2026年中考数学：新定义压轴题 - 答案

【终极猜押】新定义压轴题

一、新定义融合函数

1.（2026•达州）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系

【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个

交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；生两个函数图象有两个交点时，称它

们为“友好函数”，文点为友好点.

根据定义在判定一次屈数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：

【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定.如图1,因为一次函数与反比例函数

图象没有交点，所以它们是“陌生函数”.

【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定.如判定y=2r-1与：的关系时，由函

数表达式得2x・l=。，去分母得2?-x-1=0,因为A=9>0,所以函数图象有两个交

点，故它们是“友好函数”.

【问题解决】

（1）对于函数①y=-|,®y=2x,®y=-3rH.其中①与②是“陌生函数"，①

与③是“友好函数”；

（2）若y\=y（/〃W0）与"=kx+b（A-W0）是“友好函数”，如图2,当y\>yi时，x

的取值范围是x<-3或0Vx<l；若尸?（〃#0）与尸2.6是“相连函数”，则

〃的值为_一搭—；

（3）如图3,过点C（0,6）的直线八，/2对应的函数分别与尸勺（的=0,x<0）,尸

争（心看0,%>。）是“相连函数”，相连点分别为尸，。，八，，2与x轴分别交于4B两

1

【解答】解:（1）对于①与②，联立得一5=2刈

整理得，）+1=0,

••,一+121,

・•・该方程无实数解，艮卬=一|与j，=2x无交点，

，①与②是“陌生函数”，

对于①与③，联立得一［=一3%+1,

整理得，3?-x-2=0,

7

解得％=-a或x=l,

Ay=一。与歹=-33+1有两个交点，

，①与③是“友好函数”，

故答案为：陌生；友好；

（2）由图可知，两个函数的交点的横坐标为-3和1,且在xV-3和OVxVl部分，反

比例函数的图象高于一次函数的图象，

・•・当），1>”时，x的取值范围是xV-3或OVxVl；

联立y=2（九H0）与y=2x-6,得一=2x—6,

X

整理得，2'・6%・〃一0,

当x=（）时，〃=0,与〃K0矛盾，

・・・xWO,

・・3=^（九工0）与y=2x-6是“相连函数”，

...△=（-6）2-4X2X（-H）=0,解得71=-1

9

故答案为：xU-30女OUxUl,2一

（3）设直线人的函数解析式为》=如+6,直线/2的函数解析式为^=履丫+6,

联立尸治x+6与丫=勺，得&%+6=勺，

整理，得理%2+6%-女1=0,

当x=0时，h=0与题意矛盾，

・・・xWO,

2

Vy=to+6与y=乌■是“相连函数”，

△=62-4向(-心)=0,

g

的=-9,即&=一R,

9

・•・直线人的函数解析式为'=-瓦x+6,

q2

将y=O代入y=一西工+6,得x=-kt.

，点4的坐标为A自，0）,

7

同理，点8的坐标为0),

99

:.AB=qk?一五匕=6,即灼-%1=9,

.•.幅+屣=(储-k2y+2kyk2=92+2x(-18)=45.

2.（2026•肇庆二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方

形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”.

（D如图1,菱形的边长为2,设菱形/BCD的对角线ZC,8。的长分别为〃?，〃，我们

将菱形的“相近度”用|m-川表示，即“相近度”=m-〃|,若//5。=60。，求该菱形

的“相近度”；

（2）如图2,已知矩形48CQ的对角线4C,8。相交于点O,设48,8c的长分别为〃?，

〃（〃?》〃），我们将矩形的“相近度”用7一71表示，即“相近度”=m?.

nn

①若N4OZ）=45°,求该矩形的“相近度”：

②如图3,矩形/以CQ的顶点分别在反比例函数y=与（自＞0）和y=与（心＞。）的图象上，

8O〃J，轴，点。的横坐标为3,当矩形的“相近度”为I时，求出i+灼的值.

