第四章《三角形》复习题 全等三角形中的八类重要模型（含答案）-七年级数学下册北师大版

第四章《三角形》复习题一全等三角形中的八类重要模型

八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（（字型）、手拉手模型、半

角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等

一、单选题

1.如图，小虎用10块高度都是女m的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙

之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（/C=8C,4c8=90。），点。在。石上，点力和〃分

别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离。石的长度为（）

O

CE

A.10cmB.27cmC.30cmD.33cm

2.已知：如图，在AABC,AADE中，NB4c=ND4E=90。,AB=AC,AD=AE,C,D,£三点在

同一条直线上，连接80.以下四个结论：®BD=CE；②4CE+NZ）8C=45。；③8DJ.CE；④

/以E+NQ4c=180。，其中正确的个数是（）

3.如图，AABC和ABDE均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①“BEqACBD；

②0MBD且&FBE；③且△。4例；④AAFC且ABDE,则上述结论中正确的是（）

A.①②③④B.①②③C.©©④D.②③④

4.如图，在正方形"C。中，/口尸=45。，连接石尸.小明同学在进一步探究这个题目时，将AWF

绕点A顺时针旋转了90。，然后发现了一些结论,你认为他发现的以下四个结论完全正确的是

()

①£4平分N8EJ②平分芭；③F'E=FE；④△£网?的周长=正方形44C。边长的2倍

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

5.如图，点户为定角440〃的平分线上的一个定点，且/MPN与乙4OB互补,若/MPN在绕点、P

旋转的过程中，其两边分别与0404交于点M,N,则以下结论：①尸M=恒成立；②

0M+0N的值不变；③四边形PM0N的面积不变；④MV的长不变；其中正确的个数为()个

A.1B.2C.3D.4

6.如图，在AABC中，ZC=90°,N8=30。，以A为圆心，任意长为半径画瓠分别交48、4C于

点必和N,再分别以M、N为圆心，大于;MN的长为半径画弧，两弧交于点户，连接力P并延

长交8c于点。，则下列说法中正确的个数是()

①力力是/胡。的平分线；②“。。=60。；③点。在力8的垂直平分线上；④S皿c：L8c=1:3

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.如图，在。中，［4=12,AC=20f求8C边上中线4。的范围为

8.如图，在AABC中，/C=9¥"C=8C=6,D为/出的中点，点E在力C边上（不与端点重合）,

将射线OE绕点D顺时针旋转90。后与8c交于点尸，则四边形CEDF的面积是.

9.如图，已知AABC的面积％8cm:8P为N/18C的角平分线，/伊垂直8P于点P,则△P8C的

面积为cm2.

10.如图，将一块边长为12cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点，使DE

=5,折痕为PQ,则PQ的长为cm.

三、解答题

11.如图，在AABC中，AB=AC9NC48=90。，〃是/C上一点，CE_LM交8。延长线于点区

且CE=gBD,求证：8。是N44。的角平分线.

c

12.如图，在AABC中，AB=AC,是AABC的角平分线.

（1；当8。=力8+力。时，求NA4C的度数；（2）当/比1C=108°时，求证：BC=AB+CD.

A

D

BC

13.问题情境

如图1,乙408=90。，OC平行/AOB,把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点。二，并使三

角尺的两条直角边分别与以、。8相交于点£\F,

图2

(1)把三角尺绕着点尸旋转(如图1),「石与尸尸相等吗？试猜想尸公尸尸的大小关系，并说明理

由.

变式拓展：⑵如图2,已知4/03=120。，OC平分2/106,?是OC_L一点，"PF=60°,PE过

与。4边相交于点瓦展边与射线08的反向延长线相交于点儿试解决下列问题：①尸£与还

相等吗？为什么？②试判断《无、OF、OP三条线段之恒的数量关系，请直接写出你发现的结

论.

14.如图1,AABC为等腰三角形，AB=AC,。是线段6C的中点，过点。作射线和射线OP,

⑵OE与。尸相等吗？为什么？

(3)如图2,若ZJ=120。，NEDF=60。,48=10,试求痔+EC的最小值.(在直角三角形中，如

果有一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

15.操作：如图①，AABC是正三角形，ABQO是顶角/F/)C=120。的等腰三角形，以〃为顶点作

一个60。角，角的两边分别交.48、4C边于KN两点，连接MN.

探究：线段BM、MN、之间的关系，并加以证明.

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写

出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完

成你的证明.

