等腰三角形的判定定理 培优测试-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

2.4等腰三角形的判定定理培优测试

一、选择题

1.如图，等边三角形ABC,AB=6,D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM,将线段CM绕

点C逆时针方向旋转60。得到CN,连接ND,贝IJND+CN的最小值为（）

A.3B.273C.3V3D.6

2.如图，过边长为1的等边三胸形ABC的边AB上一点P,作PE14C于点E,Q为BC延长线上

一点，当4P=CQ时，PQ交AC十点D,则DE的长为（）

A.1B.iC.1D.不能确定

3.如图，等边和等边△BCE中，A、B、C三点共线，4E和。。相交于点F,下列结论中正确

的个数是（）

®^ABE=△DBC-,②85平分乙4/C；@AF=DF+BF；@^AFD=60°

A.1B.2C.3D.4

4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边

△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,下列结论错误的

是（）

B

D

O

A.AD=BEB.ZDOE=60°C.DE=DPD.PQ//AE

5.如图等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点D,点P是BA延长线上一点，点

O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①NAPO+NDCO=30。；②△OPC是等边三角形；

③AC=AO+AP；©SAABC-S^AOCP,其中正确的个数是（）

6.如图，乙M0N=30。,在0M上截取。&=百.过点为作A】/10M,交ON于点以，以点々为圆

心，当。为半径画弧，交0M于点庆；过点42作上%，0M,交ON于点无，以点B2为圆心，无。为半

径画弧，交0M于点43；按此规律，所得线段4202282022的长等于（）

7.如图，点P,Q,R分别在等边△ABC的三边上，且AP=BQ=CR,过点P,Q,R分别作BC,

CA,AB边的垂线，得到△DEF.若要求4DEF的面积，则只需知道（）

A.AB的长B.DP的长C.BP的长D.AP的长

8.如图，等边2ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4,

QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（)

A.7B.8C.10D.12

二、填空题

9.如图的5个三角形中，均有A8=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线不够蟠将这个三角形

分成两个小等腰三角形的是（填序号）.

10.如图，^BOC=60°,点A是BO延长线上的一点，OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以

2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿0C以lcm/s的速度移动，如果点P,Q同时出发，用t

（s）表示移动的时间，当1=时，ZiPOQ是等腰三角形.

11.如图，在Rt/kABC中，zC=90°,/-B=30°,BC=6,D为力B的中点，P为BC上一动点，连

接AP,DP,则AP+OP的最小值是.

12.如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E,F分别是边BC和AC上的

点，BE=CF,AE与BF交于点G.DG交AB于点H.下列四个结论中：①△ABE丝ABCF；

②AG+BG=DG；③HG+GE=GF；④ZkAHF为等边三角形.所有正确结论的序号是.

DA

13.在△ABC中，NA=60。，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ,

把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则NABC的度数可以

是.

14.如图，在△/1BC中，41cB=30。，48=4,高CH=6.作点H关于AC,BC的对称

点D,E,连接DE交AC于点P,交BC于点Q;连接HD,HP,HQ,HE.下列结论：

@^DCE=60°；@PQ=3；③五边形ABECD的面积是24；④△PQH的周长为6.其中正确

结论是.（填写序号）

15.已知：在等边中，点E是4B边所在直线上的一个动点（E与力、B两点均不重合），点。在

CB的延长线上，且ED=EC.

（1）如图①，当E是边的中点时，求证：AE=BD；

（2）如图②，当E是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；

（3）若点E是线段48的延长线上任一点，ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的长.

16.阅读下列材料，解答问题：

定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与^BCM（如图I）,如果△ABM与^BCM均为等腰

三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.

图1图2图3

（1）如图1,已知△ABC中，AB=AC,4c=36。，BM为△ABC的完美分割线，且CMV

AM,则乙。=°,4AMB=°；

（2）如图2,已知△ABC中，AB=AC,^BAC=108°,AC=CN,求证：AN为△ABC的完美

分割线；

（3）如图3,已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC,AN是它的一条完美分割线，且BN>

NC,将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点J处，AG交BN于点M.求证：BM=CrV.

17.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为”等角

三角形

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三

角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是

”等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线

（1）理解概念

如图1,在中，Z.ACB=90°,CDLAB,请写出图中两对“等角三角形”

（2）概念应用

如图2,在△A8C中，CO为角平分线，乙4=40。，48=60。.

求证：CO为△ABC的等角分割线.

（3）在△4BC中，△4=42。，CD是△/IBC的等角分割线，直接写出乙4cB的度数.

18.综合与实践:

已知，等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,NBAC=36。.现要将其剪成三张小纸片，使每张小

纸片都是等腰三角形（不能有剩余）.下面是小文借助尺规犀决这一问题的过程，请阅读后完成相应

任务.