【解答】解：（1）由条件可得△48C是等边二角形，N＜（M=9（r,

3

••m=4C=4B=2,

：.OA=\,

由勾股定理可得：

OB=yjAB2-OA2-=V22-l2=代,

：.n=20B=2百，

：.\m-n\=|2-2V3|=273-2,

即该菱形的“相近度”为2V5-2；

(2)①由条件可知:

4。/18=Z.OBA=^/-AOD=22.5°,乙OCB=Z05C=1(180°-zFOC)=67.5°,

如图，在上取一点E,使8E=8C=〃，连接CE,

DC

AEB

则/EC8=NCE8=45°,

・•・ZACE=/OCB-ZECB=22.5°,

：.ZOAB=ZACE,

:*AE=CE,

在RtZ\8Cf中，cos乙ECB=^=号,BC=n,

:,CE=6,

*»AE=V2n,

m=AB=AE+BE=\fln+n=(V2+l)?i,

=(v2+1)n=y/i+i,即该矩形的“相近度”为加+1；

nn

②如图，连接AC交〃。于点E,延长月。交x轴于点尸，

OFx

4

•・•矩形的“相近度”为I,即丝=1,

n

：,AB=BC,

・•・四边形/8CO是正方形，

：,BE=AE=CE=DE,

设AE=BE=CE=DE=p,D(3,a),

•・・3O〃y轴，

:.B(3,a+2p),A(3+p,a+p).

由条件可知A」=3(a+2p)=(3+p)(a+p),

解得pi=O，“2=3-a.

.*./?=3-a,

:・B(3,6-67).

由条件可知ki=3(6-a)=18-3a,kz=3a,

，左I+〃2=18・3a+3〃=18.

3.(2026•上海)已知抛物线y=a?+力x+c,其对称轴交x轴于点力，将点/向右平移1个

单位得到点B,点、C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a,则C点是抛物线的“派

生点”，直线4c称为该抛物线的“派生直线”.

(1)若抛物线的解析式为j=2?(c为常数)，求其派生直线的表达式；

(2)已知抛物线的派生点为点C,抛物线与其派生直线y=2x-6的公共点为P(l,阳)，

点。(7,/?)为其派生直线上一点，求监的值，并判断点。是否在该抛物线上.

【解答】解：(1);抛物线的解析式为y=2f・c,

・■•对称轴为直线x=0,即y轴，ci=2,

：,A(0,0),

:.B(1,0),

•・・2a=4,

AC(1,4),

设直线AC的表达式为.卜=依+4

将4(0,0),C(1,4)代入得,

5

(b=0

U+b=4，

解哦普

・•・直线AC的表达式为y=4x,即其派生直线的表达式为y=4x；

(2)将点尸、。代入直线y=2x-6得，m=-4,〃=8,

:・P(I,-4),0(7,8),

设抛物线解析式为y=iix2+bx+c,

则4(一枭0),8(—/+1，。)，。(一名+1，2〃)，

由题可知直线力。解析式为y=2x・6,

(---6=0

则。，

W+l)-6=2a

解得｛£：)或忆卜舍,,

•.•点户在抛物线上，

.*.a+b+c=-4,B|J1-6+c=-4,

解得c=I，

.••抛物线解析式为》=$-6x+l,

当x=7时，y=8,

・・・0(7,8)在抛物线上，

*.*6f=l,b=-6,

:.C(4,2),

:・CP=J(4-1)2+(2+4-=375,CQ=7(7-4)2+(8-2)2=3星,

4.(2026♦河南)定义：若点P,Q在同一抛物线上，且点。的横坐标比点P的横坐标大3,

则称点。是点尸的“黄金搭档点”.例如，抛物线「=/上，点(3,9)是点(()，0)

的“黄金搭档点”.

(1)点彳(0,-3)和点B在抛物线yid+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，

且点6的纵坐标为12.求上c的值.

(2)点M,N在(I)中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”.

6

①若点M,N的纵坐标相等，求点M,N的横坐标.

②抛物线上M,/V两点之间的部分(含N两点)记为图象W,设点M的横坐标为相，

当—3V〃?V0时，若图象K上的最高点和最低点到工轴的距离之和为5,请直接写出〃?

的值.

【解答】解：(1)•・•点8是点力的“黄金搭档点”，，4(0,・3),点8的纵坐标为12,

:・B(3,12),

•・•点4(0,-3)和点8在抛物线y=f+bx+c上，

,(c=-3

••l9+3b+c=12'

解得：｛：=J

3=2

(2)①设点A7的横坐标为I,则点A的横坐标为t+3,

由(I)得y=d+2r7.

