北京市朝阳区高一数学上学期期中考试试题（解析版）

北京市朝阳区高一数学上学期期中考试试题（解析版）

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1已知集合"二N={x|-1vx<3},则（）

A.{x|-4<x<3|B.{x|-l<x<1}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4）

【答案】A

【解析】因为集合屈="|一4<xWl},N={x\-\<x<3}t

所以{x|-4<x<3},

故选：A.

2.下列关系中正确的个数是（）

①;EQ;②R；③OwN；④兀cZ

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对①：L为有理数，则成立，①正确；

22

对②：上为实数，则、巧1R不成立，②错误；

对③：0为自然数，OwN成立，③正确：

对④：兀是无理数，不是整数，则兀£Z不成立，④错误；

故正确的有2个.

故选：B.

3.“。>0”是“关于工的函数歹=⑪+仇。。0）单调递增”的（）

A.充分不必要条件R.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当。>0时，由一次函数的性质得，函数>=斜+65。0）单调递增，故充分；

若函数歹=办+伙单调递增，则。>0,故必要；

所以“〃>0”是“关于x的函数歹="+久。W0）单调递增”的充要条件，

故选：C

4.设x=2a(a+2),y=(a-l)(a+3),则两数最精确的关系是()

A.B.X>yC.x<yD.x<y

【答案】A

【解析】因为x-y=2〃(〃+2)-(〃-l)(〃+3)

=2a2+4a-(a2+2a-3)

=2a2+4a—a2—2a+3

=a2+2a+3

=(a+l)2+2>0,

所以x>y,

故选：A.

5.若Q,〃wR,则下列命题正确的是()

A.若a>〃，则/B.若a/b,则/工〃

C.若〃<网，则D.若。>w，则/〉/

【答案】D

【解析】对于A：当。=0,6=-1时满足〃>人但是/<〃，故A错误；

对于B：当a=l,6=-1时满足。工6,但是/=〃，故B错误；

对于C：当。二一2,〃=—1时满足。<网，但是/>〃，故c错误；

对于D：若a>闷，则同,国皆0,所以时>时,则于>从,故D正确;

故选：D

6.一元二次不等式2工2-工-1<0的解集是(

1

A.—co,----U--(1，+8)

2

C.(-oo,l)U(2,+oo)D.(1,2)

【答案】B

【解析】不等式2/一工一1<0可化为(x-l)(2x+l)<0,

解得—<x<1,

2

・..不等式的解集为(一g,l).

故选：B.

7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是()

A.y=A/X+1•Jx-l,y=\lx2-1B.y=,s-(")

c.y=---,nt=/?+1D.y=k|，i/=G

x—1

【答案】D

【解析】对于A中，函数y=&TGT的定义域为［1,+8)，

-47二1的定义域为(-8，-1］141,+8),

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；

对于B中，函数5=(〃)2的定义域为［(),+8),

y=J7的定义域为R,

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；

对于C中，函数的定义域为(-8/)U(l,+8),

X—1

m=774-1的定义域为R,

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；

对于D中，函数歹二区的定义域为R,

u=的定义域为R»且〃==|v|,

所以它们是同一函数，故D正确；

故选：D.

8.函数丫=仅一3|一伙+1|的()

A.最小值是0,最大值是4B,最小值是一4,最大值是()

C.最小值是一4,最大值是4D,没有最大值也没有最小值

【答案】C

-4,x>3

【解析】因为y=|x—3|一|x+1尸<2—2x,-l<x<3,所以最小值是一4,最大值是4,选

4,x<-l

C.

y1

9.若实数x>0,歹>0,且x+2y=l,则二一+丁()

x-¥y2y

A.有最大值为gB.有最小值为0+；

C.有最小值为2D.无最小值

【答案】B

【解析】因为x+2y=l,

所以上+;=u

x+y2yx+yx+y2y

当且仅当1

x+y2y

即x=3-2上,y=夜—1时取“二”，

故选：B.

10.已知函数/(x)是R上的增函数，A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,

那么，(x+i)卜1的解集的补集是()

A.(-1,2)B.(1,4)

C.(-oo»1]U[4»+co)D.(-co,-1]U[2»+8)

【答案】D

【解析】不等式|/&+力<1可变形为一

5(3,1)是函数“X)图象上的两点，.・・/(0)=-1,/⑶=1,

••・7</(》+1)<1等价于不等式/(0)</(x+l)</(3),

又因为函数/'*)是R上的增函数，

・•・/(0)</(x+l)</(3)等价于0cx+1<3,

解得一l<x<2,

•••不等式1/(工+1)1<1的解集为：(-1,2),

・•・其补集为：(f,T]U2+8).

