数量积的定义及计算-2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026湘教版高中数学必修第二册

1.5向量的数量积

1.5.1数量积的定义及计算

基础过关练

题组一向量数量积的运算及运算律

1.下列说法错误的是()

A.对于任意向量a,TT0a=0

B.若a，b=0,贝ija=0或b=0

C对于任意向量a-b,W|a-b|<|a||b|

D.若a,b共线，则a-b=±|a||b|

2.(多选题)(2025甘肃天水第一中学月考)关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是()

A.(a-b)-(a+b)=a2-b2

B.(a+b)-c=a-c+bc

C.若a-b=a-c,£La#),则b=c

D.(ab)-c=a(b-c)

3.(2025四川凉山民族中学月考)已知两个单位向量ei,e2的夹角为120°,则

ei-(2ei+3e2)=()

137

A.-B.lC.-D.-

222

4.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=6,NBAC=60。,点D,E分别在边AB,AC上，且

AB=2ADJC=5AE.

(1)若F为DE的中点，用向量方和元表示而；

(2)在(1)的条件下，求瓦7.炉的值.

题组二投影

5.已知|a|=8,e为单位向量，当它们的夹角为3寸,a在e方向上的投影长为()

A.4V3B.4

C.4V2D.8+y

6.(2025甘肃张掖民乐第一中学月考)已知向量a,b满足|a|二l,|b|=2,a与b的夹角为条则b在

a方向上的投影向量为()

A.-V2B.V2a

C.-V2aD.--a

4

7.(2025甘肃定西岷县第一中学月考)已知两个单位向量a与b的夹角为6()。,则向量a-b在

向量a方向上的投影为.

8.已知a-b=16,若向量a在b方向上的投影向量为4b,则|b|=.

题组三利用数量积求向量的模

9.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b).(a-3b)=-72MJ|a|二()

A.2B.4C.6D.12

10.(2025陕西西安第一中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角为120。,且|a|二|b|二l,|c|=3,则

|a+b+c|=.

题组四利用数量积求向量的夹角

11.(2025天津咸水沽第一中学月考)若a与a+2b的数量积为6,|a|=2,|b|=l,!fliJ<a,b>=()

A?C穹D年

12.(多选题)已知eie2是两个单位向量入£R时，电十加2的最小值为则下列结论正确的是

()

A.ei,e2的夹角可能是三

B.ei,e2的夹角可能是三

C.|ei+e2|=l或日

D.|ei+e2|=l或V5

13.(2025河北沧州段考)已知向量a,b满足|b|=l,且(a+2b)・(a-2b)=2,a・(a-b)=4.

(1)求向量a与2a-b的夹角9的余弦值;

(2)若向量a-3tb与ta-3b的夹角为锐角，求实数t的取值范围.

题组五向量的垂直

14.已知向量a,b满足|a|二5,|b|=4,a与b的夹角为120。,若3・215）_1_伯+功,则实数k=（）

A.4|B]3C.lD.2

15.己知O,A,B,C,D在同一平面内,|0人|二|08|=|0口=|0口|=1,且。不丽二0,则|衣+丽|的最大

值为（）

A.2V2B.2+V2

C.1+V2D.4

16.若非零向量a,b满足|a+b|二|b|,aJ_（a/b）,则入=.

17.已知向量a,b,c满足a+b+c=O,（a-b）_Lc,aJ_b，若|a|二l,则|aF+|b/+|cF的值是.

18.（2025四川内江第一中学月考）已知O为坐标原点©,ez是两个夹角为60。的单位向

量,O/l=2ei+e，,O8=-3ei+2e）.

⑴求丽；

（2）求次与无的夹角；

（3）设况=tei^AABC是以AC为斜边的直角三角形，求实数t的值.

能力提升练

题组一向量数量积的运算及其运算律

1.（2025辽宁大连滨城高中藤盟期中）己知△ABC中,AB=3,AC=4,万7e=6。为XABC所

在平面内一点，且次+2无+3沉=0,则万•正的值为（）

A.-4B.-lC.lD.4

2.（创新题）（新情境.以化学分子结构式为背景考查向量数量积的运算）（2025陕西十七校期

中联考）C60是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正

五边形和20个正六边形组成.如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,

若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点，则万•％二（）

A.lB.2C.3D.4

题组二向量的夹角和模

3.（2025安徽庐巢联盟期中）已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|二2,|b|=2,|c|二L则cos<a,c>=（）

A*B,iC,；D,-l

4.（2025湖北武汉华师一附中月考）已知a,b是两个不共线的向量，且a.b的最小值为46,

若对任意的m,n£R,|a+mb|的最小值为l,|na+b|的最小值为2,则|b|的最小值为（）

A.2B.4C.VTOD.5

5.已知平面向量a,b满足a・b=2,已知a方向上的单位向量为e,向量b在向量a方向上的投

影向量为-e.

