人教版高中数学必修2考点训练 专项强化07：空间几何体内、外接球模型（解析版）

专题强化07：空间几何体内、外接球模型

【模型归纳】

模型一、墙角模型

模型二、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为AD=BC=x,

a2+b2=x2

222222

AB=CD=y,AC=BD=z,列方程组，\b+c=y=>（2/?）22,2=2a-X^b+~y+c+-Z=-------------

2

c2+a2=z2

ahc

补充：图2-1中，yA-BCD=一一。加x4=-H>c.第三步：根据墙角模型，2〃=“2+/+//卜>

63V2

&2=『+F+Z：R卜n,求出R

8V8

模型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可〃是任意三角形）

第一步：确定球-心。的心男:，Q是A48C的外心，则。Q_L平面/AC；

第二步：算出小圆。।的半径4Q=，（）0,=-AA1=-/?（力4=〃也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：OAZ=O.A2+O.O1=>7?2=（^）2+r2=>7?=Jr2+（-）2,解出R

模型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径）

正弦定理求大画直径是通法

1.如图4-1,平面玄C_L平面片3C,且4B1BC（即4C为小圆的直径），且尸的射影是A4BC的外心=三

棱锥。一力BC的三条侧棱相等。三棱。一43。的底面MAC在圆锥的底上，顶点尸点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取AJ6C的外心。，则尸,0,«三点共线；

第二步：先算出小圆a的半径=，•，再算出棱锥的高产q=。（也是圆锥的高）：

第三步：勾股定理：04?=+0。=R?=（h-R）2+户,解出R；

事实上，MC尸的外接圆就是太圆，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如图4-2,平面A4CJL平面48C,且AB工BC（即力C为小圆的直径），且以_LZC,则

利用勾股定理求三棱推的外接球半径：①（2R>=以2+（2,.）2=2R=y）PA2+（2r）2:

②^r~+。。;oR=b+o02

3.如图4-3,平面/MCJ_平面48C,且48J.8C（即4C为小圆的直径）

22222222

OC=O,C+op=R=r+O1O=AC=2yjR-O.O

4.题设：如图44,平面以。_1_平面/8。，且/8_L8C（即力。为小圆的直径）

第一步：易知球心。必是AB4C的外心，即的外接圆是大臣，先求出小圆的直径4C=2r;

第二步：在AP4C中，可根据正弦定理‘一=〃一=」一=2R,求出R.

sinAsinBsinC

模型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多）

1.题设：如图5,E4_L平面43C,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步兼：

第一步：将MBC画在小圆面上，4为小圆直径的一个端点，作小圆的直径4。，连接PD,则PO必过球心O；

第二步：0、为MBC的外心,所以OQJ•平面44C,算出小圆Q的半径«。二〃（三角形的外接圆直径算法：

利用正修定理，得一--=—-—=―-——=2r）,OO.=—PA•

sinJsin8sinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外原球半径：①（2灭）2=可2+（2厂）2O2H=2+（2厂）2；

②R~=广+OO^=R=［尸+OO：.

2.题设：如图5-1至5-8这七个图形，尸的射影是A48C的外心O三棱维P—/8C的

三条侧棱相等=三棱锥尸-49C的底面A4BC在圆锥的底上，顶点夕点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取A48C的外心O1,则尸,O,«三点共线;

第二步：先算出小圆q的半径;厂，再算出棱维的高产q=〃（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：OA?=C\A2+=R?=（h-R）2+产,解出火

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【题型归纳】

题型一：直接法（公式法）

1.（23-24高一下•甘•肃白银•期末）若棱长为。的正方体的内切球的表面积为16兀，则。=（）

A.2B.4C.V2D.2夜

【答案】B

【分析】设内切球的半径为/•代＞0），根据球的表面积求出厂，印可得到。=2〃.

【详解」设内切球的半径为/（，,0），由球的表面积S=4.2=16几，得r2=4,所以r=2,

乂球内切于正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，则〃=2/•=4.

故选：B

2.（23-24高一下•广东东莞•期末）棱长为。的正方体的顶点都在球面.上，则球的表面积为（）

3

A.—Tca~B.3na2C.6iui2D.\1ita2

4

【答案】B

【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.

