苏科版八年级数学上册《等腰三角形》同步练习题（带答案解析）

苏科版八年级数学上册《1.5等腰三角形》同步练习题（带答案解析）

一.选择题（共6小题）

1.一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°,则它的底角为（）

A.40°B.70°C.100°D.100°或70°

2.已知等腰三角形的周长为12,一边长为5,则它的腰长等于（）

A.5B.2或5C.3.5D.5或3.5

3.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（）

A.NB=NCB.AB=2BD

C.AD平分N8ACD.AD1BC

4.如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7（单位:

cm）,则CO的长度为（）

5.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角N"AC=30°,梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离

8c长为（）

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C.3米D.1.5米

6.如图，在△ABC中，。是AC的中点，CEJ_A8,8。与CE交于点0,且BE=CD.下列说法错误的是

)

A.8。的垂直平分线一定与/W相交于点E

B.ZBDC=3ZABD

C.当E为AB中点时，△A8C是等边三角形

D.当E为48中点时当蝮=：

SdAEC4

二,填空题（共10小题）

7.已知等腰三角形的一边长等于11cm,一边长等于5c〃?，它的周长为.

8.如图，已知NAO3=60°，点。在边04上，OP=8,点M.N在边08上，PM=PN.若MN=2,则

0M的长是

9.如图，等边△A4C的边长为2.点。在边AC上，过点人作AE〃8C交8。的延长线于点E,若B1ABE

=8,则CO的长为____________________

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AE

10.如图，在△ABC中，AC=6,以人为圆心，AB为半径画弧，交BC于点O.若M、N分别是BO,AC

的中点，则MN的长为.

II.将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若/W=l2a〃，见AAC尸的面积为.cnr9.

NAC3的平分线相交于点F过r作QE〃8C,交AB于点D,交AC

于E,那么下列结论中:①△4QP,ACEF都是等腰三角形;②。E=Q8+CE；③△AQE的周长等于A4+/3C；

④凡其中正确的是.（填写正确的序号）

13.在△ABC中，N4=30°,AB=6.若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定,

则BC长的取值范围是,

14.如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为2〃?，倒下部分与地面的夹角为30°,

则这棵树在折断前的高度是m（假设该树在折断前与地面垂直）.

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15.如图，。为△ABC内一点，AD1CD,AO平分NC4B,且/QCB=N8.如果AB=10,AC=6,那么

CD=_______

16.如图，已知N/AO6=a(0。<a<60°),射线QA上•点M,以OM为边在O八下方作等边△OMN,

点尸为射线OB上一点，若NMNP=a,则NOMP=

三,解答题(共4小题)

17.已知△ABC中，AB=ACfAB边上的垂直平分线。£交AC于E,。为垂足.

(I)若AB=7,BC=5,求ABC石的周长;

(2)若BE平分/ABC,求NA的度数.

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18.如图，在△48C中，AB=AC,ZABC,NAC8的角平分线交于点O.

（1）△O8C是等腰三角形吗？为什么？

（2）连接人O,人。是BC的垂直平分线吗？为什么？

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19.图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2,当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与5之间的距

离为8c/〃，双翼的边缘4c=80=50。/〃，且与闸机侧立面夹角NPCA=N8OQ=30°,求当双翼收起

时，可以通过闸机的物体的最大宽度.

图1图2

20.如图，在△A8C中，NC=90°,NA=30。，/W=60cw,动点尸、Q同时从A、8两点出发，分别在

AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2c〃而，点Q的运动速度为\cmls,当点P到达点8时，P、

Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.

(1)当，为何值时，〃。为等边三角形？

(2)当I为何值时，△PBQ为直角三角形？

BX?

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参考答案与解析

一,选择题(共6小题)

1.【解答】解：•・•等腰三角形的装饰品的顶角为40°

・•・等腰三角形的装饰品的底角为：|x(180°-40°)=70°

故选：B.

2.【解答］解：当腰为5时，三边为5,5,2能构成三角形；

当底为5时,腰为3.5,3.5,也能构成三角形.

所以这个等腰三角形的腰长为5或3.5.

