向量的数量积（基础练）原卷版

第六章平面向量及其应用

6.2.4向量的数量积（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.已知空间向量〃，b，c和实数4,则下列说法正确的是（）

A.若。.〃一（），则。一（）或〃一0B.若久。一0,则2=0或。一。

C.若=伍），则a=力或〃=—/?D.若〃./?=a.c，则Z?=C

2.已知。=3,同=4,且a与匕不共线，则向量〃+与与。-当2的夹角为（）

1144

A.60°B.90°C.120°D.150°

3.若向量°1满足a=2,@卜1,（a+2®.a=6,则cos（a"）=（）.

A.6B.-C.--D.—立

2222

4.设4力为单位向量，Ea-b=1,则,+24=（）

A.x/3B.bC.3D.7

5.同一平面上三个单位向最a,0,c两两夹角都是耳，则〃一人与a+c的夹角是（）

、冗C2乃"K

A.-B.—C.—D.一

33126

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.已知单位向量〃的夹角为60°,则在下列向量中，不与〃垂直的是（）

A.a-\-2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

7.下列命题中正确的是（）

A.A〃石o存在唯一的实数尖CR,使得方=>2;

B.了为单位向量,且W//E,则2=±|同E；

C.a-a=|a|2；

D.若五-b=b-下且BH6,则五=c

8.下列命题中，结论正确的有（）

A.OXA=0

B.若a_L力，则|a+Z?|=|“一〃|

C.若AB//CD,则力、反C〃四点共线：

D.在四边形A8CO中，若AB+CO=0，AC,BD=O,则四边形ABC。为菱形.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.若向量a助满足同比回小团2,且d与人的夹角为g,则,+司团.

10.已知单位向量H的夹角为45°,n与之垂直，则公__________

IL11

11.已知|OA|=5,|。8|二2，〈。408〉=60,OC=2OA+OB^OD=OA-2OB»

则以OC,OD为邻边的平行四边形OCEO的对角线OE的长为.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。一解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

12.已知,b=1.

（1）若a,匕的夹角夕为45。，求卜一〃卜

（2）若求。与匕的夹角＜9.

13.已知平面上三个向量mb,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。.

(1)求证：(。一力)_Lc：

(2)若坎a+b+c|>l(k@R),求k的取值范围.

14.如图，在A4BC和AA即中，8是石月的中点，43=2，EF=4,CA=CB=3,

若4氏AE+Ab=7，则求EF与BC的夹角的余弦值.

C

AB

A级必备知识基础练

L［探究点一(角度1)］若p与q是相反向量，且|p|=3,则pq等

于()

A.9B.OC.-3D.-9

2」探究点三］若平面向量a与b的夹角为

120°,|a|=2,(a-2b)・(a+3b)=3则b|=()

A.-B.-C.2D.3

23

3.［探究点一(角度1)］已知正方形ABC。的边长为3,反二2说,

贝U荏•丽二()

A.3B.-3C.6D.-6

4」探究点三］已知平面向量a,b满足|a|=V^,|b|=l,a_L(a+2b),

则向量a,b的夹角为()

A.-B.-C.-D.-

3434

5.(多选题)［探究点二］已知a,b,c是三个非零向量，则下列选项

正确的有（）

A.|a,b|=|a||b|=a〃b

B.a,b反向<=>a・b=・|a||b|

C.a±b«|a+b|=|a-b|

D.|a|=|b|«|a-c|=|b-c|

6•［探究点三（角度2）-2023黑龙江哈尔滨期中］已知eiM是单

位向量，且ei-e2=0,设向量a=zei+//e2,当2=//=1

时，<a,ei>=;当2+〃=4时的最小值

为.

7.［探究点一（角度1）］如图所示，在RtAABC中,A=90，48=l,

则说­近的值是.

8.［探究点三］已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互

之间的夹角均为120。.求证:（a-b）_Lc.

9」探究点一（角度2）-2023山东威海检测」已知

|a|=4,|b|=3,（2a-3b）.（2a+b）=6L

⑴求|a+b|;

⑵求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.

B级关键能力提升练

10.若O为△人8。所在平面内任一点，且满足（施-沃）.（布+

4-2亍?）=0,则△A5C的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

11.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=l,则|a-b|的最大值为（）

A.lB.2C.3D.5

12.（多选题）设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给

出下列四个选项，其中正确的有（）

A.ac-bc=(a-b)c

B.(bc)a-(ca)b不与c垂直

C.|a|-|b|<|a-b|

D.(3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

13.（多选题）已知正三角形ABC的边长为2,设荏=2a,阮二b,

则下列结论正确的是（）

A.|a+b|=lB.a±b

C.(4a+b)±bD.ab=-1

14.已知a,b是单位向量，c=a+2b且a±c,则

ab=,|c|二.

15.已知向量eie分别是与向量a,b方向相同的单位向量，若

ab=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为一ei,

2

则a与b的夹角0=.

16.如图，在四边形ABCD中，荏=a,近=b,而=c,方=d,且

a,b二b・c=c,d=da且a・c二bd则四边形A8CD是什么形状？

17.已知|a|=2,|b|=l,(a・3b).(a+b)=3.

⑴求|a+b|的值；

(2)求a与a-2b的夹角.

c级学科素养创新练

18.如图所示为正六边形PlP2P3P4P5P6,则下列向量的数量积

中最大的是()

Ps

Px

A.P1P2・P1P3B,P$2♦P$4

CP1P2-PlPsD.P$2♦P]P6

19.设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|二L

⑴若(a・2b)・(a+b)=2+应，求a,b的夹角;

(2)若a,b的夹角为60。晌量2za+7b与a+rb的夹角为钝角,

求实数1的取值范围.