⑴若a+2b与a-b垂直，求|b|的大小；

⑵若a与b的夹角为；,求向量b与2a+3b夹角的余弦值.

4

题组三向量数量积的综合应用

6.（2025甘肃天水第一中学月考）如图，有两个具有公共顶点且全等的正六边形，若C,D,K三

点共线，且Xe{CD,E,F,G,H,I,J,K},则万.五?的结果中不同正值的个数为（）

A.8B.7C.6D.5

7.如图，在△ABC中,CA=l,CB=2,NACB=6(r.

⑴求的；

(2)已知D是边AB上一点，满足力二/及E是边CB上一点，满足雇=漩.

①当入三时，求荏.而;

②是否存在非零实数兀使得荏，而?若存在，求出X的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

1.5向量的数量积

1.5.1数量积的定义及计算

基础过关练

l.B2.AB3.A5.B6.C9.Cll.B12.ABD

14.A15.B

1.B根据数量积的定义，得0心二|0||a|cos<0,a>=0,故A中说法正确;当a,b都是非零向量，且

a±b时,a-b=O也成立，故B中说法错误;由|a・b|=||a||b|cos<a,b>|W|a||b|,知C中说法正确;当a,b

共线时,<a,b>=0或va,b>=7t,则cos〈a,b>=±l,所以a・b=±|a||b|,故D中说法正确.

2.AB根据向量数量积的运算律知A.B正确；

对于C,当b,c反向且都与a垂直时满足题设，但"c,故C错误；

对于D,(ab)-c是与c共线的向量,a-(b・c)是与a共线的向量，故D错误.

3.Aei.(2ei+3e2)=2，+3ei.e2=2[e]『+3|ei|.|e21cos120°=2+3*(-1)=；.

4.解析(1)格丽+而=刀+；瓦

书荏也花•布)

w喇(法网

410

Q)EF=；ED=/AD-AE),

•.*AS=2AD^AC-=5AE：.EF=-AB--AC,

y410

BAEF=-AB^AB-'JC)

=--AB+—ABAC

410

=-x4+—x2x6xcos600

4io

2

5.B设a,e的夹角为a,则a=；,a在e方向上的投影长为|a||cosa|=4.

b在a方向上的投影向量为，也」"1“；4,a」？[2)a=ga.

6.C

同1«11

7.答案|

解析由两个单位向量a与b的夹角为60°,

可得a-b=lxlx|=i

(a-b)a=a2-ab=1-

则向量a-b在向量a方向上的投影为空=]=；.

|a|I2

8.答案2

解析设a,b的夹角为0,贝！a-b=|a||b|cos0=16,

因为向量a在b方向上的投影向量为|a|cos0-^=4b,

所以|a|cos0=4|b|,所以41blJ16,所以|b|二2.

9.CV(a+2b)«(a-3b)=-72,

a2-a-b-6b2=-72,

/.|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72,

・•・|a『・2M-24=0.又V|a|>0,/.|a|=6.

10.答案2

解析由题意可得a-b=-pac=b-c=-p

则|a+b+c|二

=J1+1+9+2x(・g)+2x(・J+2x(・g=2.

11.B因为a-(aI2b)=6,所以a212ab=6,

BP|a|2+2|a||b|cos<a,b>=6,

即4+4cos<a,b>=6,解得cos<a,b>=^,

乂因为<a,b>e[0,兀],所以<函>三.

12.ABD\,ei,e2是两个单位向量，且|ei+入立|的最小值为£

(ei+Xe?)2的最小值为:，

即(ei+Xe2)2=1+2Xei-e2+X2的最小值为，

2；在上有两个相等的实数根，

.\X+2Xei-e2+4=0

A=(2ei-e2)2-l=0,ei-e2=i；,

Aei与e2的夹角为9或故A,B正确；

|ei+e2p=l或|ei+e21=3,

A|ei+e2|=l或|ei+e2|=O,故C错误,D正确.

13.解析因为(a+2b)・(a-2b)=2,

所以a2-4b2=2,EP|a|2-4|b|2=2,

又|b|二l,所以间=倔

因为a<a~b)=4,所以a?-a・b=4,所以ab=2.

(1)a-(2a-b)=2a2-a-b=12-2=1(),

|2a-b|=J4冉4〃4+/724-8+1

所以—I.空io二酒

即以8cos户荷奇岛gJi-

(2)(a-3tb)«(ta-3b)=ta2-(3t2+3)a-b+9tb2=-6t2+15t-6,

由题意知(a-3tb>(ta-3b)>0且向量a-3tb与ta-3b不共线，

所以-6t2+15t-6>0,且厚±1,

解得*l<2,旦#±1,

故实数I的取值范围为&1)U(1,2).

解题模板

若向量a与b的夹角为锐角，则ab>0且aRibaER),若向量a与b的央角为钝角，则

ab<0且a/入ba£R),注意结果要排除两向量共线的情况.

14.Aa-b=|a||b|cos1200=5x4x^-0=-10.