•・•点M,N的纵坐标相等，

/.P+2/-3=(/+3)2+2(/+3)-3,解得：t=—

t+3=—4-3=i,

・•・点M的横坐标为-1,点N的横坐标为去

②由(1)得3,

对称轴为直线x=-与■=-1，

乙X11

当x=-1时，y=-4,

・•・顶点坐标为(-1,-4),

当y=0时，/+2「3=(),

・•・(x+3)(x-1)=0,

解得：Xl=-3,X2=l,

・••抛物线与x轴的交点为(-3,0),(1,0),

点N是点〃的“黄金搭档点”，点〃的横坐标为〃?，当-擀VmVO时，

・••点N的横坐标为：切+3,当Vm+3<3,

5

2--<m+3<2,抛物线与x轴的一个交点为(1,0),

7

31

V-5-(-1)<m-(-1)V-1-(-1),即一掾Vm+lV0,3-(-l)<7n+3-(-l)

3

<1-(-1),即］Vm+4<2,

・•・此时点N离对称轴较远，最高点为点N,

•・•图象"上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5,

；・点A到x轴的距离为5-4=1,

此时点4的纵坐标为-1，

(w+3)2+2(加+3)-3=-1,

解得：=-4+x/3»巾2=-4一百(不符合题意，舍去)；

5

2-1<加+3<2时，如图所示:

8

点〃在x轴下方，点力在x轴上方，最低点为抛物线的顶点（-1,-4）,

・•・此时点N离对称轴较远，最高点为点N,

•・•图象"I：的最高点和最低点到x轴的距离之和为5,

点A到x轴的距离为5-4=1,

此时点力的纵坐标为1,

:.（加+3）2+2（旭+3）-3=1,

解得：m[=—4+痣，m2=-4—V5（不符合题意，舍去）；

当-IVwVO时，2<M+3V3,

点〃在x轴下方，点儿在x轴上方，最低点为点M,最高点为点M

z2

».yM=m+2m—3,%=（m+3）+2（m+3）—3,

・・・|yM+jw=5,即。2+加・3|+（m+3）2+2（w+3）-3=5,

-nr-2w+3+（m+3）?+2（w+3）-3=5,

整理得:6m+10=0,

解得：m=-^（不符合题意，舍去），

综上可得：m=-4+6或m=-44-V5.

5.（2026•广西）关于x的一次函数尸=41/〃（20）的图象与x轴，y轴分别交于4B

两点，O是坐标原点.

9

【性质初探】

（1）「随X的增大而增大（填“增大”或“减小”）；

（2）求证：△408的面积为1；

【归纳提炼】

我们把形如I尸/2/A（丘0）的一次函数称为“正向积1”函数.

【深入探究】

（3）图象经过点（2,2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式;

若不存在，请说明理由；

（4）已知点〃）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个.

①求〃关于m的函数解析式；

②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段48的中点.

【解答】（1）解：•・；户>0,

2

・・・y随x的增大而增大，

故答案为：增大；

（2）证明：当工=0时，y=k,

:・B（0,k）,

当7=0时，x=T，

2

••A（）9

—K/->0

19

・•・△408的面积=4X附X1-^=1；

（3）存在，理由如下：

将点（2,2）代入y=:忆2/左中，

.弓标X2+Q2,

解得〃=1或%=-2,

当"=1时，y=上+1；

当％=・2时，y=2x-2；

（4）解：①将点尸（小，〃）代入尸为2/衣中，

10

1

kzm+k=n»

2

•・•图象过点P的“正向积I”函数有且只有一个,

:.A=1+2，〃〃=0(〃?W0)，

・1

・・〃二-2—m：

②取m=\f则n——i,

:.p(1,-i),

1?1

-k2+k=—小

22

解得k=-1,

.1i

.»y=>-1,

：.A(2,0),B(0.-I),

・F8的中点为(1,,

・•・该点是线段力〃的中点.

6.（2026•江西）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互

为“伴随对称抛物线”.

（1）试判断尸；-4"4与产-7+2x是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；

（2）如图1,若。：y=a\（x-加）2+内与C2：y=a2（x-〃2）?+依互为“伴随对称抛

物线”，顶点分别为4,力2,记。，C2组成的图形为C.

①试猜想m与。2的数量关系，并证明；

②进一步探究可知。为中心对称图形，请确定。的对称中心的位置；（直接写出结果）

③如图2,若Ci：y=x2,/?2>0，B、,例分别为CI，C2上的点，且四边形力附］42&为

正方形，求（也-2）（42-方（用+1）的值.