作法：如图1所示，

①分别作AB,AC的垂直平分线，交于点P；

②连接PA,PB,PC.

结论：沿线段PA,PB,PC剪开，即可得到三个等腰三角形，

理由：•・•点P在线段AB的垂直平分线上，

・•.....（依据）.

同理，PA=PC.

APA=PB=PC.

•••△PAB、△PBC.△PAC都是等腰三角形

任务：

（1）上述过程中，横线上的结论为，括号中的依据

为.

（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2,以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC

于点D,交AB于点E.在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可

解决问题！请布图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数.

（3）如图3,等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,ZBAC=108°,请从A,B两题中任选一题作

答、我选择_______________________________________________________________________________

题.

A.请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图,

保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）.

B.请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不

全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）.

19.如图，已知点D是等边三角形ABC中BC边所在直线上的点，连接4。，过点D作N/WF=60。,

OF与乙4cB的邻补角的平分线交于点F.

图①图②

（1）如图①，当点D在线段BC上时，过点D作。EII4C,且交力B于点E.求证：BD=BE；

（2）如图①，在（1）的条件下，求证：BC=CD+CF.

（3）如图②，当点D在线段的延长线上时，（2）中线段BC,CD,CF之间的数量关系式还成

立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段BC,CD,CT之间新的数量关系式，并说明理

由.

20.在边长为8的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单

位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为1秒.

图1图2图3

（1）如图1,若BQ=6,当t取何值时PQ//AC?

（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为

何值时，△APQ为等边三角形（在图2中画出示意图）.

（3）如图3,将边长为48=8的等边三角形ABC变换为AB,AC为腰，BC为底的等腰三角

形，旦4B=4C=8,BC=6,点P运动到AB中点处静止后，点M,N分别为BCAC上动

点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运

动，当ABPM,〉CNM全等时，直接写出a的值.

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与

点P重合，

・••点N在线段BP上运动，

•・•△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，

ABD=DC=PD=PC,ZBCP=60°,

AZCBP=30°,ZBPC=90°,

作点D关于直线BP的对称点E,连接CE,与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为

EC,

连接BE,ED,

AZCBP=ZEBP=30°,zXBDE是等边三角形，ZCBE=60°,

・・.BD=DC=DE,

AZBEC=90°,ZBCE=30°,

VBC=6,

ABE=3,CE=3V3»

・・・DN+CN最小值为3A/5.

故答案为：C.

【分析】当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，则点N

在线段BP上运动，根据等边三角形的性质可得BD=DC=PD=PC,ZBCP=60°,则/CBP=30。，

ZBPC=90°,作点D关于直线BP的对称点E,连接CE,与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且

最小值为EC,连接BE,ED,则BD=DC=DE,然后求出BE、CE的值，据此求解.

2.【答案】B

【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS

【蟀析】【解答】解：如图，过点P作PF〃BC,交AC于点F,

•・•△ABC是等边三角形，ZB=ZACB=60°,

VPF/7BC,

AZPFD=ZQCD,ZAPF=ZB=60°,ZAFP=ZACB=60°,

.•.ZAFP=ZAPF=60°,

・•・△APF是等边三角形，

AAP=AF=PF,

VPE1AC,

AAE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

APF=CQ,

在APFD与aQCD中，

VZPFD=ZQCD,ZPDF=ZQDC,PF=CQ,

PFD^AQCD(AAS),

AFD=CD,

•••EF+FD=AE+CD,

.,.DE=AE+CD=iAC=l

故答案为：B.

【分析】过点P作PF〃BC,交AC于点F,由等边三角形的性质得NB=NACB=60。，由平行线的性

质得NPFD二NQCD,ZAPF=ZB=60°,ZAFP=ZACB=60°,推出△APF是等边三角形，得

AP二AF=PF,根据等边三角形的三线合一得AE=EF,从而用AAS判断出△PFDgAQCD,得

FD=CD,从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.