故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.己知集合力={珅<x<2},8=卜卜<力，若AjB,则。的取值范围是.

【答案】[2,+8)

【解析】•・•集合4={x[l<x<2},5={X|X<Q},AqB,

：,a>2,

・・・。的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+8).

12.用符号语言表示命题：对于所有的实数x,满足工2一、+1=0：；该命题的

否定为：.

【答案】①WxeR,x2-x+l=0：②％£R，x^-x0+l^O.

【解析】命题”对于所有的实数x,满足工+1=0”的符号语言表示：VA-G/?,

x2-x+l=O;

2

该命题的否定为：3x0GR,xo-xo+l^O.

2

故答案为：WxeR,x-x+1=0：3x0GR,x0~—x04-10.

4

13.已知x>l,则_)，=工+------1的最小值为________.

x-1

【答案】4

44r"4~

【解析】因为x>l,所以>=x+-----1=%-1+---->2J(x-l)x----=4,

11jX1

4

当且仅当》-1=——，即x=3时等号成立.

x-1

故答案为：4

14.若不等式ad+2x+G<0对一切xcR恒成立，则。的取值范围是.

【答案】(-oo,T)

【解析】当。=0时，则4/+2x+a<0化为2x<0(不恒成立，舍)，

a<0

当。工0时，要使4/+2》+4<0对一切xsR恒成立，需匕/2八，即。<一1，

4-4。“<0

即〃的取值范围是(-2-1).

故答案为：(一8,-1).

15.已知/(x)是偶函数，当XV。时，/(x)=x(x+l),则当入>0时，/(x)=.

【答案】x(x-l)

【解析】由X>0,则T<(),且函数/(X)是偶函数，故当x>0时，

/(X)=/(T)=(r)(r+l)=x(x-l)

故答案为：X(x-1)

16.若/(x)=『+1，X>0,若/(工)=10贝IJX二______.

-2x,x<0

【答案】3或一5

【解析】当xWO时，由/(x)=l(),得—2x=10,解得x=-5.

当x>0时,由/㈤=10,得/+1=10,

即/=9，所以解得x=3或工=一3(舍去).

故答案为：3或-5.

三、解答题：本大题共4小题，共30分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设集合4={1,4"},8={1,/},且力口3=优求x的值.

解：・.・ZnB=6，...力={l,4,x},8={1,x2]

根据集合的性质，当4=/，解得：工=2或-2，

当x=/时，解得x=l或0,根据集合的互异性可知，xwl,

故x=0,2或一2.

18.某广告公司要为客户设计一幅周长为/（单位：〃]）的矩形广告牌.，如何设计这个广告牌

可以使广告牌的面积最大？

l-2x

解：设广告牌的长为xm,则宽为-----m.

2

/,,/（I\

设广告牌的面积为则歹=》•一^^=—-+不，0<x<-.

当X=—1/时，y取最大值,此时宽为“/_7X4—/L.

4----------=—/m

24

，当这个广告牌为边长为,版的正方形时，面积最大.

4

19.已知基函数歹=X"/-2"3（"?£N'）的图像关于歹轴对称，且在（0,+8）上是减函数，

（1）求"2的值.

ntnt

（2）若m+i）F<（3_2a）-§，求a的取值范围.

解：（1）因为基函数y=x"'—2"3（〃ZEN'）在（0,+8）上单调递减，

所以一2加一3<0，解得-

又加wN*，所以"7=1,2，

当〃7=1时，y=x~4,

当〃？=2时，y=x~3^

因为函数图像关于N轴对称，

所以〃/一2〃?一3是偶数，

因此〃2=1；

mmI1

（2）由⑴可得〃2=1,故（a+尸<（3-2a户为（口+1尸<（3-24卢，

因为y=在（一8,0）,（0,+8）上均为减函数，

所以(a+Ip<(3-2a)~3等价于:

〃+1>3—2〃>0或3-勿<。+1<0或。+1<0<3-2a,

23

解得4V—1或一<〃<一,

32

23

故。的取值范围为{4或1vac]

1

20.已知函数/("=奴++—^―,aeR.

x+1x-\

(1)判断函数/(x)的奇偶性，并说明理由;

(2)当a<2时，证明：函数/(x)在(0,1)上单调递减；

(3)若对任意的xw(O1)U(l,+8)，不等式(x—1)[/(力一：20恒成立，求。的取值

范围.

(1)解：函数为奇函数，理由如下：

函数的定义域为卜,工±|},关于原点对称.

门、11(11)〃、

J(-x)=-ax+------+-------=-\ax+--+--=-f(x),

—X+1—X—1\X+1X~\)

所以/(工)是奇函数.

(2)证明：任取0(演<1,

则

f(x])-f(x2