①AN=NC（如图②）；②DM〃AC（如图③）.

附加题：若点必、N分别是射线力8、C4上的点，其它条件不变，再探线段8A/、MN、NC之间

的关系，在图④中画出图形，并说明理由.

图①图②图③图④

16.如图1:在四边形力8cZ）中，AB=ADy/84。=120。，/8=乙4。。=90。，E、”分别是8C,

CQ上的点，且/切尸=60。，探究图中线段4E,EF,心之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长心到点G,使DG=BE,连接4G,先证明,

再证明"E尸会"GE,即可得出8E,EF,尸。之间的数量关系，他的结论应是

像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称

为半角模型.

拓展:如图2,若在四边形49CQ中，AB=AD,ZZ?+ZD=180°,E、〃分别是灰?，CO上的点，

且=则8E,EF,厂。之间的数量关系是请证明你的结论.

17,已知，正方形力88中，NWN=45o,NM4N绕点力顺时针旋转，它的两边分别交C8、OC（或

它们的延长线）于点KM当NM4N绕点力旋转到3M=ON时（如图1）,求证8M+ON=MN

⑴下面是小东同学的证明过程，请补充完整.

证明：延长MB至点、P,使BP=DN,连接”，如图1,

（2）当NM4N旋转到8M工力N时（如图2）,线段笈“、DV和MV之间的数量关系若正方形

的周长为4,贝ikCA/N的周长是：（3）当/M4N绕点力旋转到如图3的位置时，，线段8A/、

DV和A/N之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

18.问题探索

如图1,在AABC中，48=/。,/"。=90。,4。=6皿，点。在线段8。上运动，以AD为一边,在力。

的右侧作AADE,使NO=/E,/DAE=/BAC,过E,。两点作直线MN.

(1)直接写出/力圆=°,4。的最小值为cm；

(2)请说明△/出。且△/(?£；(3)直接写出/8CE的度数，并求出CE+CZ)的值.

拓展延伸(4)如图2,改变“问题探索”中“4"=90。”这一条件，其它条件不变.设

Z^C=a(0°<a<180°),NBCE=p,则。，夕之间有怎样的数量关系？直接写出结论.

(5)在(4)的条件下，继续改变“问题探索”中“点。在线段8C上运动”这一条件为“点。

在直线8C上运动"，则"与CQ有何数量关系？请直接写出所有可能的结论.

19.特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳

与猜想，验证并得出一般性的结论.

BA匕--------丫3

【问题提出】如图①，△CMB和AOCO是等腰三角形，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,且

点4C、。在同一直线上，力。和QA有怎样的关系？

【问题解决】（1）在图②中，若Na=90。，点4C、。在同一直线上，则力。和。4的数量关系是

_____,位置关系是_____;

⑵在图③中，若Na=60。，点4C.。在同一直线上，判断说明力。和08数量关系，并求/力。4

的度数；

（3：在图④中，若/a=30。，点4C、。在同一直线上，则力。和。8的数量关系是,

ZADB=_____________0.

（4；通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，AC与。8有怎样的关系.（写出两条）

20.如图，在中，4c8=90。，AC=BC,4ELCE于点、E,BD1CE于点、D.⑴求证:

“CE知CBD；(2)若4E=5,BD=2,求QE的长度.

21.“一线三等角”学习探究.

“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的

全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型）,

也可以是锐角或者钝角.对于“一线三等角”，有的叫“4型图”，也有的叫型图”.

(1)如图1,已知：在AABC中，4C8=90。，AC=BC,直线/经过点C,4OJL直线/,8E_L直

线1,垂足分别为点〃，£求证：AADC出2CEB；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AC=BC,D、C、£三点都在直线/上，并且

有Z/1DC=/ACB=NCEB=a，其中。为任意锐角或钝角，则/\ADC与△CE8是否全等？若仍全等,

请你给出证明；若不全等，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图3,D、E是D、a£三点所在直线/上的两动点(〃、a石三点互不重

合)，点/为/4C8平分线上的一点，且『和ABCF均为等边三角形，连接4),BE,若

ZADC=NACB=NCEB,试猜想。尸与罚的关系，并说明理由.

22.(1)观察理解：如图1,AABC中，408=90。，AC=BC,直线/过点C,点A、8在直线/

同测，BDJJ,AEJJ,垂足分别为。、七，由此可得：N/EC=NCO8=90。，所以NC4E+N/CE=90。，

又因为4。=90。，所以N8CD+N/CE=90。；所以NC4E=/8CO,又因为力C=BC,所以

△AEC2CDB()；(请填写全等判定的方法)

(2)类比探究：如图2,Rt“BC中,N4C3=90。,JC=4,将斜边,48绕点A逆时针旋转90°

至48',连接"C,求AABC的面积.