3.【答案】D

【知识点】三角形全等及其性质：三角形全等的判定：等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：•••△48。和48。£*是等边三角形,

：・BE=BC,AB=DB,LABD=^EBC=60°,

*：LABD+乙DBE=/.ABE,乙DBE+Z-CBE=+^CDBf

/.LABE=Z.DBC♦

在△48E与AOBC中，

AB=DB

乙ABE=乙DBC,

BE=BC

A△ABE三△D8C(S4S),

C.LEAB=乙CDB,

'：cAFC=4ADF+^DAF=乙ADB+乙BDF+Z-DAF,

：.LAFC=乙EAB+^DAF4-4ADB=120°,

：.LAFD=60°,故①④符合题意，

在&ABK与ADBF中,

过B作8GJ.4凡BH1CD,

D

：.LAGB=乙DHB=90°,

在&ABG与△DBH中,

2AGB=乙DHB

Z.GAB=乙HDB,

AB=DB

：.△ABG三△DBHQ4AS),

：.BG=BH,

■:BG1AFfBH1CD,

・・・BF平分乙4FC,故②符合题意，

'：LABD=乙EBC=60°,

:•乙DBE=180°-^-ABD-UBE=180°-60°-60°=60°,

在ZL4BK与408/中,

zKAB=Z.JDB

AB=DB,

乙ABD=乙DBJ

・・・ZL4BK三ADB/G4s4),

'：AK=DJ,BK=BJ,

AK4-BK=DJ+BJ,

在线段R4上截取FM=FB,

;由②的证明可知乙AFB=CFB=60°,

・・・AM8"是等边三角形，

；・MB=MF=FB,

又,：乙MBF=乙ABD=60°,

：.LABM=乙DBF,

又〈AB=DB,MB=FB,

**•△ABM=△DBF,

•'•AM=DF,

：.AF=AM-]■MF=DF+BF,

・•・③符合题意，

故答案为：D,

【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。

4.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质：三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA

【解析】【解答】解：'•△ABC和4CDE是等边三角形，

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

AZBCD-60°,ZACD-ZBCE-1200,

在AACD和^BCE中，

AC=BC

Z-ACD=4BCE,

CD=CE

ACD^ABCE(SAS),

AAD=BE,ZCAD=ZCBE,故选项A不合题意；

■:ZDOE=ZDAC+NBEC,

/.ZDOE=ZCBE+ZBEC=ZACB=60°,故选项B不合题意;

在AACP和^BCQ中,

Z.CAD=UBE

AC=BC

^ACB=乙BCD=60

:ACP^ABCQ(ASA),

・・・PC=CQ,

又・・・/BCD=60。，

・・・ACPQ是等边三角形，

/.ZCPQ=60°,

AZCPQ=ZACB,

・・・PQ〃AE,故选项D不合题意.

故答案为：C.

【分析】根据等边三角形的性质得AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,进而根据半角的定

义可得NBCD=60。，ZACD=ZBCE=120°,用SAS判断出△ACD经△BCE,根据全等三角形的性

质得AD=BE,ZCAD=ZCBE,进而得NDOE=NDAC+NBEONCBE+NBEC=NACB=60。，

用ASA判断出△ACPg^BCQ,根据全等三角形的性质得PC=CQ,易得△CPQ是等边三角形，根

据等边三角形的性质得NCPQ=NACB=60。，进而根据内错角相等两直线平行得PQ〃AE,从而即

可一一判断得出答案.

5.【答案】D

【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全

等的判定-SAS

【解析】【解答】解：如图1,连接OB,

VAB=AC,AD_LBC,

・・・BD=CD,ZBAD=izBAC=lx|20°=60°,

AOB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°,

VOP=OC,

，OB=OC=OP,

/.ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

/.ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=NABD=30。；

故①正确；

ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°,

.,.ZAPC+ZDCP=150°,

VZAPO+ZDCO=30°,

.*.ZOPC+ZOCP=120°,

AZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60。，

VOP=OC,

/.△OPC是等边三角形；

故②正确；

如图2,在AC上截取AE=PA,

图2

ZPAE=1800-ZBAC=60°,

・•・AAPE是等边三角形，

AZPEA=ZAPE=60°,PE=PA,

AZAPO+ZOPE=60o,

ZOPE+ZCPE=NCPO=60。，

AZAPO=ZCPE,

VOP=CP,

在△(^人和^CPE中，

PA=PE

乙APO=乙CPE,

OP=CP

OPA^ACPE(SAS),

AAO=CE,

AAC=AE+CE=AO+AP；

故③正确；

如图3,过点C作CH_LAB于H,

HP

A

BDC

图3

VZPAC=ZDAC=60°,AD1BC,

ACH=CD,

SAABC=；AB・CH,

SlUii!iKA0CP=SAACP+SAA0C=iAP<H+10A*CD=lAP*CH40A*CH=lcH*(AP+OA)=|CH*AC,

乙乙乙乙乙乙

.*.SAABC=S内边形AOCP：

故④正确.

故答案为：D.

