高考数学题型分类突破：空间角与距离

专题八空间角与距离

【题型分析】

考情分析：

从近几年高考的情况来看，空间角、距离问题是高考常考内容，试题难度中

等，命题常以柱体、锥体为背景.同学们要掌握运用向量法求解空间角和距离问

题，要特别重视坐标系的建立，同时要加强对运靠求解能力的训练.

题型1求空间角

考向1J异面直线所成的角

典例精析

例1如图，已知圆柱。|。2的轴截面48C。是边长为2的正方形，E为下底面圆

周上一点，满足施=2蓝，则异面直线AE与8。所成角的余弦值为().

A4B.些C.隹D2

5101010

方法总结：

1.用向量法求异面直线所成的角

若异面直线6所成的角为仇其方向向量分别是〃，V，

U.V

贝COS8=|cos<",

lullvllullvl'

2.用定义法求异面直线所成的角

通过平移找到所求的异面直线所成的角.

用平移法求异面直线所成的角的基本步骤如下:

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要

求的角；如果求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角.

蜀跟踪训练

多选题已知正三棱柱A8C-48G的底面边长为高为h,记异面直线AC与

8G所成的角为0,下列结论正确的是().

A.若则cos0=-

4

B.若cos0=-,则a=h

4

C.若。=&h,则0=90。

D.若。=60。，则/?二企〃

考向2J直线与平面所成的角

©典例精析

例2如图，四棱锥PA3CQ的底面是矩形，A3=2,BC=2a,APBC是等边三

角形，平面PBCJ_平面ABC。，0,尸分别是BC,PC的中点，4C与交于点

E.

(1)求证：3。_1_平面外。

⑵设平面。石尸与直线尸。交于点Q,求直线OQ与平面PCO所成的角。的大小.

方法总结：

求解直线与平面所成角的方法

⑴定义法：

⑷乍：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线，作出所求角，其中确定垂

足的位置是关键.

②I正：证明所作的角为直线与平面所成的角.

薄：构造角所在的三角形，利用解三角形的知设求角.

(2)向量法：sin9=|cos<彳g,〃>|二要2其中A8为平面。的斜线，〃为平面a的

।㈣四

法向量，。为斜线与平面a所成的角).

励跟踪训练

1.己知正三棱台A8C-A81G的体积为停八3二6"山产2,则直线4A与平面ABC

所成角的正切值为().

A.-B.lC.2D.3

2

2.如图，在三棱台ABC-A/iG中，上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，

平面4BC,设平面ABiGCl平面A3C4点E,尸分别在直线/和直线

上，且满足E/LL/,EFLBBi.

(1)证明：E/LL平面BCG5.

⑵若直线E尸和平面A8C所成角的正弦值为苧,求该三棱台的高.

考向3J平面与平面所成的角

©典例精析

例3如图，在三棱锥O-ABC中，OA_L底面ABC,AC=BC=DA=\fAB=五,E

是C。的中点，点尸在。B上，且EFJ_Q8

(1)证明：。8_1_平面AEE

(2)求平面ADB与平面QBC夹角的大小.

方法总结：

1.利用二面角的定义求二面角的大小

(1)找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂

直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；

(2)证明所找的角就是要求的角；

(3)把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

2.用向量法求两个平面的夹角

设小，也分别是平面夕的法向量，则向量小与〃2的夹角(或其补角)就是两个

平面的夹角，用坐标法解题的步骤如下：

(I)建系：依据几何条件建外适当的空间直角坐标系.

(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量小，n2.

(3)计算：设两个平面的夹角为仇则cos9=三臂・

I叼1n2|

置跟踪训练

1.如图，四棱锥P-ABC。中，以J_底面ABC。，PA=AC=2fBC=1,AB=e

(1)若证明：A。〃平面尸BC.

(2)若AO_L3C,且二由角4-CP-。的正弦值为虚，求AD

7

2.如图，在直三棱柱ABC-A131cl中，ABLAC,AB=AC=2AAi9E是棱直中

点.

A

(1)证明：AC〃平面ABiE.

(2)求二而角A-6i£-Ai的大小.

题型2向量法求距离

考向1J点到线的距离

©典例精析

例4如图，该空间几何体是由以AO为轴的:圆柱与以A3CO为轴截面的半圆

柱拼接而成的，其中4。为半圆柱的母线，G为曲的中点.

(1)证明：平面BOF_L平面BCG.

(2)当人8二4,平面8DF与平面A3G夹角的余弦值为逗时，求点E到直线3G的

5

距离.

方法总结：

用向量法求点到直线的距离的一般步躲

(1)求直线的方向向量.

⑵计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的

长度.

(3)利用勾股定理求解.

另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

⑥跟踪训练

如图，已知正三棱柱ABC-AliG的侧棱长和底面边长均为2,M是8C的中点,

N是ABi的中点,P是BiG的中点.

