排列组合方法【十二大方法+十三大题型】（解析版）-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

排列组合方法【十二大方法+十三大题型】

【解题方法】

I.优先法：特殊元素/位置先排例：甲必须排头一先排甲，再排其他人。

2.捆绑法：元素必须相邻步骤：

相邻元素捆成一个整体整体内部再排列

3.插空法

元素不能相邻步骤：

先排无限制元素

再把不相邻元素插进空隙

4.间接法（排除法）

正面难算一用总数-不符合条件符合=总排法-反面

5,定序法：某些元素顺序固定定序元素的排列数全排列

6.平均分组：分n组且每组数量相同，要除以组数的阶乘去重。

7.隔板法：相同元素分给不同对象，每对象至少1个n个相同球分给k个不同盒

8.先选后排：先组合选取，再排列：先选C-后排A

三、常见题型一句话总结

相邻：捆绑

不相邻：插空

特殊：优先

正面难：间接

顺序固定：定序除阶乘

相同元素分堆：隔板

分组有重复：平均分组要除重

先选再排：先组合后排列

【方法归纳】

方法一、捆绑法

【题型探究】

题型一、捆绑法

2

【例1】.（24-25高二下•湖北•期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每

个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那

么不同的人员分配方案共有（）种？

A.18B.24C.30D.36

【答案】A

【分析】先分组，再排列即可求解.

【详解】C；A；=3x3x2xl=18.

故选：A.

【举一反三】

1.（24-25高二下•河南商丘•期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么

不同的排法种数有（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

【分析】利用“元素相邻捆绑法''求解.

【详解】第一步：甲、乙相邻且乙在甲的右边，这样的排列方式只有1种：

第二步：将甲乙看成一个整体，将其与其余3人站成一排，有A：=24种排法.

由分步乘法计数原理可得：满足条件的排法种数为：1x24=24.

故选：A

2.（24-25高一下•福建福州•期中）在也影《哪吒之魔童闹海》直传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿

童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法

（）

A.18B.12C.28D.24

【答案】D

【分析】利用捆绑法将相邻的两人看成一个大元素•，再与无特殊要求的元素进行排列，最后将不相邻的元素利用插

空法排列即可得出结果.

【详解】将哪吒和敖丙捆绑在•起，与鹿童进行排列，共有A；A；=4利

再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合题意的3个空隙当中，共有段=6利1

因此共有4x6=24种不同的站法.

故选：D

3

3.（24-25高二下•广东深圳・月考）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果月，8两人必须相邻，那么不同

的排法种数有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

【答案】B

【分析】根据捆绑法求解即可.

【详解】由题意,先将力，8捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有A；A：=48种.

故选：B.

题型二、插空法

【例2】.（24-25高二下•广东•期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已

知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右

边，则不同的排法种数共有（）

A.1152种D.384种C.288种D.144种

【答案】A

【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置.

【详解】第一步：先将3名教师全排，共有A：种排法；第二步：将4名女同学“捆绑”在一起，共有A：种排法；

第三步：将"捆绑”在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有£种排法；第

四步：首先将2名男同学之中的一人，插入第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教

师形成的2个空中的其中1个,共有成C；种排法,所以不同的排法种数有:A；A：A；C；C；=U52种.

故选：A

举一反三

1.（2025•贵州黔南•模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化,

山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化.规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最

后.则展板的不同排列方式有（）

A.12种B.14种C.16种D.18种

【答案】A

【分析】利用插空法可求不同的排列方法.

【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法；

再排山地文化展板，民族文化，有A；种放置方法；

4

再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有A；种放置方法，

故共有A；xA；=12种放置方法，

故选：A.

2.（24-25高二下•山东青岛•期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数

是（）

A.120B.240C.360D.480

【答案】D

【分析】利用插空法直接进行计算即可求得结果.

【详解】先将丙、丁、戊、己4人进行全排列，共有A：=24种排法，

再将甲、乙两人利用插空法排到5个符合题意的空隙当中，共有A；=20种，

因此不同排法种数是用6=480种.

故选：D

3.（24-25高二上•辽宁•期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8

个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学

顺序不变，则不同的方法种数为（）

A.84B.120C.504D.720

【答案】C

【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可.

【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为Aj=9x8x7=504.

故选：C.

题型三、特殊元素法

【例2】.（2025高二•全国•专题练习）从A,B,C,D,E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、

外语竞赛，其中X不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（）种.

A.24B.48C.72D.120

【答案】C

【分析】根据分类加法计数原理和排列组合的应用，对特殊元素分类讨论，分别计算不同的情况种类数目，求出结

果.