(3)拓展提升：如图3,在AABC中，AB=AC,/13>3C,点。在边4c上，CD=2BD,点、E、

产在线段力。上，Zl=Z2=ABAC,若AABC的面积为15,则△力CF与ABDE的面积之和为

(4)拓展应用：如图4,AABC中，AC=AB,8。=6,将"绕点8顺时针旋转90,，得BD,

连接CO,则△C8。的面积为.

23.在AABC中，匕1。4=90。，AC=BC,直线MN绕点C旋转，过点力作/Q_L"N于。，过点8

作BEJ.MN于E.当直线MM绕点C旋转到图1的位置时，易证QE=4）+8E.

（1；当直线"N绕点。旋转到图2的位置时,试问。月、力。、8E具有怎样的等量关系？并加以

证明.

⑵当直线MM绕点C旋转到图3的位置时,DE,AD,旗数量关系是（直接写出结

果）

(3)如果/。=8,BE=3,贝1JOE.（直接写出结果）

24.【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关

系,截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等.补短法：延

长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等.

【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，/CAD=/CBD=90。,组成一个四边形力Ca）,

以〃为顶点作2MDN,交边AC.BC于肌M

⑴若4CQ=30。，AMDN=60°,证明：AM+BN=MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路:

利用补短法，延长。8到点区使=连接。E,先证明段.OBE,再证明

△MDN*AEDN,即可求得结论.按照小红的思路，请写出完整的证明过程；（2）当

4co+NMDV=90。时，4"、MM8N三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不

用证明）；（3）如图③，在（2）的条件下，若将收/V.改在。、8c的延长线上，完戌图③，其

余条件不变，则，4"、A/M8N之间有何数量关系？证明你的结论.

25.综合实践

教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并

且都等于60。；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角

形.

探究问题：等边三角形的三个内角都等于60。，由此可得等边三角形的每一个外角都等于120。，

那么等边二角形与120。的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究,

请你帮助他们完成证明过程或解答过程.

趣小组的同学发现，当的度数确定时，/E的度数也随之确定.

①若/。=26。，则/£1的度数为.②求证：ND=NEAC.

(2)如图2,是等边三角形，点。是三角形内一点，且4P8=120。，延长力。交8c于点

延长8P交NC于点E,判断线段4、PB、尸。、旌之何有什么数量关系，并说明理由.

⑶如图3,是等边三角形，点P是三角形外一点，且/8PC=120。，连接〃，判断线段产力、

PB、PC之间有什么数量关系，并说明理由.

26.（1）阅读理解：如图①，在AABC中，若"=7,JC=3,求4C边上的中线力。的取值范围.可

以用如下方法：将“CO绕着点〃逆时针旋转180。得到△欧£>,在““中，利用三角形三边的

关系即可判断中线力。的取值范围是______；

（2）问题解决：如图②，在AABC中，〃是8c边上的中点，DE上DF于点、D,DE交AB于点、E,

DF交AC于点、F,连接求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展：如图③，在四边形48。中，N8+NQ=180。，CB=CD,Z5CZ）=120°,以C为

顶点作一个60。的角，角的两边分别交力氏4。于区F两点、,连接依探索线段4E,DF,EF之

间的数量关系，并说明理由.

27.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图①，在小蛇中，4。平分N84C,48C=2NC,求证：AC=AB+BD；

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法--：如图②，在&C上截取月君，使得他=月6,连接可以得到全等三角形，进而解决

问题；

方法二：如图③，延长力4到点区使得BE=BD,连接。后，可以得到等腰三角形,进而解决

问题.

⑴根据以上材料，任选一种方法证明：ACMB+BD；

(2)如图④，四边形48CO中，夕是3c上一点，EA=ED,/C=2N8,ZDJ£+Z5=90°,探究。C,

CE,研之间的数量关系，并证明.

28.【问题初探】(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1,△ABC(ABHAC)中，点、

。，E在边6C上，DE=EC,过D作DF//交4E于点F,DF=4C.判断力E是否平分/比IC?

请说明理由.