【详解】球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为火，则'=旦,

22

所以球的表面积为4兀川=3兀

故选：B.

3.（23-24高一下•浙江杭州•期中）一个四面体的所有棱长都为正，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（）

A.三B.兀C.—D.兀

22

【答案】C

【分析】四面体的所有楂长都为亚的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解.

【详解」因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球，

故正方体的棱长为1,外接球半径为亘,

2

所以成3=,户二亭.

故选：c.

题型二：构造法（补形法）

4.（23-24高一下•甘肃・期末）如图，在四棱锥尸-力中，底面48。。是矩形，P4JL平面48CD,PA=AB=3,

D.136兀

【答案】C

【分析】四棱锥可补成长方体，利用工方体的体对角线求外接球的半径，即可得解.

【详解】将四棱锥P-48co补全成以力。,48,4P为长、宽、高的长方体，

则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球，

外接球的半径为长方体体对角线一半;xTF京不=孚，

所以外接球表面积为347c.

故选：C

5.（2324高一下•重庆期末）四棱锥P-44C。中，P/i上平面4BCD,四边形力4CQ为矩形，PA=4,48=3百,

若四棱徒尸-48CQ的外接球的表面积为52兀，则（）

A.3B.6C.2D.2.5

【答案】A

【分析】首先根据题意将四棱锥尸中补全成长方体QGFE,48CQ,根据表面积可得球半径，再求长方体

PGFE-ABCD的外接球半径即可.

【详解】将四棱锥中补全成长方体PGFE-48C。，如图所示：

所以四棱锥尸-ABCD的外接球即为长方体PGFE-ABCD的外接球.

由于四棱锥P-48C。的外接球的表面积为52兀，故球半径满足4兀*=52兀，故/?=9，

■+(3可+BC2

则外接球的半径为=\/13，BC=3.

2

故选：A.

6.（23-24高一下•江苏盐城・期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底

面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在里堵力BC-44G中，AC1BC,AC=BBG=I,

阳马A-BCC.B,的外接球表面积为（）

C

A.87rB.6兀C.4nD.2n

【答案】C

【分析】由面面垂直的性质得到4G，平面耳GC8,设4-8CC圈的外接球的半径为R,则（2Ar=8C：+4C：,

求出心即可求出外接球的表面积.

【详解】因为4C_L8C,JC/M.C,,BCHBG，所以4G，4G，

又-44G为直棱柱，与5J•平面44G，SBu平面BCCB,

所以平面44G，平面片GC8,

又平面//CC平面4C°3=4G，4Gu平面44G，所以平面用G。以

又矩形&GC6外接圆的直径为“G，

设4-8CC£的外接球的半径为R,又BQ=I,AG=AC=百,

所以（2/?）2-30；+4°；一12十（5y_4,所以尺=1,

所以阳马4-BCCB的外接球的表面积S=4求2=4兀.

故选：C

题型三：确定球心位置法

7.（23-24高二下•江苏南通•阶段练习）已知正三棱锥P-48C的底面边长为26,若半径为1的球与该正三棱锥的

各棱均相切，则三楂锥尸-18c外接球的半径为（）

A.GB.2C.—D.—

33

【答案】D

【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心O，再求出三棱谁的高产O,利用勾股定

理即可求解外接球半径.

【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，

所以平面/18C截球得到的截面圆与△/2C的三边均相切，

所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面78C垂直的直线上，

又因为底面边长为2万，所以底面正三角形的内切圆的半径为

/•=—-tan30=1,

2

乂因为球的半径为1,

所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O,

如图，过球心。作产力的垂线交尸力于，，

则OH=r=\,

又因为。4=2,所以力〃=百，

所以9二竽

所以产。=毡，

3

因为△/8C外接圆的半径为04=2,

正三棱他P-彳8c外接球的球心在P0上，设半径为R,

所以A2=°%2十（〃。一欠了，即〃2=4十,

解得R=逑.

3

故选：D.

