《数列》全章综合测试卷（提高篇）-人教A版高中数学必修第二册（解析版）

第四章数列全章综合测试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

n

1.（5分）（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛5｝中，di=2,Sn+1=2an+Sn,则&=（）

A.228B.229C.230D.231

【解题思路】先应用an=Sn-Sn_i得出咏=2r再应用累乘法得出通项公式即=2?，代入即可求值.

an

【解答过程】由题得自+1=2%小即皿=2",

an

所以殳=21,%=22,…，工=2时1,

ala2an-l

将上面n-1个式子两端分别相乘，

可得生=21+2+3+…+（n-l）,

,%一

n（n-i）M-n+2

即5=2x2-2-=2-2~,

所以=229.

故选:B.

2.（5分）（23-24高三•全国.对口高考）己知f（九）=1+3+：+…+乂九€V），证明不等式/■（2力＞5时，

f（2〃+i）比/（2与多的项数为（）

A.2k-1B.2kC.2k+1D.2fc+1

【解题思路】由/"（n）的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出「（2日】）和/（29进行比较可得答案.

【解答过程］因为"2"+】）=1+；+抖…+篇，f（2,=1+）9+…+点，

所以「（2"1）-/（2,二舟+号+…+*’

所以八2k+1）比/（29多的项数是2k.

故选:B.

3.（5分）（24・25高三上•山东济南•阶段练习）已知等差数列小｝和等比数列也｝的前ri项和分别为%和加

且$=2几+1,则於=（）

A.9B.10C.11D.12

【解题思路】分别设Hi为几和7；的二次形式，由此求得的，匕5,即可化简后得到结果.

【解答过程】由等差数列｛aj和等比数列｛b｝的前几项和分别为及和〃，

所以可设Sn=kn（2n+1）,Tn=kn,k手0,

所以可得泉=符=若学=11,故C正确.

*45k—4K

故选：C.

4.（5分）（24-25高三上•广西柳州•阶段练习）将自然数1,2,3,4,5,……,按照如图排列，我们将2,

4,7,11,16,……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（）

A.22B.30C.37D.46

【解题思路】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得.

【解答过程】由题意得第I个“拐角数”为2=1+1,第2个“拐角数”为4=1+1+2,

第3个“拐角数”为7=1+1+24-3,第4个“拐角数”为11=1+1+2+3+4,…，

则第八个"拐角数''为1+1+2+3+4+…+几=1+当曳.

对于A：第6个“拐角数”是1+合=22,故A不合题意；

对于B、C：第7个“拐角数”是1+早=29,第8个“拐角数”是1+等=37,

则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；

对于D：第9个“拐角数”是1+等=46,故D不合题意.

故选：B.

5.（5分）（24-25高三上•辽宁沈阳•阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的

三角垛、方垛、刍凫垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层

有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第九层有斯个球，则工+工+工+…+二一的值为（）

ala2a3a2021

A「、

A.4-0-4-4B.-20-2-3—C.-20-2-2D.-20-2-1

2023101220231011

【解题思路】由题意可得册一册-1=n(neN；n>2),用累加法求得斯=华西，从而得工=2(二一白),

NQn九1

再利用裂项相消法求解即可.

=

【解答过程】由题意可得%=1*a2=3,a3=6,a410，…，

于是有对,-a“_i=n(n6N\n>2),

所以%=1,a2—=2,a3—a2=3,

a4-a3=4,…，an—an_x=n,

将以上〃个式子相加，得册=1+2+3+…+/=当辿,

所以2二就不二2（卜京

所以2"…+土=2（1+嘉一战）

2021

=2(1-有）

1011

故选：D.

6.（5分）（23-24高二下.江西赣州.期末）设等差数列｛5｝的前几项和为S,公差为dV0,%V-l,则下

nan

列结论正确的是（）

A.。4+。5+Q18<0B.使得工<0成立的最小自然数n是20

C•居D.包〉旦

【解题思路】根据题意可知数列单调递减且QlO>0,Qli<O,Qio+Qii>O,由通项公式化简可判断A,

由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B,根据图为递减数列即可判断C,由即,又的关系及

S20&2的符号可判断D.