下面是两位同学的做法:

如图2,小美同学从线段用的角度去考虑，倍长在,便EG=FE,连接CG；

如图3,小丽同学从线段力少的角度去考虑，倍长4E,便EG=AE,连接QG；

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

GG

图1图2图3

【类比分析】（2）如图4,在中，=是"C7）的中线，ZACD=ZADC.请判断6C

【学以致用】（3）如图5,在力8c中，分别以力民/C为直角边向内作等腰直角三角形,

NA4£=NC4/=90。，彳凡/。是8c边上的中线，已知力。=8,求E/的长.

29.【方法探究】如下图，在“8C中，力D平分NB4C,乙48c=2NC,探究/C,ABf8。之间

的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1:如下图，在力C上截取花，使得力£=",连接可以得到全等三角形，进而解决

此问题•

方法2：如下图，延长到点/?,使得。/?=R。,连接力正，可以得到等腰二角形，进而解决

此问题•

E

⑴根据探究，直接写出4C,ABf8。之间的数量关系；

【迁移应用】（2）如下图，在“〃。中，。是8C上一点，/B=2/C,4）J_〃。于。，探究。。，

ABf8。之间的数量关系，并证明.

【拓展延伸】（3）如下图，△4为等边三角形，点。为初延长线上一动点，连接CD.以。。为

边在CO上方作等边△C0E,点尸是OE■的中点，连接力下并延长，交C。的延长线于点G.若

NG-乙4CE,求证：GF=,4E+4F；

30.(1)理解证明：如图1,NMAN=90：射线力£'在这个角的内部，点6,。在的边力机

4V上，且力B二4C,CE14E于点凡BDLAE于点、D.求证：AABD^ACAF；

(2)类比探究：如图2,点8,C在/M4N的边4%4V上，点区£在NM4N内部的射线力。

上：Zl,N2分别是"BE,ACAF的外角.已知48=AC,N1=N2=NBAC.求证：BE=EF+FC；

(3)拓展应用：如图3,在AABC中，AB=ACyAB>BC,点、D在迈BC上,CD=2BD,点、£,

户在线段力〃上，N1=N2=NB4C.若AABC的面积为21,求△/"£•与ACDF的面积之和.

参考答案

一、单选题

1.C

解：由题意得：4C=BC,乙4cB=90。,AD1DEtBEIDE,

，N4OC=NCE8=90。,，N/iCO+N4C£=90°,Z/1CD+ZDJC=90°,：.4BCE=/DAC,

ZADC=ZCEB

在△40。和中，,NDAC=/ECB,:."DC4CEB(AAS)；:.AD=CE,DC=EB,

AC=BC

•••用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，

AD=9cm,BE=21cm,/.DC=9cm,CE=21cm,DE=DC+CE=30cm,故选：C.

2.D

解：©VZBAC=ZDAE=9()°,:./BAC+NCAD=/DAE+NCAD,即NB/iD=NCAE,

\•在ABAD和ACAE中，：48=4C,/BAD=/CAE,AD=AE,

.•.△8力。且△C4E(SAS),:.BD=CE,本选项正确；

②'「△ABC为等腰直角三角形，AZABC=ZACB=45°t:.NABD+NDBC=45。,

•：~BAD知CAE,AZABD=^ACE,AZJCE+ZDBC=45°,本选项正确；

(3):乙4BD+NDBC=45°,/ACE+ZDBC=45°,

/.DBC+ZDCB=Z.DBC+ZACE+Z.ACB=90°,：.BDA.CE,本选项正确；

④;N84C=NO/E=90。，/.ZBAE+ZDAC=360°-90°-90°=180°,故此选项正确，故选：D.

3.B

解：•.・△/8C和ABDE均为等边三角形，

：.AB=BC,BE=BD,AABC=^DBE=60°,:"ABE=/CBD=120°,

AB=CB

在“BE和△C8。中，＜4ABE=NCBD,;.“BE冬CBD(SAS),所以①正确；:4EB=/CDB,

BE=BD

•/NEBF=180,-/ABC-NDBE=60,/.NEBF=ZDBM,

NEBF=NDBM

在aMBO和jBE中，BE=BD,「.△M8O%F8E（ASA）,所以②正确；BM=BF,

ZBEF=ZBDM

AB=CB

在&ABF和K.BM中,/ABF=NCBM,;.“BF知CBM（SAS）,所以③正确；

BF=RM

vACAF<60^,△水/不是等边三角形，而ABDE为等边三角形，

.•.△"V与ABDE不能全等，所乂④错误.故选：B.