8.（23-24高一下•河南信阳•阶段练习）在三棱锥中，4cl平面产力8，48=6,JC=10,8P=2及，

4BP=45。，则三棱锥P-n8C外接球的表面积为（）

A.144兀B.128兀C.140兀D.1487r

【答案】C

【分析】在"4P中利用余弦定理求出心，利用正弦定理求出“3P外接圆的半径J设三棱锥外接球的

AC二再由球的表面积公式计算可得.

半径为R,则浦=产+

【详解】在“BP中由余弦定理AP2=AB2+BP2-2AB-BPCOSNABP

=62+（2X/2）2-2X6X2N/2走=20,所以"=2石，

AP_2x/5_r-

设△力BP外接圆的半径为「，则sin48尸一正一，所以，•二亚，

2

又4C_平面04?,JC=10,设三棱锥外接球的半径为R,

则氏2=产+（与）=（加）+5?=35,

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4兀改=140兀.

故选：C

9.（2024・湖南常德•一模）已知三棱锥4—8C。中，48,平面8C0,AB=4,8c=3,CD=5,8。=7,则该三棱

锥外接球的表面积为（）

196兀244兀-196兀244兀

A.----B.----C.----D.----

3355

【答案】B

【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出△8CQ的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代

入球的表面积公式得答案.

【详解】如图，

设△8C。的外心为过历作底面的垂线M。，使MO=g历1,则。为三棱锥的外接球的球心,

手+5?_7?1

在△BCQ中，由8c=3,CD=5,80=7,得cos/BCD=^~~=----

2x3x52

故sin/8c。=正，设△8C。的外接圆的半径为厂，

2

7_7

则「二G=耳,OM=2,

2x—

2

O52=(-^-)2+22=y=??-

AI944

二•三棱维外接球的表面积为4兀配=4兀=弯兀.

故选：B

题型四：球体积最值问题

10.（23-24高一下•浙江•期中）已知球O的半径R=13,球面上有三点力，B,C,满足力8=12百,力。=4。=12,

点。在球面上运动，则当四面体。-/48。的体枳取得最大值时，DC=（）

A.6/B.1372C.13D.5\/14

【答案】A

【分析】首先求“8C外接圆的半径，再根据球的半径，求球心到平面力8。的距离，从而确定点D的位置，根据

几何关系求。C.

【详解】因为力8:12G,3C=8C=12,cos4C8=M4+144—144x3=_j_,

2x12x122

J_125

所以COS4C8=I20,因此△/14C的外接圆半径为5、二/“一，

T

因为球O的半径R=13,所以球心O到平面力4c的距离为5,S困=1x12x12x^=366.

A/lov22

要使得四面体。-48c的体积最大，只要点。到平面/8C的距离最大，并且最大距离为5+13=1"

所以OC=\/182+122=6>/13.

故选：A

11.（23-24高一下•浙江宁波期中）三楂锥尸一48C中，PA=PB,CP=4,BA=BC=2,ZABC=-^-,则三棱锥

0-4AC的体积的最大值为（）

A.1B.2C.6D.12

【答案】B

【分析】画出三棱锥P-/1BC的外接球，当点?在三棱锥P-月8c的外接球的顶端时，且加，平面/4C,点2到

平面48C的距离。。最大，则三楂锥P-48c的体积的最大，求解即可.

【详解】如图：

因为8/（=8C=2,/ABC=j

3

由余弦定理得：JC2=4+4-2x2x2xcosy=12,

所以力。=26，外接圆的圆心为。,

「八1ACI273o

则半径2.里2百，

sin

32

如图，当点P在三棱锥P-44。的外接球的顶端时，且PO_L平面4BC,

点P到平面ABC的距离尸。最大，

又CP=4,所以尸£)=，6-4=25,

=—x2x2xsin—=5/3,

23

所以三棱锥P-48C的体积的最大值为:S“8c，Q=gxJJx2G=2.

故选：B.

12.（22-23高一下•福建龙岩•期中）已知正六棱锥2-48CQE”的侧棱长为2及，底面边长为2,点。为正六棱锥

2-44CQE/外接球上一点，则三棱锥。一尸45体积的最大值为（）

2百D,也

"T"3

【答案】B

【分析】

先根据锥体的结构特征求正六棱锥的高，再求其外接球的半径，再求球心到平面的距离，最后结合锥体的体积

公式求三棱锥Q-PAB体枳的最大值即PJ.

