人教版九年级数学上册 实际问题与一元二次方程（能力提升）

25.3实际问题与一元二次方程

能力提升题

知识点一营销问题（一元二次方程的应用）

1.（25-26九年级上•江苏扬州・月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价

后每盒48元，若每次下降的百分率相同.

⑴求每次下降的百分率.

（2）若每盒盈利10元，每天可售出50（）盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨

价措施若每盒涨价1元，口销售最将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快:减少库存，

那么每盒应涨价多少元？

【答案】（1）每次下降的百分率为20%；

（2）涨价5元

【分析】（1）利用“原价x（l-下降百分率了;两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是

0<x<l,需舍去不合题意的解.

（2）根据“每盒盈利x日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大

的涨价金额（即较小的涨价数值）.

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x,

根据题意可得：75（1-x）2=48,

44

解得百=1一一=0.2=20%,皆="一=1.8（舍去）,

55

答：每次下降的百分率为20%.

（2）解：设每盒应涨价元，

根据题意可得：（10+），）（500-20y）=6000,

展开化简得：y2-15.v+50=0,

因式分解得：（）'一5）（丁一10）=0,

解得y=5,必=10,

•.•要尽快减少库存，

••・y=5,

答：每盒应涨价5元.

2.（2026・河南周口•一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，

销售单价x（元/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：），=-2（k+800,若合作社每月销售山药

获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（）

A.20元B.25元C.30元D.35元

【答案】B

【分析】利用“总利润:每斤利润x销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可.

【详解】解：•.•每斤利润为（xT5）元，月销售量y=-20X+800,

.­.（x-15）（-20x+800）=3000,

展开整理得：x2-55x+750=0,

因式分解得：（x-25）（x-30）=0,

解得玉=25,x2=30,

••喉售需给顾客优惠，选择更低的销售单价，

.•准售单价为25元.

3.（25-26八年级下.浙江绍兴•期口）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢

迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.为庆

祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元

时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.

⑴降价5元时，日销量增加了多少个？

⑵当每个玩偶降价多少元时，当F1总利润可达到5940元？

【答案】（1）降价5元时，日销量增加了25个；

⑵当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元.

【分析】（1）根据玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个列式计算即可；

（2）设每个玩偶降价x元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即

可.

【详解】（1）解：根据题意，降价5元时，日销量增加了5x5=25（个），

答：降价5元时，日销量增加了25个；

（2）解：设降价x元，则单个玩偶的利润为5（）-30-户（2（）-同元，销量（320+59个，

由题意得（207）（320+5x）=5940,

解得Xi=-46（舍去），x2=2f

答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元.

4.（2026•河南洛阳•一模）根据以下素材，完成任务.

素材1：优优生鲜超市10月份在某配送平台开展外送服务.已知该超市10月份第一周在该配送平台完成订

单250单，10月份第三周完成订单490单.

素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为200单：若配送费每

提高1元,日订单量将减少理单.

问题解决

任务：

（1）求该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；

⑵为使在该配送平台日利润达到1280元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少

元？

【答案】（1）40%；

（2）12元

【分析】（1）利用增长率公式建立方程：初始量x（l+增长率）"=最终量，其中〃为增长次数，这里第一周

到第三周经过2次增长，代入数据求解即可；

（2）根据“日禾1」润=每单利润x日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较低的配送

费作为解.

【详解】（I）解：设该超市10月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为x.

根据题意，得250（1+X）2=490.

解得玉=0.4=40%,&=-2.4（舍）.

答：该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为40%.

（2）解：设配送费用上涨丁元，则实际配送费为（8+y）元，日订单量为（200-10），）单.

根据题意,得（200-10），）（8+y-4）=l280.

解得y=i2,必=4.

•.•要降低用户的配送成本，

・••每单实际配送费为8+4=12（元）.

答：每单实际配送费应定为12元.

知识点二工程问题（一元二次方程的应用）

1.（25-26九年级上•重庆渝北•期天）列方程解下列问题：

某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉

礼盒数量的L5倍.某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加

工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个.

（I）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？

（2）春节将至，订单激增.该厂一方面对所有工人重新分配：机名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种

腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加〃，个，每名工人每天加工

甲种腊肉礼盒比以前增加个.己知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求加的值.

【答案】（1）360个：240个

⑵80

【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：

（I）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5犬个，根据题意列分式

方程，解方程即可.

（2）先根据（1）中结论求出工大总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元

二次方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒4个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒15、个.

1440014400

根据题意，得=20.

x1.5x

化为整式方程，得14400x1.5-14400=20x15-

解方程，得x=240.

经检验，彳=240是原方程的解.

则1.5x=360.

答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个.

（2）解.：工人总数为：粤+粤=］。。（人）・

根据题意，得（100-〃?）（360+2/〃）+帆（240+）力=36000.