4.D

解：•••四边形"C力是正方形，Z.ABAD=ZABC=ZADC=90°,AB=AD=CD=BC,

\•将△月。尸绕点A顺时专|旋转了90。，zLAFD=zLAF,B,DF=BF',zLDAF=zlBAF,,

44DC=4BF=90。,AN/BC+N4BF=180°,：,E、B、P三点、共线,

^EAF=45°,，/BAE+NDAF=45°,Z./BAE+NBAF'=45°,

.•.ZEAF=NE4F'=45。，：.A£^F^A£JF（SAS）,；AEF=/AEF,F'E=FE,AAFE=ZAF'E,

平分/8以"故①③正确；

VZJFD=ZAF'B,ZAFD=LAFE,：・％平分NDFE,故②正确；

尸C的周长=E/+EC+C户,=EF'+EC+CF=BF'+BE+EC+CF=DF+BE+EC+CF

=BC+CD=2BC,故④正确；综上可知：①②③④正确，故选：D.

5.C

解：•・•点。在4OB的角平分线上，：.ZAOP=NBOP,

如图所示，过点尸作尸E_L。!于点E,作所_LO〃于点8,

B

AZPEO=ZPFO=90°,PE=PF,OE=OF,・••在四边形PEO厂中，ZEOF+ZEPF=180°,

,?Z.AOB+ZMPN=180°,/.KMPN=4EPF,即NMPE+ZEON=NEON+4N0F,

:.乙MPE=4NPF,：.AMPE%NPF(SAS),：.PM=PN,故①正确；

由①正确可得，ME=NF,：,OM+ON=OE+EM+OF-NF=2OE=2OF,故②正确；

由bMPEm&NPF可得S&MPE=S&WF,•.sCPE+S'EPO+SAOPN=S&Epo+sGOPN+SaNPF=S四边形=^WUl,fdPF.OF»

・•・西边形PMOV的面积是定值，故③正确；

如图所示，连接即"由上述结论可得，PM=PN,PE=PF,4MPN=NEPF,PM>PE,PN>PF,

:・MN手CD,即朋N的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选:

C.

6.D

解：由作图可知：力。是NA4c的平分线，故说法①正确；

•••NC=90°,NB=30°,NBAC=180°-90°-30°=60°,

ACAD=ABAD=|ABAC=30°=ZB,:ZDC=NB+NB/1D=60。,故说法②正确；

过点。作。ES44于点E,

•;ZB=NBAD=3(f,，力。=8。，.••点。在44的垂直平分线上，故说法③正确;

是“历1C的平分线，ZC=ZJED=9(F,:.CD=DE,

NC=NAED

在aACD和AAED中/CAD=ZEADj.^ACD会"ED(AAS),,

CD=ED

NDAE=ZB

在AADE和ABDE中，^ED=/BED=9(F:.AADE丝A5Z)E(AAS),?.S"=S&BDE,

DE=DE

二"S"co=必-,S△必:S—%.=1:3,故说法④正确.「•正确的说法有4个，故选:D.

二、填空题

7.4<AD<16

解：延长力。到反使得。E=.4。，连接砥，如图,

AD=ED

在^\ADC和4EDB中，-N4DC=/EDB,二"QC注AED^SAS),；.BE=AC=20.

CD=BD

VBE-AB<AE<AB+BE,20-i2<2JD<12+20,/.4<JD<16.故答案为：4<力。<16.

8.9

解：如图，连接6,

/4C8=90。,4C=8C=6,O为力8的中点，.;ZB=45°,ZACD=/.BCD=^ZACB=45°,CD1.AB,

.•・/8QC=90。，4B-乙4CD、「・△BCD是等腰直角三角形，:.BD-CD,

根据题意得：NEDF=90°,ZBDC=ZEDF，.二£EDF-ZCDF=Z.BDC-Z.CDF,即NCDE=NBDF,

在ACOE和萩。尸中，:4CDE=/BDF,BD=CD,NB=4ACD,：.ACZ)E^A^DF(ASA),

S^OiE=S-BDF»

・•・西边形CECW的面积

="醍+S®=S®+S®=Sa8c。=卜.=i-x\-ACxBC=UU&6=9.故答案为：9

乙乙乙乙乙

9.4

解：延长力?交8C于反

B

丁/P垂直48c的平分线6P于P,ZABP=Z.EBP,又知BP=BP,NAPB=/BPE=90°,

ZABP=4EBP

:•在4BP与ABEP中，，BP=BP,,

乙4PB=ZBPE

••S&ABP=SfefiEP,AP=PE,..l\APC和△CPE等底同茴，…S4Ape=S&PCE,

设△?!CE的面积为m,：,SAABE=S△皿+SAACE=8+m,

•e•S.PBC=^(8+W)-TW=4(Cm')•故答案为：4.