【解答过程】由公差为d<0,也<一1可知，等差数列｛g｝为递减数列且由0>0,%]<0,%0+%1>0,

an

对A,勾+a$+a18=3al+24d=3a9>0,故A错误:

对B,因为由0+。11>0,所以％+。2。=。1。+如1>0,所以§20=迹产2>0，故B错误;

对3因为界二吧学士二：〃+&-g且gvO,所以由一次函数单调性知｛事｝为单调递减数列，所以

器，故C正确;

对D,由B知520>0，且$21=21。11<0,所以$22=$21+。22<°，

S21”=R，若要>浮则7->用，且(Szi—Szu)(Szz—Sz])>。，

s2i-S20a22322一》21a2la22^21~^20->22_<:>21

即S21G22-521)>S22G21-520),即S玄<S22s2。，而S20>0,522<°，

显然矛盾，故包〉也不成立，故D错误.

a21«22

故选：C.

7.（5分）（2024•陕西西安三模）已知正项数列｛的｝的前n项和为区,前71项积为〃，且满足即eN）

则不等式配>11成立的n的最小值为（〉

A.11B.12C.13D.10

【解题思路】根据题意得到3〃+i=Tn+l,再利用构造法得到数列Un为等比数列，从而求得｛%，｝的通

项公式，再利用放缩法，结合等匕数列的求和公式即可得解.

【解答过程】；斯=舟（71€用），，。计1=/、=智，

3/n-l3Tn+1-lTn

3Tn+1=Tn+l,贝旧+1一；二：（北一；）,

vn=1时，%="=Q]=则A—工=%一2=二工0,

1111

3乙-13at-l3226

因此｛〃一3是以;为首项，；为公比的等比数列.

£63

所以即

根据题中条件3念7=糊=宅=1-舟，

则册<1,«71=1->1一靠

11

因此Qi+a2+。3+…+册>九一2G+京+京+…+亲）=九一2・3=n-1+a.

当九=11时，。]+。2+。3+…+<11：

当?1=12时，%++。3+…+。12>12—1+左=114-白>11.

•5

综上，不等式S7t>11成立的九的最小值为12.

故选：B.

8.（5分）（23-24高三下•云南大理•阶段练习）已知数列｛册｝满足：册+i=W（a€R,n€N"），且臼=；,

Qyj+12

则下列说法错误的是（）

A.存在aWR,使得数歹1」｛2｝为等差数列B.当。=一1时，a200=3

C.当a=2时，ax<a2<a3an<y/2D.当a=4时，数列是等比数列

【解题思路】通过倒数法可推导得到A正确；利用递推关系式可推导得到即+4=即，知数列周期为4，由

此可得B正确；利用递推关系式可得%喈=必<0,可知C错误；通过构造法可推导得到符合等比数

an一戏一+1

列定义式的形式，知D正确.

【解答过程】对于A,当Q=o时，册+1=37,•••二一=匣已=上+1，

心+1an+1anan

又2=2,.••数列｛2｝是以2为首项，1为公差的等差数列，A正确；

1

对于B,当°=一1时，。什1=巧!，an+2=—==--»

5an+l+i元+12即即

•t-0n+4=---—=一;=册，二数列｛册｝是周期为4的周期数列，

限2--

又G3=-高=-2,•••a4==3,•••a200=a50x4=a4=3,B正确；

对于C,当a=2时，即+1=呢上，

若a”>0,则Q,t+i>0,又%=3>0,.,.对于任意的几WN*,都有即>0：

由*L器得：联「&=罂-&=鱼嘴产，

二一+L?=—<0,

<»n-v2an+l

若每<4+】〈或，则皿等>0,与3或=上普<（）矛盾，c错误；

“"Ian-V2an-\i2an+l

对于D,当a=4时，an+1=

若Gn>0,则。篦+1>0,又％=：>0,.,.对于任意的九6N*,都有%>0；

an+41

...+i+2_陋+2_3弓+6_?an+2歹即+2_尹2_5

•a-2—n„4-4———JX，人—1———，

;t+l-an747[-2-fln+2dn-2a1一2-2-23

•••数列｛籍|｝是以一：为首项，一3为公比的等比数列，D正确.