(1)证明：MN〃平面AC

(2)求点P到直线MN的距离.

考向2J点到面的距离

©典例精析

例5如图，在四棱锥P-A8CO中，底面43co是正方形，侧面切。_1_侧面弘B,

F为BD的中点、,E是棱以上的点，PA-PD-2,PArPD.

(1)证明：平面以D_L平面A8CD

⑵若二面角E-DF-A的余弦值为誓，求点E到平面PBC的距离.

P

方法总结：用向量法求点到平面的距离的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.

(2)求点的坐标：写出(求出)相关点的坐标.

(3)求向量：求出相关向量的坐标(而，a内两个不共线向量，平面。的法向量初

(4)求距离：点尸到平面。的距离4=也.

四

另外，线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.

园跟踪训练

如图，在四棱锥。-ABC。中，OA_L底面ABCD,底面ABC。是边长为2的正方

形，。4=2,M,N,。分别为。A,BC,CO的中点.

(1)证明:DNLOQ.

(2)求点D到平面AMN的距离.

【真题改编】

1.，多选题在长方体ABCD4BCB中,ACIBiDi,ADi与平面A5CD所成的角

为30°,则().

A.异面直线4。与8G所成的角为60。

B.异面直线AB与A1G所成的角为45°

C.直线BDi与平面ADDiAi所成的角为60°

D.直线与平面ABCQ所成的角的正弦值为包

7

2.如图，在四棱锥尸-ABC。中，％_L底面ABC。，PA=AC=2,DC=BC,AB=AD.

(1)证明：BDVPC.

⑵若。C_L平面外D,且异面直线A。与PC的夹角的余弦值为坐，求平面ACP

4

与平面DC尸夹处的余弦值.

3.如图，在菱形ABC。中，AB=4,NDABq,点E满足荏而，将A/WE沿

着区七翻折至使得PC=4&.

(1)证明：PELCD.

⑵若点M满足由乏而，求平面EMC与平面PCB夹角的余弦值.

4.如图,在正四棱柱ABCD-4向GDi中,M=2A8=4.点42,&,C2,6分别在

棱/Ui,BBT,CCI,DDI±,A42=l,BB2=DD2=2fC2为棱CG上靠近点G的

四等分点.

(1)证明：B2C2//A2D2.

(2)点P在线段囱历上，若B2P=1,求二面角P-42c2-6的余弦值.

【最新模拟】

（总分：10（）分单选题每题5分,多选题每题6分，填空题每题5分，共32分;

解答题共68分）

强基训练

1.在棱长为3的正方体中，点E,E满足雇=2前，前二2两,

则点E到直线厂G的距离为（）.

A泮B蟀C彦D.2

5555

2.在三棱柱ABC-AIBIG中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，。是8G与SC

的交点，则直线力力与平面BBiGC所成角的正弦值是（）.

A.-B.它C.3D.i

5222

3.“多选题如图，在正二棱柱A8CX由1G中，AC=A41,E,尸分别是棱8GAic1

上的点.记E/与A4所成的角为①直线£户与平面ABC所成的角为夕，二面角

广8C-A的平面角为彩则（）.

A..a<fiB侬z

egD.沙

4.如图,在棱长为2的正方体A8CD-A山Ci。］中，E为线段。。的中点，尸为线

段的中点，则直线FCi到平面A8E的距离为（）.

A正B.四

35

C.-D.-

33

5.在长方体ABCD-AIBCD中，4B=A4I=4,5。=2,尸为侧面4881Al内一动点，

且满足GP〃平面AC",则GP的最小值为,此时点尸到直线4G的

距离为.

6.(10分)如图，在四棱锥尸-48CQ中，平面PCD内存在一条直线E/与A8平行，

R1_L平面43C。，直线PC与平面43C。所成的角的正切值为gPA=BC=26,

2

CD=2AB=4.

(1)证明：四边形A8CD是直角梯形.

(2)若点E满足丽=2而，求二面角P-EF-B的正弦值.

能力提升

7.(13分)在三棱柱ABC-AxB\Cy中，四边形BCGBi是菱形，△ABC是等边三角

形，M是线段A3的中点，NA8囱=60。.

(1)证明:平面ABG.

(2)若平面A884_L平面ABC,求直线8c与平面A.MC)所成角的正弦值.

8.(13分)如图，在直三棱柱ABC-4B1G中，A8=A4产代,ABLAC,。为4G的

中点.

(1)证明:平面A/D

(2)若二面角A-BC-D的余弦值为立，求点A到平面BCD的距离.

4

9.(15分)如图,已知在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AD1AB,AB//CD,A4i=2,

AB=2AD=2,OC=1,N是办G的中点，M是力小的中点.