【分析】连接OB,由等腰三角形的性质可得BD=CD,ZBAD=1ZBAC=6O°,则OB=OC,

ZABC=30°,由已知条件可知OP=OC,贝lJOB=OC=OP,然后根据等腰三角形的性质可判断

①；由内角和定理可得NAPC+NDCP=150。，结合①的结论可得NOPC+NOCP=12()。，利用内角

和定理可得NPOC=60。，然后根据等边三角形的判定定理可判断②；在AC上截取AE=PA,易得

△APE是等边三角形，ZPEA=ZAPE=60°,PE=PA,利用SAS证明△OPA^^CPE,得到A0=

CE,进而判断③；过点C作CH_LAB于H,贝ljCH=CD,SAABC=1AB*CH,由S网边彩ACCP=

SAACP+SAAOC表示出S叫地形AOCP,据此判断(J).

6.【答案】A

【知识点】等边三角形的判定

【解析】【解答】解：・・・ABJ_OM,ZMON=30°,OAi=V3,

/.BiO=V34-cos30°=2,

V0Bi=BiA2,

n

.,.ZBiA2O=30

/.ZA2BIB2=60°,

VA2B21OM,

.,.ZB2A2BI=60°,

・•・△B1A2B2是等边三角形，

.,.A2B2=2,

B2A3B3是等边二角形，

/.A3B3=2X2=4=22,

同理可得△B2021A2022B2022是等边三角形,

A2O22B2O22=22021,

故答案为：A.

【分析】根据题意可知△B1A2B2,△B2A正3是等边三角形.以此类推可知△B2021A2022B2022是等边三角形，即

可求解。

7.【答案】D

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答】解：如图，延长RD交AB于点J,延长QF交AC于点N,

•••△ABC是等边三角形，

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC,

VRJ±AB,PEJ_BC,QN1AC,

AZAJR=ZQNC=90°,ZJPD=30°,

AZEDF=ZJDP=60°,

同理得NDFE=ZDEF=60°,

・•・△DEF是等边三角形，

DEF的面积=，DF2,

4

•・・AP=BQ=CR,

，CQ=AR,

QNC^ARJA(AAS),

AAJ=CN,

设AP=BQ=CR=a,AB=BC=AC=b,

••AR=b-a9

AJ=CN*R=竽

以二鹫弘

PJ=AJ-AP坦翼=NR,

乙

JD=^PJ=©e-包=NF,

36

RF=2NF的a

DF=JR-JD-RF=V3a,

△DEF的面积邛DF2=#%=¥AP2,

要求△DEF的面积，则只需知道AP的长.

故答案为：D.

【分析】延长RD交AB十点J,延长QF交AC1•点N,根据等边三角形的性质和判定得出△DEF

是等边三角形，得出△DEF的面积=，DF2,再证出△QNC会4RJA,得出AJ=CN,设AP=BQ=

4

CR=a,AB=BC=AC=b,然后表示出AJ、JR、PJ、JD、RF、DF,得出△DEF的面积

=^DF2=¥a2二羽3Ap2,即可得出答案.

444

8.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用最短距离问题

【解析】【解答】解：如图,

vAABC是等边三角形,

：•BA=BC，

•••D为AC中点,

:・BDLAC,

V.4Q=4,QD=3,

AD=DC=AQ+QD=7,

作点Q关于BD的对称点Q「连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PEiQE的值最小，最小值

PE+QE=PE+EQ'=PQ，,

KQ=4,AD=DC=7,

:.QD=DQ1=3,

：•CQ'=BP=4,

AP=4Q'=10,

LA=60°,

:.AAPQ，是等边三角形，

PQ'=PA=10,

APE+QE的最小值为10.

故答案为：C.

【分析】作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ'交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小,

最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ',进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.

9.【答案】②⑤

【知识点】等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】①过点8作48的角平分线，

9：AB=AC,LA=36°,

・••乙B=zC=72°,

=Z-CBD=36°,乙BDC=72°,

・•・△力80和48c。是等腰三角形，

，①符合题意；

②不能分成两个小等腰三角形;

③过点A作的角平分线，

=/LCAD=45°,

'：LA=90。，AB=AC,

：.LB=ZC=45°,

・•・△4c。是等腰三角形;

，③符合题意；

④把点A分成36。和72。的角，

J.LBAD=36°,Z-CAD=72°,

'：LA=108°,/IB=4C,

，乙B=zC=36°,

二乙BAD=^ADC=Z-CAD

・♦・△480和44co是等腰三角形;

・•・④符合题意；

⑤不能分成两个小等腰三角形.

・•・②⑤不能分成两个小等腰三角形

故答案为：②⑤.

【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。

10.【答案】学s或10s

【知识点】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：当PO=QO时，4P0Q是等腰三角形；

如图1所示：

二当PO=QO时,

10-2t=t

解得t=孚

当PO=Q。时，APOQ是等腰三角形;

如图2所示：

•••PO=AP-AO=2t-10,OQ=t；

•••当P。=Q0时，2t-10=t；

解得t=10；

故答案为：竽S或10s.