整理得in'-80/7?=0.

解得g二80,，巧二0（舍去）.

答：〃，的值为80.

2.（25-26九年级上•陕西咸阳•月考）“万里无云镜九州,最团圆夜是中秋.”临近中秋节,某月饼厂接到一

笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8天

就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300盒.

（1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；

（2）甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而

乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单.经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则

甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，己知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，

甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？

【答案】（1）甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼

（2）甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单

【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）足解决问题的关键.

（1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工），盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程

再求解即可；

（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前。天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符

合题意的整数解即可.

【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工），盒月饼,

1Ox十8），=3200

根据题意,

3x—2），=300

x=200

解得

j=150

答：甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼;

（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前。天完成了这笔订单，根据题意，得

2x（200+l50）+（200+1006/）（10-2-t/）+150（8-2-«）=3200+500,

整理得2/一9。+1。=0，

解得q=2,«2=|（不符合题意，舍去），

答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单.

知识点三行程问题（一元二次方程的应用）

1.（25-26九年级上•广东深圳•期口）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲行率五，乙行率二.乙

东行，甲南行八步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲

的速度为5,乙的速度为2.乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方

向走了一段后与乙相遇.那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是右下列

方程正确的（）

A.（2A）2+82=（5X-8）2B.（2x）2+82=（5x）2

C.（5X）2+82=（2X-8）2D.（2X）2=（5X-8）2+82

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利

用勾股定理列方程求解.

【详解】设相遇时间为臬则乙向东行2x步，甲向南行8步后斜向东北行（5x-8）步与乙相遇.

•••甲向南行8步（直角边），乙向东行2x步（直角边），甲斜向行（5工-8）步（斜边），

:.由勾股定理，得（2x）2+8、（5x-8）2.

故选：A.

2.（25-26九年级上•新疆乌鲁木齐•月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪

场滑雪.已知滑行距离S（单位：m）与滑行时间，（单位：s）之间的关系是S=2.5/2+2].若某滑雪者在

山坡上的出发点和终点的距离是176m,他需要s能到达终点.

【答案】

8

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元

二次方程求时间.

【详解】解：由题意，滑行距离S与时间，的关系为S=2.5产+2.

当S=176时,有2.5产+2E76.

整理得2.5/+2/-176=U.

为方便计算，方程两边同乘2,得5/+4/-352=0.

A=Z?2-4«c=42-4x5x(-352)=7056.

因为V75豆=84,

-4±84~4±84

所以"

2x510

解得4=稔=8,芍=需=_8.8.

由于时间不能为负数，故，=8.

故答案为8.

3.（25-26九年级上•广西柳州•月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速

直线运动.在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段

内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为万=带凶=25米/秒.运动路程

等于时间与平均速度的乘积（即）S=vt.若一个小球以10米恸的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且

均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了秒.

【答案】4

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设小球滚动24米用了工秒,则末速度为（10-21）米/秒，利用路程=平均速度x运动时间,可列出关十x的

一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为（10-2力米/秒，

根据题意得：l0+1^-2Ax=24,

整理得：X2-10X+24=0»

解得：阳一4,x2—61

当尸4时，I0-2X=10-2X4=2>0,符合题意；

当工=6时，10-2x=10-2x6=-2<0,不符合题意，舍去，

•./、球滚动24米用了4秒.

故答案为：4.

4.（25-26九年级上•江苏南通・期天）一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停

止滚动.

（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？

（2）小球滚动5m用了多少秒（结果保留根号）?

（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度］（初速度与末速度的算术平均数）与路程一时间

，的关系为5=历.）

【答案】（1）小球的滚动速度平均每秒减少4m/s：

（2）小球滚动到5m用了（4-2夜）秒.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.

（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化X、球运动速度变化的时间;

（2）利用等量关系：速度x时间=路程，时间为心，根据题意列出方程:求解即可.

【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化+小球运动速度变化的时间,

即5+4=2,

4

故小球的滚动速度平均每秒减少2m/s；

4

（2）解：设小球滚动到5m用了期，

解得%=4+2及（舍），9二4一2五.

答：小球滚动到5m用了（4-20）秒.

知识点四图表信息问题（一元二次方程的应用）

1.（25・26九年级上•福建漳州•期口）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字,

其中最小数与最大数的枳是264,求小欧框出的最小数.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关

键.设最小数为K根据题意，得到最大数为x+10,列出方程为才（工+10）=264,解方程即可.

【详解】设最小数为x,则最大数为x+10,

N（X+10）=264,

?+10x-264=0»

解得％=12,占=-22（舍去），

所以小欧框出的最小数是12.

2.（25-26九年级上•全国・期末）英电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过。度，那么

这居民这个月只需缴30元电费；如果超过〃度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分

还要每度按去元缴费.