(1)求证：DiN〃平面CMM.

(2)求平面CSM与平而的夹角的余弦值.

(3)求点B到平面CBTM的距离.

创新思维

10./多选题(人教A版必修第二册P164T18改编)已知在平行四边形AVBC中，

VA-VB-2HZAVB-60",把4雨6沿对角线A6折叠，使得VC—1,如图所示,

则().

V

9<^一少C

VR

A.ABLVC

B.二面角VMB-C的余弦值为J

C.直线VC与平面ABC所成角的余弦值为出

3

D.三棱锥V-ABC的外接球的表面积为筹

11.（17分）（原创）如图所示，在四棱锥P-ABCD^,AB=BC=CD=DA=y/5，PA=2y[2,

PB=1,PC=2,PCA.PA.

（1）若E为线段PC的中点，则直线DE与平面PAB是否平行?请说明理由.

⑵求平面PAC与平面ACD的夹角的大小.

参考答案

专题八空间角与距离

分类突破修题型分析

题型1求空间角

考向1异面直线所成的角

例1B

【解析】（法一）如图1，连接七。2并延长，交底面圆周于点孔连接尸。，FB,

易知AE//BFKAE=BF,

图1

所以为异面直线AE与BOi所成的角或其补角.

因为翁=2族，所以乙4。2£二60。，

所以为正三角形，故/=1.

由圆柱的性质知0、F=0\B7BC2+01。2=遥,

所以在等腰三角形的中，—尸篇噜

（法二）以4为原点，4B,AQ所在直线分别为y轴、z轴，建立如图2所示的空

间直角坐标系，则40,0,0）,8（0,2,0）,01（0,1,2）,E信,1,0）,

图2

所以AE二（等,；，0）,B0i=（0，-1，2）,

所以异面直线AE与BOi所成角的余弦值为|cos＜荏，西＞1=1^萼=心=唬

|力£||80”1x7510

故选B.

跟踪训练ACD

【解析】如图，在正三棱柱ABC-AIiG中，设AC4G的中点分别为O,E,

连接OE,OB,贝ijOE_L平面ABC,O8_LAC以。为坐标原点，OB,OC,OE所

在直线分别为工轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

对于A,当时，Ai((),5a),C(0,右0),“(苧，0,0),Ci(0,1,a

），

则碇=（0,…）,尾二（-孚pa）贝"沃竭"第"点

1

4-

1

由于异面直线AC与8G所成的角为仇0。〈生90。,4-A正确:

对于B,4（0,C（0,p0）,8（亨，0,0）,Ci（0,”7）,则初二（0,

a,-h）,~BC[=（•学，）〃），由cos夕=；,得|cos＜不忑，

--------------•FQ2八2]

居＞|二怨知1三解得。=〃或。=花儿B错误；

|/1C||BQ||加+庐+h24

对于C,当片企人时，4（0,.苧，/?）,C（0,苧，0）,8（孚，0,0）,Ci（

0,粤，力），

则裾二（0,6,-h）,西=卜孚，学，/?）,则砧•竭=感序=0,故碇J_跖，

则。=90。，C正确；

对于D,若。=60。，则cos6>=；,由选项B知4（0,卷，/?）,C（0,*0）,B（

苧,0,0）,Ci（0,f/?）,

初二（0,“，-〃），西=（-苧，h）,

I：|A1CBC“

则|cos<4CBG>

\A1C\\BC1\

解得/『鱼。或〃=0（舍去），D正确.

故选ACD.

考向2直线与平面所成的角

例2

【解析】（1）：2P8C为正三角形，。是的中点，,:PO_L8C,

又平面尸8C_L平面A3CO,平面PBCn平面ABCD=BC,POu平面PBC,,：PO_L

平面ABCD,

又B/）u平面ABC。，/.POA.BD.

*AO=（BC+BA>（^BC-BA）=^BC2-~BA2=4-4=0,,:而_L布，/.AOLBD.

c乙

又「。，AOu平面尸。4且尸。"4。=0,.：BO_L平面以。.

⑵：EO分别为BO,8C的中点，.：EO〃DC,又QCu平面尸。C,£O仁平面

PDC,・：£0〃平面「。。.

又平面OEQbn平面POC=。/，/.EO//QF,.：QF〃DC.

:/是PC的中点，・：。是尸。的中点.

如图，以。为原点，OE,OC,OP所在直线分别为x轴、），轴、z轴建立空间直

角坐标系,则P（0,0,府，C（0,四，0）,0（2,鱼，0）,Q（l,多苧），

•:丽二（2,0,0）,PC=（O,鱼，-府，丽二（1，暂,争.