故选：D.

3.【解答】解：・・・4B=AC

：,ZB=ZC

*：AB=ACf〃是8c中点

•••AO平分NB4C,ADA.HC

所以，结论不一定正确的是4B=28O.

故选：B.

4.【解答】解：D,B对应的刻度分别为1,4,7

，AO=4・1=3(cm),BD=1-4=3(cm),AB=1-1=6(cm)

:.AD=BD

NAC8=90”

：.CD=^AB=3Can).

故选：A.

5.【解答】解：由图可知，在中

•・・/BAC=30°,AB=6米

1

：.BCAB=3米

故选：C.

6.【解答】解：连接。E,如图1所不：

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EZ-

//O\

B图］，

•：CE±AB,点少是/AC的中点

，OE为RlAAEC斜边上的中线

:.DE=AD=CD=1AC

,:BE=CD

：.BE=DE

・・・点E在线段BD的垂直平分线上

即线段8。的垂直平分线一定与A8相交于点£故选项A正确，不符合题意:

设NA8D=a

VBE=DE

：.ZEDB=ZABD=a

：.ZAED=NEDB+/ABD=2a

'：DE=AD

••・/A=NAED=2a

JZBDC=ZA+ZABD=3a

即N8OC=3NA3。，故选B正确，不符合题意；

当后为A8中点时，则=

VCE±AB

:.CE是线段AB的垂直平分线

：.AC=BC

11

•JBE=^ABCD=^ACBE=CD

：.AB=AC

：.AC=BC=AB

・•・△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；

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连接A。，并延长交8c于F,如图2所示:

图2

当E为A8中点时

•・,点。为AC的中点

・•・根据三角形三条中线交于一点得：点厂为8c的中点

•・•当七为/W中点时，△A8C是等边三角形

・・・NABC=/BAC=60°,AF1BC,4尸平分NO4C,平分N4BC

・・・NOBC=NO4C=30°

：.OA=OB

在RtaOB/中，OB=2OF

：,OA=OB=2OF

：.AF=OA+OF=3OF

13

-

2一

:,S^OBC=.OF2

YE为A5中点

13

ASA4EC=尹"BC=制C•。产

・S^OBC_2_2

•♦

S—EC-3

4

故选项。不正确，符合题意.

故选：。.

二,填空题（共10小题）

7.【解答］解：当等腰三角形的腰长为5a〃时，则该等腰三角形的三边长分别为Uc，〃，5cm,5cm

V5+5<11

・••此时不能构成三角形；

当等腰三角形的腰长为11（7〃时，则该等腰三角形的三边长分别为llcm,lie”?，5c7〃

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VII-5<11<11+5

,此时能构成三角形

・••该等腰三角形的周长为11+11+5=27。/〃：

综上所述，该等腰三角形的周长为27c〃？

故答案为:27cm.

8.【解答】解：过P作PD10B于点D

VZODP=90°，NPOD=60°

・・・NOPO=30°

I1

：.0D="P=^x8=4

，：PM=PN,PDLMN,MN=2

1

：.MD=ND=^MN=1

：.OM=OD-MD=4-1=3.

故答案为：3.

9.【解答】解：:△ABC是等边三角形

AZACB=60°,AC=BC=2

*：AE//BC

•••ND4£=NAC/3=60。（两直线平行，内错角相等）

NADE=NCDB

:.△ADEs^CDB

ADDE

=—（相似三角形对应边成比例）

CDDB

设CO=x,则AD=AC-CD=2-x

•DE2-x

DB_x

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:・DE=^^DB

x

2-x2

：.BE=BD+DE=BD+—BD=-BD

xx

•:BD*BE=8

2

：.BD-BD=

x8

即BD2=4X

过点B作BHLAC于点H

「△ABC是等边三角形，AC=2

：.CH=^AC=1,BH=V5C2-CH2=V3

：.DH=\CH-CD\=\\-x\

在RtZXAHO中，BN=BH?+DH2=3+(1-x)2

・・・4x=3+(1-x)2

解得X=3±V5

V0<x<2

/.x=3-y/5

即CD的长为3-V5

故答案为：3-V5.