【详解】由题意可得正六棱锥P-RBCQM的高为-2?=2,

设正六棱锥P-ABCDEF的外接球的球心到底面ABCDEF的距离为d,

设外接球半径为《，则朋=”+/,d=\2-R\t

解得K=2,

设外接球的球心为。，则O即为正六边形/8CDEF的中心，连接尸。,

过?作RWJL46交48于M,过。作。NJ.PM交尸M于N,

p

c

4MB

因为尸0_L底面力48u底面处?所以PO_L48,

又尸OflPM=P,PO,PMu平面POM,所以48平面POM,

因为。Vu平面尸OM,所以如？_LON,

又力8n=48J.”u平面产力8,所以ONI平面0/B,即ON为球心。到平面尸/出的距离,

因为PM=J（2亚『-12="，OM=日

2N/3

所以在APOM中由等面积法可得!尸。OW=gPMON,解得ON=

22F'

2G

因此点。到平面P48的最大距离为OV+A=万+2,

因为10AB=3AB-PM=不，所以三棱锥。-218体积的最大值为1SE8（OV+R）=@L2,

233

故选：B

【点睛】关键点睛：解决多面体和球的切接问题的关键在于确定球心的位置，求出球的半径.

题型五：台体球体内外切问题

13.（2024•江西九江•二模）己知一个圆台内接于球O（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下

底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3及）冗，则球。的体积为（）

A.现B.5nC.迎匣D.也

333

【答案】C

【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.

【详解】设圆台母线长为/,上、下底面半径分别为。和弓，

则圆台侧面积为S=M，i+4）/=兀（1+2）/=3兀/,

上、下底面面积分别为冗和4-

由圆台表面积为（5+3及卜，得［=6,

所以圆台高方=J-_(r,_4=所-1=1>

设球。半径为A，圆台轴截面44CQ为等腰梯形，旦川？=4,CQ=2,高为1.

作OMJ_AB于点M,

设OM=x,由/：+〃2=2<々2,则球心。在圆台外部

R~=4+x2_

则有〈，/\2,解得X=

R~=1+(1+J)

所以球O的体积为型叵.

3

故选：C.

14.(23-24高一下•浙江・期中)如图，一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高是&cm，则正三棱

口27后4

B.------;60n

4

27am

Dn.-----；607r

2

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合正三棱台的结构特征求出斜高，进而求出侧面积；利用球的截面小圆性质求出球半径,

再求出球的体积.

【详解】在正三棱台ABC-44G中，Q,0分别是上、下底面中心，则qo=6cm,

连接4a并延长交耳G于A，连接力。并延长交3。于Q,连接。〃，过A作。|£_L4。于E,

在中，D\E=OQ=6DE=y,三棱台斜高Z）A=J（百y+g）2=半

所以正三棱台的侧面积S=3x；（BC+8G>。）=卫/（CH?）；

显然正三楂台44C-44G的外接球球心。'在射线。。上，令球半径为夫，

球。截平面481cl、平面48C所得阿半径4=44=\/3,r=AO=2忑,

设OO'=x,显然，（+。。2=6<12=/,则球心。'在正三棱台外，O'O1=x+G,

于是（x+6）2+（6）2=R2=/+（2百『，解得X=瓜R二岳,

所以正三棱台ABC-44G的外接球体积午川-20岳兀（cmD.

故选：C

15.（23-24高一下•重庆渝中•期中）已知正四棱台438-44GA的高为布，其所有顶点均在同一个表面积为327r

的球面上，且该球的球心在底面/出8上，则棱台力8CD-44GA的体积为（）

A.B.145/6C.—D.28K

JJ

【答案】C

【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可.

【详解】设球心为O,球O的半径为R,棱台高为力，

贝1J4冗改=32兀，所以R=2及，

由于O在底面48CO上，底面48CZ）为正方形,

易得正方形ABCD的边长为血尺=4，面积为16；

设底面44GA的外接圆半径为〃，则〃=庐下=V2，

易得正方形44GA的边长为"•=2,面积为4；

所以正四棱台43C。—44GA的体积为/=_Lx（i6+4+JiE）xA="四

3\/3

故选:C.