I（）0

⑴若该厂某户居民2月份用电130度，超过了规定的。度，则超过的部分应缴电费多少元（用〃表示）；

⑵如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况：

月份用电量（度）缴电费总数（元）

312062

46530

请根据如表数据，求出电厂规定的。的值.

【答案】（1）急（150-。）元

1UO

（2）80

【分析】此题考查了一元二次方程的应用.

（1）由题意列出代数式即可得出结论；

（2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】（1）解：由题意可知，超过。度的电费为志（15。-。）元；

（2）由表格可知3月份的用电量超过。度，故：30+4（120-〃）=62,

10（）

整理得：/-120a+3200=0，

解得：4=40,%=80,

•••4月份用电量65度，交锣30元，

«>65，

・x=40不符合题意，舍去，

•••a=80,

答：电厂规定的〃的值为80.

3.（25-26九年级上•陕西汉中•月考）【观察思考】

围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的根盘上对

弈.如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案.

O•

O•O•

O•O•O•

O•O•O•

••••••••••••

第1个图案第2个图案第3个图案

【规律发现】

（1）按此规律继续摆下去，第〃（〃为正整数）个图案中，白棋有个，黑棋有

个；（用含〃的代数式表示）

【规律应用】

（2）若在第〃个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253,求〃的值.

【答案】（1）〃+2〃+3；（2）10.

【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现

规律是解题的关犍.

（1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第〃个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可；

（2）由题意可得（〃+1）（2〃+3）=253,然后解一元二次方程即可.

【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2,黑色棋子的个数为5：

第2个图案中白色棋子的个数为3,黑色棋子的个数为7；

第3个图案中白色棋子的个数为J黑色棋子的个数为9；

第〃个图案中白色棋子的个数为〃+1,黑色棋子的个数为2（〃+2）-1=2〃+3.

故答案为：，z+l,2H+3.

（2）由题意得：第〃个图案中，黑棋和白棋的数量之积为（〃+1）（2〃+3）,

则（〃+1）（2〃+3）=253,解得：〃=io或-三（不合题意舍弃）.

所以正整数〃的值为10.

知识点五握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）

1.（24-25八年级下•全国•课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共

握了66次于.若设这次会议到会的人数为",依题意可列方程（）

A.^x(x-l)=66B.^(1-x)2=66

C.x(l+x)=66D.x(x-l)=66

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列

出方程.据此解答即可.

【详解】解：•••设这次会议到会的人数为“人

每个人需要和除自己外的(x-l)人握手

又•.每两人之间的握手会被重复计算一次

•••总握手次数为gx(x-l)

•.•已知一共提了66次手

二依题意可列方程1)=66

故选：A.

2.(25-26九年级上•云南西双版纳•期末)云南省城市足球联赛〔滇超联赛)是云南历史上规模最大的省级

足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各

赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛.设有4支球队参加比赛，可列方程为()

A.A(A+1)=120B.A(A-1)=120

C.1)=120D.lx(.r-l)=I20

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数.

设有X支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为1)场，据此得出方程.

【详解】解：•.•有十支球队参赛，每支球队需与其余(X-1)支球队各赛一场，

・••若不考虑重复，总场次为x(x-l)场，

又•.单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数，

•••实际总场次为gx(x-l)场，

•••可列方程为1)=120,

故选：D.

3.（2026•黑龙江牡丹江一模）毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作

为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（）

A.40人B.41人C.42AD.43人

【答案】D

【分析】先设这个班级共有x名学生，根据礼物总数相等列出一元二次方程，求出解并判断符合题意的答

案即可.

【详解】解：设这个班级共有x名学生，根据题意，得

MD=1806,

解得％=43,8=T2（舍去），

所以这个班级共有学生43人.

4.（25-26八年级下•安徽安庆•期口）中国声谷足合肥高新区的国家级人工智能产业基地，足合肥”科创名

城”的核心名片.在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之

间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼.设共有x个队伍参加初赛，则下列

方程符合题意的是（）

A.x（x+l）=105B.x（x-l）=105

C.1）=105D.=105

【答案】D

【分析】根据实际问题列一元二次方程.

【详解】解：•.・共有％个队伍参加比赛，单循环赛制中每个队伍需要和除自身外的（1-1）个队伍各比赛一

场，

又•.•每场比赛由2个队伍共同参与，直接计算Mx-1）会重复计算每一场比赛，

・•.总比赛场数为白（1-1）,

已知总比赛场数为105场，

可得方程;x（x-l）=105.

c

知识点一动态几何问题（一元二次方程的应用）

I.（25-26八年级下•浙江湖州•期口）如图，在长方形4BC。中，A8=10cm,8C=12cm,点夕从点A开

始沿边AB向终点4以2cm/s的速度移动，与此同时，点。从点8开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移

动.如果P、Q分别从A、8同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时

间为，秒.