11

【解答】解：（1）y=，-4/4与y=-，+2x互为“伴随对称抛物线”，理由如下:

y=7-4x+4的顶点为（2,0）,

将x=2代入y=中，得y=-22+2X2=0,

即歹=-经过（2.0）.

y=-；+2x的顶点为（1,1）,

将x=l代入-4A+4中，得-4X1+4=1,

即y=x1-4x+4经过（1,1）.

（2）①ai+a2=0，证明如下：

,•A\（加，木），A1（82，攵2）»

:，k[=%（九1—九z）2的=。1（八2—九1）2+k],

两式相加得（%+&）（k一九2产=0.

•・Z]X〃2，

.*.ai+t/2=0.

②TC为中心对称图形，

・・・C的对称中心为线段4i42的中点.

即C的对称中心的坐称为（阳丁2,"1；〃2）.

③・・・。：»=*,

：（）2

.*.C2y=-x-h2+k2-

如图，设出42与以历相交于点P，

12

图2

・・♦四边形由8弘282为正方形,

为。的对称中心,

.尸与T>'

过点尸作直线LL歹釉，垂足为"，过点S作BiNJJ,垂足为M

则NBiN尸=N4A",N8i/W=NM4i尸=90°-AMPA\.

•••△P81N丝△小PM(,44S),

：・PN=AiM,B\N=PM.

设Bi(xi,yi),则--Xj=y-,一冬=冬

即不=与&必=陪.

又卜2=展,

•・•点51在G上,

.电+艰,电一熄、2

••一(),

2'2)

化简整理得熄一2度一电=2,

-

(h2-2)(电—1)(h2+1)=(h2—2)(/i1-1)=2好—电+2=4.

7.(2026•苏州)将一个二次函数卜=0?+加也•与一个一次函数〃求和，可以得到一

个新的二次函数y=ar+Cb+m)x+(c+〃)，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二

次函数对一次函数的“吸收”.“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”.

(1)若二次函数对一次函数y=mx+〃“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x轴

13

的交点坐标为(-2,0),(4,0),求〃，〃的值；

(2)已知二次函数y=/+2x-3对一次函数y=mx+〃“吸收”.

①若所得“吸收函数”的最小值与尸»+女-3的最小值相等，求〃的取值范围；

②若所得“吸收函数”的图象顶点为且与一次函数尸心+〃的图象交于44两点.当

△力笈必的面积为1时，求〃？的值.

【解答】解:(1)由题意，吸收函数的表达式为歹=/+〃江+〃，

根据题意，得第二^+:二%

,fm=-2;

,*ln=-8

(2)①•・》=x2+2x・3=(x+1)2-4,

・・4=；+2》・3的最小值为-4.

由题意，吸收函数的表达式为y=x2+(〃什2)x+n-3,

用坦卬i=-4(71-3)-(771+2)2

根据题意，得---------------=-4.

4

.(m+2)2

・・n=、4—1.

I?2-1；

②如图，过点M作y轴平行线/交于点N,过点48分别作的垂线段，垂足为C,

14

••X\=1fX2=-3・

♦点4B的横坐标分别是A|=1,XB=-3.

••\XA-XB\=4t

•：M为“吸收函数”的顶点，

.__m+2

・・=XJV=2-'

〈MN=\yN-yM\=|（小0十九）一[“备++2）xM+n-3]|=|--2xM+3|,

；・MN=|一（一竽7一2（一竽）+3|=|4-|m2|,

1111

的面积=X-x|=|4-^m2!x4=|8-^m2\,

^乙MN\A乙fi*乙

的面积为1,

/.|8—2，/H-|=1.

.*./«1=V14»nn=—\/l4,my=3y/2,ni4=~3>/2.

8.（2026•东莞二模）定义：有两个内角和为45°的三角形为“美好三角形”.