设平面PCD的法向量为n=（x,y,z）,

则陛=仇

{PCn=0,

即{篇-V6Z=0,

取y=聒,得平面PCD的一个法向量为〃二（0,返，1）,则sin夕=|cos<〃,

（。不，,:Y

跟踪训练

1.B

【解析】（法一）

如图1,分别取BC,8G的中点。，D,,连接AQi,DiD,DAf过点4,功作

底面的垂线，垂足分别为M，N,显然M,N均在线段AO上.易得AO=3百,

4。尸百.设正三棱台ABC-AiBiCi的高为h,因为5A4BC=|X6X3V3=9^,

S/iBiG=畀2乂百二百，

所以以BC/IBIG二3（百+，8X9\/5+9>/5）〃=革,解得

OKJCJ

22

设AM=x,则AA।=yjAM+ArM=Jx2+学,DN=AD-AM-MN=2W-x,可得

DDi=jDN2+D[N2=Jq6/+学.在等腰梯形BCCB中,8以=血*+（号）

2,即/+学=（26㈤2岑+%解得广竽,

所以直线4人与平面ABC所成角的正切值为tan/4M£）=筹=1.

（法二）如图2,将正三棱台ABC-AxB^Cx补形成正三棱锥P-ABC,

则直线44与平面ABC1所成的角即直线PA与平面A5C所成的角.

因为△PA^/XPAB,所以老二喘.所以铲1s所以以BC公肝】年〃

r/i/iooVpARC乙/，/

ABC=^>所以V/M/JC=18.

J

设正三棱锥尸-ABC的高为“，则必"BC二9x96x6x包=18,解得4=2次.

3，2

设底面A8C的中心为0,连接PO,AO,贝ijPOJ•底面人9C,且AO=2/5，所以

直线PA与平面A3C所成角的正切值为tanN%。=纵=1.故选B.

2.解析(1)由题意知，SG〃平面A8C,因为SGU平面A8G,且平面A8GA

平面所以8£〃/,又8ci〃8C,所以l〃BC

因为£/」/,所以C3C,

又EFIBBi,BSBBi=B,且3Cu平面BCGS,BBC平面BCGBI,所以M_L

平面BCCiBi.

(2)以A为原点建立空间直角坐标系，如图，设三棱台的高为〃，则BQ,2国，

0),B|(1,V5，/?),C(-2,275，0),CF=(4,0,0),西二(-1,-四,/?).

设平面BCC\B\的法向量为n=(x,y,z),则｛募？二°；即hz_0令尸"'

则z=V5,所以平面BCC向的一个法向量为〃=(向h,V3).

易得平面ABC的一个法向量为"『(0,0,1),设直线石尸与平面A3C的夹角为

0,由(1)知E尸〃小

冉

所以由已知得sin0=\cos<mn>1:臂沪〒「多解得仁正，所以该三棱台

f|叫四JM+33

的同为述.

考向3平面与平面所成的角

例3

【解析】（法一）（1）：,D4J"平面ABC,且BCu平面ABC,/.DA1BC.

VAC=BC=\,AB=5

/.AC2+8（^=AB2,,：AC_LBC

VDAQAC=A,QA,ACu平面。AC,

・：6C_L平面D4C,

又AEu平面。AC,/.BC±AE,

VDA=ACfE是CD的中点，・：QC_LAE,

又BCCDC=C,BC,OCu平面。8C,

・：AE_L平面DBC,

又QBu平面D8C,・；DB工AE,

又EUDB,E卜CAE=E,",A&'u平面A£”，

ZDBITffiAEF

Q）TEF_LDB,由（1）得O8_LAR

・：NA比为平面ADB与平面DBC的夹角或其补用.

：7）A_L平面ABC,

.'.DAA.ACfDAA.AB.

,.-AC=DA=\,E为CO的中点，

/.AE=^-DC=^.

22

TAB;五,

11

X

；&DAB=-DAxAB=-xDBxAFf

.y£Mx48‘瓜

••A.r——f7一.

DB"2+（&：3

由⑴知，AE_L平面。BC,

:针u平面。BC,/.AELEF,

空二受二座

二

•:sin/AF£AF~s^~

:'NAFE为锐角，,：乙4所二%

・：平面AO8与平面。8。夹角的大小为/

(法二)(1)：7M_L平面A3C,且BCu平面ABC,/.DALBC.

VAC=BC=\,AB=y/2'

/.AC^+B^AB2,

/.ACLHC.

VDAQAC=AtDAf4Cu平面QAC,

・：8C_L平面DAC.

如图，过点A作AG〃BC,

则AG_L平面DAC.

以A为坐标原点，向量前，AGf彳5的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,

建立空间直角坐标系Aryz,

则A(0,0,0),8(1,1,0),C(l,0,0),D(0,0,1),E(1,0,

•：08二(1,1,-1),AE=(^f0，

*=1x1+lx0+(-l)xl=0,

•:丽，族，/-DB1.AE.

