安徽省合肥市合肥某中学2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含解析）

安徽省合肥一中2025—2026年高三1月月考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求

1.已知集合A={x|l<2x-1<3},B={x|x2-3=0},则AnB=

A.{-V3,V3}B.{V3}

C.{-V3}D.0

2.已知复数z满足:=2+z,其中i为虚数单位，则|z|=

A.lB.2

cED.

3.双曲线(一/=l(m,n>0)过点(J5,2),其两条渐近线的夹角为小则双曲线的方程为

4.已知/'(x)是定义在R上的偶函数，且/'(4—x)=f(x),当04xq|时，/(X)=3-2x,则

/(-2025)=

5.已知一sin2a=cospirj,则tana=

A.—2V2B.—y/2

D.-3V2

6.已知正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点，F为边CD上一点，当&•/=4时，tan乙EAF=

%

7.在体枳为|的三棱锥A-BCD也AC，AD,BCBD,平面ACD,平面BCD,zACD=4BCD二

若点A,B,C,D都在球0的表面上，则球。的表面积为

4

A.12TIB.16Tl

C.327TD.487r

8.已知宜线1：(3m+2)x+(m—3)y—3m+9=0,若曲线C：(x-4)2+y2=r2(r>0)上存在

点与P(—1,3)关于直线1对称，则r的取值范围为

A.[3,6]B.[3,5]

C.[4,6]D.[4,5]

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知随机变量X〜N(8,4),若P(X<6)=a,P(8<X<10)=b,则

A.P(X>10)=aBa+b=l

C.E(2X-1)=15D.D(2X-2)=14

10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点F关于原点。的对称点为E,第一象限内的点A,B在C上,

且以=：而，则

A.点E的坐标为(-4,0)

B.|FA|=||FB|

C.直线AB的斜率为日

D.直线FA,FB关于x轴对称

222

11.在AABC中，内角A,B'C的对边分别为a'b'c'a+mc=1b,V3sinA+cosA=2,则卜一

列说法正确的是

A.A=-

6

B.若AABC为等腰三角形，则m=-5

•5

C.当m=-1时，2b=3c

-112

D•当m=T时,言+氤=前

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知等比数列｛aQ的各项均为正数，若ai+a3=16,a2+a4=4,则该等比数列｛aj的公比为

13.已知函数/(x)=丁彳恰有一个极小值点Xi和一个极大值点乂2，设点A(xi，f(xi)),

XiXB(X2,/(X2))»

则直线AB的斜率为o

14.现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,…,10)个

袋中有k个红球，10—k个白球。现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球

(每个球取出后不放回)。则第三次取出白球的概率为O

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15.2025年12月，某校语文教师对学生提出“12月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼

梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各10()人，整理得到2X2列联表如下。

《红楼梦》《三国演义》

男生3070

女生6040

(I)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有

关？

(2)已知学生选择哪本书是相互独立的.用频率代替概率,从该校选择《红楼梦》的学生中能机抽取3

人，抽到的女生人数设为本求《的分布列和数学期望。

n(ad-bc)2

参考公式：X2=其中n=a+b+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

参考数据:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函数/(x)=

(I)求f(x)的单调性;

(2)若eax-1+ax-X>x/(x)对任意xG(0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

17.如图，在四棱锥P-ABCD口，PA1PD,APAB为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形,

AB||CD,AB1BC,AB=2CD=2.

(1)证明：PR1PD：

(2)若直线PD与平面ABCD所成的角为1求平面PAD和平面ADC所成角的余弦值.

4

18.已知椭圆C：W+]=l(a>b>0),四点Pi(-1,；),P2(l,|)»P3(0,V3)>P4(1,A/5)中恰有三点在

椭圆C上。

(I)求椭圆C的方程;

(2)过点D(4,0)且斜率不为0的直线1与椭圆C相交于M,N两点。

(i)若。为原点，求AMON面积的最大值；

(ii)点A(—2,0),设点Q是线段MN上异于M,N的一点，直线QA,QM的斜率分别为k2,且％+

|DM|-|NQ|

二0,求的值。

|DN|-|MQ|

Sn-1_Sn-i।1.

19.已知数列口招的前n项和为Sn，且满足的=1,=0(n>2)o

anan-l2

(1)求｛aj的通项公式;

(2)当n>3时,已知f(x)=(x-ajfx-a2)•••(x-aQ的导函数为f'(x)=n(x-b1)(x-

b?)…(x-bn-i).

uv

令F(u,v)=XJLi

其中bi<b2<…《bnG-i+u)0-i-v)0

(i)设Uj=bj-j,Vj=j—bj_](24j《n—1),证明：F(iij,Vj)=0：

(ii)证明：对任意24j《n-L有与一4_1>1。

参考答案

l.B

【解析】因为1V2x—1V3,解得1VXV2,所以A={x|lVXV2},

因为X2—3=0,解得X=±V5,所以B={—，5,8},

所以AnB={K}.

