实系数一元二次方程的解法（解析版）

7.6实系数一元二次方程的解法

模块一：基础知识...................................................2

考点一：实系数一元二次方程......................................2

考点二：求解复数集上的方程的方法................................2

考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）..........2

模块二：题型分类...................................................3

题型一：解实系数一元二次方程....................................3

模块三：综合巩固...................................................3

7.6实系数一元二次方程的解法

模块一：基础知识

考点一：实系数一元二次方程

实系数一元二次方程ad+bx+c=O（a,b,cGR,a工0）中的△=〃一4。。为根的判别式，那么

—b+J62-4ac

<1）AAOO方程有两个不相等的实根上三生——

2a；

（2）A=0=方程有两个相等的实根-2：

2a

/、、AA-k人*一，士J4qc-/i

（3）AvO。方程有两个共枕虚根---------------,

2a

考点二：求解复数集上的方程的方法

①设z=xIyi（x,yGR）化归为实数方程来解决.

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形.

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

（I）当△=/-4。。20时，方程的两个实根满足韦达定理

bc

X]+x=—»xx=_o

2a}2a

（2）当△=〃一4%<0时，方程的两个共扼虚数根内、x2,则

一b

X1+x2=x]+x]-2Rex1=--；

2\J4ac-b2>c

中2=再•玉+.«-

2aa

综上所述，无论方程的判别式〃-4a的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的

情况，即实系数一元二次方程av2+bx+c=0（。、b、cwA且。工0）的两个根与系数满足关系

hc

x1+x2=--,V2=-

模块二：题型分类

题型一：解实系数一元二次方程

1.已知复数二满足方程Z2+4Z+5=0,则忖=

【答案】亚

【分析】先解方程求出z,再计算目即可.

【详解】由题意知：z=¥—―-=-2+1»故国=J(—2)~+(±1=后.

故答案为：石.

2.若1+i是实系数方程'2+”+力=()的一个根，则另一个根是，a=，

b=.

【答案】1-/-22

【分析】实系数方程已知一根求解另一个根与参数，第一步将已知的根代入方程，复数等于0,实部虚部

等于。即可解出参数.

【详解】将一根1+i代入方程x2^ax+b=O»

,、2,、，、(2+a=0

++a(l+i)+b=0,(2+a)i+〃+〃=0,-十,_=-2,b=2

得方程2X+2=0,由根与系数的关系得两根之和为-9,所以两一根为1-i.

故答案为：1i；-2；2.

模块三：综合巩固

1.若复数z满足方程z2+l=0(i是虚数单位)，则z=()

A.1B.iC.±iD.-i

【答案】C

【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解

【详解】因为z?+1=0,即，=-1,所以z=±\/二工=±i.

故选：C.

2.已知〃、夕为实数，2i-3是关于x的方程2/+px+g=0的一个根，则〃+(/=()

A.14B.38C.-34D.-14

【答案】B

【分析】分析可知关于x的方程2-+px+g=0的两个虚根分别为3+2i、-3-2"利用韦达定理可求得，、

夕的值，即可得解.

【详解】因为p、q为实数,2i-3是关于X的方程2F+px+q=0的一个根，

所以，关于x的方程2/+px+g=0的两个虚根分别为-3+2i、-3-2i,

由韦达定理可得(—3+2i)+(—3—2i)=—6=4，可得p=12,

(-3+2i)(-3-2i)=13=解得夕=26,故p+q=12+26=38.

故选：B.

3.若复数z是r+x+2=0的根，则目=()

A.1B.V2C.2D.3

【答案】B

【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.

【详解】•・"+.*+2=卜+£|一++0,

・••由求根公式得：

2

即：2=3包，

2

,当Z=-；+*i时，|Z|=j(一]+(*『=6，

当2=-；一。1时，洋|=’(一/)2+(一冬2=£.

综述：|z|=V2.

故选：B.

4.若复数3十i为方程/+〃?x+〃=0(〃[,〃<=R)的一，个根，则该方程的另一个根是<)

A•—3—iB.3—iC.i-3D.i+3

【答案】B

【分析】根据实系数方程的虚根成共舸复数求解即可.

【详解】根据实系数方程的虚根成共较复数可知，另一个复数根为3-i.

故选：B.

5.(多选)若1-2i是关于x的方程x2+Qx+z,=o(a,gR)的一个复数根，则()

A.2

B.b=5

C.a+人的共知复数的模为标

D.a+bi,/）+ai在复平面内对应的两点之间的距离为7后

【答案】BCD

【分析】根据条件求出a和b,再根据复数的有关定义逐项分析.

a+b-3=0

【详解】由题意得(l—2i)2+“(l—2i)+Z)=a+Z)—3—(2a+4)i=0,得

2。+4=0

解得【:二2,A选项错误，B选项正确;

[0=5

。+加=-2+予的共枕复数为-2-5"模长为何，C选项正确;

a+历,6+ai在复平面内对应的两点之间的距离为+0"）2=76，D选项正确;

故选：BCD.