故选:C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(23-24高二下•辽宁•阶段练习)已知数列｛5｝满足九=2,bn-bnbn+1=1,记数列｛bn｝的前n项

积为与，前几项和为7〉则()

A・力2025二B-7671+]一76兀=_1

C.4=l(n>4)D.72。25s2025=一等

SM-32

【解题思路】由已知计算数列的前几项得出数列的周期性，利用周期性求解判断.

【解答过程】已知数列｛bn｝满足d=2,bn-bnbn+1=1,则％=1-白=；，>3=1-5=-1,84=1一，=

2=瓦，所以数列出工足以3为一个周期的周期数列.

对于A项，尻025=坛=-1，A项正确；

对于B项，"n+l-T6n=坛n+1=d=2,B项错误；

对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则b-2刈-1%=2'(乂(-1)=一1,C项错误；

2025

对干D项，72。25=等乂(2+[_1)=等,S2025=[2X；X(_l)]丁=_1,所以72025S2025=-等，D

项正确.

故选：AD.

10.(6分)(24-25高三上•福建•阶段练习)已知数列｛斯｝的前/;项和为又，(3九+2断+】+(3n-l)Sn_]=

(6n+l)Sn(n£N,Mn>2),若%=｝a2=1,则下列说法正确的是()

A.a5=^B.数列｛J为等差数列

C.数列｛/；｝中的最小项为12D.数歹1」｛机备｝的前2〃项和为18M+12n

【解题思路】首先根据递推关系式以及又与曲的关系求得｛/J的通项公式，则AB可判断；列出展的关系

an+l

式，结合对勾函数的性质即可判断C：利用分组求和、并项求和的方法即可求出Tzn，则D可判断.

【解答过程】依题意(3九+2)(S”+&+i)+(3n-l)(Sn-an)=(6n+l)Sn,

•••(3n+2)an+1=(3n-l)an(n>2),

n

•••(3n—l)an==5a2=1,，a”=~~[-=1满足，

*'•—--------,cic——,••确;

3—3n1,«'•A»BTE

“3n-l14an

...粤=色包=山丘+F+6,

%+i3n-l3n-l'/3n-l

当3n一1>3时递增，当0V3n-1V3时递减，

当n=1时，争二个，

an+i2

当九=2时，尧最小值为与.』.C错；

«n+l52

而上叱=(-l)n(3n-l)(3n+2)=(-l)n9n2+(-l)n(3n-2),

OnGn+i

:.T2n=9(-124-22-32+42-------(2n-l)2+(2n)2)+(-1+4-7+10--------(6n-5)+(6n-2))

=9(1+2+3+4+…+(2n—1)+2n)+3n=切合3+3n=18n2+12n..2正确.

故选：ABD.

11.(6分)(23-24高二下•广东江门•期末)在正项无穷数列®J中，若对任意的neN",都存在meN*,

使得即％+2m=(Qn+m)2,则称｛%｝为加阶等比数列•在无穷数列｛%｝中，若对任意的九WN*,都存在机€N\

使得%+bn+2m=2%+m，则｛5｝称为机阶等差数列，下列说法正确的是()