（1）判断下列三角形是否为“美好三角形”，如果是，请在对应的横线内画“J”，如

果不是，请在对应的横线内画“X”；

①有一个角为30°的直角三角形；—

②有一个角为45°的直角三角形；

③有一个角为135°的三角形；

（2）如图①，直线：与双曲线：）=,（x>0）相交于点点N在x的正半轴.匕

若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；

（3）如图②，二次函数：y=ad+公+c的顶点为力，与x轴交于。两点，。在△力4C

内部，连接，AO,AD,BD,CD,当△力OC、△O8C、△力。8均为“美好三角形”，此

时△O8C的面积为Si，△AOC的面积为S2，△4的面积为S3，当S3=m时，求51和

S2的表达式（用含m的式子表示）

15

90°,

则30°+60°#45°,60°+90°N45°,90°+30°W45°,

・•・该三角形不是“美好三角形”.

故答案为：X；

②有一个角为45°的直角三角形，三个内角分别为45°,45°,90°,

则45"+45u声45"，45“+90W45",

・•・该三角形不是“美好三角形”.

故答案为：X；

③有一个角为135。的三角形，其余两个内角的和为180°-135°=45°,

・•・该三角形是“美好三角形”.

故答案为：J.

（2）联立y=q工与y=7（%>0）,

解得x=3,

将x=3代入y=；（无〉0）,

得y=l,

・••点M坐标为（3,I）,

若△MVO是“美好三角形”，

当NOMW=l35°时，过历作,"〃_LON,则NMN〃=l8（）°-135°=45°,

:,NH=MH=T,

：.ON=3-l=2,

:,N(2,0)；

当NOMM=l350时，过N作NP_LOM,则NPMN=l80°-135°=45°,

16

:.PM=PN,OM=V32+l2=V10,tan乙MOH=器=专,

PN1

tanz.PON=丽=手

PN1

••m+PN-3’

：.PN=PM=孚

；・ON=VP/V2+OP2=5,

:.N(5,0),

（3）.・•二次函数ynaJ+Zxr+c与x轴交于4,。两点，顶点为力,

：.AB=AC,

如图，过点。作。0_L8C,DH±AB,DQ±AC,

当△力OC、ADBC、4ADB均为“美好三角形"时，N4C4=/44。=45°,ZCDB=

408=135°,

・・・N8力C=90°,BC=V2AC=V2AB,

.*.Z4+Z5=45°,Zl+Z5=45°,Zl+Z2=45°,Z2+Z3=45°,

17

AZ1=Z4,Z1=Z3.

：.ACDBsABDA,

.CDBDBCDPr-

••————V乙）

BDADABDH

•红”.=2

^BDA

•••△Q4C的面积为S1，△4QC的面积为S2，ZX/I。"的面积为S3,S3=m,

；•Si=S4CDB=2s△BDA=2m,

VZDPB=ZDQC=90a,Z1=Z4,

/.△BPDs^CQD,

tDPBD_1

,•DQ-CD-汽

:.DQ=&DP=2DH,

,**SXADB=24B，DH,S&ACD=2，DQ，

:•SMCD=2S4DB，

••S2~2s3=2/M,

综上，Si=2加，Sz=2加.

二、新定义融合几何

9.（2026♦东莞、汕头模拟）【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.

【示例】如图1,四边形力〃。。中，ZJ=ZC=90°,则称四边形力4CQ叫做“对直四

边形ABCD”.

【性质探究】小明同学研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个

圆上”的性质，证明思路如下：

如图2,连接对角线8D,取3D中点O,连接。1,OC.

•:/BAD=£BCD=90°,①,

：,OA=^BD,OC=@___,

乙

：,OA=OB=OC=OD,

・••四边形力4CQ的顶点/，B,C,。均在以点。为圆心，〃。为直径的圆上.

（1）请补全小明同学的证明过程.

（2）【性质应用】如图3,在矩形/8C。中，点尸是48边上一点，过力，D,尸三点的

18

圆交对角线片。于点£

①求证：四边形力PEO是“对直四边形”；

②若48=8,AD=6,当△</）£为等腰三角形时，直接写出PE的长.

（3）【拓展提升】如图4,在矩形力反?£>中，AB=kBC（k为正实数）.点、P是B4延

长线上一点，过4,D,户三点的圆交对角线力C于点E,延长尸E交4c于点尸.请求出

PE

而的值（用含〃的式子表示）.

【解答】（I）解：连接对角线4。，取BD中点O,连接。4,（）C,如图,

•：/BAD=NBCD=90°,①8。的中点为0,

・・・04=初，0C=

：,OA=OB=OC=OD,

，四边形力48的顶点力，B,C,。均在以点。为圆心，4。为直径的圆上.