7

又DB1EF,>AEC\EF=Ef\E,Ebu平面AE/,

,：。区_1_平面4七工

(2)由(1)知而二(0,0,1),BD=(-1,-1,1),CD=(-1,0,1).

设平面A£>8的法向量为加二(a，ji，zi),

则(m.而=0,Jzi=0,

[m^BD=0,l/iJi+Zi=0,

令yi=l,则平面AO8的一个法向量为机二(-1,1,0).

设平面。8C的法向量为〃=(X2，)吃，Z2),

则［几9=0,.C%2+Z2=0,

、bl.丽=0,1%2-丫2+Z2=°，

令12=1,则平面。8C的一个法向量为〃=(1,0,1).

设平面ADB与平面DBC的夹角为0,

则cos9=1cos<〃2,〃>|又夕e(o,5，所以。=全

即平面ADB与平面DBC夹角的大小为最

跟踪训练

1.解析(1)因为%_L立面A3CO,而ADu平面所以B4_LAO,

又4O_LP5,PBQPA=PfPB,B4u平面RW,所以AD_L平面巩8,

而ABu平面%B,所以AO_LAB.

由题意可得BC2+A?=AC2,所以BCJ_A8,所以AO〃8C,

又AQU平面PBC,BCu平面PBC,所以4。〃平面PBC.

(2)如图所示，过点。作OEL4C于点£,再过点E作M_LCP于点忆连接。£

因为必平面ABCD,以u平面MC,所以平面朋C_L平面ABCD,而平面以CD

ABCD=ACfDEu平面ABC。，DE±AC,

所以。石_1_平面PAC,又CPu平面PAC,所以DE_CP,又EFA.CP,DEClEF=E,

DE,EEu平面DEF,所以CP_L平面DEF,又OFu平面DEF,所以CP_LOE根

据二面角的定义可知，N。/芭即二面角A-CP-O的平面角，即sin/ZWE二孚

则tanZDFE=V6.

因为A"QC,设—(032),所以3=/,由等面积法可得,。E二甲,

则CE二J(4/2>3卢二亨，由题意可知^APC为等腰直角三角形，易得

△EFC为等腰直角三角形，所以E尸二裳.

X」4-X2

由。石_1_平面MC,EFu平面PAC,得DEA-EF,故tanNQFE二一一二显,解

4-xz

242

得x=V5，BPAD=y/3.

2.解析

(I)如图1,取当G的中点Q,连接4"),CD,DE,在二棱柱4金7-4%G中，

BC=BC,B\C\〃B3AA\//BB\,AA\=BB\.

因为E是棱BC的中点,，。是BiG的中点，

所以3Q=CE,所以四边形EC。囱为平行四边形，所以CO〃%E,

同理可得四边形BED&为平行四边形，所以BBkDE,BBM/DE,所以44二。E,

AAi//DEt

所以四边形AED4为平行四边形，所以4。〃4£因为4Eu平面4囱£,4。U平

面ABE,

所以平面A囱石，同理可得CO〃平面43|E,又4OnCO=O,A\D,CDu

平面A\DCf

所以平面ARC〃平面ABiE,又A]Cu平面AiDC,所以AC〃平面4B|E

⑵设A3=402AAl=2,以A为原点，ABtAC,AAi所在直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示，则A(0,0,0),Ai(O,0,1),Bi(2,

0,1),E(l,1,0),

所以荏二(1，1，0),福二(2,0,1),前二(2,0,0),西二(-1,-1,1).

设平面AEB的法向量为yi,zi),

由匡九1=0,得a+［；=0x产］,则平面AE田的一个法向量为〃尸(1,.

口九%=0,(24+zi=0,

1,-2).

设平面A1E8|的法向量为〃2=(X2，/2,Z2),

由图示=6得片=?n取,，2二1,则平面4ES的一个法向量为〃2=(0,

1以1.几2=0，(-物32+Z2=0,

1,1).

设平面AEB,与平面的夹角为仇

贝ijcos0=-^^-=-^=^

尸1||九2|布X式2

由图2可知二面角A-BiE-Ai为锐角,则二面角4B1E-A］的大小为30°.

题型2向量法求距离

考向1点到线的距离

例4

【解析】(1)过点G作GH〃8c交触于点“，连接A”，BH,如图1,

则H为筋的中点，则GH〃BC且GH=BC,

所以四边形”BCG为平行四边形，所以84〃CG

由题意可知，aAB尸为等腰直角三角形，则/二/

因为，为第的中点，所以AH=BH,

则△相，为等腰直角三角形，则

WWZFBH=ZABF+ZABH^则FBLBH.