A.若｛斯｝为1阶等比数列，的+。2+。3=3,%+。4+%=V，则｛即｝为等比数列且公比2

B.若｛%｝为1阶等差数列，他竟共有30项，其中奇数项之和为2(),偶数项之和为50,则｛%｝为等差数

列且公差为2

C.若｛3J为机阶等比数列，则｛也即｝为机阶等差数列

D.若｛%J既是3阶等比数列,又是4阶等比数列，则｛Q“｝是等比数列

【解题思路】对于A,根据题意可得｛a“｝为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前n项和公

式即可得解;对于B,根据题意可得｛%｝为等差数列,根据题意写出++与+坛+…%=20也+<+生+

••・&0=50,两式相减即可得解;对于C,由(即｝为m阶等比数列,可得VnWNlmmWN•，使得每%+2==

(6+m)2成立，再根据m阶等差数列即可得出结论；对于D,根据｛Q“｝既是3阶等比数列，又是4阶等比数

列，可得册册+6=(«n+3)2(VnW旷)与“册+8=(«n+4)2(Vn6N')同时成立，再结合等比数列的定义即可

得出结论.

【解答过程】对于A,因为｛%｝为1阶等比数列，所以。/.2=(&1+1)2,则｛即｝为正项等比数列,

设公比为q,则q为正数,

f的(1+q+q2)=

由已知得］91\

22

^1Q(1+Q+Q)=—,

两式相除得q2=；,所以q=”q=-洽去），故A错误.

T,44

对于B,因为｛儿｝为1阶等差数列，则以+bn+2=2bn+i，则｛匕｝为等差数列.设公差为d.

因为｛%｝共有30项，其中奇数项之和为20,偶数项之和为50.

则瓦+%+生+,「匕29=20,b2+/?4+/?6+-/j3o=50,两式相减得到15d=30,

解得d=2.故B正确.

对于C,因为｛。工为m阶等比数列，

所以VnGN\3mGN',使得册即+2爪=®n+m）2成立，

所以In0n%+2m=In（%+m）2，

又小>0,an+m>0,an+2w>0,

所以1110n+In0n+2m=21nan+m,

即Vn6N\3meN*,lna?i+lnan+2m=21nan+TnJjjcAL,

所以｛Ina”｝为机阶等差数列；故C正确.

对于D,因为｛a“｝既是3阶等比数列，乂是4阶等比数列，

所以即即+6=（«n+3）2（vn6N'）与册即+8=（«n+4）2（vn6N*）同时成立，

所以皿=^（vnGN"）与必=皿（\例€N.）同时成立，

又｛即｝的各项均为正数，所以对任意的

数列%“a心s，册+6,…（V"£寸）和数列0〃,41+4，即+8，・一（^九6N"）都是等比数列,

由数列小g+3，。门+6,…WN*）是等比数列,

得旬+1，出1+4，。《+7,…（V-WN*）也成等比数列,

设况=>o（vneN*）,—=72>0（VneN'）,

anQ1an+l

所以管i=^>o（VneN）所以｛Q,J是等比数列.故D正确.

故选：BCD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（24-25高三上•全国•自主招生）数列｛5｝,%=2,即+i=*（九EN+）,则2022a2023+

i—an

2023a2022=

-7080

【解题思路】由递推关系式求前几项的值，易判断｛即｝是以4为周期的数列，利用周期性求解即可.

【解答过程】由题意可得=2,。2=|=—3,。3=7+1=一；,。4=—\>a5==2，

1—21+3Z1+―31

23

故数列｛即｝是以4为周期的周期数列，

则(；2022=a505x4+2=。2=一3,々2023=a505x4+3=。3=一1

故2022a2023+2023a2022=-1011-6069=-7080,

故答案为:-7080.

13.（5分）（2024高二.全国•专题练习）在等差数列｛4｝中，%=60,a17=12,则数列｛|%|｝的前〃项

3.123,»

--n2z4-—n,n<21

和为4=<3「123____________

-n2-—n+1260,n>22

122

【解题思路】利用已知易求得数列｛斯｝的通项公式的=63-3n,令®>0,可得九<21,分类讨论可求｛|an|｝

的前n项和公式.

【解答过程】等差数列｛即｝的公差为4=等？=与券=-3,

17—116

故通项公式为期=%+(n-l)d=60+(-3)x(n—1)=63-3n.