参考答案

1.D由已知得pq=3x3xcos180°=-9.

2.B化简(a-2b>(a+3b)=a?+a,b-6b2=4-|bb61bl2=3,|b|二J或|b|二g(舍去).

3.A如图,

因为正方形A8CO的边长为3,而二2配,

所以荏.丽=(而+尻)•(而一万户］而+［而'-(AD-AB)=AD2-^AD-AB-

冠2=32_22=3故选A.

4.DVal(a+2b),

:.a-(a+2b)=0,即a2+2ab=0,ab=-l,

.-.cos<a,b>=^=^-=4

|a||b|x/2xl2

V<a,b>W［0，m・・・va.b>与故选D.

5.ABCA.Va-b=|a||b|cos19(^为a与b的夹角),

・•・由⑶b|=|a||b|及a.b为非零向量可得|cos4=1,

：.0=Q或兀,，a〃b且以上各步均可逆.故A正确.

B.若a,b反向，则a,b的夹角为TC,.*.a-b=|a|-|b|cos7t=-|a|b|且以上各步均可逆.故B正确.

C.当a_Lb时，在平面内任取一点O,作万?=a,赤=b,则以OA,。8为邻边作平行四边形，则该

平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a+b|=|a-b反过来，若|a+b|=|a-b|,

在平面内任取一点O,作65=a,而=b，则以0AQ8为邻边的四边形为矩形,所以有a_b.

故C正确.

D.当|a|二|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a・c阴b・c|,反过来由|a・c|=|b・c|也

推不出|a|二|b|.故D错误.

6；乎当人=］时,a=ei+e2,|a|2=e,+2e「e2+e3=2,即|a|=&,cos<a,ei>=^-=

42-|a|e1|

(ei+e2)e1_1_V2

lalleil=&=彳

因为<2©>£［0,兀］,所以<2⑻>=；.

4

当A+/7=4时,a-ei=(4-1)ei+〃％=(1-l)ei+(4U)e2,

2

则|a-eiF=(31)2+(4R2=2(若)+2

当丸言时,|ae|的最小值为竽.

7.-1(万法一)4B-BC=\AB\\BC\cos(lSOQ-B)=-\AB\\BC\cosB=-\AB\\BC\^=-\AB\2=-\.

(方法二)|瓦?|二|,即可为单位向量，而•配二-瓦？•波二-|瓦？||瓦?|cosNAAC,而|比|cosN

A8C二|瓦?|,所以而•沃二-|瓦5|2二-1.

8.证明(a-b>c=ac-b・c

=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°

=1x1x(-5)1x1x(-5)=0,

故(a-b)_Lc.

9.角¥(l)(2a-3b>(2a+b)=4a二3b二4ab=4xl6-3x9-4ab=61,解得ab=-6.

/.|a+bp=a2+b2+2ab=16+9-12=13,

|a+b|=V13.

(2)设a与a+b的夹角为0,Va-(a+b)=a2+ab=10,

Acos=段^则a在a+b方向上的投影向量的模为||a|cos0\=4x-^==

10713

13,

10.A因为(赤一OC)(OB+小亍-265)=0,即丽•(彳5+彳？)=0,又因为通一近二无，所

以(四-AC\(AB+元)=0,即|而|=|1?|,所以△4AC是等腰三角形.

11.CV|a|=2,|b|=h:.|a-b|=l(a-b)2->Ja2-2ab+b2-y/5-2ab,

又abG[-2,2],/.|a-b|G[],3],

・・・|a-b|的最大值为3.

12.ACD根据向量数量枳的分配律知,A正确；

因为[(bc)a-(ca)b]c=(bc)-(ac)-(ca)-(bc)=O,

所以(b©a-(ea>b与c垂直,B错误；

因为a.b不共线，所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边，所以|aHb|v|a-b|成立,C正确；

根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.

13.CD由题意知|a|二l,|b|=2,a与b的夹角是120。,故B错误;(a+b-=|a/+2a・b+|b/=3,

|a+b|=V5,古攵AM^;(4a+b)-b=4a-b+b2=4xlx2xcos120°+4=0,.=(4a+b)_Lb,古攵C正

确;ab=lx2xcos120。=/,故D正确.

14.-1V3因为c=a+2b且a±c,则ac=a(a+2b)=a2+2ab=l+2ab=0,可得

a-b=-1,|c|2=(a+2b)2=a2+4a-b+4b2=1+4x-i+4=3,故|c|=V5.

(|Q|COS6=-3,

15.120°由题意，得11如os。=之解得猾：

IJ(10—，

\ab=-9,

.z.ab-91

.・3夕=丽=M，.

V00<^<1800,/.^=1200.

16.解Va+b+c+d=0,a+b=-(c+d),

；・(a+b)2=(c+d))即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.

又ab=cd,a2+b2=c2+d\

即|a『+|b|2=|c|2+|d|2.①

同理可得|aF+|d|2=|b|2+|c『.②

①・②，得|bF=|d|2,

①变形为|aF|d|2=|c/-|b|2,再加②式得|a|2二|c|2,即网=|d|,|a|二|c|.

同理可得|a|二|b|,|c|二|d|,故四边形A8CD是菱形.

*：AB||