【分析】分两种情况：①当PO=Q。时，4P0Q是等腰三角形；②当PO=Q。时，4P0Q是等腰三

角形；据此分别解答即可.

1L【答案】6

【知识点】等边三角形的判定与性质：轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：作A关于BC的对称点/，连接/B，A,P，

A

•••LC=90°,乙B=30°,

•••LA=60°,

vPA=A'P,

.••△44'8为等边三角形，

AP+DP=4尸+尸0为4,

AP+OP的最小值为I到48的距离=BC=6,

故答案为：6.

【分析】作A关于BC的对称点连接A,P，易证△AAB为等边三角形，可得4P+DP的最

小值为4到4B的距离，即为BC的长.

12.【答案】①②④

【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：・・•△ABC为等边三角形，

AAB-BC,ZABE-ZBCF-600,

XVBE=CF,

.*.△ABE^ABCF(SAS),故①正确；

延长GE至"‘，使GH'=GB,

.\ZBAE=ZFBC,

/.ZBGE=ZABG+ZBAE=ZABG+ZFBC=ZABC=60°,

又•：GH，=GB,

:.bBGH是等边三角形，

=GH'=BW,乙GBH，=60°,

•••点D与点C关于直线AB对称，

AAD=AC,BD=BC,

AAD=BD=AB,

・•・△ABD也是等边三角形，

AAB=BD,ZABD=60°,

'：LABW=乙GBH'+々4BG,4DBG=cABD+乙ABG

=/.DBG,

XDB=AB.RG=RfT.

:・&DBG»ABW(SAS),

：,DG=AH'，

，：AH,=AG+GHr,

・・・DG=AG+BG,故②正确；

连接HF,♦：2DBG"ABW

/.ZBDG-ZBAE,

・•・ZADB-ZBDG=ZBAC-ZBAE,

即NADH=NGAF,

又・・，AD=AC,NACE=NDAH,

?.△ADH^ACAE(ASA),

AAH=CE,

又VCE=BC-BE=AC-FC=AF,

AAH=AF,

VZHAF=60°

・•・△AHF是等边三角形，④正确；

当E、F分别为BC,AC的中点时，则H为AB的中点,

又・・•△ABC是等边三角形，

，此时G是^ABC二条角平分线的交点，

：.HG=GE=GF,故③错误；

故答案为：①②④.

【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC,ZABE=ZBCF=60°,由已知条件可知BE=CF,然后

根据全等三角形的判定定理可判断①；延长GE至H'使GH』GB,由①得△ABEgACBF,则

ZBAE=ZFBC,根据角的和差关系可得NBGE=NABG+NBAE=6()。，易得△BGH，是等边三角形，

贝ljBG=GH，=BH，，NGBW=60。，由轴对称的性质可得AD=AC,BD=BC,推出△ABD是等边三角

形，得至IJAB=BD,ZABD=60°,证明△DBGg/^ABH，，贝ijDG=AH"据此判断②：连接HF,根

据全等三角形的性质可得/BDG=NBAE,由角的和差关系可得/ADH=NGAF,证明

△ADH^ACAE,得至IJAH=CE,推出AH=AF,结合等边三角形的判定定理可判断④；当E、F分

别为BC,AC的中点时，则H为AB的中点，由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平

分线的交点，据此判断③.

13.【答案】80。或100°

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：・・・/A=60。，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，

・•・△ABP是等边三角形，

AZAPB=ZABP=60°,

.\ZBPC=120o,

令NCBP=x0,

①如图：

当QB=QP,CP=CQ时，NCBP=NBPQ=x。,

AZCQP=ZCPQ=2x°

VZBPQ+ZCPQ=ZBPC

/.2x+x=120°

解得x=40°

・•・ZABC=ZABP+ZCBP=600+40°=100°

②如图;

图2

当QB=QP,QP=QC时，ZCBP=ZBPQ=x°

.,.ZCQP=ZBPQ+ZCBP=2x°

AZQPC=90°-x°

ZBPQ+ZCPQ=90°-x+x=90°=ZBPC

又NBPC=120°

・•・不符合题意，舍去

③如图：

图3

当QB二QP,PC二PQ时，ZCBP=ZBPQ=x°,

AZCQP=ZC=2x°

AZCPQ=180o-4x

ZBPQ+ZCPQ=ZBPC

.,.x+180o-4x=120°

解得x=20°

ZABC=ZABP+ZCBP=60°+20°=80°

④如图:

