2026年高考数学一轮复习专练（新高考）导数与函数的极值、最值（原卷版+解析）

第3讲导数与函数的极值、最值

目录

01考情研究........................................

02知识梳理.........................................................2

03探究核心考点.....................................................3

考.女一：求法数的极值与极值点...............................................................3

考点，二：根据极值、极值点求参教............................................................4

考点三：求函数的最值（不含参）.............................................................5

考点R：求的数的最依r令参）...............................................................5

考点五：根据最值求参数......................................................................6

考点六：函教单调性、极值，最值的综合应用................................................7

考点七：不等式恒成立与存在性问题..........................................................7

三阶突破训练

基础训练・.......................................................................................8

能力提升.......................................................................................9

真题感知......................................................................................11

真题考点分布—5年良短考点分布与考情分析

课标要求了解困数极值的条件，会求极值、最值

函数的极值极值与极值点的定义、特征及提醒

导数与函数极值知识导图

函数的最值闭区间上函数最值的存在性及求解提醒

p求函数极值与极值点——典例与跟踪训练，含求解步柒与技巧

-根据极值等求参数一典例与跟踪训练，含求解要领与注意事项

-求函数最值（不含参）——典例与跟踪训练，含求解方法技巧

考膻型-求函数最值（含参）——典例与跟蹄训练，需对参数分类讨论

-根据最值求参数——-典例与跟踪训练，列方程或不等式求解

-单调性等综合应用——典例与跟踪训练，常涉分类讨论等思想

-不等式恒成立等问及——典例与跟踪训练，含处理方法技巧

＞考情探究＜

一、5年真题考点分布

考点要求考题统计考情分析

2025年11卷第18题，17分

2025年II卷第10题，6分

2025年I卷第19题，17分高考对极值、最值的考查较为稳定，是

2024年I卷第10题，6分重点考杳的部分。在本节内容中，无论高考

2024年II卷第16题，15分题目如何变化，只要我们抓住导数作为研究

（1）函数的极值2024年II卷第11题，6分函数的重要工具这一关键，借助图像把函数

（2）函数的最值2024年甲卷第21题，12分的单调性、极值、最值等核心问题直观清晰

2023年乙卷第21题，12分地呈现出来，剩下的便是具体问题的转化了。

2023年II卷第22题，12分最终的焦点必然是函数的单调性与最值，因

2022年乙卷第16题，5分为它们始终是导数的核心。

2022年1卷第10题，5分

2022年甲卷第6题，5分

二、课标要求

1.借助函数图象，了解函数在某点.取得极值的必要条件和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

三、知识导图

如果，公用近的所有口吊外7“>>/区）,

则静八W是嫡改的个畏小他，记力

“I1ISMSH近前所行点称。/■QN/CQ.

函UM大值而口公如』用《1的/,周，3户％右例/'RvO.

函数神值）、则幡/（、罡曲长的个极人thidflj,..=/Uj.

SdHfcS,极大值点诧称为极值点.B1，J4«HS大值螃为的B）

，（先确定——的定义域；

一圣数所

y求定曲值的生衰>［<耘叼'“）=o的用；

依慌/ga〃仃/'”户o的根•”》《曲绿的t?»；.

导数与函数的极值、最值如累£3俯％.Hi内工,fthfKb^.

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如果《收的4JBH”为例,A40R也为1L.

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南数拉）在耶他网上“最修的条件4ul!ftKHMII函明*/R的图散发条

违埃小毫的修线.郡么它心"最大位小最小位.

函数的最大（小）值

求广fW（HmM内的极侑<检kffl，卷收小做）

笊成此=/3心伏冏I灼川人（小）做的小霞

衣户/g的各及9。。血棚/Mlt仪.

H中N大的•个为最大（ft.N小的个为N小优

>知识梳理<

1.函数的极值

条件八%。）=0

X。附近的左侧/'（X）>o,右侧r（x）<o&附近的左侧尸（x）<0,右侧/（x）>0

图象

形如山峰形如山谷

极值/（&）为吸①_________值/（3）为极②值

极值点%为极③值点％0为极④_________值点

提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.

（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.

2.函数的最值

（1）一般地，如果在区间口力］上函数y=/（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

（2）若函数f（x）在［a,b］上单调递增，则⑤为函数的最小值，⑥为函数的最大值;若函数

/（X）在阿勾上单调递减，则⑦为函数的最大值，⑧为函数的最小值.