【详解】解法1（特殊元素优先）：若力参加竞赛，则参赛方案有C：A；A；=48种；

若A不参加竞赛，则参赛方案的A：=24种，因此不同的参赛方案的72种.

解法2（特殊位置优先）：先从除了4以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有A：=12种；

再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有A；=6种；因此共有A；A；=72种不同的参赛方案.

故选：C.

【举一反三】

1.（24-25高二下•青海西宁•期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场,

则不同排法的种数是（）

A.240种B.360种C.480种D.600种

【答案】C

【分析】利用特殊元素优先法，先安排这名歌手，再余下的歌手进行全排列即可.

【详解】先排这名歌手有C；种方法，余下5名歌手全排列为A；种方法，

所以不同排法的种数为C；A；=480种.

故选:C.

2.（2025・四川绵阳•模拟预测）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不

能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（）

A.42种B.36种C.6种D.12种

【答案】B

【分析】利用分类加法原理来求解即可.

【详解】第•类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：C：A；A；=12种：

第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：A：=24种；

根据分类加法原理可得，共有12+24=36种，

故选：B.

3.（24-25高二上・江苏常州・期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英

语、体育、艺术、通技各一节课的课表,要求数学课排在上午.体育课排在下午,不同的排法种数是（）

A.96B.192C.384D.768

【答案】B

【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果.

【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有A；A；=8种排法，

再排其余4节,有A：=24种排法,

6

根据乘法原理，共有8x24=192种排法，

故选：B.

题型四、间接法

【例4】.（24-25高三上•江苏常州•期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分

数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）

A.42种B.72种C.78种D.120种

【答案】C

【分析】先计算A；,然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.

【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，

所以这5名同学的可能排名有能-A：-A：+A；=78种.

故选：C

【举一反三】

1.（23-24高二下山东青岛期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，

至少有一个红球的取法种数是（）

A.20B.26C.32D.36

【答案】B

【分析】由间接法以及组合数即可求解.

【详解】从9个球中任取2个球的取法共有C；种，

两个球都不是红球的取法有C；种，

所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为C；-C；=36-10=26.

故选:B.

2.（23-24高二下•湖北•期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到

第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差

的.”从这两个问答分析，5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.54B.72C.78D.84

【答案】C

【分析】利用间接法计算可得答案.

【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有A；种情况，

甲是第一名有A；种情况，乙是最后一名有"A；种情况,

7

总共的情况有A；-A：-A：+A；=78.

故选：C.

3.（22-23高二下•河北唐山・期末）从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法

有（）种.

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答

案.

【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有C：=15种选法，

其中没有男生，即全部为女生的选法有C；=l种，

则至少有一名男生的选法有15-1=14.

故选：B.

题型五、隔板法

【例5】.（23-24高一下•黑龙江哈尔滨・期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课,

每天至少1堂，不同的安排方法有（）

A.35种B.126种C.495种D.1001种

【答案】A

【分析】用隔板法将8堂数学课分成5份即可得解.

【详解】将8堂数学课当做8个排成一列的相同的球，这八个球之间共有7个空隙，

从中选出4个空隙，用4块板放入这些空隙之间，每块板放入的空隙不同，

正好将这八个球分隔成5份，分别对应每周五天的数学课课堂量安排，

所以题目所求的不同安排方法共有C；:35利L

故选：A.

［举一反三】

I.（24-25高二上•全国•课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1,2,3,4,5的盒子，每个盒子都不空的

方法数为，恰有一个空盒子的方法数为.

【答案】35175

【分析】对于空1,先把8个相同的小球排成一行，求出用隔板法将8个相同的小球分成5份的方法数即得解；对

于空2,先选出一个空盒子，接着求出用隔板法将排成一行的8个相同的小球分成4份的方法数，再结合分步乘法

订•数原理即可求解.

8

【详解】先把8个相同的小球排成一行，

然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板,

每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，

故每个盒子都不空的方法数共有C：=35种;

若恰有•个空盒子，先选出•个空盒子，有C1种选法，

并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有C；种插法，

故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有C；•《=175种.

故答案为：35；175.

2.（2D23高二・江苏•专题练习）某校将7个优秀团员的推荐名额分到3个班级中，则每个班级至少分到一个名额

的方法数有种.

【答案】15

【分析】利用“隔板法”，即可求解.

【详解】7个人站成一排，每班至少要1名，就有6个空，然后插入2个板子把他们隔开，

从6个中选2个，方法有C；=15（种）.

故答案为：15.