【专题强化】

一、单选题

I.（23-24高一下•广东云浮・期末）已知矩形48CQ的对角线长为1,将△48。沿8。折起得到三棱锥8。，且

三棱锥H-4CQ的各个顶点均在球。的表面上，则球。的表面积为（）

A.-B.兀C.4nD.8死

4

【答案】B

【分析】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等，再根据矩形的性质，可知球心在矩形对角

线中点，所以半径为由表面积S=47r/求解即可.

【详解】由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.

记矩形中心为。，由矩形的性质知点。在翻折过程中到四个顶点的距离相等，

即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则S=471x（3）=兀.

故选：B.

2.（23-24高一下•广西南宁•期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.在鳖糯P-4BC

中，尸平面48。，ACLCB,PA=2BC=2,AC=6,则此四面体的外接球表面积为（）

A.3兀B.8TIC.9兀D.—7c

3

【答案】B

【分析】根据题意，可得BC_L平面4C,将鳖腐P-力8c补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解.

【详解】根据题意，平面48C,BCu平面4BC,所以2i_L8C,

又4C1C8,4cXC=”,P44Cu平面产力C,所以8cd.平面P力C,

将螫瞄尸-48C补全成长方体，如图，

则此四面体的外接球的半径为=6,

22

其外接球的表面积为S=4成2=8兀.

故选：B.

3.（23-24高一下・吉林・期末）长方体的一个顶点上三条校长分别是1,3,巫，且它的八个顶点都在同一球面上,

这个球的体积是（）

125

A.---兀B.125兀C.25兀D.75兀

6

【答案】A

【分析1设外接球的半径为R，则外接球的直径即为长方体的体对角线，求出A，即可求出外接球的体积.

【详解】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为A,

则2R=J+32+/）2=5，所以H=|,

125

所以外接球的体积r=y/?5=yX=-----71.

26

故选：A

4.（23-24高一下•福建龙岩・期末）已知球。内切于圆台£尸,其轴截面如图所示，四边形/18C。为等腰梯形，ABI/CD,

且CO=2/13=6,则圆台EE的体积为（）

A27区口51JLt「57夜兀n63夜花

4444

【答案】D

【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可.

【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，瓦尸分别为上下底的中点.

连接上广，则上/_LQC,过8G1OC亍G.四边形E4CG为矩形.

由于CZ）==3，则FC=3,EB=-3,则GC=FC—FG=FC-8E=三3.

22

由切线的性质知道8C=8E+W==3+3=9j

22

则BG=dBC2-GC2=旧了-（|）2=3板.

/=1（§卜+5卜+加|5卜）力,SL=TIX（2）2=曳，5卜=兀X32=97C,/?=8G=3及.

324

代入计算可得，P='X（电+9兀+J史X9n）X372=竺房.

34V44

故选：D.

5.（23-24高一下•江苏南通•期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为大G，半径为〃的球与圆台的上、下底面

及母线均相切，圆台的侧面积为25%，则4+々=（）

A.5B.5冗C.10D.10几

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用圆台的侧面积公式计算即得.

【详解】依题意，圆台的母线长/=4+々，而兀&+4）/=25冗，因此。i+，J=25,

所以q+弓=5.

故选：A

6.（23-24高一下•江苏南京•期末）如图，四棱锥P-48CQ中，尸41面48。，四边形48C。为工方形，产4=4,

PC与立面/BC。所成角的大小为凡且tanO=延，则四棱锥P-44CD的外接球表面积为（）

3

C.34TID.1471

【答案】C

［分析】依题意可将四棱锥P-488补成长方体PEFG-ABCD，则四棱锥P-"CZ）的外接球也是长方体

PE产G-48c。的外接球，由tan8=^可求出NC的长，进而可求尸C,即为外接球的直径，从而可得外接球的表

3

面积.

【详解】如图，因为4_L面48。，四边形48CO为正方形，

所以可将四棱锥尸-/出CQ补成长方体PEFG-ABCD,

则四棱造尸-"CO的外接球也是长方体PEFG-ABCD的外接球.