因为BH〃CG,所以FB_LCG,又BC1.BF,BC,CGu平面BCG,BCCCG=C,

所以BFJ_平面BCG,又因为BFu平面BOF,所以平面BOF_L平面BCG

Q)

由题意知，AF,AB,4）两两垂直，所以以A为坐标原点，AF,AB,AO所在直

线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图2.设4。=小又A8=4,

则A(0,0,0),F(4,0,0),8(0,4,0),0(0,0,a),G(-2,2,a),FD=(0,-

4,a),8尸=(4,-4,0),48=(0，4,0),AG=(-2,2,ci),BG=(-2,-2,ci).

设平面BDE的法向量为〃I=（KI,yi,zi）,

nBD=0,.4月+az1=0,

则lt即令）『1,则平面BDF的一个法向量为/?!=（1,

%而=0,4/_4丫1=0,

1，打

az

设平面ABG的法向量为〃2=。2,）*Z2）,

nAB=。，即14y2=。,

则2令不二1,则平面ABG的一个法向量为112=

-2X2+2y2+az2=0,

n2.AG=0,

（1，①！）•

设平面8。/与平面ABG的夹角为0,

I"如

则cos夕=|cos〈加，〃2〉匚*曰=|*I”上，解得〃二4（负值舍去）,

1nll1n2|i+i+与.i+刍5

所以G(-2,2,4),又8(0,4,0),E(4,0,4),则前=(224),RE=(4,-4,

4).

设点E到直线BG的距离为力

所以六超一早

J西

跟踪训练

解析⑴由题意知，平面ABC,NB4L60。，而A3u平面A8C,所以

A4」AB在平面ABC内过点A作)，轴，使得AB_L)，轴，建立如图所示的空间直

角坐标系Axyzt

则4((),0,0),5(2,0,0),C(l,V5,0),4(0,0,2),9(2,0,2),Ci(l,百，

2),得M信苧，0)，Mb0,1),P(|,苧,2),

所以而二(1，V3,-2),石/信与0),而=(』-冬1).

设平面4c尸的法向量为〃=。，y,z),

n.A^=x4-V3y—2z=0,

则—,3V3令产1,得z=・i,所以平面4cp的一个法

MAP=-x+—y=0,

向量为〃=(1,-V3»-1)，

所以标•片(~)xl+(-y)x(-V3)+lx(-l)=0,又直线MNC平面AlCP,所以MN//

平面4CR

(2)如图，连接PM,由(1)得由二(0,0,-2),则麻•丽^=-2,|而|二夜，|前|二2,

所以点P到直线MN的距离/网.(需)2二匹

考向2点到面的距离

例5

【解析】⑴：'平面外。_L平面以8,平面以0n平面R3二%，PALPD,PQu平

面,：。。_1平面以6,又A8u平面见8,.\PD±AB.

丁四边形ABC。为正方形，,：AB_LAO,又尸004。=。，PD,4Qu平面%D,

・：AB_L平面以。，又ABu平面A8C。，.：平面用。_L平面4BCD.

⑵取A。的中点0,连接OP,0F「・・PA=PD,。为A。的中点，/.0P1AD.

丁平面％O_L平而ABCD,平面以0n平而ABCD=AD,OPu平面PAD,・：OP_L

平面ABCD.

:‘0,尸分别为AO,8。的中点，.：OF〃AB,又/.OFLAD.

以O为坐标原点，。4OF,OP所在直线分别为x轴、），轴、z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系.

VPA=PD=2tPALPD,.：AD=2®OP=^AD=y[2,

・：。(-也0,0),A(V7,0,0),尸(0,0,V2),8(企，272,0),C(-四,2鱼,

0),F(0,企，0),

•:而=(&，VL0),丽二(&,2^2,-V2),正二(-2&,0,0),Z?=(-V2.0,

回刀二（2或，0,0）.

设版=29（00处1）,则族=（-四2,0,V22）,.：DF=O4+7F=（2V2-A/2A,0,、⑦）.

设平面OEb的法向量为〃=（x,y,z）,

贝您"誓理）*+&=0,令尸九得fzW2,.：平面的的-

（OF.TI=V2x+V2y=0,

个法向量为〃二（九-2,2-2）.

Tz轴_1_平面4。凡.：平面A。/7的一个法向量为m=（0,0,1）,

•：|cos<m,及>1=踹=次+（4£（人"=骞，解得K舍去）或写，•:亚=

（4。，苧），

•:前=亦荏=（哆0,第.

设平面P8C的法向量为f=（mb,c）,

则回t=缶+2V2b-V2c=0,

b=l,得。=c=2・：平面的一个法

'辰.t=-2>/2a=0,.令0,tP8C

向量为f=(0,1,2),

•:点E到平面PBC的距离仁西二辛二营.

