接写出点P的坐标；

（3）以点。为位似中心，在y轴的左侧将△48C放大到原来的2倍，得到△血当。?，请画出△力232c2.

7.（2022•深圳模拟）如图，在单位长度为I的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点小

B、C,请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心。点的位置，写出。点的坐标为；