由产4J.面44c。，所以NPC4就是PC与平面44C。所成的角0,

则tan0=■^■=—^―=一'一，所以力C=3>/^，

ACAC3

设四棱雕P-48co的外接球的半径为R，

因为长方体PEFG-ABCD的对角线PC的长即为其外接球的直径,

所以PC=2R=y/AC2+PA?=J9与+4?=而,所以/?=孚,

所以四棱锥尸-/出CO的外接球的表面积为4冗肥=34兀.

故选：C

7.（23-24高一下•安徽阜阳•期中）已知球O的半径R=13,球面上有三点/,B,C,满足/8=12石，AC=BC=12,

点。在球面上运动，则当四面体QdBC的体积取得最大值时，DC=（）

A.6拒B.13x/2C.13D.18

【答案】A

【分析】根据余弦定理求得N4C8=120"，可求出A/18C的外接圆半径，求出球心到平面的距离，四面体。-44C的

体枳最大时，点。到平面/13C的距离最大，求此时。C的值.

【详解】△川寅？中，AB=12底AC=BC=12,

ACZ+BC'-AB?144+144-144x31_

cosN/1CB=所以乙4c8=120°,

2AC,BC2x12x122

112G…

因此AZ18C的外接圆半径为5、二了一,

T

-

因为球O的半径A=13,所以球心。到平面34。的距离为5,S^C=-K12X12X^=36X5.

AZIOC22

要使得四面体O-A8C的体积最大，只要点。到平面44C的距离最大，并且最大距离为5+13=18,

又Zi/IBC的外接圆半径为12,所以QC==

故选：A

8.（22-23高一下•广西南宁•期末）在三棱锥尸-/18C中，PA=PB=PC=2g,48=4C=8C=3,则三棱锥P-/BC

的外接球的体积是（）

A.fB.也C.号D.4缶

333

【答案】C

【分析】根据正三棱锥的特征，由勾股定理即可求解半径，进而由体积公式求解.

【详解】由己知可得P-力8C是正三棱锥，设是正三棱锥P-48。的高，

易知外接球求心。在P〃上，且〃为底面正。的中心.

如图，设外接球的半径为R，由题可知C〃=《x-%=G,

则PH=7PC?-CH?=3.由。。2=。〃2+。〃2得肥=（3一尺『+（百『，解得R=2,

所以外接球的体积为J/=]x2、等.

9.（22-23高一下•广东肇庆•期末）已知三棱锥P-48c的底面Z8C为直角三角形，且4c6=].若_1_平面，

V

且力4=3,21=4,三棱锥P-48。的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为〃，S,则《=（）

5555

A.石B.7C.§D.万

【答案】B

【分析】依题意△/B。外接圆的直径为斜边相=3,设三棱锥P-力BC外接球的半径为R,则（2/?『=力夕+2才，

求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

【详解】因为△力〃。为直角三角形且//CBM：，则力C14C,

又产力_1平面4?C,/IBICu平面4BC,则E41/4,241AC,

而产力c4C=4P/l,4Cu平面尸4C,于是4CJ•平面P4C,乂尸Cu平面尸4C,

因此尸CJ.8C,取p〃中点«,连接CQMa，则尸=Q/=qc,

从而点q即为球O的球心O,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

则（2尺）2=/夕+尸T,即4及2=32+4?=25,所以R=g,

士冗R3

则/二3二R二5.

S-4成L3-6

10.（22-23高一下•广东汕尾•期末）如图，在边长为2的正方形中，E,厂分别是彳8,8c的中点，将△4EO,

△BEF,ADCF分别沿DE,EF,。尸折起，使得4凤。三点重合于点H,若三棱锥H-£7*的所有顶点均在球O

的球面上，则球。的体积为（）

A2,n3x/6r,nrn446

A•二■兀B•--------7iC•76TlD・------7i

243

【答案】C

【分析】根据题意，把三棱锥/可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径及=半，结

合球的体积公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得瓦才。14E4E14N,且HE=1,4尸==2,

所以三棱锥/可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示,

设长方体的外接球的半径为R,可得2R=#7F寿二6所以R4,

所以外接球的体积为尸=3成=?兀•（曰）3=&.