乙乙乙乙

10.13

解：过点P作PM_LBC于点M,

由折叠得到PQ_LAE,AZDAE+ZAPQ=90°,又NDAE+NAED=90°,AZAED=ZAPQ,

VADZ^BC,AZAPQ=ZPQM,则NPQM=NAPQ二NAED,ND=NPMQ,PM=AD

・•・△PQMg△ADEPQ=AE=VF+TF=13故答案是：13.

三、解答题

11.如图，延长助交于点凡,:CELBE,.♦./坟下=90。，

又/。产=/。8=90°,AABD+ZAFC=ZACF+AAFC=90°,:•乙4BD=/ACF,

/ACF二/ABD

在△力C尸和△44。中，•AC=AB,AJCF^A^5/)(ASA),：,CF=BD.

NC4F=NBAD=90’

又CE=*。，♦・・C£=；b,・・・C£=E/"・.・8E_L6,「.BE是线段b的垂直平分线，，BC=BF,

.I4CBE="BE=|ZCBF,BD是/ABC的角平分线.

C

12.(1)延长6力至E,使力七=/。，连接OE,贝=

/；E

vBC=AB+AD,:.BC=BE.5BD平分NABC,:"DBE=4DBC,

•;BD=BD,:ZDE妾MDC,.../(7=/£.

设/8/C=x。，则N4OE=NE=；x。，/.ZC=1x°.VAB=AC,：.ZABC=ZC=^x°.

在AABC中，ZBAC+ZABC+ZC=180°,.•.x°+:x°+；x°=180。，解得了=90,/.Z5JC=90°；

乙N

(2)VAB-AC,且N84C-1080,N/8C-NC-36°,

在上截取时=加，连接风.〈BD平分/4丝，?.ZDBA=ADBF.

•;BD=BD,：./\ABD^AFBD,；.NBFD=NB/1D=108。,

0

ZCFD=12tZ.CDF=72°,:.NCDF=NCFD,:.CD=CF,:.BC=BF+CF=AB+CD.

13.(1)解：PF=PE,证明如下：过点P作PM_LO8于M,PNIOA于N,如图：

•••oc平分PM1OB,AV1OA,:.PM=PN,4PMF=4PNE=90。，

•••ZPMO=4PN0=2M0N=90°,/.4MPN=360°-3x90°=90°,

;4MPN=/EPF=90°,/.NMPF=Z.NPE,

/PMF=4PNE

在和△尸NE中，-PM=PN,.•.△PAWAZWE(ASA),：,PF=PE.

NMPF=ZNPE

(2)①结论：PE=PF.理由：过点尸作PM_L。于M,PNIOA于N,如图:

•.•OC平分PM1OB,PN±OA,:.PM=PN,ZPMF=NPNE=90。,

•••2PMO=ZPNO=90°,/MON=120°,/.4MPN=360°-2x90°-120°=60°,

•••ZMPN=NEPF=60°,Z.MPF=ZNPE,

4PMF=NPNE

在和△「可£中，＜PM=PN,醺ASA),:.PF=PE.

4MPF=4NPE

②结论：OE-OF=OP.

理由：由①得：PM=PN,2PMF=/PNE=90。，ZAOC=ZBOC,

2PoM=4PON

在&OPM和QPN中，＜4PM0=4PNO,"POMgPON(AAS),=ON,

PM=PN

AMFAPNE,/.FM=EN,/.OE-OF=EN+ON-(FM-OM)=29M,

在RSOPM中，/PMO=90°,4PoM=ZAOB=60°,

/.ZOPM=30°,OP=20M,OE-()F=OP.

14.(1)解：vZJFZ)+ZCFZ)=180P,ZJ£D+ZJra=180°,:"CFD=NAED;

(2)解：过点。作。历DN1AC,分别交于M,N,如图所示：

・“是线段AC的中点且AABC为等腰三角形，.一。平分/&/C,

vDM1AB,DN1AC,DM=DN,/DME=/DNF=9b,

ZAED=ZCFD

在A.DEM和丛DFN中，,Z.DME=Z.DNF,丛DEMgADW(AAS),DE=DF;

DM=DN

(3)解：由(2)可知DE=DF,

•.・NEZ"=60。，尸为等边三角形，.•.£>£=),.,.求Q+EC的最小值，即为求OE+EC的最

小值，

作点。关于直线对称点G,连接GE,BG,GD,GC,AG,由对称的性质可得G£=EC,

求。£+EC最小值即为求。E+GE最小值，••・GE+瓦)最小值为G。的长度，

则七尸+EC最小值为GO的长度，由对称的性质可得△/8。g人48G.