B

x

60八390。+芝、「

P.C

图4

当BP=BQ,PQ=PC时，ZBPQ=90°-lx

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+|x

XZCQP=ZC=90°+lx

.,.ZCPQ=180°-2(90°+lx)=-x,不符合题意，舍去

⑤如图:

当BP=BQ,QP=QC时，ZBPQ=90°-AX

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+1x

ZQPC=45o-|x

,?ZBPQ+ZCPQ=ZBPC

.・.90。++45。与曰20。

解得x=20°

AZABC=ZABP+ZCBP=60o+20o=80°

⑥如图:

R

图6

当BQ=BP,CP=CQ时，ZBPQ=90o-|x

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+1x

•・•ZBPC=ZBPQ+ZCPQ=90O-AX+900+1X=180°

C,P,B三点共线，不符合题意，舍去

⑦如图：

当PB=PQ,CP=CQ时，ZBPQ=180°-2x

JZCQP=ZBPQ+ZCBP=180°-x

/.ZQPC=180o-x

•・•ZBPQ+ZCPQ=180°-2x+1800-x=ZBPC

又NBPO120。

.,.180o-2x+180°-x=120°

解得x=80°

ZA+ZABC=60o+600+80o=200°>180°,

・••不成立，舍去

⑧如图：

B

图8

当PB二PQ,PC二PQ时，ZBPQ=1800-2x

ZCQP=ZBPQ+ZCBP=180°-x

/.ZQPC=2x-180°

•・•ZBPQ+NCPQ=1800-2x+2x-l80°=0°=ZBPC

又NBPC=120。

，不符合题意，舍去

⑨如图：

当PB=PQ,QC=QP时，ZBPQ=180°-2x

ZCQP=ZBPQ+ZCBP=180°-x

・•・ZQPC=1x

ZBPQ+ZCPQ=180°-2x+lx=l20°

解得x=40°

，ZABC=ZABP+ZCBP=600+40°=100°

综上可知，ZABC的度数可以是80。或1(X)°

故答案为：80。或100°.

【分析】由题意可得△ABP是等边三角形，得至IJNAPB=NABP=6O°,贝I」NBPC=120°,令

ZCBP=x0,①当QB=QP,CP=CQ时，ZCBP=ZBPQ=x°,根据等腰三角形的性质以及外角的性质

可得NCQP=NCPQ=2x\根据/BPQ+NCPQ=NBPC可-得x,然后根据NABC=NABP+/CBP进行

计算；②当QB=QP,QP=QC时，ZCBP=ZBPQ=x°,同理可得NCQP=2x。，ZQPC=90°-x°,然后

根据NBPQ+NCPQ=NBPC进行计算；③当QB=QP,PC二PQ时，ZCBP=ZBPQ=x0,易得

ZCQP=ZC=2x°,ZCPQ=180°-4x,根据NBPQ+NCPQ=NBPC求出x,然后根据

/ABONABP+NCBP进行计算；④当BP=BQ,PQ=PC时，ZBPQ=90°-1x,ZCQP=90°+1x,然

后表示出NCPQ,据此解答；⑤当BP=BQ,QP=QC时ZBPQ=90°-lx,ZCQP=90°+lx,

ZQPC=45°-lx,根据NBPQ+NCPQ=NBPC可得x,然后根据NABC=NABP+/CBP进行计算；⑥

当BQ=BP,CP=CQ时，ZBPQ=90°-lx,ZCQP=90°+lx,推出C,P,B三点共线，不符合题意;

⑦当PB二PQ,CP=CQ时，ZBPQ=180°-2x,ZCQP=180°-x,ZQPC=180°-x,根据

NBPQ+NCPQ=/BPC可得x,据此解答；⑧当PB=PQ,PC=PQ时，ZBPQ=l80°-2x,

ZCQP=l80°-x,ZQPC=2x-180°,根据NBPQ+NCPQ=NBPC可得NBPC=120。，不合题意；⑨当

PB=PQ,QOQP时，ZBPQ=180°-2x,NCQP=1800-x,ZQPC=ix,根据NBPQ+NCPQ=1200可得

x,然后根据NABC=NABP+NCBP进行计算.

14.【答案】①③④

【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质

【解析】【解答】解：VH、D关于AC对称，点P是AC上的点,

:.PD=PH,ADAC=AHAC,Z.DCA=Z.HCA.

同理可得，QE=QH,AEBCsAHBC,乙ECB=AHCB.

①40CE=乙DCH+Z-HCE=2/.ACH+2UICB=2^ACB=2X30°=60°,故①正确：

@APQH的周长=PH+PQQH=PD+PQ+QE=DE.

由①知（DCE=60°,CD=CH=CE,故ADCE是等边三角形.