故答案为：①4Q的中点为0；@^BD；

（2）①证明：连接。P,设圆心为O,如图，

•・•在矩形48C。中，ZBAD=90°,

・・・QP为O。的直径，

19

：・/DEP=90°,

・•・四边形4PEO是“太直四边形”；

②解：•・•四边形4ACQ为矩形，

:.BC=AD=6,N8=90°,

：.AC=7AB2+BC2=1(),

3

-

tanNBAC-彳p4

.NPDE=/BAC,

3

：.tanZPDE=tanZBAC=

4

当力。=。E=6时,

3

_

PE^

VtanZPDE=^^=4

9

:・PE=W

当力。=力七=6时，设CO与OO交于点R连接力REF,如图,

V^DC=90°,

•••力/为OO的直径，

・•・/力斯=90。，

；・/FEC=/ADC=90°,

,?/FCE=NACD,

:.ACFESACAD,

EFAD6

•••_«

CECD8

*：CE=AC-AE=4,

；・EF=3,

：.AF=y/AE2+EF2=3瓜

:・PD=AF=3炳.

propp

*：s\nZPDE=s\nZBAC=%*sinNPDE=舒

20

•P_E3

•♦=二,

PD5

•-P£=­•

当。E=4E•时，连接75P,设圆心为O,如图,

,:DE=AE,

・•・ZEDA=ZEAD,

ZEDA+ZEDC=W,NEAD+/ECD=90°,

・•・/EDC=NECD,

：,ED=EC,

：.ED=EA=EC=^AC=5,

8C3

-

484

•・•NPDE=NBAC,

3

：.tanZPDE=tanZBAC=*

PEq

/tanZP£>£=

・.・P3E一甲15

159J5Q

综上,总的长为了或可或3

(3)解：设圆心为点。，连接OP,DE,DF,如图,

•・•在矩形/出CQ中，AB=CD,AD=BC,/ADC=NBAD=NBCD=90。，RAB=kBC

a为正实数)，

・・・/%。=90°,CD=kAD（%为正实数），

J。75是的直径,

21

:"PED=90°,

：./PED=/ADC=9G0,

ZDPE=ZDAE,

/.APDEsAACD,

•_P_E__D_E

••,

ADCD

DECD

即一=—=k,

PEAD

:・DE=kPE,

VZDEF=ZDCF=9Cf°,

・•・四边形QE”为"对直四边形，

AC,。,E,尸在以。尸为直径的圆上，

・•・NDCE=/DFE,

•：/DEF=NADC=%°,

・•・ADFEs^ACD,

.EFDE

••=~9

DCAD

:.EF=kDE,

:・EF=pPE,

.空__L

**EF=运

10.（2026•东莞三模）阅读与思考

请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务.

邻等对余四边形

在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验

可对不同的几何图形进行一定的研究.

图形定义：至少有一组邻边相等，且这两邻边的夹角与对角互余的四边形叫邻等对余四

边形.

概念理解：如图①，在四边形力8co中，AB=BC,/8+/。=90°,则四边形ABC。是

邻等对余四边形.

22

性质探究：如图②，在四边形月8CQ中，连接对角线XC,BD,已知/8=8C=4CNW8C+

N4）C=90°,小江通过在几何画板上演示图形，发现月。，CD,8。之间存在数量关系：

jz）2+cr>2=5z）2,他想通过几何的方法进行推理证明.

研究思路：在研究四边形的时候，常将四边形的问题转化为三角形的问题来研究，从而

简化问题的解决过程.