6.（多选）已知复数范围内关于x的方程x2—x+3=0的两根为为,々，则下列结论正确的是（）

A.%!1x2=-3B.x}+x2=-l

C.王与々互为共规复数D.归一对二而

【答案】CD

【分析】根据题意求解王/，结合复数的相关概念和运算逐项分析判断.

11短殂1^vn.

【详解】因为一一%+3=0,即X—~，解得x=-i---i，

2)422

才法A1布.17H.

不妨令内=5-＞保=耳+不】,

IST.=99=3,故A错误:

对于选项A：-+—1

22

fl而）

对于选项B：=1,故B错误;

芭+々=5-万'+23®2

对于选项C：怎与巧互为共枕复数，故C正确;

对于选项D：归一司=,故D正确;

故选：CD.

7.设方程/一］以+3=0的两根为士，巧，贝11‘十'=_____

*x2

【答案】6

【分析】根据韦达定理即可求得答案.

【详解】解：由题意得：

由韦达定理，得再+/=18,-.v2=3

故答案为：6

8.方程/一6.丫+25=0在复数范围内的根为.

［答案】3±4i

【分析】将已知方程配方，结合虚数单位的定义i?=_］即可求解.

【详解】由方程--6x+25=0可得（工-3『=-16,

即（x-3『=（4i）2,

所以x-3=±4i

所以方程V-6x+25=0的根为x=3±4i.

故答案为：3±4i.

9.如果夕，夕都是实数，关于k的方程2/+px+g=0有一个根-2+3"则

【答案】-18

【分析】根据实系数方程根的特征可知-2-3i为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得PM,进而

求解.

【详解】因为-2+3i为关于%的方程2x2+px+q=0的一个根,

所以-2-3i为关于x的方程2/+川+夕=0的一个根,

-2+3i+(-2-3i)=-^

所以2,解得p=8,7=26,

(_2+3i)-(-2-3i)

所以p_g=8_26=T8.

故答案为：—18.

10,若x=l+Vii是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是

【答案】F-2X+4=0

【分析】得到x=l-6i为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出“C的值，进而求出答案.

【详解】设实系数一元二次方程为/+云+c=o

•・•》=1+后是关于％的实系数一元二次方程x2+打+c=0的一个根,

・•・/=1-后为方程的另外一个根，

；•c=(1+-Vii)=1-(百。=4,—6=(1+>/3ij+(1—VJij=2,

Ac=4,b=-2t

•,•该方程可以是V-2x+4=0

故答案为：X2-2X+4=0

11.设常数pcR,已知关于x的方程V+px+2=0.

(1)若〃=2,求该方程的复数根；

(2)若方程的两个复数根为B，且|。-£|=1,求P的值.

【答案】(l)x=—l土i

(2)土",±3

【分析】(1)利用配方法计算可得；

(2)根据判别式的正负分类讨论后可得〃的值.

【详解】(1)若〃=2,则/+2X+2=0,gp(x+l)2+l=0,

BP(x+l)2=-1=(±i)2,解得x=-l±i；

(2)因为方程F+px+2=0的两个复数根为。、4，

所以a+£=_p,a-p=2,

若A=p2-8N0,即p22&或左-2及

贝!)a-p\=J(a+6/-4a0=Jp?-8=1,

故/=±3.

若△:p。一8<0,设a=4+bi,l：a/eR),贝夕=。-历，

所以a+/?=a+〃i+“一历=2a,a-尸=(a+加)一(a-历)=26i,

a/^=(a+b\)(a-bi)=a2+b'=2,

又因为所以吁，解得所以—冬

所以p=-2a=±41.

综上，p=±3,土行

12.已知关于x的实系数一元二次方程2x、4(m-l)x+〃/+l=O

(1)若〃?=2,求方程的两个根：

(2)若方程有两虚根卬马，上|+上|=4,求，〃的值；

(3)若方程的两根为不々，其在复平面上所对应的点分别为48,点A关于N轴的对称点为C(不同于点A),

如果为灰工-1，求加的取值范围.

【答案】(1)网=笞叵、/=上普

(2)新

(3)(-<»,-l]u[l,+oo)

【分析】(1)利用求根公式计算可得；

(2)由A<0求出，〃的取值范围，依题意可得4、Z2互为共枕复数，则㈤=2,即可求出机的值；

(3)分ANO和△<()两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.

【详解】(1)当，〃=2时方程为2--4x+5=0,贝必=(-4)J4x2x5=—24,

所以方程的根为再=包叵=也可、招=匕巨=上画

42242

(2)因为方程有两虚根Z]/2，所以△=16(〃Liy-4x2x(/+])=8(〃/-4〃?+l)<0,

解得2-右<〃?<2+6，

此时方程有两个共枕复根4、z2,故㈤="|,又㈤+上|=4,所以㈤=2,

所以=ZR=巴匚^=4,解得加=V7或机=-\/7(舍去).

(3)若A20,即〃?或加22+石时,

此时V4(〃[二1)+64(