DE=DC=CH=6,故④正确；

②在△PQH中，PD+QE=PH+QH>PQ,

而P0十QE+PQ=。6=6,即PH+QH=6—PQ,

:.6—PQ>PQ,

PQ<3,故②错误；

③S五边形ABECD=2S.ABC=2x；A8•CH=4x6=24,故③正确.

故答案为：①③④.

【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH,△DAC^AHAC,ZDCA=ZHCA,同理可得到

QE=QH,△EBC^AHBC,ZECB=ZHCB,再证明NDCE=2NACR,代入计算可求出/DCE的度

数，可对①作出判断；利用有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，可证得ADCE是等边三角

形，利用等边三角形的性质可得至IJDE=DC=CH=6；再证明的周长就是DE的长，可对④作

出判断；利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QHAPQ,再证明PH+QH=6-PQ,由此可求出

PQ的取值范围，可对②作出判断；易证五边形ABECD的面积=24ABC的面积，由此可求出五边

形ABECD的面积，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

15.【答案】（1）证明：•••△45。为等边三角形，点已为/18的中点，

：-LABC=/-ACB=60°,CE平分乙4CB,AE=BE,

=^Z-ACB=30%

;DE=CE,

，乙0=乙ECB=30°,

'：LABC.=ZD+/DER,

:•乙DEB=乙ABC-ZD=30°,

/.Z.D=乙DEB,

:・BD=BE,

：.AE=BD

（2）解：当点E为线段A8上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：

如图②，过E作EF||交AC于F,

图②

•••△48C是等边三角形，

：-cABC=^ACB=z.A=60。，AB=AC=BC,

：.LAEF=乙ABC=60°,Z-AFE=Z-ACB=60°,

^LAEF=匕AFE=^A=60°,

・•・△4"是等边三角形，

：.AE=EF=AF,

'：LABC=Z.ACB=Z-AFE=60°,

=乙EFC=120°,乙D+乙BED=乙FCE+乙ECD=60°,

VDE=EC,

/.Z.D=Z.ECD»

:,(BED=乙ECF,

NDBE=乙EFC

在ADEB^\LECF中，(DEB=(ECF,

DE=EC

A△DEB=△ECF(AAS),

：.BD=EF,

：.AE=BD；

(3)解：如图③，过E作EF||BC交力C的延长线于F,

E

图③

则AAE尸为等边三角形，乙ECD=乙CEF,

A.4F=AE=EF=2,Z.F=60%

'：EC=ED,

/.Z.D=Z,ECD,

：.LCEF=zD,

•・・A48C是等边三角形，

=AC=1,Z-ABC=60°,

:.乙DBE=乙ABC=60°,

/.Z.F=乙DBE,

乙尸="BE

在△CFFWAE08中，乙CEF=Z-D,

EC=DE

：.△CEF三△EMOMS),

:,BD=EF=2,

：.CD=BD-^-AC=2+1=3.

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS

【酢析】【分析】（1）根据等边二角形的性质和等腰二角形的性质证出ND=NDEB,贝IJBD=BE,

即可得出结论；

(2)过E作EF〃BC交AC于F,证4AEF是等边三角形，得AE=EF=AF,再利用AAS证

△DEB丝ZSECF,得BD=EF,即可得出结论；

(3)过E作EF〃BC交CA的延长线于F,则4AEF为等边三角形，得AF=AE=EF=2,ZF=

60。，再利用AAS证△CEFgAEDB,得BD=EF=2,即可得出答案.

16.【答案】(1)72；108

(2)证明：VAB=AC,ZBAC=1O8",

AZB=ZC=1(180°-ZBAC)=36°,

VAC=CN,

AZCAN=ZCNA=1(180°-ZC)=72°,

・•・ZBAN=ZBAC-ZNAC=108°-72°=36°,

A/BAN=/B.

ANA=NB,

.••△ABN、4ACN均为等腰三角形，

AAN为4ABC的完美分割线；

(3)证明：•・•AN是△ABC的一条完美分割线，

AAN=CN,AB=BN,

AZC-ZCAN,ZBAN-ZBNA,

，ZBNA=ZC+ZCAN=2ZCAN,

AZBAN=2ZCAN,

VZCAN=ZCiAN,

AZBAN=2ZCiAN,

ZBAN=ZCiAN+ZBAM,

AZCiAN-ZBAM,

VAC=AB,

AZC=ZB,

VZC=ZCi,

JNC产NB,

VAC=ACi,

/.ACi=AB,

/.△ACiN^AABM(ASA),

ANCi=BM.