推理论证：以力。为边，在力。下方作等边连接〃兄

MABC,A4DF均为等边三角形,

：,DA=AF=DF./BAC=NDAF=/AFD=60°,

・•・ZDAC=ZBAF,

任务：

（I）根据邻等对余四边形的定义，下面哪组图形可能拼成一个邻等府余四边膨—（填

序号）；

①两个等腰三角形②法个直角三角形③两个全等三角形

（2）完成报告中剩余的证明过程；

（3）如图③，在△48C中，AB=BC,在4C的右侧找一点P,使四边形片8。尸是有两

组邻边相等的邻等对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

【解答】（1）解：①当两个等腰三角形的底边相等，顶角互余时，就可以拼成一个邻等

对余四边形，如图1：

23

A

图1

当BC=BC,N4+N力=90°时，四边形/4QC是邻等对余四边形；

故①符合题意；

②若两个直角三角形的其中一个直角边相等时，只能满足对角互余，即不能拼成一个邻

等对余四边形，

若两个直角三角形的其中一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等时，只能满足

邻边相等，即不能拼成•个邻等对余四边形，

故②不符合题意；

③当两个全等三角形的两组对应角之和是90。时，就可以拼成一个邻等对余四边形，如

图2：

图2

当AB=AC,NB/lD+NC4D+NBD/i+NS4=NB4C+NBDC=90°时，四边形ABDC

是邻等对余四边形；

故③符合题意；

24

故答案为：①③；

(2)证明：以力。为边，在力。下方作等边△力。四连接8F,

■:AABC,△//)b均为等边三角形，

:・DA=AF=DF,ZBAC=ZDAF=ZAFD=60°,

工NDAC=NBAF,

在与△NQC中，

(AB=AC

\^BAC=Z.CAD,

(AF=AD

/.^AFB^/\ADC(SAS),

:.BF=CD,ZBE4=ZCDA,

VZABC+ZADC=90°,ZABC=60°,

；・NBE4=NCD4=30",

:・NBFD=NBE4+NAFD=90",

在RtZ\4F。中，由勾股定理得：DF2+BF2=BD2,

,：DF=AD,BF=CD,

121

：,AD+CD=Bbi

(3)解：如图3：点P及四边形/出CP即为所求.

作法：①作N48C的平分线，交4。与点氏

②以点七为圆心，CE的长度为半径，画弧，交N4BC的平分线于点M,连接CW；

③在CM的右侧作NMCP=^ABC,CP交BM的延长线于点P；

④连接力P,则点P及四边形川丝P即为所求.

25

11.（2026•深圳模拟）【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为a与由如果2a+p=90°,

那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角a叫做单余角.

【性质】（1）如图1,若△力8c是单余三角形，且/力是单余角，ZC>90°,为了探

究其性质，小鸣根据定义中出现的90°,联想到直角三角形，于是过点4作

交力C延长线于点。，请你根据小鸣的分析，进行以下探究：

①求证：ADBCSADAB；

②求证：=器；

【判定】⑵如图2,⑦/IBCQ中,AD=2,CD=2>/5,NADB=90°,点£是对角线

BF1

BD上一点,连接CE并延长交48于点凡若二7=-，求证：△85是单余三角形，且

N8O。是单余角；

【应用】（3）如图3,RtA/l5C中，乙480=90°,48=4,8C=3,点O为斜边AC

上一点，连接80,△,408是单余三角形，过点力作4O_L4C,点。在4C下方，且N

ACD=NABO,求力。的长.

26

•・•若△/3。是单余三角形，口/力是单余角，NC>90",

；・2N4+/力〃。=9()0,

即N/l=90°-(Z/1+Z^C),

'CBDLAD,

/.ZD=90°,

・・・/力+/48。=90°,

：,ZA+ZABC+ZCBD=901,

即NC8Q=90°-(ZA+ZABC),

Z.NA=NCBD,

VZD=ZZ)=90°,

・•・dDBCsADAB；

②，：ADBCSADAB,

•BD_B_C

•♦=9

ADAB

/.ZZ)=90°,

・+人_BD

•.tunA—彳3，

..tanA=丽：

(2)证明：•・•四边形.48。是平行四边形，

:・AD=BC=2,AB=CD=2瓜AB//CD,AD//BC,

:・/CBD=NADB=9。",丛BEFs丛DEC,

_________BE£F_1

:.BD=\l(AB2-AD2=4,—

DECD~3,

13

・・・加/。=1,田浮=3,

BCBD4

—=2,—=-=2

BEBC2

27

•_B_C_B_D

••,

BEBC

'："BE=/DBC,

:ACBESADBC,

・•・ZBCE=ZBDC,

•・・/C8Q=90°,

ZBCD±zlBDC=90a,

即N8CE+NECQ+N8DC=90。，

；・NBDC+NECD+NBDC=90°,即2N8/)C+NECD=90°,

•:/CED>/CBD,

：.ZCED>90°,

•••△CQE是单余三角形，且。是单余角.