因为(ka・2b)J_(a+b),

所W(ka-2b)-(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a-b=25k-2x16-10(k-2)=15k-l2=0,解得k=g.

15.B丁OAOB=0,：.ZH_L0及又V|OA|=|OB|=1,

：.\OA+OB\=V2,：.\AC^\=\OC^^^\=\OC+OD-(OA+O§)\y

・,・当岚,而同向，且沉，而与ZH+丽反向时,|北+而|取得最大值，最大值为2+V2.

16.答案2

解析V|a+b|=|b|,.-.|a+b|2=|b|2,

.\a2+2ab=0.®

*/aJ_(a十入b),a(a+Xb)=0,

/.a?+入ab=0.②

由①©可得X=2.

17.答案4

解析如图，令彳立2加二b,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD,

由a_Lb,可得AD1AB,.,.四边形ABCD为矩形.

*.*a+b+c=0,/.c=-(a+b)=C4

(a-b)_Lc,而=a-b,CA±BD,

・・・四边形ABCD为正方形，

/.|a|=|b|=l,|c|=V2,|a|2+|b|2+|c|2=4.

18.解析(1)荏=砺-方二-5ei+e2,

因为|e।|=|e2|=l,ei-e2=|ei||e21cos6()°=；,

所以|曲|二］(-5勺+。2)2=^25+1-10x1=721.

(2)OAOB=(2c\।C2)-(-3CII2c2)=-6e彳।2e5icrc2=-；,

\OA\=J(2勺+«2)2=」4彳+《+4勺妆二⑺,

所以COS<OAX)B>=-^2^r=^

'\OA\\OB\2'

)L<OA^OB>£[0川，所VX<0A^0S>=y.

(3)由题意可知在J_就，由⑴知荏=-5ei+以,

又BC=OC-O3=(t+3)e卜2e2,

所以方•就=(-5ei+e2>[(l+3)ei-2e2]=5(l+3)e；-2域+(1+13间©=0,

即-5(1+3)-2*(1+13尸0,解得t=4

能力提升练

ID2.B3.D4,B6D

1.D因^jOA+2dS+3OC=0,

所以a+2两+港)+3(肉码=0,

所以6OA+2AB+3AC=0,

所以次二［方3大，所以而W方+：就，

J/JN

因此行.路(9+；硝.凝刀电^1万-海定寺42_”+6=4.

方法点睛

向量运算的技巧

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基”的意识，利用基向量进行运算.

2.B连接BC,由对称性可知BA=BC,取AC的中点H连接BH则AC±BH,AH=；AC,

因为正六边形的边长为1,所以AC=2,

所以荏・K二|布・|荏|cosNBAC=|西・|丽=2.

方法技巧

若已知向量b的模及a在b方向上的投影向量c的模，则可根据a・b=±|b||c|求数量积,

这种方法避免了求a与b的夹角.

3.D由a+b+c=0,可得b=-(a+c),

对b=-(a।c)两边同时平方可得b2=a212acic2,

即4=4+2ac+l,

则a-c=-p

所以|a||c|cosVa,c>=-1,即2x1xcos<a,c>=-^,

则cos<a,c>=--.

4

4.B设a,b的夹角为9,

因为a,b不共线，且ab的最小值为46,所以0<04

易知当b_L(a+mb)时,|a+mb取得最小值，为1,当a_L(na+b)时,|na+b|取得最小值，为2,

所以|a|sinO=l,|b|sin0=2,

两式相乘可得|a||b|siif0=2,所以同也|二扃(*),

又a-b=|a||b|cos的4\/5,结合(*)式可得煞於4\/5,

所以cos0>2\/3sin2O=2V3(l-cos20),

所以(2cos0-V3)(V3cos8+2)K),所以Acos0>^,

又又0弓

所以Ovsin。弓，所以|b|二袅4,

所以|b|的最小值为4.

5.解析设向量a,b的夹角为0,

由题意得|b|cosG=^=-1,

所以a・b二-|a|,又ab=-2,所以|a|=2.

⑴因为a+2b与a-b垂直，

所以(a+2b)・(a-b)=0,

所以|aF+a・b・2|bF=0,

所以422|bF=0,所以|b|二l.

(2)由题意得|b|cos?=-l，所以|b|=①

|2a+3b|=J(2a+3b)2=V4a2+12a-b+9b2=VTO,

b-(2a+3b)=2a-b+3|b|2=2,

设向量b与2a+3b的夹角为a,

b・(2a+3b)_2

贝

ijcosa=\b\\2a+3b~y/2^\fi0

6.D如图，过C,D,E,G,H,I,J,K分别作AB的垂线,

结合正六边形的性质可得，垂足分别为M2,B,A,M3,M4,M3,B,MI.

易得双在彳S方向上的投影向量可以是o,西刀瓯瓯，丽.

由数量积的儿何意义可得，

...，一一.....♦・,・・・♦，・一.'・'・・