提醒极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未

必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.

A探究核心考点＜

考点一求函数的极值与极值点

典例1.（2025•辽宁•模拟）已知函数/（工）=处-八则（）

X

A./（力的单调递减区间为（（H）B.“X）的极小值点为1

C./（人）的极大值为-1D./"）的最小值为T

典例2.（2025•云南曲靖•模拟）函数”力=关”的极值点为（）

A.0B.1C.-1D.e

【方法技巧】

1.求函数的极值或极值点的步骤

（1）求导数/'（X）,不要忘记函数/（》）的定义域；

（2）求方程广（%）=0的根；

（3）检查在方程的根的左、右两侧（。）的符号，确定极值点或函数的极值.

2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程/'（x）=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是

否与己知有矛盾.

3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否则不是

极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

跟踪训练1.（2025•河南•三模）已知函数/。）=/m工，则下列结论正确的是（）

A.在'处得到极大值B./*）在彳=正处得到极大值三

Ve2e2

1I

C./（x）在k-处得到极小值-4D./（x）在“。处得到极小值5P

x/e2e2

跟踪训练2.（2025•浙江•模拟）函数/（力=（1-2R'-62工一2的极小值为（）

A.e2-2B.-2e2-2C.2-2e2D.-2-e2

考点二根据极值、极值点求参数

典例1.（2025•黑龙江・模拟）已知》=1是函数/（x）=（ad+3x-3）e'的极值点，则函数/（幻的极小值为（）

A.-3B.-eC.0D.e

典例2.（2025•浙江嘉兴•二模）已知函数〃x）=x3-办?的极小值是T,则实数（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）验证：因为某点处的导数值等于。不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验

证根的合理性.

2.注意

（1）导数为零的点不一定是极值点.

（2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程「。）二0的根的情况进行讨论，分两个层次

讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小.

跟踪训练1.（2025•宁夏•一模）若函数"幻=（/一如一2卜.'在人.=_2处取得极大值，则/（“）的极小值为

（）

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.-e

跟踪训练2.（2025•吉林长春•一模）已知函数/*）=x（x-a『的极大值为上，则〃=（）

考点三求函数的最值（不含参）

典例1.（2025•江苏南京•三模）已知函数/（"=加一'则当xe［0,2］时，/"）的最大值为（）

31八24

A.-R.-C.-D.—

eeee

典例2.（2025•湖北黄冈三模）已知函数/（x）=2cosx+sin2x,则/（x）的最小值是（）

A.-45B.-手C.-2&D,-3

（方法技巧］

求函数/（"在闭区间口句上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/（。），/伍）与

/（X）的各极值进行比较得到函数的最值..

跟踪训练L（2025•河南驻马店殖拟）函数〃x）=x+8SX在区间兀上的最大值为（）

—花.7T

A.兀B.—FIC.-D.it—1

22

跟踪训练2.（2025•北京•模拟）已知函数-2，，则（）

A.函数“X）没有零点

B.函数f（x）有最小值

c./（X）在R上单调递增

D.存在用eR,对任意wR,有

考点四求函数的最值（含参）

典例1.（2025•福建•模拟）（多选题）已知函数/（x）=f-6，-汇+〃，则下列说法正确的是（）

A.对任意的实数。，b,函数/（工）恒有两个极值点

B.设“1，4为/（、）的极值点，贝咋G-XJAJS

C.当。=1时，若“X）在（一3,阳）上有最大值，则-!＜〃?小

D.若/（力+/（1-力二%一4,则。=]

典例2.（2025•江西•模拟）已知函数f（x）=adn%73£R）.

⑴若,不等式/"）之-1恒成立，求实数a的取值范围；

1935

⑵当。=1时，记函数g（x）=ln（x+l）-/（x）的最大值为加，证明：,“＜木.（参考数据：In0.405,In0.916）

【方法技巧】

若所给的闭区间[〃力]含参数，则需对函数/（力求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而

得到函数/（"的最值.

\[X2+2x,X＜0

跟踪训练1.（2025•四川成都•三模）若函数1*-31+。/＞0的值域为卜1,心），则实数。的取值范围

是.

跟踪训练2.（2025•湖南岳阳,模拟）已知函数/（x）=a（x-l）71nx,旦/（x）W0.