VZ/15C=90°,

・"C=7AB2+BC?=5,

11

="B.BC=”MAC,

11

x4x3=-BMx5,

22

解得BM=竽，

:.CM=7BC2-BM2=*,

：.AM=AC-CM=^-,

由乙48C=90°,得NB4OV90。，N/140V90°,

•••△408是单余三角形时，2N8力O+N/80=90°或NA40b2N/8O=9O°；

①当2N54O+/480=90°时，如图，

28

B

D

过点。作OPJL/8于点P,有N8产0=90°,

由（1）同理可得△力朋8s

AMBMAB

''BM~OM~BO'

1612

即令==—,

—OMBO

5

解得08=3,MO=3,

：.AO=AM-OM=7,

VZABC+ZBPO=\^Q，

:.PO//BC,

AAOPs^ACB,

.AOAPP0

''AC~AB~BC"

,5APP0

即lw-=--=---,

543

解得AP=P0=北，

；・BP=AB-AP=2,

♦：NACD=ZABO,NBPO=NCAD=90°,

:.△PBOs/\ACD,

7221

PB

•_P0即至=

••9

ACAD5AD，

35

：.AD=24;

②当2N"O+NA4O=90°时，如图，过点力作力尸_L8O的延长线于点P,

29

B

:・/P=/BMO=90°,

设OM=x,则力。=RM-OM=?一%,

•・•4AOP=4BOM,

丛AOPs丛BOM,

•AOAPPO

''BO~BM~MO'

APBM12

"PO~MO~5x'

由（1）同理可得△〃。/△引兄

AOPO

•••_

ABAP

*ABAP…412

••即W

AOrU...-5%

66

即oM--

解得％=5

5*

66

----2

•*.AO=55

22

・•・BO=y/BM+OM=J的2+（1）2=竽

.APPO

•~12~~~6~,

~55

解得/。=等，PO=275,

o[E

・・・BP=80+P0=%,

VZP=ZDJC=90°?NABP=NACD,

AABPsADCA,

4^58\<5

APBPy

—=—,即一^―=」一

ADACAD5

30

解得力0=/

综上所述，4D二||或彳.

12.（2026•东莞一模）【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师

让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动.

活动一：矩形可折叠

矩形纸片中，在力。边上取一点尸沿8P翻折，使点4落在矩形内部4'处：再次

翻折矩形，使PD与RT所在直线重合，点D落在直线PA'上的点。处，折痕为PE.翻

折后的纸片如图I所示.

活动二：折叠可得矩形

如图2,将△48C纸片沿中位线即折叠，使点力对称点。落在8C边上，再将纸片分

别沿等腰△8EO和等腰△OHC的底边上的高线环，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合

形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、

无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4.

【问题解决】

（I）如图1,N4PE的度数为；

（2）如图I,若）0=32cm,AB=24cm,求。E的最大值；

（3）平行四边形48CQ纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形EFG”,若b=9,

31

EH=\2,请求出40的长；

【问题拓展】

(4)如图5,一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形MNPQ,其中尸

的一边与矩形纸片的一边重合，NM=NP=90",NP=45a〃，A/N=35cw,MQ=30c〃?，

请直接写出该矩形纸片较短边的长度—.

【解答】解：(1)如图1,

由题意得：/DPE=D'PE,NAPB=/A'PB,

•：NAPB+/A'PB+/DPE+ND'PE=18O0,

・・・2(N4'PB+ZD1PE)=180°,

/.Z/l;PB+ZD/PE=90°,

：・NBPE=900,

故答案为：90°：

(2)如图1,

设尸。=x,DE=y,贝尸=力。-。尸=32-x,

由(1)知N8PE=90°,

:./APB+/DPE=90°,

•・•四边形48CQ为矩形，

.・.NO=N4=90°,

AZABP+ZAPB=90Q,

/./ABP=NDPE,

VZ/i=ZZ)=90o,

,AABPsADPE,

.ABPD

"AP-DE'

.24x

**32-x-亍

/.y=ix(32-x)=—A(x-16)2+孕，

z24243

•・•一克VO,

32

・••当x=16时，y有最大值为

32

•••OF的最大值为W；

(3)设点4的对应点为点。的对应点为N,如图4,

■:NFEH=90°，矩形EFG〃中，EF=9,EH=\2,

:・FH=y/EF2+EH2=15,

,:EH=FG,EH//FG,

/EHF=/HFG,

由折叠的性质得：/C=/FNG,/A=/EMH,

•・•日力8。。中，Z