10.【解答］解：如图，连接八D、AM

贝ijAB=AD

•••△43。是等腰三角形

,:M是的中点

：,AMLBD

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•・・N是AC的中点，AC=6

.*.M/V=|AC=1x6=3

则MN的长为3

故答案为：3.

11.【解答】解：•・•将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，AB=\2cm

，NACB=90°,N6=30°

.*,AC=iAB=6cm

•・・NACE=90",ZCAF=459

：.ZCAF=ZCFA=45°

：•CF=AC=6cm

11

X2o

•9•ShACF=2-CF=26X6=18cm

故答案为：18.

12.【解答】解：①・・・/8、NC的平分线相交于点产

・•・NDBF=ZCBF,ZECF=4BCF.

,/DE//BC

/.NBFD=NCBF,ZCFE=/BCF

：.ZDRF=ZRFD,ZCFE=ZECF

：.BD=FD,CE=EF.

:•△BDF,ZXCE尸都是等腰三角形.故①正确；

②根据①得。£=OF+EF=OB+CE.故②正确；

③根据②得AD+DE+AE=AmBD+AE+CE=AB+AC.故③正确；

④A3和4C不一定相等，・•・4"和C尸不一定相等.故④错误.

故答案为；①②③.

13.【解答］解：如图所示，过点8作交直线AC于点/)

B

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，ZADB=90°

VZA=30°,AB=6

：,BD=^AB=3；

:.BCNBD；

由垂线段最短可知，当8c=3时，此时点。与点。重合，对应的△A8C的形状、大小都唯一确定：

当6C芬6时，点C只能在线段AD的延K线上，此时对应的△A6C的形状、大小都不能唯•确定；

当3VBCV6时,此时点C在线段A。上和点。在线段/I。的延长线上都符合题意，即此时对应的△ABC

的形状、大小都不能唯一确定；

故答案为：8C=3或8c26.

依题意得：AC1BC,且AC=2/〃，NABC=30°

・•・△ABC是直角三角形

在RtaABC中，ZABC=30°

，AC=^AB

：,AB=2AC=4m

・・・A3+4C=2+6=6(m)

・•・这棵树在折断前的高度是6〃i.

故答案为：6.

15.【解答］解：如图，延长CO交于E

\*CDA-AD

：.NADE=ZADC=90°

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•••4。平分NCAB

：.ZEAD=ZCAD

ZAED=ZACD

*.AE=AC=6

；・DE=CD

•：AB=\O

/.BE=10-6=4

*：ZB=ZBCD

：.BE=CE=4

:・CD=1CE=2.

故答案为：2.

16.【解答】解：(1)当产位于MN左侧时，如图1

•••△OMN是等边三角形

:,MN=MO=ON,/MON=/MNO=60°

*：/MNP=/AOB=a

，/尸0N=ZPNO

:.PO=PN

△MPO也/\MPN,(SAS)

JZOMP=/NMP=|ZOMA=1x60°=30°

(2)当。位于例N右侧时，如图2,将△MNP绕着点"顺时针旋转60°得到4仞。。

此时△MPQ是等边三角形

NMPQ=60°

JNOMP=180°-NMPQ-/MO尸=180°-60°-a=1200-a

故答案为：30°或120°-a.

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3/

B

三,解答题(共4小题)

17.【解答】解：(1)\'AB=AC,AB=7

・・.AC=7.

••,A/3边上的垂直平分线。E交AC于E,。为垂足

：.AE=BE

：,BE+EC=AE+EC=AC

AABCE的周长=8E+EC+BC=AC+BC=7+5=12；

(2)TAB边上的垂直平分线OE交A。于E,。为垂足

：,AE=BE

NA=NABE

七平分N/18C

：.ZABE=ZCBE

'：AB=AC

・•・ZC=ZABC=2ZABE=2ZA

NA+NA8C+NC=180°

即：5ZA=180°

・・・NA=36°.

18.【解答】解：(I)AOBC是等腰三角形