2.D

【解析】由4=2+Z,得z=2i+zi,z(l-i)=2i,z=白=，:弋=祖卢2=-1+i,

1vy1-1(1-1)(1+1)2

故|z|=V(-l)2+l2=V2.

3.C

【解析】由两条渐近线的夹角为:，可得渐近线的倾斜角为;或

336

由不一；=l（m,n>0）可知双曲线的焦点在y轴上，

当渐近线的倾斜角为三时，渐近线方程为y=±Hx,点（百,2）在直线y=J5x的下方，不可能

在该双曲线上，不合题意；

当渐近线的倾斜角为三时，渐近线方程为y=±枭，点（次,2）在直线丫=枭的上方，此时

633

而_V3

{4诟：3，解得{111=2，则双曲线的方程为1

±_W=]n=939

mn'

4.B

【解析】因为/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(-X)=/(x).又因为/(4-x)=/(x),

所以/(4-x)=/(-x),所以/(x+4)=/(x),所以f(x)的周期为4.

因为为04xw|时，/(x)=3-2x,所以/(一2025)=/(—1)=/(1)=1.

5.A

【解析】原等式|3sin2a=cosQ+a)可化为|x2sinacosa=-sina,即3sinacosa=-sina,

2

因为aW(],Tr),所以sina>0,所以cosa=

2^2

sina=V1-cos2a=tana==-2^2..

-3

6.A

【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所

则A(0,0)、E(2,1),设|DF|=x,则F(x,2).0<x<2,故/^=(x,2),/=(2,1).

所以品•&=(2,1)•(x,2)=2x+2,故x=1

2--3

此时点F(l,2),此时tanzEAF=白⑥=j

7.A

【解析】如图，取CD的中点0,连接AO,B0,因为AC1AD,BC1BD,

所以0A=0B=0C=0D,因此点。就是球心，又NBCD=±

4

故ABCD是等腰直角三角形，所以OB_LCD,

因为平面ACD1平面BCD,平面ACDn平面BCD=CD,

且OBu平面BCD,所以OB1平面ACD,

设球0半径为R,则OB=R,CD=2R,则AC=R,AD=遍R,

所以三楂锥A-BCD的体积V=工SMCD-OB=ixixACAD-OB=—R3=",

33262

所以所以球的表面积为2

R=b，04TTR=12no

8.C

【解析】设点P(-l,3)关于直线1的对称点Q(x,y),则线段PQ的中点(手,早)在直线1上，

又S=(x+l,y—3),直线1的方向向量a=(m—3,—3m—2),而血e=0,

因此｛(3m+2)・?+(m—3)•等一3m+9=0,即｛呈:丫一:河：一2：：3y；7,

(x+l)(m-3)+(y-3)(-3m-2)=013x+2y—3=(x—3y+10)m

消去m得(3x+y-6)(3x+2y—3)+(2x-3y+7)(x—3y+10)=0,

整理得x2+y2-6y+8=0,即x2+(y—3产=1,于是点Q在以点D(0,3)为圆心，1为半径的圆

上，

而曲线C:(x-4)2+y2=r2(r>0)是以点%(4,0)为圆心，r为半径的圆，|gD|=5,

依题意，点Q在曲线C上，则曲线C与圆D有公共点，即这两个圆相交或相切，

因此|r-1|三|C〔D|Wr+1,即|r-l|W5Wr+l,解得44rW6,

所以r的取值范围为［4,6］。

法二：直线1过定点T(0,3).设P的对称点为P',则|TP'|=|TP|=1,故点P'的轨迹为以T为圆心,

半径为1的圆，方程为X24-(y-3)2=1。

9.ABC

【解析】因为随机变量X〜N(8,4),所以P(X>10)=P(XS6)=a,故A正确；a+b=P(X<

6)4-P(8<X<10)=P(X>10)+P(8<X<10)=P(X>8)=故B正确；

因为随机变量X〜N(8,4),所以E(X)=8,D(X)=4,则E(2X-1)=2E(X)-l=2x8-l=

15,

故C正确；

又D(2X-2)=4D(X)=16,故D错误.

10.BD

【解析】对于A,由抛物线的标准方程可知：F(2,0),所以点E的坐标为(-2,0),故A错误；

对于B,由日\=9而，可得点A为线段EB的中点，点E为C的淮线与x轴的交点，所以点A到准线的

距离是点B到准线的距离的由抛物线定义可得B正确；

对于C,设A(X1,yi),B(x2,y2)»由点A为EB的中点，可得y?=2yi，或=4衣，所以X2=4X],

又Xi+2="X2+2),联立解得XI=1,X2=4,所以A(l,2&),B(4,4&),所以％B=

4V2-2V22>/2,,,

———=—»故C错庆a；

4—13

对千D,k==-2^2,k==2V2,k4-k=0,故D正确.