⑴求。；

⑵已知/'"）为函数/（X）的导函数，证明：对任意的。＜为＜七,均有/'"）＞"工）一；

⑶证明：对任意的〃wN*,均有一二+一二+…+丁二＜ln2.

n+2〃+32/1+1

考点五根据最值求参数

典例1.（2025•江苏扬州•三模）若函数/（x）=a©+a）-x的最小值为2,则实数。的值是.

典例2.（2025•上海•模拟）已知函数/（x）=hu-⑪-2在区间（L2）上存在最大值，则实数。的取值范围

为•

【方法技巧】

1.求函数/（%）在［a,0上最值的方法

（1）若函数/（%）在区间口切上单调递增（或单调递减），则/（Q）为最小值（或最大值），f（b）为最大值（或

最小值）.

（2）若函数/（乃在闭区间口句内有极值，要先求出口,0上的极值,再与/'（a）/（b）比较，最大的是最大值，最小

的是最小值,可列表完成.

（3）若函数/（%）在区间（a,b）上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实

际应用中经常用到.

2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围.

跟踪训练1.（2025・湖北十堰•模拟）若函数/"）=lnx+ar在定义域（0,+⑹上的最大值为〃，则当岫取得最

小值时，实数〃=.

1Q

跟踪训练2.（2025•重庆•模拟预测）若DxeR,这2十士的最小值为:，则〃=（）

A.'B.?C.:或？D,工

44444

考点六函数单调性、极值、最值的综合应用

典例1.（2025•江苏连云港•模拟）若函数〃力=|1时-如在区间（0,4）上有三个零点，则实数。的取值范围

为（）

（m22、fln2nFln221Fln2l'

A.—B.—C.—D.—

I2ejI2ejL2ejI.2e」

典例2.（2025•江西•模拟）已知函数

⑴当a=l时，求曲线尸/3在点（2JQ）处的切线方程；

⑵若/3有极小值，且小）之243g求〃的取值范围.

【方法技巧】

1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.

2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.

3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.

4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.

跟踪训练1.（2025•云南玉溪•模拟）（多选题）函数〃x）=hu■-以+1有两个零点内,七（改〈%2），下列说法

正确的是（）

A.0<6,<1B.x-X)>—IC.工L<1D.芭+x>>一

2a'a

跟踪训练2.(2025•河北秦皇岛•模拟)已知函数/。)=屋(。〉0,且"1).

⑴当a=e时,证明：f(x)>\+x.

⑵若不等式《」之/(文)恒成立，求。的值.

x

考点七：不等式恒成立与存在性问题

典例1.(2025•四川成都•二模)若函数/("=Q血(工+1)有极值，则。的取值范围为()

A.(-<x),o)u(e,+a>)B.(-a9,0)^J(e2,+a>)

C.D.

典例2.(2025•湖北武汉•模拟)已知/(.r)=(ar-a-l)e'+x+l,若0是的极小值点，则。的取值范围

为()

A.(fl)B.(f,0)C.[0,4-oo)D.(1,-Hc)

【方法技巧】

1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题.

2.a>f(X)恒成立转化为Q>/'(X)max；

a</(%)恒成立转化为a</,(x)min;

a>/(x)能成立转化为Q>/(x)min：

a</(%)能成立转化为Q<f(x)max・

跟踪训练1.(2025•重庆沙坪坝•模拟)已知函数/(幻=1幅+1)-加有两个极值点，则实数〃的取值范围为

()

A.S,-2)B.卜8,一；)C.卜-—J50,+8)D.卜

跟踪训练2.(2025•甘肃白银•三模)已知函数/(x)=3sin+在(0,功上恰有两个零点，两个极

值点，则。的取值范围是()

,(791「57]「59]D-75]

A.I—,一B.C.一,11-L?iJ

(44J[44J144)