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA

【解析】【解答】(1)VAB=AC,ZBAC=36°,

AZC=(180°-ZBAC)Q144*2=72°,

VBM为AABC的完美分割线，且CM<AM,

.*.ZABM=ZBAC=36°,

JZAMB=180°-ZBAC-ZABM=180°-36°-36°=108°

故答案为：72,108；

【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得NC=(180°-ZBAC)-2=72°,利用“完美分割线”的定义可

得NABM二NBAC=36。，根据三角形内角和定理求出NAMB即可；

(2)根据两底角相等的三角形为等腰三角形征△ABN、△ACN均为等腰三角形，根据“完美分割

线''的定义即可判断；

(3)根据ASA证明△AGNg/\ABM,利用全等三角形的性质即得结论.

17.【答案】(1)解：LABC与△ACO,LABC与ABCD,ACD与ABCD是，等角三角

形”；

(2)证明：•••在A/IBC中，44=40。，乙B=60°

LACB=180°一一4B=80°•:CD为角平分线，

:.LACD=乙DCB=g乙ACB=40°,

•••Z.ACD=Z.A，Z.DCB=Z.A»

CD=DA,

•••在△DBC中，乙DCB=40°,乙B=60°,

...LBDC=180°一乙DCB一乙B=80°,

•••LBDC=Z.ACB,

vCD=DA,Z-BDC=Z.ACB,Z.DCB=Z.A,

Z-B=(B»

CD为△ABC的等角分割线；

(3)解：^ACB的度数为111°或84°或106°或92°.

【知识点】三角形内角和定理：等腰三角形的判定与性质：角平分线的概念

【解析】【解答］解：（1）在RsABC中NACB=90。，

.,.ZA+ZB=90°,

VCD1AB,

AZADC=ZCDB=90°,

AZA+ZACD=90°,NB+NBCD=90。，

・・・NA=NBCD,ZACD=ZB,

ABC与△ACD,△ABC与△BCD,△ACD与△BCD都是等角三角形：

（3）当△ACO是等腰三角形，DA=DC时，^ACD==42°,

LACB=乙BDC=42°+42°=84°,

当△ACD是等腰三角形，DA=AC时，/-ACD=乙ADC=69°,

乙BCD=Z/1=42°,

•••LACB=690+42°=111°,

当△4C0是等腰三角形，AC=CD时，ZA=ZADC=42°,

ZACD=180o-420-42o=96°,乙BCD==42°

.,.ZACB=96O+42°=138°,而NA+BACB=138o+420=180。,所以CB与AB不可能相交，比种情况不

存在；

当△BCD是等腰三角形，DC=BD时，/.ACD=乙BCD=（B=46°,

•••LACB=92°,

当ABCD是等腰三角形，DB=BC时，乙BDC=CBCD,

设Z.BDC=乙BCD=x»

则乙B=180°-2%,

则LACD=LB=180°-2x,

由题意得，180。一2%+42。=%,

解得，x=74°,

•••LACD=1800-2x=32°,

•••LACB=106°,

当△BCD是等腰三角形，CD二CB时，ZB=ZCDB,ZACD=ZB,而NCDB>/ACD,故此种情况

不存在.

•••LACB的度数为111°或84°或106°或92°.

【分析】（1）推出NA=NBCD,ZACB=ZB,ZADC=ZBDC,从而得出结论；

（2）根据三角形的内角和定理得NACB的度数，进而根据角平分线的定义得/ACD=NDCB=40。,

则NACD=NA,ZBCD=ZA=60°,NB=NB,NBDC=/ACB=80。，从而得出结论；

（3）分为当4ACD是等腰三隹形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：

AC=AD,AD=CD,AC=CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨

论.

18.【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

（2）解：如图，连接BD、DE.

由作法知，BC=BD=BE,则ABCD、^BDE是等腰三角形，

VAB=AC,ZBAC=36°,ZABC=ZACB=72°,VBC=BD,

AZBDC=ZACB=72°,/.ZDBC=36°,

ZEBD=ZABC-ZDBC=36°,

VBD=BE,AZBED=ZBDE=72°,

.•・ZAED=1800-NBED=108°,

：.ZEDA=180°-ZBAC-ZAED=36°,

・・・AE=DE,即△ADE是等腰三角形.

综上，△ADE的顶角为108。，ABDE的顶角为36。，ZkBDC的顶角为36。；

如图，连接DE、CE,则BC=BE,J△BCE是等腰三角形，且顶角为72。，ZBEC=ZBCE=54°,

ZDCE=ZACB—ZBCE=18°,

连接BD,由上一种裁剪方法知，

BD平分/ABC,则△BCDg4BED(SAS),

/.CD=DE,即ADCE是等腰三角形,且顶角NE