3.（24-25高二下•江苏淮安・月考）将6个不同小球装入编号为1,2,3,4,5的5个盒子，不允许有空盒子出现,

共种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共种放法.（结果用数字作答）

【答案】18（）0210

【分析】由6个不同小球分成5组，再将5组球分别放入5个盒子即可得解；6个相同的小球放入5个盒子，若允

许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块即可得解.

【详解】解：由题意得：

由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1,1,1,1,2,不同的分组情况有C：=15种方法，再将5组球分别放

入5个盒子共有废6=1800种;

6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共

10x9x8x7…八工"

有4---------=210种

4x3x2xl

故答案为：1800：210

9

题型六、倍缩法解决部分定序问题

【例6】.（22-23高二下・北京・期末）某4位同学排成一排准备照相时，乂来了2位同学要加入，如果保持原来4

位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A.10B.20C.24D.30

【答案】D

【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.

【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有A：种排法，

A6

如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有消=3（）种排法，故A,B,C错误.

故选：D.

【举一反三】

1.（23・24高二下•河北沧州月考）用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若2,4,6的顺序一定,则符合条件

的七位数有（）个

A.840B.210C.640D.410

【答案】A

【分析】根据倍缩法求解定序问题.

【详解】123,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，共有A；个，2,4,6的顺序有A；个，

A7

所以所求的个数有Z!=840,

故选：A.

2.（24-25高三上•湖北•期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯

笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）

A.8B.1680C.140D.70

【答案】D

【解析】首先计算8盏灯笼任意挂有印种不同的挂法，再除以左边顺序一定4：种，右边顺序一定父种，即可求

解.

【详解】若8盏灯笼任意挂，不同的挂法由苗种，

又因为左右两边4盏灯顺序•定，故有念r70种,

10

故选：D

3.（23-24高二下•新疆喀什•期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1,2,

3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同

取法种数为.（结果用数字表示）

【答案】60

【分析】先不考虑收的顺序，有A：种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数因挂在一列

的只能先收卜面的，故方法数为谷

【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有A：种方法，

考虑在」攵取最右边一列时有A；种取法，收取中间一列时有A；种取法，

A6

而从卜.往上收取只是其中的一种，故按照从卜往上的收取方法，不同取法数是f=60种.

A/；

故答案为：60.

题型七、不平均分组问题

【例7】.（25-26高二上•全国・期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领

先的关健，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学

思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少

选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数

为（）

A.25B.40C.150D.240

【答案】C

【分析】将五门课程分成3,1,I和2,2,I这两种情况讨论

【详解】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有

II

-（10+15卜6-15（）种选修方式.

【举一反三】

1.（23・24高二下•江苏镇江•期中）英单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天,

每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（）

A.60B.180C.240D.300

【答案】C

【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为（11,1,2）,

故所求为笺组=竿=240

A22

方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列，

故所求为C；C；A；=240.

故选：C.

2.（22-23高二上•江苏南京•期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少

派1名教师，则不同的分配方法种数为.

【答案】240

【分析】由题意，结合分组分配问题，即可求解.

【详解】由题意知，5名教师可分为4组，4组人数分别为2人，1人，I人，1人，

将这4组分配到4所不同的学校，共有CG,CA；=24。种分配方法.

故答案为：240

3.（24-25高三下•上海黄浦•期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球,速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2

名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有—种.

【答案】60

【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可.

【详解】由题知，

①将5名大学生分成L2,2的三组，有=15种分组方法,

12

②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，

有2P；=4种情况，

所以有15x4=60种方案.

故答案为：60

题型八、平均分组问题

【例8】.（2024•广西桂林•三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1

名老师与2名同学，不一样的分法共有（）

A.45种B.90种C.180种D.270种

【答案】B

【分析】根据平均分组分配问题即可求解.

C2c2c2

【详解】先将6名同学平均分成3组，有f■上=15种分法，

冉将3名老帅分成3组，有A；=6种分法，

所以共有15x6=90种分法.

故选：B

举一反三

1.（23-24高三下•山西•开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活

服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心

城市，便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建发情况进行调研,

每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（）

A.120B.240C.360D.480

【答案】B

【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解.

【详解】将这5个调研小组分成2,1,1,I这4个小组，然后派往4个社区，

所以派出方案种数为。/1:不:=240.

A3

故选：B.

2.（2D23・辽宁・模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点,

每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（）

A.1918B.11508C.12708D.18

13

【答案】B

【分析】利用分组分配问题的计算方法求解.

【详解】分组方法共有（2,2,5）,（2,3,4）,（3,3,3）三种情况,

所以分配方法共有A；（写生+c；C；C：+等且卜H508.故选：B.

3.（22-23高三上・甘肃张掖・月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了

很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5

名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（）

A.150B.120C.160D.180

【答案】A

【分析】先分成三组，可以3、1、1,也可以2、2、I,分好后再安排到三个山.