A三阶突破训练＜

基础过关

1.已知函数/（x）=4,teJe2x—2e'，/。）为八幻的导函数，g（x）=Z孕，则（）

e

A.g。）的极大值为4e=2,无极小值

B.8。）的极小值为4c2—2,无极大值

C.g（x）的极大值为41n2-2,无极小值

D.g*）的极小值为41n2-2,无极大值

2.（2025•广西•模拟）函数〃工）=父+火在x=l处取得极小值，则极小值为（）

A.1B.2C.-2D.-1

3.（2025•浙江•模拟）已知函数/"）=•?—3/,则（）

A.函数的极大值点为（0，。）

B.函数八刈的极小值为2

c.过点（-1,0）作曲线），=/。）的切线有两条

D.直线3x+y-l=。是曲线），=/（©的一条切线

4.（2025•辽宁大连•三模）已知/（x）=xe"-hu-以，若存在XO£R,使得/（不）=1,则实数。的取值范围

是（）

A.（一WB.-%+0°）C.（一））D.（（）《

5.（2025•河南驻马店•模拟）己知函数/3=2sin"用（。＞0）在区间（0,兀）上恰有3个极值点，则回的

取值范围为（）

8HII17

C.4]

A.357。，D.~6'~6

7.（2025•江西•模拟预测）已知函数/恰有两个极值点，则实数〃的取值范围是（）

A.（y,y）B.（—,-2e）C.（一2e,0）D.（-oo,-2e）U（0,+^o）

„y,•I

8.（2025・安徽•模拟预测）已知〃x）='若函数）=/（力有两个极值点，则实数。的取值范围

是（）

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,3)D.(0,3]

9.（24-25高三下•广东•开学考试）已知函数/（x）=f+2x+cos（x+l）+。的最小值是—3,则。=,

10-(2。25•湖南常德一模)若函数H)4\-a0x,mx<1有最小值，则实数〃的取值范围是.

能力提升

1.(2025•四川自贡三模)函数〃X)=(X-5)2(X-〃)，若/(x)在(4"3)有最大值，则实数。的取值范围是

()

A.(-4,5)B.C.(T,？)D.(—4,5]

2.(2025•江苏连云港•模拟)若函数/3=|lnx卜奴在区间(0,4)上有三个零点，则实数〃的取值范围为()

3.(2025・重庆•三模)(多选题)已知，")=丁+。「+1(。€1i),则()

A.34/GR,使得八刈是增函数B.V6/GR,函数/3)均存在极值点

C.V«>0,函数只有一个零点D.V«<1,且xR,有/(x)K3

4.(2025・江苏•一模)(多选题)己知函数/(xhgV—V+i,其导函数为/，(力，则()

A.直线)，=-2x是曲线y=的切线

B./(%)有三个零点

c.r(2-x)=r(.v)

D.若/")在区间(a,a+4)上有最大值，则〃的取值范围为(Y,o)

5.(2025・福建三明•三模)已知函数/("=d(加-％+1)存在最小值，则实数。的取值范围为.

6.(2025•八省联考)已知函数f(x)=aln%+g—%.

(1)设a=l,b=-2,求曲线y=/(x)的斜率为2的切线方程；

(2)若x=l是/(%)的极小值点，求b的取值范围.

7.(2025•广东广州•模拟)已知函数〃x)=sinx—aln(x+l),xe[0,l],其中awR,曲线)，=〃x)在点

(0,/(0))处的切线方程为y=0.

⑴求。的值：

(2)求/(x)的最小值;

(3)设〃wZ,若e'in’一lnx+f一法一1>。对Uw(05恒成立，求人的最大值.

8.(2025•湖北黄冈•模拟)己知函数/(x)=e="2.

(1)若々=1,证明：函数”.r)在R上单调递增;

⑵若函数/W有三个零点，求〃的取值范围.

9.(2025•甘肃甘南•模拟预测)已知函数/(x)=gx2+3inx-4心(Q0).

⑴若)1=1,求曲线>=fM在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵求函数/。)的单调递增区间；

(3)若4=1,方程/(幻=。有三个不相等的实数根菁,为必且证明：A--X3>-4.

10.(2025•甘肃白银•二模)已知函数f(x)=e'-a〕awR),

(1)当。=0时，若直线/过原点且与曲线y=/(x)相切，求/的方程.

⑵若关于x的方程〃力=。恰有两个不同的正实数根内，吃，求的取值范围.

真题感知

1.(2025年新课标全国II卷数学真题)(多选)已知/(幻是定义在上的奇函数，且当x>0时，

f(x)=(x2-3)er+2，贝！J()

A./(0)=0

B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2

C.f(x)..2,当且仅当X..A/5

D.x=-l是的极大值点

2.(2024年新课标全国H卷数学真题)(多选题)设函数/⑴=2/-