令为20，W63-3n>0,解得九421,

设&，Tn分别表示数列｛Q?J与数列｛|Q“|｝的前〃项和，

则Sn=迎止皿=一三/2+经儿

222

2

当冗W21时，Tn=\ax\+\a2\+•••+|an|=+a2+•••+an=Sn=-^n+

当>22时，Tn=|aj+\a2\+…+|。2]1+l^zzl+…+|即|=%+做+…+。21一(做2+…+。〃)

=52i-(Sn-521)=2s2i-Sn.

由S21=-1X212+^X21=630,

得7；=2x630一（一日标+含几）=弓标一含几+1260.

—|n2+等n,n<21

故加=

|九2一等九+1260,">22

3.123,»

--n2+—n,n<21

故答案为：Tn=-

-n2-—n+1260,n>22

122

14.（5分）（2024・四川成都•模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”

的称号，用他名字定义的函数/'（X）=团称为高斯函数，其中团表示不超过工的最大整数，如[2.3]=2,[

1.9]=-2,已知数列｛斯｝满足%=Ig=5,an+2+4an=5即+1，若b=口。82册+1]国为数歹"/此二｝的

前九项和，则rs?n,l=2025.

【解题思路】由即+2+4an=5以+1变形为厮+2-an+1=4(an+1-an),得到数列｛%+1-每｝是等比数列,

从而得到即+i-的=4\再利用累加法得到即+]，从而跄=[log20n+J=2n,再利用裂项相消法求解.

【解答过程】解：由即+2+4册=5a“+1得Qn+2-CLn+1=4(册+1-乂。2-%=5-1=4,

所以数列｛册+1—。工是以4为首项和公比的等比数列，故册+1-。〃=41

4,H+1一1

an-1

由累力口法得斯+i=(an+i-cin)+(cin-ctn-i)+…+(2~Qi)+Qi=4"+4+…+4+1=--—,

所以%=[^°g2an+l]=[1°§2~»

4_1n+1n+1

vlog23=log2(4-1)-log23<log24-1=2n+1,

n

又脸4：7>log2s―：)”=log24=2n,Abn=2n,

令=黑=益=2。27(上专)，

•••SQ=R+C2+…+cn_I+cn=2027(1-…-^77)»

•••&=2027(1一击),

代入n=2025得[S2025]=[2027x(1-寂)]=2025.

故答案为：2025.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(24-25高二上♦全国•课后作业)已知函数/•(%)=妥。€/?),设数列｛0｝的通项公式为即=

/­(r)(ne/V).

(1)若册之工，求n的最小值；

(2)若加=a--,试判断｛%｝的单调性.

nan

【解题思路】(1)直接令册=变之工，解不等式即可；

⑵化简以=每一工=黑一《三二1一表一一"2,分析函数g(x)=x=的单调性，即可判断

数列｛瓦｝的单调性.

【解答过程】(I)由题可知时=限(八£")，

若为二与即册=啜之言解得"之5,故最小值为5.

⑵因为%=Qn—a=行一会=1一/一直(代川)，

因为71EN*,所以2n>2,2n—^)

所以1-联对，

令0(幻二%一；，取力,％2€(0，+8)，X1<

则g(%i)-g3)=%】-K%2—J=(%]-%2)(i+表)<o，

所以g(%i)vg(%2)

所以g(x)=x-:在(0,+8)上是递增的，

所以%=1-^一一号(72GN')是递增的，

即数列｛b｝是递增数列.

16.(15分)(24-25高二上•上海・课后作业)设数列3J各项均为正数，且满足*+xl+…+福=2n2+2n

(〃为正整数).

⑴求数列｛』｝的通项公式

2

(2)试用数学归纳法证明:x1x2+x2x3+•••+xnxn+1<2[(n+l)-1].

【解题思路】(1)先根据和项与通项关系求得蟾，解得x〃；

(2)先证明71=1成立，再根据71=k成立推导几=k+l成立即可.