【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组.若分为3、1、1的三组，有C；种分组方法，

若分为2、2、I的三组，有瞪种分组方法，故共有仁+等=25种分组方法，②将分好的3组安排到3个地

A2A2

方进行研学旅行，有A；=6种情况，则有25x6=150种安排方法.

故选：A.

题型九、部分平均分组问题

【例9】.（24-25高二下•广东深圳•期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室

进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室

至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）

A.72B.54C.48D.36

【答案】D

【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.

【详解】将4名研究生助理分成3组，有等■种方法，再将3个组分配到3个实验室有等xA；=36种方法.

A2A2

故选：D.

【举一反三】

1.（24-25高二下•湖南长沙・月考）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个

服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.48利।C.96利।D.108种

14

【答案】A

【分析】利用分组分配方法求解即可.

【详解】将4个人分成3个组有婴种方法，再将3个组分配到3个服务点有野xA；=36种方法，

A2A2

故选:A.

2.（2024高三・全国•专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充

分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个

地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（）

A.-B.—C.—D.—

3183672

【答案】B

【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能

在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解.

【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有=36（种）方案.因为甲、乙都去北京，则内、

21

丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为

361X

故选：B.

3.（22-23高二上•江西赣州•期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少

分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（）

A.60B.90C.150D.240

【答案】C

【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.

C2c2

【详解】当每组人数为2,2,1时，方法有安xA：=90种.

A2

当每组人数为3,1,1时,方法有C；xA；=60种.

所以不同的分配方法种数为90+60=150种.

故选：C

题型十、特殊位置法

【例10].（22-23高三匕河北衡水•月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，

选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有

()

15

A.540种B.180种C.360种D.630种

【答案】A

【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.

【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况,

第一类：6名忐愿者分成1+2+3,共有C；C；C；A；=360（种）选派方案,

第二类：6名志愿者分成1+1+4,共有华4内=90（种）选派方案,

第三类:6名志愿者分成2+2+2,共有=90（种）选派方案,

所以共360+90+90=540（种）选派方案,

故选：A

【举一反三】

1.（2025辽宁大连一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4x100m接力比赛，已知甲不能站在第

一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（）

A.8种B.14种C.18种D.24种

【答案】B

【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解.

【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，

①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有lxA；=6种晴况；

②当甲不站在第二位时，甲有2个位置可选，此时乙也有2种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有

2x2x£=8种情况；

综上所述，一共有6+8=14种情况，

故选：B.

2.（23-24高一下•北京海淀・期末）将分别写有2.0,2,4的四张々片.按一定次序排成一行组成一个四位数（首

位不为0）,则组成的不同四位数的个数为（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】A

【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位.

【详解】根据题意，可将四位数分成两类：

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第一类，首位是2,则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有A；=6个；

第二类，首位是4,只需在余下的三个数位选一个给0即可，有A；=3个.

由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为6+3=9.

故选：A.

3.（23-24高二下•江苏连云港•期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须

站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.216B.432C.864D.1728

【答案】B

【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数.

【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有C；C；A；个方法，

将余下的3人排在班长右侧，有A；个方法，

则符合要求的方法总数为C；C；A；A；=6x2x6x6=432.

故选：B

题型十一、涂色问题

【例11].（22-23高三・全国•中职高考）从编号为1,2,3,4,5的5个球中任取4个，放在编号为4B,C,D

的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在8盒中的不同的方法数是（）

A.24B.48C.54D.96

【答案】D

【分析】利用有限制条件的排列问题即可求得每盒一球且2号球不能放在B盒中的不同的方法数

【详解】先在编号为1,3,4,5的4个球中任取1个放在B盒中，

再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为

A,C,。的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求.

则符合题给要求的不同的方法数为=96

故选：D

【举一反三】

1.（2025高二•全国•专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形，使得任意

相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则共有（）种涂

法，

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□三

□3□3

A.18B.36C.54D.108

【答案】D

【详解】把区域分成三部分，第一部分为1，5,9,有3种涂法.

第二部分为4,7,8.当5,7同色时，4,8各有2种涂法；当5.7异色时，有2种涂法，4,8均只有1种涂法.

故第二部分共有2x2+2xl=6种涂法第三部分为2,3,6,与第二部分一样，共有6种涂法.

因此根据分步乘法计数原理，共有3x6x6=108种涂法，

故选：D.

2.（24-25高二下•安徽池州・期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边

的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（）种不同的着色方法.

A.18（）B.120C.60D.240

【答案】B

【分析】由分步乘法计数原理可求解.