⑴填空：BQ=_cm,PB=_cm.（用含，的代数式表示）

（2）当五边形APQCD的面积等于104cm2时，求此时/的值.

（3）是否存在/的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时/的值和最小值，若不存在，请说明理

由.

【答案】（1）"（10-21）

（2）当五边形AP。。。的面积等于104cm2时，此时f的值为1

（3）存在，当f=l时，线段也的长度最小，最小值为4石

【分析】（1）根据尸、Q两点的运动速度可得6。、心的长度：

（2）根据五边形APQC。的面积等于104cm:代入相应数据解方程即可；

（3）根据勾股定理求得PQ,再根据配方法，求得最小值，即可求解.

【洋解】（1）解：•••点。从点3开始沿边8c向终点C以4cm/s的速度移动，

:.BQ=4rcm；

•••P从点A开始沿边4B向终点8以2cm/s的速度移动，

二AP=2rcm,

vAB=10cm,

.•.Pe=（10-2r）cm,

（2）解：・・・S长方形A"e=10xl2=120（cm2），

S五边形Appco=104(cm"),

,,5五边形八"c。=S玄方“^0c°一Sdp时,S^PBQ=—BQ.PB,

.­.104=120-1x4rx(l0-2z),

整理得：尸一5f+4=0,

解得：A=4也=1,

当7=4时，=16cm>12cm,不合题意，舍去;

当1=1时，BQ=4cm<12cm,符合题意;

•••当五边形4PQC。的面积等于104cm2时，此时/的值为1.

(3)解：PQ=y/PB2+BQ2=^(10-2/)2+(4/)2=^20(/-1)2+80，

v20(r-l)2>0,

.-.20(r-l)2+80^80,

.・・当，=1时，线段PQ的长度最小，此时也=陶=46.

2.（25-26八年级下•安徽合肥・期口）如图，在R^ACM中，NAQ8=90。，<14=60cm,OB=80cm,

OC1AB,垂足为C.甲虫由点A以女m/s的速度沿AB向点5爬行，同时乙虫由点。以2cm/s为速度沿CO

向点。爬行，当乙虫到达目的地点。时，甲乙两虫停止爬行.

（1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形.

（2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm之.

【答案】7.25或7或6+历

【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P,乙虫所在位置为点Q,根据题意，得AP=3Aum,

CQ=2xcm,根据题意，分（）工工412和12令W24时，两种情况求解即可.

（2）利用分类思想，解方程计算即可;

【详解】（1）解：•••408=90。，OA=60cm,O8=80cm,OC±AB,

AB=yJOA2+OB2=100(cm),

•••OC_L48,

4人,U。)bI{=2-ABOC=-2OAOB,

OAOB./、

:.OC=---------=48Q(cm),

AB')

・••AC=y/AO2OC2=36(cm),

.­.BC=AB-AC=100-36=64(cm).

设运动x秒时，甲虫所在位置为点P,乙虫所在位置为点Q,

根据题意，得AP=3.¥cm,CQ=2xcm,

当即04xW12时，点P在线段AC上，连接也,

此时CP=AC-AP=(36—3x)cm,

•••甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形,

:.CP=CQ,

.•.36-3x=2x,

解得x=7.2：

此时点P在线段BC上,

•••甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形,

：.CP=CQ,

二3工-36=2工♦

MN)

解得x=36；不满足范围手，舍去，

综上所述，在7.2秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形.

(2)设运动x秒时，甲虫所在位置为点P,乙虫所在位置为点。，根据题意，得AP=3nm,

CQ=2xcm,

当点尸在AC上时,此时C尸=4C-AP=(36-3x)cm,

根据题意，得;CPCQ=105,

即工(36-3x)=105,

解得％=5,七=7；

当点P在4C上时，此时C〃=AP—AC=(3x-36)cm,

根据题意，得gcPCQ=105,

即x(3x-36)=105,

整理，得丁-12%-35=0,

解得J2±J122-4xlx(-35)」2±2).

x-2--2，

故玉=6+"1,2=6一回(时诃不能为负，舍去)：

此时％=6+历，

综上所述，在5秒或7秒或(6+历)秒时，甲、乙两虫所在位置与点。组成的三角形的面积等于105cm2.

3.(25-26八年级下•北京•课后作业)如图，在长方形A8C。中，AB=6cm,AO=2cm,点尸以2cm/s的

速度从顶点A出发，沿折线A-3-C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CO向点。

运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动.

BC

4

（I）两动点运动几秒时.，四边形PBCQ的面积是长方形/WC。面积的§?

（2）是否存在某一时刻，使得点尸与点Q之间的距离为底m?若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理

由.

2

【答案】（1）§秒

（2）存在，7=1或I

4

【分析】（1）要使四边形P8C。的面枳是长方形4