内V55

跟踪训练

【解析】⑴底面A6C。，AB,ADu平面A8C。，・：OAJ_A6，OA±AD,

又A8J_AQ,,：以A为坐标原点，AB,ADfAO所在直线分别为龙轴、y轴、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系Aryz,

则A(0,0,0),BQ,0,0),D(0,2,0),0(0,0,2),N(2,1,0),0(1,2,0),

•:丽=(2,-1,0),OQ=(1,2,-2),.：D/VOQ=2X1+(-1)X2+0=0,•:而J•丽，

・・・DN【OQ.

(2)设平面AMN的法向量为九=(x,y,z),又M(0,0,1),AM=(0,0,1),前二(2,

1,0),

.:卜.竺=0,即上令x=l,可得产2,：平面AMN的一个法向量为

(n,AN=0,⑵+y-0,

〃=(1,-2,0).

故点D到平面AMN的距离c/二亚如二4二延.

巴V55

分类突破真题改编

1.ABD

【解析】在长方体ABCD-A^CiD,中，连接BD,显然四边形BDDE是矩形,

即BD〃B\D\.

由得AC_LB。，因此矩形A8C0是正方形，又。Di_L平面ABC。，

则ZDiAD是AD1与平面ABC。所成的角，即ZD|AD=30°.令。。产1,则AD=聒,

建立如图所示的空间直角坐标系，则立（0,o,O）,A（V5,O,O）,8（75,代,0）,

4(75,0,1),C|(O,翼,1),£>1(0,0,1).

对于A,°，1)，跖=(-V5,0，1)，COS<DJ^,~BC[>=-^2=-^-

1

则＜西，孤＞=120。，因此异面直线4。与8G所成的角为60。，A正确；

对于B,屈二（0,遮,0）,41于1=1（-1V5»V3,0）,cos＜AB，&于＞二普丝^二戈j7咚，

|i4FM1C1iv3xV62

则＜丽，A^7＞=45°,因此异面直线AB与4G所成的角为45。，B正确；

对于C,西=（-遮，-V5,1）,而平面A。。山的一个法向最为〃二（0,1,0）,

因为cos＜丽心二瀛二葛二*4,所以〈西,〃＞*20。，因此与平

面AQQ4所成的角不为60。，C错误；

对于D,平面ABCD的一个法向量为〃?=（0,0,1）,因为cos＜西,

、BDi.m1V7

m＞=^=——=-=—=——，

严।V7X17

所以BDI与平面A3CD所成的角的正弦值为多D正确.故选ABD.

2.解析⑴因为办，立面ABC。，BDu平面4BCD,所以附_L8D

因为0c=8C,AB=AD,所以8OJ_AC,

ffljPAC\AC=A,PA,ACu平面以C,所以8OJL平面以C.

因为PCu平面RIC,所以8£)_LPC.

⑵因为OC_L平面aQ,4Qu平面%O,所以AD_LOC,如图所示，以。为坐

标原点，方的方向为工轴正方向，沆的方向为J轴正方向，建立空间直角坐标

系.设DC=BC=〃,AB=AD=m,则。(0,0,0),Aim,0,0),C(0,nf0),P(m,

0,2),因为AOJ_QC,所以〃於+〃2=4.

因为而二(机，0,0),PC=(-/w,n,-2),所以|cosv而，而>|=一聋,可

my/mz+n^+44

得小=A/5,n=\,

所以A(V5,0,0),C(0,1,0),P(V5,0,2).设平面AC。的法向量为加=3,

yi,Zi),平面CP。的法向量为〃2=(X2,”,Z2).因为而二(0,0,2),/=(-V5,1,

0),所以伫—2z二"取X|=V5，则yi=3,Z1=O,于是〃尸(遍，3,

UC.Hi=-V3xi+yi=0,

0)是平面ACP的一个法向量，同理可得〃2二(2,0,一百)是平面CP。的一个法向

量，所以|cos<〃|,〃2>|=1nL叼=义

I叼产2|7

故平面ACP与平面DCP夹角的余弦值为

3.解析⑴因为版=；而，

所以£是AQ的中点.

依题意可知△A3。是等边三角形，所以8E_LAD

则在翻折过程中有BEIDE,BE工PE,PE=AE=2,BE=26,又BC=4,则

CE=7BE2+BC2=2V7.

因为PE=2,尸。=4企，所以PC^CEZ+PE2,所以PEJ_EC.

又因为BECEC=E,BE,ECu平面BCDE,所以PE_L平面BCOE

而。Ou平面8CQE,所以PE_LCD

(2)因为PE_L平面BCDE,BEIDE,所以以E为原点，前，ED，方的方向分别

为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则E(0,0,0),BQ®0,0),C(2V3,4,0),P(0,0,2),0(0,2,0),M(0f

42\

313^

所以阮=(2百，4,0),前二(0,I，I),BC=(0,4,0),乔二(-2V5,0,2).