【详解】给青阳着色有5种不同的方法,给贵池着色有4种不同的方法,给石台着色有3种不同的方法,因为春阳

与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法，

故由分步乘法计数原理有5x4x3x2=120.

故选：B.

3.（24-25高二下•广东广州•期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交

界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为

()

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A.96B.144C.480D.600

【答案】B

【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择,

第五步涂湖南有2种选择，

所以共有4x3x3x2x2=144种涂色方案.

故选：B

题型十二：排数问题

【例12].（24-25高二下•广东梅卅期末）用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数有（）个

A.8B.10C.12D.16

【答案】B

【分析】根据个位数字是否为0,即可结合排列组合求解.

【详解】若。在个位,则有A：=6种情况，

若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0,2放在个位，另外两个数字全排列，故有2A；=4,

故总共有6+4=10个,

故选：B

【举一反三】

1.（24-25高二下•河南南阳期末）从135,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,用这5个数字组成的

没有重复数字的五位数的个数为（）

A.7200B.19200C.11040D.12000

【答案】C

【分析】分五位数中有0和没有0两种情况，利用排列、组合，直接求解即可.

【详解】若组成的5位数中没有0,则有C；C：A；=7200个；

若组成的5位数中有0,则有C；C：C；A：=3840个,

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所以用这5个数字组成的没有重复数字的五位数有7200+3840=11040个.

故选：C

2.（24-25高二下・江苏苏州・期末）从0,1,2,3,4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个

数为（）

A.48B.60C.72D.100

【答案】A

【分析】由分步乘法计算原理可求.

【详解】根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排，

所以组成无重复数字的三位数的个数为C；A：=48.

故选：A.

3.（23-24高二下广东广州月考）在。,1,2,3,4中不重复地选取4个数字，共能组成（）个不同的四位数.

A.96B.18C.120D.84

【答案】A

【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可.

【详解】四位数首位不能为零，

故为A；-A：=96种不同的四位数，

故选：A.

题型十三：排列组合方法的综合应用

【例13].（24-25高二下•河北承德期中）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表

示）

（1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法；

（2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法：

（3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法；

（4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法.

【答案】（1）3600

（2）576

（3）1440

(4)576

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【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解；

（2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解；

（3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解；

（4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解.

【详解】（1）男生甲不站在队伍的两头，有C；A：=3600种排法；

（2）全部男生相邻，有A：A：=576种排法；

（3）女生不能相邻，有A：A；=1440种排法;

（4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有A；C：A：=576种排法；

【举一反三】

1.（24-25高三•上海•随堂练习）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名

女生的概率为且女生人数超过1人，则

（I）该小组中男生、女生各多少人？

（2）若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作

答）

（3）若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克

斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求

用数字作答）

【答案】（1）男生4人，女生6人；（2）25200；（3）309.

【详解】（1）设男生有x人，则女生有10-x人，l<x<8,xeN,

C2C'3

则甘畀=解得x=4,x=9（含去），故男生4人，女生6人：

Jo

（2）因为要求男生不相邻，故用插空法，先将女生排好，再排男生，

故有A；C；=25200种站队方法；

（3）根据题意可知，有,3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，

故还有3名同学既会萨克斯又会小提琴，设力=｛只会萨克斯的同学｝,

4=｛只会小提琴的同学｝,C=｛既会萨克斯又会小提琴的同学｝,故根据力进行分类：

第一类，4中选3人吹萨克斯，EDC中选3人拉小提琴，则N1=C；C；=35种：

第二类,力中选2人，C中选1人吹萨克斯，4uC剩余6人中选3人拉小提琴，则M=C；C；C：=180种：

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第三类，力中选1人，C中选2人吹萨克斯，剩余5人中选3人拉小提琴，则M=C；C；C；=90种；

第四类，/中选0人，C中选3人吹萨克斯，3uC剩余4人中选3人拉小提琴，则N4=C；C：=4种；

故•共有35+180+90+4=309种不同的选法.

2.（23-24高二下•广东佛山•期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.

（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？

（2）将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？

【答案】（1）115

⑵14

【分析】（1）由题意，利用分类加法计数原理即可求得取法种数；

（2）依题知，可利用分类加法计数原理求得分配方法数.

【详解】（1）由题意得不同的取法包括：红球4个；红球3个和白球1个；红球2个和白球2个三类.

第一类，红球4个，取法有I种，第二类，红球3个和白球1个，取法有C：C；=24种，

第三类，红球2个和白球2个，取法有C；C：=90种，

由分类加法计数原理，红球的个数不比白球个数少的取法有1+24+90=115种.

（2）由题意知，共有两类分配方法：

第一类，每