11.（22-23高一下•四川遂宁•期末）如图，在正方体48CD—4瓦GA中,截去三棱锥8-44。，若剩余的几何体的

表面积是％出

,那么正方体力BCO-MAGA的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（)

2

D

:}s

A.乃,—7TB.4/r,史乃

22

-4

C.4尸,乃D.不，一兀

3

【答案】A

【分析】设正方体棱长为〃，根据剩余几何体的表面积可求出。=1，再由正方体的内切球直径为1，外接球直径

2&=而言,分别求出内切球的表面积和其外接球的体积即可.

【详解】设正方体棱长为〃，则剩余几何体的表面积为

3/+?/+正="所以〃=],

241122

则正方体的内切球直径2r=l,r=g,表面积S=4"2=兀,

正方体的外接球直径2H=m而=忑,R=立,体积/=±成3=乎兀,

232

故选：A.

12.（2。23•广东茂名•一模）已知菱形48CQ的各边长为2,/〃=60。.将/^〃。沿4。折起，折起后记点8为P,连

接尸。，得到三棱锥尸-/C。，如图所示，当三棱锥2-48的表面积最大时，三棱锥P一48的外接球体积为（）

D.里

C.2届

3

【答案】D

【分析】根据题意结合三角形面积公式分析可得当PC_LCO时，三棱锥尸-4CO的表面积取最大值，再根据直角三

角形的性质分析三楂锥的外接球的球心和半径，即可得结果.

【详解】由题意可得：△/。2/\力。尸均为边长为2的等边三角形，△21。、△尸C。为全等的等腰三角形，

则三棱徘P-力。。的表面积

S=2S，9+2S”=2xLx2x2x立+2」x2x2xsinNPCQ=3f3+4sinZPCD3+,

r\.L/222

当且仅当sin/尸。。=1,即夕C_LCQ时，三棱锥尸-4CQ的表面积取最大值,

此时△口。△尸为直角三角形，PD=ylPC2+CD2=2x/2，

取尸。的中点。，连接。4。。，由直角三角形的性质可得：OA=OC=OD=OP=五,

即三棱港P-4C。的外接球的球心为。，半径为R=6,故外接球体积为=?

故选：D.

【点睛】结论点睛：若三棱锥有两个面为共斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的球心为该斜边的中点.

二、填空题

13.（22-23高一下•云南昭通•期末）已知圆柱。。,的高为2,且其上下底面圆周都在同一个表面积为24兀的球面上,

则此圆柱的底面半径为.

【答案】75

【分析】求出圆柱外接球的半径，设圆柱的底面半径为〃，根据圆柱的几何性质可得出关于「的等式，解之即可.

【详解】设球的半径为/?,则4M?=24兀，所以R=&>,

设圆柱OR的底面半径为「，则必不="，解得丁后.

故答案为：石.

14.（23-24高一下•天津河北•期中）一个正方体的表面积为96,若一个球内切于该正方体，则此球的体积是.

■田32,32万

【答案】y/r/—

【分析】依次求得正方体的棱长及正方体内切球的半径，结合球的体积公式即可得解.

【详解】设正方体的棱长为。,（。>0）,其内切球的半径为R，

则6〃2=96,R=g所以〃=4,H=2,

故所求为jjx兀x2;学.

33

32

故答案为：yH.

15.（23-24高一下•山东青岛•期末）已知直三棱柱48C-44G的所有顶点都在表面积为20兀的球的表面上,

AB=4C=A4/BAC卷,则此直棱柱的体积为.

【答案】2君

【分析】设底面△力8c的外接圆的半径为「，由正、余弦定理求得，,=2〃?，进而求得外接球的半径为

R="2m¥+/=底〃，结合已知可求得〃7=1,即可求得直三棱柱的体积.

【详解】设48=力。=44=2"?,

如图所示，在18。中，NBAC=3,设底面的外接圆的半径为广,

由余弦定理得8c2=力炉+力。2-248,4C・cos/84c=12/，所以BC=2岛一

_2岛7」

由正弦定理可得”=一^"4"，所以，・=2/〃，

sin—