:.乙4BC=/ABG,BC=BG,AC=AGf•.•18C为等腰三角形，Z4=I2O°,?.ZJ5C=30°,

.•.NG8C=N/8C+/A8G=60。，.NGAC为等边三角形，由等边三角形对称性可得△4?CgZV1GC,

•.•。是线段8c的中点，.•.GD15C,

••・42=10,AJD=5,4G=10,:.GD=\5,£尸+EC最小值为15.

15.(探究)证明：BM+CN=MN,

如图，延长力C至M,使。连接。必，•二AABC的等边三角形，・・.48C=乙化4=60。,

VZ5Z)C=120°,BD=CD,:./DBC=/DCB=30。,AZABD=ZACD=90°.

,:BD=CD,...RIABDWgRs。。%,:.ZMDB=ZM、DC,DW=D%,

,；4BDC=120°,4MDN=60°,4MDB+ZCDN=NMQC+4CDN=60°,

即乙%AV=60。,:.AMDN&MQN....MN=NM、=NC+CM\=NC+MB.

（附加题）CN-=证明如下：证明：如图，在CN上截取使例=8必，连接MM0M

■:乙48。=乙4cB=60。,NDBC=/DCB=30。,：.ZDBM=ZDCM}=90°.

•；BD=CD,；.RUBDMZRaCD%,；.4MDB=NM、DC,DM=DM、,

•:乙BDM+NBDN=60P,/CD%+ZfiQV=60p.

/NDM「ZBDC(ZA/jDCi/BDN)=120°60°=60°.=A1DN.

'：ND=ND,：.AMDN沿AMQN,MN=NM、=NC-CM、=NC—BM,即MN=NC-BM.

DG=BE

16.解：(l)在△力8E和△力。G中，/Bn/AOG.n/BEgdOGlSAS)

AB=AD

:.AE=AG,ABAE=ZDAG...NGAF=Z.DAG+ZDAF=NBAE+NDAF

又NEAF=60°,ABAD=120°:.ZGAF=NBAE+NDAF=ZBAD-NEAF=120°-60°=60°

AE=AG

Z.EAF=NGAF=60°在LEAF和AGAF中<Z-EAF=Z.GAF.-.△EJF^AGJF(SAS)EF=FG

AF=AF

•;FG=DG+DF=BE+DFEF=BE+DF

理由：如图所示，延长尸。到点G,使DG=BE,连接力G

Z^+ZJZ)C=l80°,AADC+/.ADG=180°NB=ZADG

DG=BE

在“BE和△XQG中《/8二//OG.・.“8Eg"Z)G(SAS).5E=/G,ZBAE=ZDAG

AB=AD

•「NEAF=-/.BADNGAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+NDAF=ZBAD-NEAF=NEAFZEAF=NGAF