FA1-2FB4—2FAFB

11.BC

【解析】对于A,V3sinA+cosA=2sin(A+：)=2,即sin(A+，)=1,

因为ovA<m故FVA+2<K,故A+E=:故A=E,A选项错误；

666623

对干A,由对A选项的分析可知，当AABC为等腰三角形时.，AABC为等边三角形，故a=b=c,则

19

1+m=r解得m=-9故B选项正确;

对于C,当m=-1时，a2-c2=^b2,结合余弦定理a2=b24-c2-2bccosA得b?-2bccosA=

-b~,即3ccosA=b,即2b=3c,故C选项正确；

3

sinBcosA+cosC\_sinBsinCcosA+sinAcosCsinBsinB

对千D,由tanB----------------------=-----------------

+sinAsinC/cosBsinAsinCcosBsinAsinC

sin2B_b2

cusBsinAsidCaccosB

又由对C选项分析可知，当m=-l时，b=|c,代入a?-c2=，b2,解得a=?c,

故2=:卜c=|b,代入accosB=巴衿，得accosB=；b2,

故一三=9,即1+熹故D选项错误.

accosBtanA

12.-

4

【解析】设等比数列｛3｝的公比为q，因为｛aj各项均为正数,若21+23=16,a2+a4=4,则

a+aq(aa3)l

21=1±=q=±=故该等比数列｛aQ的公比为%

a】+a3ai+a?164

【解析】由题意知/8=黑的定义域为R,且/'8=美篝包=奉昔

令f'(x)=0,得X?+2ax—1=0,

此方程有两个不相等的实数根Xi，x2,其中X1VX2，Xj+x2=-2a,xTx2=-1>

_X介1X；+l_(X2-Xi)[l-XiX2-a(Xi+X2)]

故直线AB的斜率为"-Mx】)=(此处原文档可能未写完，按

X2fi(X2-Xi)(X5+l)(x1+l)

现有内容呈现)

1-x]X2-a(X]+X2)2a?+22a?+2_1

(x5+l)(x1+l)24a2+4

2+(X1+X2)-2X:XZ2

即直线AB的斜率为:

14.—

20

【解析】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为10X9x8=720,

第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:

(白，白，白)：取法数为(10-k)(9—k)(8—k),

(白，红，白)：取法数为k(10-k)(9-k),

(红，白，白)：取法数为k(10-k)(9-k),

(红，红，白)：取法数为k(k-1)(10-k),

从而第三次取出的是白球的种数为：

(10-k)(9-k)(8-k)+2k(10-k)(9-k)+k(k-1)(10-k)=72(10-k),

则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率pk=鬻，而选到第k个袋子的概率为卷,

故所求概率为p=求[Pk-=£昌鬻*=京£匕(1。一k)=\

15.(1)因为X?=(。(女bo：=200X(30X40-60X70)2=]&]82>10.828,

八(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)90x110x100x100

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有

关。

(2)由题可知，《的所有可能取值为0,1,2,3,

2

选择《红楼梦》的学生是女生的概率为$所以W〜B(3

所以PG=0)=co@°g)3=MPG=I)=Cig)1g)22

9

243O

rc2CC3/2\

s-3-p(S=3^

p(9>^

所以彳的分布列为

0123

1248

p

279927

2

所以E®=3x：=2。

16.(1)函数/(x)=等的定义域为(0,+8),又/。)=一Inx

令广(x)=0,得x=l,当xE(0,1)时，f(x)>0,所以/(x)在(0,1)上单调递增;当XE

(1,+8)时，f(X)<0,所以f(X)在(1,+8)上单调递减。

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)。

(2)由eax-14-ax-x>/(x)对任意x6(0,+8)恒成立，得eax-1+ax-x>Inx+1对任意xG

(0,+8)恒成立，即eax-1+ax-1>Inx+x对任意x6(0,4-oo)恒成立。

令g(x)=e'+x,则有g(ax-1)>g(lnx),显然g(x)为增函数,可得ax-1>Inx,

则a》写2所以a》/(X)max。由(1)可知f(x)max=/(l)=l，

所以a>L故a的取值范围为［1,+8)。

7.(1)取AB的中点0,连接PO,DO,

则DOIAB,PO1AB,

又DOnPO=O,DO,POu平面POD,・••AB1平面POD.

vPDu平面POD,AB1PD.

故由PDJ.PA,PD1AB,PA,ABu平面PAB,从而PD1平面PAB.因为PBu平面PAB,故

PB1PD.

(2)(i)由(1)知AB_LPD,又PAJ.PD且PAnAB=A,PA,ABu平面PAB,

PD1平面PAB,vPOu平面PAB,PD1PO,

又由(1)知：ABJ.平面POD,而ABu平面ABCD,

••・平面POD1平面ABCD.