设平面EMC的法向量为m=(x,y,z),

fn.EC=0,即2>/3x4-4y=0,

则

4Jn

.m.EM=0,匕y+/=o,

令x=2,贝Ijy=-V5，z=2V3,即〃『（2,-V5，2百）是平面EMC的一个法向量.

设平面PC5的法向量为〃=（幻，vi,zi）,

贝懦二例混，i

令即=1,贝!Jyi=O,zi=V5,即〃=（1,0,8）是平面尸CB的一个法向量,

a4g

所以平面EMC与平面PCB夹角的余弦值为|cos<“心|2

19

4.解析

（1）以C为坐标原点，CD,CB,CG所在直线分别为x轴、），轴、z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),C2(0,0,3),历(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),

•:B2c2=(0，21),A2D2=(0,-2,1),^B2C2//A2D2.

又B2c2,不在同一条直线上，

/.B2C2//A2D2.

(2)2P=1,BB2=2,.・・BP=3,则P(0,2,3),结合⑴知不可=(222),髓=(0,

-2,0),D2c2=(-2，0>1).

设平面布2c2的法向量为〃=(x,户z),则『.丝2=-2x-2y+2z=0,

(.nPC2=-2y=0,

得产0,令z=l,得x=l,・"=(1,0,1)是平面以2c2的一个法向量.

设平面A2C26的法向量为机二(曲b,c),则处=-2a—2b+2c=0,

2c2=-2a+c=0,

令a=l,得b=l,c=2,.*/w=(l,1,2)是平面42c2。2的一个法向量.

・：COS<〃，"〉=黑『行JT，由图知二面角P-A2c2-6的平面角为钝角,

|n||,n|VZXvo2

则二面角P-A2c2。的余弦值为咚

分类突破上最新模拟

强基训练

1.A

【解析】

0

A.Z

2

如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得E((),(),1),F(3,3,2),G(0,3,

3),则丽=(3,3,1),FQ=(-3,0,1).

•:点E到直线/G的距离

2.C

【解析】

A

如图，取8c的中点E,连接Of,AE,依题意知三棱柱A8cAi8G为正三棱

柱，设棱长为2,贝|J4E=V5，DE=\.

因为，E分别是8G和的中点，所以OE//CG，所以。氏L平面A3C.又

AEu平面ABC,所以DE.LAE,所以入止必曰+DE2=7ITI=2.因为4EJ_BC,

AELDE,BCC\DE=E,BC,OEu平面BBCC,所以AE_L平面88GC,所以

NAOE是直线AD与平面BSGC所成的角，月.sinNADE=^二坐，所以直线4。

/1LZ乙

与平面gcc所成角的正弦值是当

乙

3.AC

【解析】如图所示，过点尸作FPL4C于点P,过点P作PM_LBC于点M,连

接PE,FM,易知EW_L8C,

则a=ZEFP,°=/FEP,y=NFMP,tana=—=-^<1,tan/?=—=^>1,tan

产器工装二tan£,又函数尸anx在（0,]]上单调递增，所以四句

4.C

【解析】易知AE//FC},y.FCU平面A6iE,AEu平面〃平面A8E,

・：直线FCi到平面A&E的距离等于点Ci到平面A&E的距离.

如图，以。为坐标原点，ZM所在的直线为x轴，。。所在的直线为》轴，DDy

所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(2,0,0),Bi(2,2,2),Ci(0,2,2),E(0,0,1),F(2,2,1),•:屈=(-

2,0,1),ABi=(0，2,2),Ci当二(2,0,0).

设平面的法向量为〃｛，y,z),则令9则x"

y=-2,得〃=(1,-2,2)是平面ABiE的一个法向量.

设点G到平面ABE的距离为d,则［二匹画=7T为二,故直线尸G到平面

plJ1+4+43

A8E的距离为生

5.2百窄

5

【解析】如图所示，因为A3〃G9且A8=GA,所以四边形A8GG为平行四

边形，所以BCi〃ADi.又因为BCQ平面ACD”HQu平面AC。，所以BG〃平

面ACA,同理可证得A5〃平面4cd.因为43nBe=B,4B,BGu平面4BG,

所以平面AiBG〃平面ACQ.因为C)e平面A山G,GP〃平面ACDi,所以GPu

平面48G.因为平面4/SBC平面4出。「48,平面A488,所以点。的

轨迹为线段48.当GP取最小值时，GP_L48,则P为A出的中点，则C】P的

最小值为J&CZ6〃B)2=，20-8=2百.

以。为原点，DA，DC，西的方向分别为x轴、)轴、z轴的正方向建立空间直

角坐标系,

易知4(2,0,4),Ci(0,4,4),P(2,2,2),所以而二(-2,4,0),中二((),

2,-2).

取