2

AE=AG

在4EAF和AGAF中,NEAF=Z.GAF.\AEJF^AGJF(SAS)EF=FG

AF=AF

•••FG=DG+DF=BE+DFEF=BE+DF

17.(1)证明：延长M8至点P,使BP=DN,连接4P,如图1,

:四边形是正方形，AB=AD,ND=4ABC=9(f=C4BP,

AD=AB

在dADN和4BP中，,：ZD=NABP,.・.“QNg"8P(SAS),

DN=BP

:・4AP=/DAN,AP=AN,：・/PAN=/BAP+/BAN=/DAN+/BAN=9/，

乙MAN=45°,Z.ZPAM=/MAN,

AP=AN

\•在丛PAM和4NAM中-/PAM=NNAM,,：.MN=MP,

AM=AM

•；MP=BM+BP=BM+DN,BM+DN=MN,

(2)如图2所示，延长C8至只使得BP=DN,连接/P,

二•四边形力8。。是正方形，；.4B=4D,ND=NABC=9(T=/ABP,

AD=AB

在NADN和dBP中，-ZZ)=ZABP,，"ZW四”8P(SAS),

DN=BP

，乙BAP=NDAN,AP=AN,：,ZPAN=ABAP+ZBAN=ZDAN+ZBAN=90°,

AP=AN

'：/MAN=45°,ZPAM=/MAN,:在4PAM和ANAM中</PAM=NNAM,

AM=AM

.・.&PAM%NAM(SAS),/.MN=MP,♦:MP=BM+BP=BM+DN,/.BM+ON=MN,

•••正方形的周长为4,，8C=CO=1,JC.CMN=CW+CN+MN=CM+CN+BM+DN=BC+CD=2；

(3)DN-BM=MN,理由如下：解：如图3,在。。上截取。月=8M,连接4E,

由(1)知“DE%ABM(SAS),；.ZDAE=ABAM,AE=AM,

4E4M=/BAM+NBAE=ZDAE+ZBAE=90°,;AMAN=45°,?.Z.EAN=/MAN.

AE=AM

在AMAN和AEAN中,NMAN=4EAN,:.&MANqAEAN(SAS),:,EN=MN,

AN=AN

即DN—DE=MN,:.DN-BM=MN.

1«()O-0()0

18.(1)解：在AABC中，48=4C,/84C=90°,..ZACB=2=45°,

•・•点。在线段AC上运动，，当点。在线段中点处时，则4。工8C,此时力加值最小,

在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=6cm,

・二当点。在线段8c中点处时，NO最小值为;4C=3cm；故答案为：45,3；

(2)证明•・•//=4C,/O=/1E,/DAE=ABAC,ZDAE-ADAC=ABAC-ADAC,

gp4BAD=ZCAE,:."BDaACE；

(3)解：〈“BDaACE,.\zABD=zACE,CE=BD,

,/AB=AC,zBAC=90°,BC=6cm,..zABD=zACD=zACE=45°,

Z.BCE=450+45°=90°,:.CE+CD=BD+CD=BC=6cm；

(4)解：­：AB=AC.AD=AEi/DAE=ABAC,/.ZDAE-ZDAC=ABAC-ADAC,

gp/.BAD=Z.CAE,..^ABD^ACE；..N4BD=NACE,

vZBAC+Z.ABC+^ACB=\80°,ZBAC+ZACE+ZACB=180°,^BAC+Z.BCE=1801,

VZ5JC=a(0°<(Z<180o),NBCE=。，.•.a+£=180。；

(5)解：当点。在线段BC上时，由(4)知，^ABD^ACE,

/.BD=CE,「.BD二+CD=CE+CD=6cm；

当点。在线段4。延长线上时，•.Y8=/C,4)=/E,/DAE=/BAC,

ZDAE+ZDAC=NBAC十4DAC,艮F?/BAD=4cAE,;.AABD%ACE；

ABD=CE9/.BD-CD=CE-CD=BC=6cm；

当点。在线段。8延长线上时，VAB=AC,AD=AEfZDAE=ZBAC,

：.ZDAE-ZBAE=ABAC-ABAE,KPZBAD=ZCAE,:AABD知ACE；BD=CE,

CD-BD=CD-CE=BC=6cm；综上所述，CE+CD=6cm或CE-CD=6cm或CD-CE=6cm.

19.(1)解：当Na=90。时，贝』NA0B二NCOD=a=90。,

OA=OBQC=OD,：.△045和AOCD都是等腰直角三角形，

/.^OCD=ZODC=45°,，NAC0=180。一/OCD=135。,

,?zAOB=zCOD=a=90°,/./AOB-4COB=/COD-NCOB,ZAOC=NBOD,

04=OB

在△力。C和&BOD中，AAOC=^BOD,,.;AC=BD.zACO=zBDO=135°,

OC=OD

AzADB=zBDO-ZODC=135°—45。=90。,AADLDB,即力C_LQB,

和04的数量关系是：AC=DB,位置关系是：ACLDBy故答案为：AC=DB,AC'DB；

(2)当Na=60。时，则NAOB:/COD=a=60。,

OA=OBQC=OD,/.△16和^OCD都是等边三角形，

・・・/OCO=NOQC=60°,,・.NACO180。—OCD=120。,同(1)证明：MOC沿&BOD,

：.//CO=/BDO=120°,AC=BD,：.乙4DB=/BDO-ZOZ)C=120°-60°=60°；

(3)当No=30。时，则NAOB二NCOD=30。,

OA=OB,OC=OD,；.XOAB和△OCO都是等腰三角形，

/.^OCD=AODC=1(180