过点P作PG1OD,垂足为G.

,:平面PODn平面ABCD=DO,PGu平面POD,PG1平面ABCD,

所以PD与平面ABCD所成的角为ZPDO,即ZPDO=

4

PD=PO=V3,DO=BC=V6,PG=—,

2

故四棱锥P-ABCD的体积VP_ABCD=|x|x(l+2)xV6x^=1.

0

A

(ii)以0为坐标原点，OB,0D所在直线为x,y轴，在平面POD内，与PG平行的线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，

则A(-L0,0),C(l,V6,0),0(0,76,0),P(0„,

TT

设平面PAD的法向量为m=(x,y,z),则巴^叩二。，・••电=(连

m-AD=0

又平面ACD的法向量为坤=(0,0,1),Acos仲，弼=/誉；===一乎，

四卜州2V24

所以，二面角P-AD-C余弦值为芋.

4

33r-b=V3

18.(1)由对称性知P1(-L$,P2(l,$和P3(0,g)在椭圆C上，所以｛1।91

22—+―;=1

a24b2

所以a=2,C的方程为七+匕=1.

43

(2)方法一：设直线1的方程为*=ty+4,点M(xi，y])，N(x2,y2),

,x=ty+4,、o

由(3x2+4y2=12消去x得：Ct+4)V+24ty+36=0,

_-24t_______

则心"二型Z=144Q2—4)>0,则tV-2或t>2.|yi721=组；4，

yi—3t2+4

1.112J(t2-4)24v't2-4

△MON面积s=wX4x|yi-yzl=之，4x%+4=3^-

令Vt2—4=u(u>0),则t2=u2+4,s=—a=<73,

\'3U2+163U+—

当u=专，即t2=g时，AMON面积的最大值为技

方法二：显然直线1的斜率k存在且非零，设直线1的方程为y=k(x—4),点M(xi，y。，N(x2,y2),

由消去V得：(4k2+3)x2—32k2x+64k2-12=0,

32k2

X]+X2=

则｛6常专，A=144(l-4k2)>0,则后Vkv]且kHO,

Xl.X2=

4k2+3

12x/l-4k2

|MN|=Vk2+1-J(xi+X2)2—4XS2=Vk2+1x.。点到直线1的距离d=^

4k2+3

所以AMON面积s=：xk巨x壬号*湍=24|k|-Vl-4k2_24>/k2-4k4

4k2+34k2+3

_242(k2-4k4)712

s(4k2+3)2=-144Xp-4k2+3+(4k2+3)2

令U=^^,则s?=-144(12u2—7u+1),

当u==,即1<2=。时，s2的最大值为3,所以AMON面积的最大值为百.

2428

方法三：显然直线1的斜率k存在且非零，设直线1的方程为y=k(x-4),点M

(xi，yi),N(x2,y2),

由《2；岑2~^2'消去y得：(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,

-32k2

X1+x2=

4k2+3’

则｛△=144(1-4k2),一[vkv]且kHO,

64k2-12'

X1-X=

24k2+3

12"-4k2

|MN|=Vk2+1•J(X]+x))2—4X]X、=Vk24-1x

4k2+3

0点至慨1的距离d=^,所以AMON面积S=：XA/1EX12V1-4kz41kl

4k2+3Vk2+1

_24|k|，l-4k2_24，k2-4k4c.Jk2(l-4k2)24，:16k2x3(l-4k2)

os=24x、-'——-=-FX

4k2+34k2+34k2+34V34k2+3

16k2+3(l-4k2)

<2>/3X=V3,即当k2=。时，s有最大值为百。

4k2+328

(ii)因为ki+k2=0,所以直线QA,QM的倾斜角互补，所以|QA|=|QD|,所以点Q在线段AD

的垂直平分线上，所以Q(l,一§。

2

于是|DM|=Vt2+l|yi|,|DN|=Vt+l|y2|

|DM||QN|_卜1卜丫2+，

侬|=7?不111+7,|QN|=Vt^TT^+Ho所以

,1,3

|DN|-|QM|lyzl-yi+7

yi-(y2+1)yry2+|yi

|DMHQN|

H，因为yi42=£(yi+丫2)，

y2-(yi+1)

|DN|-|QM|yry2+7X2

^(yi+yz)+1yijyi-5yz

所以5S，—.所以瑞黑的值为】。

^(yi+y2)-1y211

12_an-an-]

.(I)由题意可知

aaaa

2Sn-in-lnnn-l

2S=anan+i

na-aaaaa

因此｛n+innn+inn-l

=2an

anan-ian+l-anan-an-l

2Sn-i=

an-an-l

an+i£n-i

注意到an工0,故=2,从而^n+l(^n—^n-1)—^n-l(^n+l