【解答过程】(1)当nZ2时在一域+…+底=2n2+2n,xf+后+…+城=2(n—I)2+2(n—1),

所以以=2n2+2n-2(n-l)2-2(n-1)=4n

当冗=1时％:=2+2=4,=4n,vxn>0,:.xn=2y/n；

2

(2)①当"=1时，x^2=2x2北<2x3=2[(1+I)-1],即？2=1时，结论成立；

②假设当九=k,(k>l,k6Z)H'J,结论成立，即工62十X2X3十…+xkxk+l<2[(k+I)2-1]

2

当九=k+1时,x1x2+X2X3+…+Xkxk+1+xk+1xk+2<2[(k+l)-1]+xk+1xk+2

22

因为2[(k+l)-1]+xk+1xk+2=2[(/c+2)-1]+4VF+1VF+2-2(2k+3)

=2[(k+2)2-1]4-2(，4A2+12k+8-+12k+9)<2[｛k+2)2-1]

即当7l=Z+l时，结论成立；

由①@得，%i%2+X2X3+…+xnxn+l<2[(n+l)2-1].

17.（15分）（24-25高二上•全国•课后作业）已知正项等比数列｛即｝满足。2=3,%-。3=8.

（1）求数列｛&J的通项公式：

（2）若b=2汁+1,请判断是否存在几使得的bV1,若存在，求出71的最大（小）值，若不存在，说明理由.

【解题思路】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式；

（2）由（1）得出品%，判断其虺调性，即可求解.

【解答过程】（1）依题意［%一的T；8,解得q=；或q=—3（舍），

则由=9,即a”=9xQ）n1=Q）n3.

（2）由（1）知a"n=G）A-（2n+l）,则嗜±1=6+焉.

3

\3/anbnG）.（2n+l）6n+3

因为即数歹U｛电器2｝递减，

当九=1时，”=：+2=：<1，所以数列｛即垢｝递减，

Q1/36+39

要使％bn<1,

2

当71=5时，a5b5=*（2x5+l）=^>l,

当?i=6时,a6b6=（J-（2x6+1）=^y<1,

故满足a"n<1的"的最小值为6.

18.（17分）（23-24高二下.天津.期中）己知｛aj是公差为1的等差数列,其前8项和为36.｛%｝是公比

大于0的等比数列，瓦=3,4一灰=18.

⑴求5｝和｛%｝的通项公式;

（2）记.=与誓，求｛7｝的前九项和外；

anan+lDn

（3）证明，A^V：（TIWN"）.

【解题思路】（I）根据等差数列和等比数列的公式，即可求解；

（2）由（1）的结果可知，c”=唆黑,再利用裂项相消法，即可求解；

（3）首先根据不等式各W竽，放缩为求数歹U｛智斗的前n项和为〃，即可求解.

【解答过程】（1）设数列｛时｝的首项为%,公差d=l,则

S&=8%+x1=36,解得：4=1,

所以%,=71,

设等比数列的公比为q，=3,则匕3—52=3q2-3q=18,

解得：q=-2（舍）或q=3,

所以%=3%

2nz+67i+31

（2）由（1）可知，C

nn2(n+l)23nn2-3n-1(n+l)2-3n，

所以无=（1—忘）+（号一册）+（金一总）+…+，

（3）含一普=费鬻40,当n=1时，等号成立,

所以含工鬻

数列｛竽｝的前〃项和为〃，

则%=1+£+3+…+甯,

3.5,2n+1

亦=袤+3+…+竽+3n+1

两式相减得沔=1+*+枭+…+京—瑞，

JOJOJ

IT=1+筹~A）_吧=±_2,

3n1-13n+133n+1

得％=2-等<2,

所以S"会<2〈沁£N）

乙”=1吁14

19.（17分）（23-24高二下•海南省直辖县级单位.阶段练习）设数列｛即｝的前n项和为立.若对任意的正整

数"，总存在正整数机，使得Sn=%n，则称｛斯｝是“H数列

（1）若an=[2n-I^2，判断数列S